第10章湍流邊界層

1、第10章湍流邊界層10.1 壁面湍流特性和速度分布規(guī)律當(dāng)邊界層內(nèi)流體及管內(nèi)流體處于層流流動狀態(tài)時， 流體受到壁面的限制僅僅表現(xiàn)在粘性切應(yīng)力 作用下，進(jìn)行粘性旋渦的擴(kuò)散；而當(dāng)處于湍流流動狀態(tài)時，流體受到壁面的限制則是在粘性切應(yīng)力 和湍流附加切應(yīng)力的同時作用下，進(jìn)行旋渦的擴(kuò)散。由于湍動旋渦的擴(kuò)散速度遠(yuǎn)大于粘性旋渦擴(kuò)散的速度，因此，在相同條件下，湍流速度邊界層的厚度要比層流速度邊界層厚。但在高雷諾數(shù)的條件下，湍流速度邊界層仍是貼近壁面的薄層， 因此，建立湍流邊界層方程的前提條件與層流時 相同。但是，由于兩種切應(yīng)力的作用，湍流速度邊界層的結(jié)構(gòu)要比層流速度邊界層復(fù)雜得多。因此,一定要先了解壁面湍流的分層

2、結(jié)構(gòu)和時均速度分布規(guī)律。10.1.1 壁面湍流分層結(jié)構(gòu)及其特性在壁面湍流中，隨著壁面距離的變化，粘性切應(yīng)力和湍流附加切應(yīng)力各自對流動的影響也發(fā)生 變化。以y表示離開壁面的垂直距離，隨著y的增加，粘性切應(yīng)力的影響逐漸減小，而湍流附加 切應(yīng)力的影響開始不斷增大，而后逐漸減小。這就形成了具有不同流動特征的區(qū)域。壁面湍流速度邊界層可以分為內(nèi)層（壁面區(qū)），包括粘性底層、過度層（重疊層）和對數(shù)律層（完全湍流層）；外層，包括尾跡律層和粘性頂層（間歇湍流層）。定義(10.1.1)因為v*具有速度的量綱， 故稱為壁面切應(yīng)力速度， 它在湍流中是一個重要的特征速度 層的劃分做詳細(xì)說明。粘性底層：所在厚度約為0 y

3、5匚，其內(nèi)粘性切應(yīng)力起主要作用，湍流附加切應(yīng)力可以忽v略，流動接近于層流狀態(tài)，因此在早期研究中稱之為層流底層。由于近期的實驗研究，觀察到該層內(nèi)有微小旋渦及湍流猝發(fā)起源的現(xiàn)象，因此稱為粘性底層。過渡層：所在厚度約為5r y 30=，其內(nèi)粘性切應(yīng)力和湍流附加切應(yīng)力為同一數(shù)量級，流vv動狀態(tài)極為復(fù)雜。 由于其厚度不大，在工程計算中，有時將其并入對數(shù)律層的區(qū)域中。對數(shù)律層：所在厚度約為30r y 1O3V 0.2，其內(nèi)流體受到的湍流附加切應(yīng)力大于粘vv性切應(yīng)力，因而流動處于完全湍流狀態(tài)。由這三層組成的內(nèi)層，稱為三層結(jié)構(gòu)模式，若將過度層歸入對數(shù)律層，則稱為兩層結(jié)構(gòu)模式。外層中的尾跡律層和粘性頂層所在厚度

4、分別約為103= y 0.4和0.4 y。對于尾跡v以下對各5v律層，層內(nèi)流體受到的湍流附加切應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于粘性切應(yīng)力，流動處于完全湍流狀態(tài)，但與對數(shù)律層相比，湍流強度已明顯減弱；對于粘性頂層，由于湍流的隨機(jī)性和不穩(wěn)定性，外部非湍流流體不斷進(jìn)入邊界層內(nèi)而發(fā)生相互摻混， 使湍流強度顯著減弱，同時，邊界層內(nèi)的湍流流體也不斷進(jìn)入臨 近的非湍流區(qū)，因此，湍流和非湍流的界面是瞬息變化的，具有波浪的形狀。因此，所謂湍流速度邊界層厚度 是平均意義上的厚度。實際上，湍流峰可能伸到之外，而外流的勢流也可以深入到 之內(nèi)。這就是導(dǎo)致粘性頂層內(nèi)的流動呈現(xiàn)間歇性的湍流，即在空間固定點上的流動有時是 湍流，有時是非湍流。1

5、0.1.2 光滑壁面內(nèi)層的時均速度分布這個區(qū)域一般假設(shè)為常應(yīng)力區(qū)域。若用y 1表示無量綱離壁面距離，則對于光滑壁面,存在如下無量綱函數(shù)關(guān)系:Vxf*f y v其中Vx表示湍流的時均速度。(10.1.2)1粘性底層(0 y 5r)V這一層緊貼壁面，在早期的研究中一度認(rèn)為該層流態(tài)是層流， 直到最近才在研究中發(fā)現(xiàn)這一層 的流動中有小渦存在，湍流的猝發(fā)大都起始于該層。該層中，湍流的附加切應(yīng)力很小，通常可以忽略不記。 根據(jù)Prandtl的混合長度理論，有：dVx對上式進(jìn)行積分，考慮到當(dāng)y=0時，Vx(10.1.3)0，可以得到時均速度的分布式為:wwVxyy(10.1.4)-vyvVx廠，廠，yV所以有

6、Vxy可見，速度分布是線性的。因此，粘性底層又稱為線性底層。2.過渡層(5 ryV30 r)V注意到無量綱速度和無量綱離壁面距離:由于在該層中，兩種切應(yīng)力為同一數(shù)量級，流動現(xiàn)象極為復(fù)雜，分析起來也極為困難，因此, 通常由實驗來確定時均速度的分布：心5 1 ln3.05 5ln以(10.1.5)5vd x3對數(shù)律層(30= y 103r 0.2)vv該層處于內(nèi)層的外部區(qū)域。由理論和實驗研究表明，該層中，湍流附加切應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于粘性切應(yīng)力，粘性切應(yīng)力可以略去不計。有：通常根據(jù)實驗取k=0.4，C=5.5(或5)，于是對數(shù)律層的速度分布為vx2.5ln y 5.5如果采用不計過度層的兩層結(jié)構(gòu)模式，可以

7、認(rèn)為粘性底層與對數(shù)律層的分界面在y 10.8處,由于該處也屬于粘性底層，因此有vy10.8(10.1.11)對式(10.1.8)進(jìn)行積分得vx1y110.8d vxd yxk10.8y(10.1.12)即vx1y10.8-ln(10.1.13)k 10.8取k=0.41，整理上式，可得vx2.441 ny 5.0(10.1.14)可見，上式與式(2)相符合，這說明了內(nèi)層若按兩層劃分，只要適當(dāng)選取粘性底層與對數(shù)律層的 分界面，所得的對數(shù)律層的速度分布與按三層劃分的對數(shù)律層的分布是一致的?？梢钥闯鰧?shù)律層內(nèi)的時均速度分布是對數(shù)形式，雖然這是在某些限定的簡化條件下得出的，但是卻與實驗相符合。10.1

8、.3 外層時均速度分布根據(jù)實驗觀察，由于壁面的滯止作用，外層中的時均速度仍然低于邊界層外的勢流速度V，但其受壁面的影響比內(nèi)層要大大減弱，并且比較明顯的受到沿壁面在流動方向上壓力梯度業(yè) 的影VxVx(10.1.6)對于內(nèi)層，通常假設(shè)kv*y，代入上式，并且考慮到v* Ivxv ky y轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的無量綱形式得匹丄d y ky(10.1.7)(10.1.8)積分上式，得vxIn yk(10.1.9)(10.1.10)v x，整理可得:(10.1.15)(10.1.20)響。當(dāng)引用虧損速度V Vx時，根據(jù)實驗存在函數(shù)關(guān)系式:1尾跡律層(10= y 0.4)v這一層中，流動已經(jīng)完全進(jìn)入湍流狀態(tài)，湍流應(yīng)

9、力起主要作用 經(jīng)明顯減弱。 這一層中的時均速度分布用虧損速度來表示是：V Vx1y-InA(10.1.16)vk前面已經(jīng)介紹過k=0.4，由實驗研究表明，對于管內(nèi)流動和邊界層流動，k都是此值。而常數(shù)C的數(shù)值對于這兩種流動有明顯的不同：對于管內(nèi)的流動C 0.65，而對于邊界層流動C 2.352粘性頂層(0.4 y)由于粘性頂層內(nèi)流動呈現(xiàn)間歇性的湍流，流動現(xiàn)象十分復(fù)雜，時均速度分布主要由實驗來確定,可表示為:10.1.4 通用速度分布公式上面應(yīng)用了湍流時均動量方程與Prandtl混合長度理論的假設(shè)，以及量綱分析和實驗材料，分 別得出壁面湍流的各層速度分布。實際上，這種機(jī)械地將湍流分層，所得到的時均

10、速度分布表達(dá)式有可能使速度分布在某些層與層之間不連續(xù)，以致于當(dāng)利用熱量和動量比擬的方法求解溫度分布 時，在相應(yīng)層間，溫度梯度也可能是不連續(xù)的。特別是溫度分層公式在應(yīng)用上是不方便的，因此，許多學(xué)者都力圖求得適合整個內(nèi)層的時均速度分布的表達(dá)式，進(jìn)而可以求得相應(yīng)的溫度分布表達(dá) 式。湍流時均動量方程在某些簡化條件下，利用壁面的邊界條件及Prandtl混合長度理論，得到dvxdVxdytd yd Vx22d vxlw(10.1.18)dydy由此式出發(fā)，若能給出混合長度l或湍流粘度t的函數(shù)表達(dá)式，可以求出相應(yīng)的時均速度分布范德來斯特于1956年提出了適用于整個內(nèi)層的混合長度表達(dá)式將上式的l表達(dá)式代入，則

11、對整個內(nèi)層有d Vx2 2湍流強度與對數(shù)律層相比已V Vx*V29.6 1 -(10.1.17)y 1 exp_yA(10.1.19)2 2y dVxAd y*2V(10.1.15)(10.1.20)-y 1 exp dy稱為尾跡參數(shù),。而W *稱為尾跡律函數(shù)。Coles.D通過實驗和計算得出了W1和得近似函數(shù)擬合形式:22sin2于1 cos(10.1.25)對于平衡湍流邊界層，當(dāng)0.5時,可以擬合為無量綱化為由式(10.1.21)得可以看出，上式是在內(nèi)層的對數(shù)律層時均速度分布的基礎(chǔ)上加一修正項，由于湍流邊界層中，壓力梯度對外層特性影響明顯，顯然修正項與壓力梯度 竺成函數(shù)關(guān)系，稱d xdx為

12、平衡參數(shù)，它反映了壓力梯度的大小，將 為常數(shù)的湍流邊界層稱為平衡湍流邊界層，否則為非平衡湍流邊界層。根據(jù)Coles.D的設(shè)想，認(rèn)為式(10.1.24)中的 是反映壓力梯度影響的剖面參數(shù)，式中其中dVxaydydVxdy -10(10.1.21)a y2y 1exp2yAy*yvVxVx*0.41或0.4，范德來斯特通過實驗確定AV*AV25.3積分上式，并利用yvxdvxdy1.1 4a2a1.1 4 a0的邊界條件，得(10.1.22)2d y12222y114 y 1 exp -5.3(10.1.23)上式適用于粘性底層、過度層、對數(shù)層的整個內(nèi)層區(qū)，稱為內(nèi)層關(guān)系式。 式，因此應(yīng)用起來不太方

13、便。另外，1956年Coles.D提出適合于整個邊界層的時均速度分布關(guān)系式但是，由于它是積分形Vx丄山y(tǒng) B W -(10.1.24)2(10.1.26)0.5不過，在很大時，也可以認(rèn)為12.1.,(10.1.27)將以上和W1的經(jīng)驗函數(shù)表達(dá)式代入到式(10.c)中，就可以得出適合于整個湍流邊 界層的時均速度分布表達(dá)式10.1.5 粗糙壁面的時均速度分布壁面的粗糙度對外層的時均速度分布的影響可以忽略。 律，對光滑和粗糙壁面都適用。粗糙度的影響主要在內(nèi)層速度的分布取決于壁面切應(yīng)力w，流體密度，動力粘度0.750.8因此，前面所介紹的外層時均速度規(guī)根據(jù)Prandtl的推理，粗糙壁面時均，離壁面距離

14、y,以及壁面粗糙高度，而與壁面在流動方向上的壓力梯度空無關(guān)，即:d xvxF(10.1.28)由量綱分析得yv v(10.1.29)應(yīng)用內(nèi)層與外層交界處速度梯度相等的條件,*d f綸丄yv(10.1.30)由變量獨立的條件，上式左右兩邊必然等于同一常數(shù)V vx經(jīng)積分可得D ln$ A(10.1.31)(10.1.27)(10.1.32)其中D1k因此對于粗糙壁面，時均速度分布為竺亠空Bv k0時，上式應(yīng)還原為光滑壁面的速度分布形式，即(10.1.34)兩式相減，可得(10.1.33)注意到當(dāng)粗糙高度(10.1.34)Vxv通常式中的Vx根據(jù)實驗資料給出，即_1VVxVx光Vx粗In 10.3一

15、k因此粗糙壁面的時均速度分布的表達(dá)式為上式適用于粗糙壁面的整個內(nèi)層(壁面區(qū))10.2 湍流邊界層基本方程本節(jié)為了簡便，緊推導(dǎo)二維不可壓縮、常物性流體平穩(wěn)湍流邊界層方程。同層流邊界層微分方程的建立一樣，在流動平面內(nèi)，取邊界層坐標(biāo)系xoy。以物體壁面前緣點o為坐標(biāo)原點，沿物 體壁面的流動方向為x軸，其外法線方向為y軸，相應(yīng)的時均速度分別為Vx,Vy。時均溫度為T10.2.1 湍流速度邊界層方程層流速度邊界層方程是由連續(xù)性方程和N-S方程簡化而得，這里所要建立的湍流速度邊界層方程則要由湍流時均運動連續(xù)方程和湍流時均動量方程簡化而得。對于二維不可壓縮流體0,因此對于二維常物性流體，不記質(zhì)量力，在平穩(wěn)湍

16、流流動時，t連續(xù)方程和動量方程可以寫成：VxVy- 0(10.2.1a)xy2 -2 2VxVx-vyVy1_pVxVxVxVxVy(10.2.1b)22xyxxyxy2-22Vx-Vx-VyVy-1 pVyVyVyVxVy(10.2.1c)22xyyxyyx在湍流邊界層的薄層內(nèi)，時均速度Vx和Vy以及邊界層內(nèi)的坐標(biāo)x和y的關(guān)系分別為：VyVx，y x因而y x，x y對于式(10.2.1a)，(10.2.1b)和(10.2.1c)進(jìn)行數(shù)量級比較，過程與層流時類似。連續(xù)方程(10.2.1a)(10.1.35)*l|nV_kC -I n 1k0.3(10.1.36)的兩項數(shù)量級相同，因而邊界層流

17、動的連續(xù)方程為VxVyxy0 xy動量方程式(10.2.1b)和(10.2.1c)中的壓力項是被動項，其數(shù)量級的大小取決于速度場，而不能預(yù)先 確定。在湍流邊界層中，雷諾應(yīng)力項和粘性應(yīng)力項應(yīng)與慣性力項同一數(shù)量級而共存。這與層流邊界層方程建立過程中，所用到的邊界層內(nèi)粘性力項和慣性力項為同一數(shù)量級的原則是一樣的。但是方程式(10.2.1b)中的兩項雷諾應(yīng)力因而暫時全部保留，粘性力的兩項中,2幺 與 上巴是否都與慣性力項同一數(shù)量級，現(xiàn)在還不清楚,xy2 2-Vx與_Vxy2x2相比是小量，可以略去，因此方程式(10.2.1b)可以簡化為_Vx_vyVxVy-x y2_Vx2y2VxVxVyx y(10

18、.2.2)式(10.2.1c)中的沁與式(10.2.1b)中的xVyVyVx- Vy-以及兩粘性應(yīng)力項xy2-Vy2x沁 相比是小量級。 另外式(10.2.1c)中兩慣性力項y2-Vy2-同式(10.2.1b)中相應(yīng)的兩慣性力以及粘性應(yīng)力項y相比，也都是高階小量，所以式(10.2.1c)可以簡化為1_P y再將式(10.2.3)從邊界層內(nèi)y到邊界 上可以認(rèn)為零，即Ve0，因此2y進(jìn)行積分。(10.2.3)PeXP x, y2Vy在y=處, 壓力為Pex，脈動速度在外邊界層(10.2.4)于是，式(10.2.2)中2Vyx2LLx將上式代入(10.2.2)中,p d Pex d x式中，表示邊界

19、層外界的勢流速度Vxvy、，dVVxvdVdx(10.2.5)可以得到2 2VyVxVxVyVVxVy一xy d x y yx由于Vx與Vy為同一數(shù)量級， 因此一般情況下， 上式最后一項是可以忽略的 層方程為：(10.2.6)于是，湍流速度邊界式中-VxVx一x-VyVyyvdx1txyy(10.2.7)txyVxyVxVy1022 湍流溫度邊界層方程對于二維不可壓縮、常物性流體的平穩(wěn)湍流，當(dāng)qV0時，湍流的時均能量方程可以寫為亍亍亍亍T亍亍CpVxVkCpVjkCpVyT(10.2.8)xyx-yy式中時均耗散函數(shù)可以表示成Vx2VxVxVyVx2 -VxVxVyx-y-yVxVxVy yy

20、將式(10.2.9)代入式(10.2.10)中，并將其余各項進(jìn)行數(shù)量級比較，所得出的湍流溫度邊界層方程為10.2.3 基本方程組及邊界條件歸納以上各基本方程: 連續(xù)方程Vxx速度邊界層方程溫度邊界層方程Vyy在邊界層內(nèi)對上式進(jìn)行數(shù)量級比較，可得簡化后耗散函數(shù)的表達(dá)式VxVyVx2VyVzyVx(10.2.9)T _ TCpVxVy-x y上式右邊的第二項考慮了粘性耗散。CPVyTVxVyVxy(10.2.10)VxxVydVVdxVxVyTVyy為二維不可壓縮流體平穩(wěn)湍流邊界層基本方程組，其邊界條件為CPVx-xk丄CpVyryVxVxVyVxy0:VxVy0, TTwVxV X , TTex

21、V x；yT:TTex上式中，TeX為溫度邊界層外邊界上的溫度分布1024 動量積分關(guān)系式以V x乘連續(xù)方程的兩邊,可得VVxVVyy利用連續(xù)方程，可將速度邊界層方程改寫為-dVVx(10.2.11)2vxVxVydxVxyVxVy(10.2.12)(10.2.11)- (10.2.12得氣JVVxdxVxVy(10.2.13)將上式從0到 對y進(jìn)行積分，有VxVVxdydVdxdyVVyyVxVyVxyVxVydy上式左邊第一項左邊第三項，由于yx *xd x0時，VxV和y0時,VVxVxVydyVVyd0 xVxVxVyVxVxVy|0dy右邊則由于壁面和在外邊界上,脈動速度Vx，Vy均

22、為零,于是0,所以VxVxVyVxVxVy|0dy(10.2.14)(10.2.15a)(10.2.15b)Vxyydd x式(10.2.17)為不可壓縮流體湍流速度邊界層的動量積分關(guān)系式,0VxVxdVd xVx(10.2.16c)(10.2.17)在形式上與層流速度邊界層的動量11121積分關(guān)系式完全相同，只是速度是以時均速度表示 度2的定義式引用以時均速度表達(dá)的位移厚度1和動量厚vxVdy(10.2.18)Vx0V1VxdyV(10219)則式(10.2.17河以改寫為d2dx2dVV dx(10.2.20)式中H，與層流時相同，稱為形狀因子，是與壁面形狀有關(guān)的參數(shù)。2式(10.2.18

23、)為湍流動量積分關(guān)系式的另一種形式。湍流速度邊界層的動量積分關(guān)系式解法的基本思想與層流時類似：補充一個速度分布公式，利用1、2等的定義式，將動量積分關(guān)系式化為關(guān)于速度邊界層某以特征量的常微分方程，最后根據(jù)邊界條件求解這一常微分方程。 根據(jù)式(10.2.18)和式(10.2.19)，可以分別寫出v*V V1*d yV0vV2匚V2 01、V VxxdyVV2VVx(10.2.21)竺二y式中2Vvx-d y v(10.2.22)Cfx被稱為壁面摩擦系數(shù)。另外，虧損厚度1和平方虧損厚度2分別表示為0dy0vVVx*V形狀因子式中G，被稱為虧損形狀因子1_2一2111210.4，B=5.5，對于平板

24、由式（10.1.26）有0.5，由于各層時均速度分布規(guī)律是不同的，為了避免從出的適用于整個湍流速度邊界層的通用時均速度分布公式式（10.3.1河以改寫為下。取Coles,D通用時均速度分布關(guān)系式中 所以1.(10.3.1)，ReJC，CfxwV20分層進(jìn)行積分的困難，采用柯爾斯提（10.1.24）可 得(10223)22123.1791.522xxx 1223.1791.5(10224)(10.2.25)2 3.1791.5* 2x 1(10.2.26)丄ln B -(10.2.27)10.3 湍流速度邊界層的求解當(dāng)來流的雷諾足夠大時，沿壁面邊界層流動流體,就從前緣開始先經(jīng)過層流段，再經(jīng)過過度

25、段，才達(dá)到湍流流動的區(qū)域。因此湍流速度邊界層實際上總是從前緣點之后一段距離才開始的。這種具有層流段、過度段和湍流段的邊界層稱為混合邊為了討論方便，首先假設(shè)從壁面的前緣開始，就是湍流邊界層流動。界層。10.3.1光滑平板湍流速度邊界層由于CfxCfxx，即dRe2dRe;x，而2Cfx2(10.3.2)2，所以Re2，其具體上式就是2Re2的具體關(guān)系式，將式（1032）與上式利用x=0,20的邊界條件，進(jìn)行數(shù)值積分，可以求得 與Rex的關(guān)系，進(jìn)一步可求出邊界層其他參數(shù)與Rex的關(guān)系，最后可以得 到如下的擬合公式：Cfx0.025Rex7(10.3.5a)Re20.0142Rex67(10.3.5

26、b)Re10.018Rex67(10.3.5c)Re0.14Re/7(10.3.5d)由此不難看出，邊界層的各種厚度 ，!，2都隨著x67近似線性的增長，與平板層流邊界層解的 結(jié)果式中各種厚度隨x12相比，要快得多，而且局部壁面摩擦阻力系數(shù)也大得多。以上湍流邊界層擬合式適用于105Rex109的范圍。如果忽略外層尾跡的影響尾跡參數(shù)0，重復(fù)上述計算，可得到忽略外層尾跡影響的壁面局部摩擦阻力系數(shù)為Cfx0.027Rex 7（10.3.6a）將上式與式（10.3.5a）進(jìn)行比較，可以看出平板湍流邊界層外層尾跡項對壁面摩擦的影響很小，實驗 證明按式（10.3.5a）計算的Cfx值偏小，因此通常在工程上

27、常取Cfx0.026Rex17（10.3.7b）值得注意的是外層尾跡項對邊界層各種厚度影響卻比較明顯，如果忽略尾跡參數(shù)，會有較大的偏差。2.內(nèi)層關(guān)系式解法由上面的分析可知，平板湍流邊界層外層的尾跡流對壁面摩擦阻力系數(shù)的影響不大，因此，可以用內(nèi)層時均速度分布（內(nèi)層關(guān)系式）來求解速度邊界層方程組。由以前推導(dǎo)的內(nèi)層關(guān)系式可以看出，Vx僅是y的函數(shù)，即Vxf y1In0.4即e V另外21 0.50.4把（10.3.3）式代入得Re2V23.75(10.3.3)2 3.179 0.5 1.50.522 20.42 224.7780.482e(10.3.4)(10.3.8)J 丄5.5 30.4(10.

28、3.15)結(jié)合湍流邊界層的連續(xù)方程和速度邊界層方程，可以寫出平板速度邊界層方程組為*ydV,0VxydyV0yd x7Vxy將以上Vx、Vy的表達(dá)式代入速度邊界層方程組中，整理后可得2Vx*dv 1tyx(10.3.12)d xy將上式從0到y(tǒng)積分，得*dv(10.3.13)x yx.dxG Vx式中y -0Vxyv*G Vx2dy0vx2dy上式表示沿y方向橫截面上切應(yīng)力的分布.在邊界層外邊界上，即yv*2dyVyyVxVx1tyxVxVyxyyVxtyx,VxVyy將上式中的Vx、Vy作如下變換Vx*VxVxx0vyy0Vxd y(1039)(10.3.10)*VVxdyy dVyd x*

29、-dVVxdyd x*dV dy dx(10.3.11)(10.3.15) V cx，y x,-0(10.3.14)G Vx用形式更簡單的方程式Cfx0.026Rex17?？紤]到驚，因此式(10.3.1)可以轉(zhuǎn)化為v因此,0G式中Z代入式(10.3.19)中，積分并整理成便于應(yīng)用的顯示公式C0.455Cfx2In 0.06 Rex上式雖然形式簡單，但很準(zhǔn)確，它與式(10.15)相比，誤差不超過2%。另外，在工程較多采*2v(10316)上式進(jìn)一步可寫成V22(10.3.17)對于平板，V V,上式簡化為若假定湍流邊界層從G dxx 0開始，積分上式V x0G d(10.3.18)Rex(10.

30、3.19)另外應(yīng)用內(nèi)層關(guān)系式可以得到(此處不與推導(dǎo))dy32vxdvx(10.3.20)v2vx0 xVvxeVxBe2eZZ22Z13v2vx2土342 Vx10dVx(10.3.21)12ZZ24Z 62Z空122060(10.3.22)式(10.3.22)是Kestin J.和Persen L.N在1962年建立的來White提出了一個在2090范圍內(nèi)的近似式G8.0e0.48此式是個隱式，應(yīng)用起來不方便。后(10.3.23)(10.3.24)1032 光滑平板壁面邊界層平均摩擦阻力系數(shù)1.光滑平板壁面平均摩擦阻力系數(shù)若湍流邊界從平板前緣開始，則平均摩擦阻力系數(shù)的定義式可以寫為符合的都比

31、較好。2.光滑平板壁面混合邊界層平均摩擦阻力系數(shù)前已指出，邊界層流動中，從平板壁面前緣點開始就是湍流實際上是不存在的，而總是先有一 段層流和過度段。 為了計算混合邊界層的平均阻力系數(shù)，將這一實際流動情況給予簡化處理：以一點T代替過渡段；過渡點T以后的實際的湍流邊界層性質(zhì)與前緣點o開始的湍流邊界層的性質(zhì)相同。以上兩點簡化由圖10-1所示。圖中的虛線部分表示從前緣點開始的湍流邊界層的外邊界線，自過渡點T之后，就與實際的湍流外邊界線重合以Cft表示湍流邊界層從前緣點o開始時，整個平板壁面的平均摩擦阻力系數(shù)；Cft表示湍流邊界層從前緣點o開始時，oT段平板壁面的平均摩擦阻力系數(shù)；CfL表示層流邊界層從

32、前緣點o開始時，oT段平板壁面的平均摩擦阻力系數(shù)；Cf表示混合邊界層的平板壁面的平均摩擦阻力系數(shù)。于是，單位厚度平板的摩擦阻力為1212 ttLD1LCfCfxx d xf12L0-V2LL2把前面Cfx的表達(dá)式代入上式，可方便求出Cf0.0303 ReL式中ReL另外還有一些近似公式:Cf0.074 ReL15Cf0.4552?58log ReLCf0.523第一個近似公式只有在5 1052In 0.06 ReLReL107范圍內(nèi)才適用(10.3.25)(10.3.26)(10.3.27a)(10.3.27b)(10.3.27c)而后兩個公式在整個湍流范圍內(nèi)與實驗Cfx1.4 3.7log(

33、10.3.35)D V2LCf- V2CftLCftxtCfLxt(10.3.28)22Cfx1.4 3.7log(10.3.35)因此，平板壁面的平均摩擦阻力系數(shù)CfCftRextCftCfLReL(10.3.29)令A(yù) RextCfCf則上式變?yōu)镃fCft(10.3.30)ReL1033 粗糙平板壁面摩擦阻力系數(shù)與平均摩擦阻力系數(shù)當(dāng)平板粗糙高度為常數(shù)時,由適用于整個內(nèi)層的粗糙壁面的時均速度分布公式vx1 yv*In - vB -In 1 0.3丄(10.3.31)丄InyB丄1 n1 0.3采用與光滑平板內(nèi)層關(guān)系式解法同樣的步驟，可以得到Rex1.731251 0.3e0.4Z24Z0.3

34、1 0.3Z 1(10.3.32)式中Z 0.4，Cfx，RexxRexxn式(10.3.32)是一個隱示公式.當(dāng) 很大時，式中的1 0.3(10.3.32)轉(zhuǎn)化為適用于完全粗糙壁條件下的關(guān)系式：-0.5194e0.4-5，于是雷諾數(shù)的影響完全消失，式(10.3.33)當(dāng)8 Z 16時，括號內(nèi)的多項式可以用指數(shù)0.8e.04近似，上式變?yōu)?0.42e0.44(10.3.34)此時，壁面局部摩擦阻力系數(shù)Cfx的顯式為2X與上式相應(yīng)的完全粗糙壁的平均摩擦阻力系數(shù)為d rPwx(10.4.3)其推導(dǎo)過程在此不予介紹10.4 管內(nèi)湍流當(dāng)Red一2300時，充分發(fā)展段的流動可能為湍流狀態(tài)。充分發(fā)展段中的

35、湍流與邊界層流動比較有如下特點：1) .管流的半徑R與邊界層厚度 相當(dāng)，即R，因此不存在湍流與非湍流相互交替作用的 粘性頂層。2) .邊界層的外流速度V V x，當(dāng)沿平板壁面流動時V V，對于管內(nèi)流動與V對應(yīng)的是管 內(nèi)中心線處的速度Vm。3) .邊界層流動，當(dāng)沿平板壁面時，w沿壁面隨x坐標(biāo)增大或減小，直的管內(nèi)流動，只要沿管中心線的壓力梯度恒定，沿管壁上的切應(yīng)力w就是恒定的。4) .管內(nèi)湍流的時均速度分布與湍流邊界層內(nèi)的時均速度分布規(guī)律是類似的。10.4.1 管內(nèi)不可壓縮流體平穩(wěn)湍流動量方程將管內(nèi)層流流動在柱坐標(biāo)系中的動量方程式的各物理量，均以湍流運動的瞬時值代入，再對整個方程時均化之后，考慮到

36、時均運動與軸坐標(biāo)x無關(guān)，并且是軸對稱的，所以在柱坐標(biāo)系中， 切向徑向坐標(biāo)r的函數(shù)。于是管內(nèi)湍流的動量方程時均化后得于是有Cf0.024L(10.3.36)管內(nèi)流動分為進(jìn)口段和充分發(fā)展段，當(dāng)RedVd2300時，充分發(fā)展段的流動為層流狀態(tài);速度V=0，徑向速度Vr0，而且VxVxr，VxVx0，脈動量V2，Vr2，VrVx等只是l_p 1_d_x r d rdVxdrrVrVx1_d_r d r2rVr(10.4.1)(10.4.2)與充分發(fā)展的管內(nèi)層流相比,由于有脈動值,-P就不等于零，而且還存在湍流附加切應(yīng)力。對式r(10.4.2)從r到d(d表示圓管直徑)2積分可得p x,r2Vr2V(1

37、044)VrVx0，所以對上式從0到x積分可得將式(10.4.7)代入到式(10.4.3)中，得比較式(10.4.5)和式(10.4.6)可得dVxdr上式說明管內(nèi)流動粘性切應(yīng)力與湍流附加切應(yīng)力總和沿徑向為一常數(shù)值。 定義則沿程阻力系數(shù)*2v8V4Cfx因此，(10.4.1)可寫成pwXdpwx d x1 dpw1 ddVxd x r d r將上式兩邊乘以rdr，并對r從0到r積分，可得d Pwdx r drdVxdTrVrVx(10.4.5)由于上式左邊為x的函數(shù)，右邊是的函數(shù),因此上式左右兩邊均為同一常數(shù)，且d pwd xdVxd rconst(10.4.6)PwPw0wX(10.4.7)

38、p x, rPw0wx2Vrd 2V2 L_r(10.4.8)VrVx(10.4.9)dPwdx式中，V為管內(nèi)平均速度，為管壁沿程阻力系數(shù)V22 d(10.4.10)將上式代入式(10.4.6)，可得(10.4.11)(10 412)(1044)10.4.2 湍流光滑管的阻力計算當(dāng)圓管管內(nèi)為湍流流動時，沿程阻力系數(shù)由式(10.4.12)出發(fā)進(jìn)行求解。由時均速度求得圓管平均速度為10.4.3 湍流粗糙管的阻力計算1RV2R2 0由管壁算起的y與由管中心線算起的2 rvxd r(10413)r之間的關(guān)系為y R r，d y因此式(10413)為1RV22R2 0同前面一樣引入無量綱量，上式變?yōu)閞v

39、xR0Eydy(10414)vxdy2R2y dy(10.4.15)于是VdVxVx(10.4.16)由式(10.4.12), 得*2232R(10.4.17)當(dāng)時均速度分布采用1ln(10.4.18)與式(10.4.17)一起代入到式(10.4.16)中，整理后可得2B(10.4.19)取B 5.5，0.4，采用以10為底的對數(shù)，上式可以整理為L 2.0351 log Red廠0.913(10.4.20)上式是Prandtl于1935年推導(dǎo)出的，由于忽略了內(nèi)層區(qū)中粘性底層，因此有誤差。 常數(shù)做了修正，得出2.01 log Red廿0.8此式是比較適用的，但由于是隱式，應(yīng)用起來不方便。后來11

40、.02 log Red2.5后來他對式中(10.4.21)White提出采用(10.4.22)其準(zhǔn)確度約為3%。管內(nèi)湍流流動中，一般可按管壁的無量綱平均粗糙高度4，為湍流光滑管，來劃分管內(nèi)流動情況:Red10.4.3 湍流粗糙管的阻力計算460,為湍流粗糙管，Red,-VxVxtVxVytyy而在湍流溫度邊界層方程式中，比擬于動量傳遞，可以寫出Vxty(10.5.1)60，為完全粗糙管，對于完全粗糙管阻力計算公式可采用22logd1.2適用于湍流光滑管、湍流粗糙管和完全粗糙管的阻力計算公式為可以看出，以上兩式當(dāng) 一很小時，均可轉(zhuǎn)化為光滑管的阻力公式；當(dāng)d粗糙管的阻力公式；當(dāng)一為中等值時，阻力可

41、按兩式中的任何一個計算d10.5 不可壓縮流體湍流溫度邊界層的求解本章第二節(jié)建立的湍流邊界層微分方程組為Vxvyx yVxVxVyxVyyVdVdxVxy yVxVyT _ T,TVxVxCpVxVy- kCPVyTVxVyxyyyyy或混合長度理論補充方程來解決的。由于溫度邊界層方程中也存在脈動量的相關(guān)項，若按層流溫度邊界層的解法，將速度邊界層解出的速度分布代入到溫度邊界層方程中進(jìn)行求解，是難以實現(xiàn)的但是卻可以從熱量傳遞和動量傳遞比擬的思想考慮解決熱量傳遞的問題。10.5.1 熱量傳遞和動量傳遞的比擬(10423)1.74 2.0log -18.7(10.4.24)2.0log- 0.81

42、0.1dRed(10.4.25)很大時，均可轉(zhuǎn)化為完全d由速度邊界層方程的求解可知，脈動量的相關(guān)項VXVy給求解帶來的困難，是通過渦粘性理論在速度邊界層方程式中，由渦粘性理論,引進(jìn)了湍流運動粘度t或湍流動力粘度t，則(10.5.2)VvxVVV當(dāng)壁溫Tw=const，PrtPr 1時，上面兩方程變?yōu)闉橥牧鞯腜randtl常數(shù)。由于VxVy和VyT都是湍流脈動相關(guān)量的時均值，因此，可以認(rèn)為Prt的數(shù)量級為1。這個概念是1874年雷諾提出的，他推測湍流切應(yīng)力VxVy和湍流熱通量CpVyT具有相似的機(jī)理，也就是湍流中，湍動的動量傳遞與湍動的熱量傳遞其過程是相似的。當(dāng)取CpVyT相對較小，因此kt小，

43、所以Prt1。通常將流體的湍流Prandtl數(shù)Prt的數(shù)量級取為1,稱為湍流Prandtl數(shù)的雷諾比擬。 而實際上，根據(jù)實 驗Prt并不等于常數(shù)，而是與物性的Pr、流動條件及湍流強度等因素有關(guān)。 本節(jié)重點介紹雷諾比擬和Prandtl比擬。1.雷諾比擬1874年雷諾最早研究了湍流中動量與熱量傳遞的比擬關(guān)系。由速度邊界層方程和溫度邊界層方程，按著雷諾比擬的分析方法，當(dāng)不考慮壓力梯度和粘性耗散時邊界層方程為不僅僅是與流體本身的物性有關(guān)。定義Prt容VTVxVy-y(10.5.5)ktatVxVyTy其中kt,at分別表示湍流的導(dǎo)熱系數(shù)和導(dǎo)溫系數(shù)qtk CpVyTkktyy由以上兩式可以寫出VxVxV

44、xVyttyy和TTCpVyTktCpatyyat(10.5.3)(10.5.4)應(yīng)該注意t和Pn 1Pn 1所計算的湍流熱量傳遞的結(jié)果與實驗是相符合的氣體普通液體對于液態(tài)金屬Prt1，這是由于液態(tài)金屬分子的k值很大，因而由于湍流脈動帶走的熱量Cpa(10.5.2)VvxVVV當(dāng)壁溫Tw=const，PrtPr 1時，上面兩方程變?yōu)闉榱耸股狭械膬煞匠绦问胶瓦吔鐥l件完全一樣，做如下變換T TwTTwv vXVVy_y yVxty-T-TtTVxVy -Xyy PrPrty(10.5.6a)(10.5.6b)t(10.5.7a)(10.5.7b)xy邊界條件為yy由于方程形式和邊界條件完全相同，因

45、此，也就是vx-V-f y或d -dTdvxVdvx由式(10.5.1)和(10.5.2)及PrtPr 1，QtCpa亍亍atyttyV uV vy0: u:u假設(shè)const當(dāng)把此假設(shè)應(yīng)用到物體壁面上，可得qw當(dāng)constt由于由式(10.5.12)可得0,兩方程解的函數(shù)形式完全一樣，即(10.5.8)(Tw=con st)(10.5.9)考慮到式(10.5.9)，有Cpd!dVxCpV(10.5.10)(10.5.11)Tw(10.5.12)StQwCpV TwT1Stx2Cfx上式就是湍流的雷諾比擬式，它建立的基礎(chǔ)是把湍流的熱量傳遞與動量傳遞相比擬。把湍流邊界層視為一層的結(jié)構(gòu)模式。當(dāng)Pr

46、1，可以把雷諾比擬經(jīng)驗地修正為StxP3?Cfx(10.5.13)(10.5.14)可以看出，當(dāng)Pr 1時，上式還原為雷諾比擬式這個比擬是Colbmm比擬式t(10.5.7a)Cfx(10.5.20)2. Prandtl比擬Pran dtl運用雷諾比擬的基本思想，并考慮到湍流邊界層內(nèi)的二層結(jié)構(gòu)：粘性底層與對數(shù)律層， 對于復(fù)雜的過渡層忽略不計。在粘性底層內(nèi)，流體之間的熱量傳遞與動量傳遞只依靠分子的擴(kuò)散作用；而在對數(shù)律層內(nèi)，分子的擴(kuò)散作用與湍動作用相比也可忽略不計。由式(10.5.1)和(10.5.2)也可以寫出(10.5.15)進(jìn)行積分，得可得到Prandtl比擬式為可以看出，當(dāng)Pr 1時，上式就可以轉(zhuǎn)化為雷諾比擬式。另外，還有一種卡門比擬，它是在Prandtl比擬的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)?？ㄩT比擬將邊界層以三 層對待，即考慮了過渡層的影響