第一講單元函數(shù)微積分1ppt課件

1、 第一講 極限與連續(xù) 一元函數(shù)微積分 專題1. 極限的求法(1)(1)用初等數(shù)學(xué)用初等數(shù)學(xué)( (例如三角、對數(shù)、指數(shù)例如三角、對數(shù)、指數(shù), , 分子與分母同乘以某式分子與分母同乘以某式, ,提公因式等提公因式等) )中的恒等變形中的恒等變形, ,使能約分的約分使能約分的約分, , 能化簡的化簡能化簡的化簡. .(2)用極限的四則運(yùn)算用極限的四則運(yùn)算,復(fù)合函數(shù)求極限復(fù)合函數(shù)求極限, 連續(xù)函數(shù)求極限連續(xù)函數(shù)求極限(代入法代入法)*(4) 用等價無窮小代換用等價無窮小代換(3)有極限存在且不為有極限存在且不為0的因式的因式, 可以先算出其極限提出來可以先算出其極限提出來,再求剩再求剩下極限下極限.*

2、(5) 利用兩個重要極限求極限利用兩個重要極限求極限.*(6)用洛必達(dá)法則求未定式的極限用洛必達(dá)法則求未定式的極限.(7)用泰勒公式或拉格朗日式中值定公式或積分中值公式用泰勒公式或拉格朗日式中值定公式或積分中值公式*(9). 用定積分的定義用定積分的定義(11). 用收斂級數(shù)的必要條件用收斂級數(shù)的必要條件 *(8). 用夾逼定理用夾逼定理*(10). 用單調(diào)有界證明用單調(diào)有界證明(單調(diào)遞增有上界或者單調(diào)遞減有下界單調(diào)遞增有上界或者單調(diào)遞減有下界) 設(shè)設(shè) 收斂收斂, 那么那么 (12). 柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則(13). 施篤茲施篤茲(Stolz)定理定理專題專題2: 求極限問題的反問題求極限

3、問題的反問題專題專題4: 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性,間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 閉區(qū)間上的有界閉區(qū)間上的有界性、最值、零點(diǎn)、介值定理、根的存在性性、最值、零點(diǎn)、介值定理、根的存在性專題專題3: 無窮小無窮小(大大)及其階及其階專題專題5: 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義專題專題6: 各種導(dǎo)數(shù)的計(jì)算各種導(dǎo)數(shù)的計(jì)算參量函數(shù)求導(dǎo)參量函數(shù)求導(dǎo)(一階、二階一階、二階)隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo) 分段函數(shù)求導(dǎo)分段函數(shù)求導(dǎo) 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 專題專題7、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)單調(diào)性、極值、最值、凹凸、拐點(diǎn)、漸近線和曲率單調(diào)性、極值、最值、凹凸、拐點(diǎn)、漸近

4、線和曲率專題專題8、積分的計(jì)算、積分的計(jì)算 1.換元法與分部積分法換元法與分部積分法 2. 常用技巧常用技巧: (1). 通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q或分部積分通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q或分部積分, 得到一個與原積分相同的積得到一個與原積分相同的積分分, 建立一個等式建立一個等式, 從中得出原來要計(jì)算的積分從中得出原來要計(jì)算的積分. (2). 將積分區(qū)間拆成兩個將積分區(qū)間拆成兩個, 再經(jīng)適當(dāng)?shù)淖儞Q將兩個區(qū)間上的積分合再經(jīng)適當(dāng)?shù)淖儞Q將兩個區(qū)間上的積分合并以化簡并以化簡. (3). 化成二重積分再交換積分次序化成二重積分再交換積分次序.專題專題9、反常積分、反常積分專題專題10、定積分的應(yīng)用、定積分的應(yīng)用專題專題1

5、1: 不等式問題不等式問題1. 微分學(xué)解決不等式問題常用方法微分學(xué)解決不等式問題常用方法(1). 用單調(diào)性用單調(diào)性 (2). 用最值用最值(3). 用拉格朗日中值定理或柯西公式用拉格朗日中值定理或柯西公式(4). 用拉格朗日余項(xiàng)泰勒公式用拉格朗日余項(xiàng)泰勒公式 (1) (1) 利用定積分的保序性；利用定積分的保序性； (2) (2) 利用定積分中值定理和被積函數(shù)的單調(diào)性；利用定積分中值定理和被積函數(shù)的單調(diào)性； (3) (3) 利用變上限定積分的單調(diào)性；利用變上限定積分的單調(diào)性； (4) (4) 利用利用CauchyCauchy不等式不等式 222( ) ( )d( )d( )d.bbbaaaf

6、x g xxfxxgxx (5) (5) 利用無窮級數(shù)做估值利用無窮級數(shù)做估值 (6) (6) 化成二重積分來處理化成二重積分來處理2、 定積分和反常積分中不等式問題所用的方法定積分和反常積分中不等式問題所用的方法專題專題12 函數(shù)零點(diǎn)問題函數(shù)零點(diǎn)問題,方程根的存在性方程根的存在性 (1) (1) 若題目中涉及連續(xù)函數(shù)若題目中涉及連續(xù)函數(shù), , 一般用連續(xù)函數(shù)介值定理一般用連續(xù)函數(shù)介值定理( (或連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理或連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理); ); 若題目中涉及導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)若題目中涉及導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn), , 則一般利用羅爾定理或羅爾定理與連續(xù)函數(shù)介值定理則一般利用羅爾定理或羅爾定理與連續(xù)函數(shù)介值定理( (零點(diǎn)

7、定理零點(diǎn)定理) )的綜合應(yīng)用的綜合應(yīng)用; ; 如果討論至多幾個點(diǎn)如果討論至多幾個點(diǎn), , 要利用單調(diào)性要利用單調(diào)性. . (2) (2) 含積分的零點(diǎn)問題含積分的零點(diǎn)問題方法方法1: 1: 將一個定積分看做一個變限函數(shù)將一個定積分看做一個變限函數(shù), ,關(guān)于該積分的零點(diǎn)問題關(guān)于該積分的零點(diǎn)問題, ,可用微分學(xué)中的方法處理可用微分學(xué)中的方法處理. .方法方法2: 2: 用積分中值定理以及積分的其它性質(zhì)用積分中值定理以及積分的其它性質(zhì) . .方法方法3: 3: 以某定積分為零作為條件以某定積分為零作為條件, ,討論與此有關(guān)的函數(shù)的零點(diǎn)問題討論與此有關(guān)的函數(shù)的零點(diǎn)問題. .判定極限存在的準(zhǔn)則判定極限存

8、在的準(zhǔn)則準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.準(zhǔn)則準(zhǔn)則I 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 定理定理: : 若在若在 內(nèi)或當(dāng)內(nèi)或當(dāng) 時有不等式時有不等式成立，且成立，且 那么那么00(;)U x0 xN( )( )( )f xh xg x00 ()()lim( )lim( ),xxxxxxf xg xA0 ()lim( ).xxxh xA(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim兩個重要極限兩個重要極限);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個無是同一過程中

9、的兩個無設(shè)設(shè);),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地?zé)o窮小的比較無窮小的比較定理定理(等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè).),0, 0(lim)3(無無窮窮小小階階的的是是是是就就說說如如果果kkCCk 常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當(dāng)當(dāng) x2 sin tan arcsin arctan ln(1) 1,11 ln ,1cos,(1)1 (0)2xxaxxxxxxeaxaxxxax a 111.nxxn , )(a

10、f (1)(2)(3)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)a 處：處：(1) 連續(xù)連續(xù) (2) 有極限有極限 (3) 有定義有定義 則稱則稱 y=f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) a 連續(xù)。連續(xù)。假設(shè)假設(shè)Axfax )(lim 函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)連續(xù)的定義三者關(guān)系是：三者關(guān)系是：跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)特點(diǎn): :.,0右極限都存在右極限都存在處的左處的左函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)跳躍型跳躍型0yx0 x0yx0 x間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類0yx無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)0yx0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)

11、(00類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的第第二二為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)至至少少有有一一個個不不存存在在右右極極限限處處的的左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxf定理定理 3(3(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號異號( (即即0)()( bfaf),),那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個零的一個零點(diǎn)點(diǎn), ,即至少有一點(diǎn)即至少有一點(diǎn) )(ba ，使，使0)( f. .定理定理( (有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .定理定理 (

12、 (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 000( )()limxxf xf xxx 0()fx dydx00()( )limlim.xxyf xxf xyxx 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxf

13、xxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.用定義用定義.含絕對值符號的函數(shù)怎么求導(dǎo)？含絕對值符號的函數(shù)怎么求導(dǎo)？在分段點(diǎn)處怎么求導(dǎo)？在分段點(diǎn)處怎么求導(dǎo)？分段函數(shù)的求導(dǎo)分段函數(shù)的求導(dǎo)寫成分段函數(shù)再求導(dǎo)寫成分段函數(shù)再求導(dǎo).基本導(dǎo)數(shù)公式基本導(dǎo)數(shù)公式222()0(sin)cos(tan)sec(sec)sectan()ln1(log)ln1(arcsin)11(arctan)1xxaCxxxxxxxaaaxxaxxxx （常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）1222()(cos )sin

14、(cot )csc(csc )csccot()1(ln )1(arccos )11(cot )1xxxxxxxxxxxeexxxxxx arc求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是是常常數(shù)數(shù)),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則1( )( ),( ).( )xyyf xfxy 如如果果的的反反函函(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdudu

15、dydxdyxfyxuufy 或或的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè)(4) 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu(5) (5) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).,)()(間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6)

16、(6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù),)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記記作作階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))高階導(dǎo)數(shù)的求法1.1.由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階

17、導(dǎo)數(shù). 2. 2. 求出求出1-31-3或或4 4階后階后, , 分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性, ,寫出寫出n n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(.(數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸納法證明) )3.利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則運(yùn)算，通過四則運(yùn)算， 變量代換等方法變量代換等方法, 求求n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1(

18、)1( nnnxnxnnnnaxaxaxay 1110o 1! 0)(nayn 0)2()1( nnyy高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:則則階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)具具有有和和設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式萊布尼茲公式微分的定義微分的定義,求法求法定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfx

19、xfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分于自變量增量于自變量增量相應(yīng)相應(yīng)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)

20、算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), ,乘以自變量的微分乘以自變量的微分. . 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 微分的基本法則微分的基本法則 微分形式的不變性微分形式的不變性的的微微分分形形式式總總是是函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量無無論論)(,xfyx dxxfdy)( 基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)

21、(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arco112! )1(e! ! 21 nnxnnxxxo2mmmmxmmxxxx212153! )2(sin)1(! )12()1( ! 5! 3 o3121242! )12(cos)1(! )2()1( ! 4! 21 mmmmxmmxxx .)0(之之間間與與在在x 常用常用麥克勞林公式：麥克勞林公式：)0(之之間間與與在在x )0(之之間間與與在在

22、x xexsinxcoso4 nxxxxnn 132)1( 32o5nxnnxx! )1()1( ! 2)1(12 .)0(之之間間與與在在x .)1)(1()1( 11 nnnnx ) 1( ! )1()()1(11 nnxxnn 1)(0 .)ln(1x )1(x .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或?yàn)闊o窮大或?yàn)闊o窮大存在存在且且都存在都存在及及點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時時當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)定理定理定義定義 這種在一定條件下

23、通過分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則. .或無窮大其他類型型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或0101 .0000 型型 . 2步驟步驟:步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù) 用洛必達(dá)法則求未定式極限應(yīng)注意什么？用洛必達(dá)法則求未定式極限應(yīng)注意什么？2o. 及時求出已定式的極限及時求出已定式的極限.1o. 需要先驗(yàn)證條件需要先驗(yàn)證條件.求函數(shù)極值和最值求函數(shù)極值和最值求極值的步驟：求極值的步驟：(1) 求函數(shù)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；求

24、函數(shù)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)。改改變變符符號號，則則鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，若若在在00)( )2(xxfx 不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)。否否則則0 x 變變的的符符號號由由時時，漸漸增增地地過過當(dāng)當(dāng))(0 xfxx 變變的的符符號號由由時時，漸漸增增地地過過當(dāng)當(dāng))(0 xfxx;)(0是是極極大大值值xf;)(0是是極極小小值值則則xf),0)(0 xf或或),0)(0 xf或或求求a,b上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù)f (x)的最值的步驟：的最值的步驟：(1) 求函數(shù)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；求函數(shù)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(2) 把把 f (x)在這些點(diǎn)的值與在這些點(diǎn)的值與f (a) ,

25、f (b)比較，最大者為最大值，最小者比較，最大者為最大值，最小者 為最小值。為最小值。注：若連續(xù)函數(shù)注：若連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間 I 內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)。則極大值就是最大值；內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)。則極大值就是最大值； 極小值就是最小值。極小值就是最小值。, xfax )(lim若若.,a xxfx )(lim若若 是是斜斜漸漸近近線線。則則 bxay , baxxfx )(lim是是豎豎直直漸漸近近線線；則則ax 給定函數(shù)給定函數(shù) y = f (x) ,求其豎直漸近線及斜漸近線。求其豎直漸近線及斜漸近線。 . 0 就就是是水水平平漸漸近近線線。），（其其中中，當(dāng)當(dāng) bya .兩者的聯(lián)系與區(qū)

26、別？兩者的聯(lián)系與區(qū)別？2.不定積分不定積分，則則稱稱可可導(dǎo)導(dǎo)，且且內(nèi)內(nèi)若若在在某某區(qū)區(qū)間間)()()(xfxFxFI 的的原原函函數(shù)數(shù)。為為)()(xfxF的的全全體體原原函函數(shù)數(shù)。)(xf聯(lián)絡(luò)：它們的導(dǎo)數(shù)相同，都是聯(lián)絡(luò)：它們的導(dǎo)數(shù)相同，都是 f (x).原函數(shù)是不定積分中的一個函數(shù)。原函數(shù)是不定積分中的一個函數(shù)。區(qū)別：區(qū)別：.)( d)( CxFxxf 記記為為不定積分是函數(shù)族；不定積分是函數(shù)族；1. 原函數(shù)原函數(shù) dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(4.微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常數(shù)數(shù)，

27、)0 k5. 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(3. 原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理任何連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù)。任何連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù)。但是連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)。但是連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)。 xxx xx xx xx xx xxxx xx xx 2 dtansec 7 dcsc 6 dsec5 dcsc4 dsec3 dcot9 dtan 2 dcos8 dsin1 2Cx cosCx sinCx| cos|lnCx| sin|lnCx|x tansec|lnCx|x cotcsc|

28、lnCx tanCx cotCx sec.6. 基本積分公式基本積分公式. . . . 222d 15 d14d13 d12 d11axx axx xax xa xx 222x xxxdcotcsc 10Cx csc 1 111 |ln1 Cx CxCaax lnCaxaxa ln21Cax arcsinCaxa arctan1. xaxxaxxxa axxaxx 22222d 20d 19d18d 17d1622222Caxx )(ln22Caxaxax arcsin22222Caxxaaxx 22222ln22.Caxx 22ln.Caxxaaxx )ln(2222222.（第二換元）（第

29、二換元）（分步積分）（分步積分）（分步積分）（分步積分）（第二換元）（第二換元）（用第二換元法算得）（用第二換元法算得）Cx sh)21( xdxch xdxCx ch)22(sh8 8、第一類換元法、第一類換元法7 7、直接積分法、直接積分法定定理理 1 設(shè)設(shè))(uf具具有有原原函函數(shù)數(shù)，)(xu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則有有換換元元公公式式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式湊微分法）第一類換元公式湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法定積分的方法.;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln.

30、3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常見類型常見類型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 反用第一換元法：反用第一換元法： xxfd)( ttgd)( )(CtG )( tx 令令 xttfd)()( )(1CxG , )()(是是已已知知這這里里tgtG . )()( 1的反函數(shù)的反函數(shù)是是tt .常用的代換有三角代換、雙曲代換、倒代換等，用于：常用的代換有三角代換、雙曲代換、倒代換等，用于：,)d,(22 xxaxR,)d,(22 xxaxR. )d,(22等形式的積分等形式的積分 xax

31、xR是否需要其它的代換，是否需要其它的代換， 具體問題，具體分析。具體問題，具體分析。存存在在并并可可導(dǎo)導(dǎo)，為為保保證證)(1t 的的某某一一區(qū)區(qū)間間在在要要求求 )(tt . 0)( t 單調(diào)、可導(dǎo)且單調(diào)、可導(dǎo)且.9 9、第二類換元法、第二類換元法1010、分部積分法、分部積分法分部積分公式分部積分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 選擇選擇u u的有效方法的有效方法: :(1)(1)反對冪三指反對冪三指L-對數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)； 哪個在前哪個選作哪個在前哪個選作u.(2)LIATE選擇

32、法選擇法四種類型分式的不定積分四種類型分式的不定積分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此兩積分都可積此兩積分都可積,后者有遞推公式后者有遞推公式11 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分可化為有理函數(shù)進(jìn)行積分可化為有理函數(shù)進(jìn)行積分 1 1三角函數(shù)有理式可表為三角函數(shù)有理式可表為 2 2用萬能置換可化為有理函數(shù)的積分，故三角用萬能置換可

33、化為有理函數(shù)的積分，故三角 函數(shù)的有理式都能函數(shù)的有理式都能“積得出來積得出來”.”. 3 3萬能置換萬能置換(sin ,cos )Rxx令 ，那么故tan2xt 2222212sin,cos,dd ,111ttxxxtttt2122221,d11(sin ,cos )d1( )d .tttRtttx xR tttRx 某些無理函數(shù)某些無理函數(shù)有理化有理化1 ,dnaxbR xxcxh 為使其有理化，只需作變換為使其有理化，只需作變換 12(),dd .()nnnnnn ahbc thtbxxtacaxbtcxcthta即即,22 ( ,)dR xaxbxcx 先配方，再作三角代換，即可有理化

34、。定積分定積分和和S總趨于總趨于設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，1.定義定義 baIdxxf)(iinixf )(lim10 .記記,max21nxxx ，也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上的的取取法法，確確定定的的極極限限I，如如果果不不論論對對,ba怎怎樣樣的的分分法法，點(diǎn)點(diǎn)i 怎怎樣樣只只要要當(dāng)當(dāng)0 時時，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的定積分定積分，實(shí)質(zhì): 通過分割,取介點(diǎn),求和,取極限得到的一類特殊和式的極限.是個確定的數(shù).與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān),與積分變量的符號無關(guān). 用定積分的定義求極限用定積分的定義求極限na

35、bnabiafnin 1)(lim niiinxxf1)(lim.d)( baxxf .,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)baxf分分點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為,nabxi .,2 , 1 ni ., ban等等分分基本思想：基本思想：則則每每一一子子區(qū)區(qū)間間長長度度為為 ,)(nabiaxi abixxy0.,2 , 1 ni 時時，當(dāng)當(dāng)1,0 bannifnin1)(lim1 .d)(10 xxf.f (x)2 2、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì) badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)( bc

36、cadxxfdxxf)()(假假設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 則則0)( dxxfba )(ba 性質(zhì)性質(zhì)5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，推論：推論：則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間,ba上至少存在一個點(diǎn)上至少存在一個點(diǎn) ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 (定積分中值定理定積分中值定理)設(shè)設(shè)M及及m分別是函數(shù)分

37、別是函數(shù) 則則 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba性質(zhì)性質(zhì)6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，積分中值公式積分中值公式注：此定理解決積分去掉積分號的問題。注：此定理解決積分去掉積分號的問題。?)( x F)()(xfxF )(d)()(xgattfxgF?)( d)()( )()( xFttfxFxgxh 則則，若若)()()(xgxgfxF )()(xhxhf .有有何何關(guān)關(guān)系系？)( d)()( ) 1xfttfxFxa與?)( xgF (1)關(guān)于積分限為變元的函數(shù)關(guān)于積分限為變元的函數(shù) xattfxFd)()(.)( d)()( )2)(xFttf

38、xFxga 則則若若，)()(xgxgf .3 3、牛頓、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式(2)（微積分基本公式）（微積分基本公式） 如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式4 4、定積分的計(jì)算法、定積分的計(jì)算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式（1換元法換元法（2分部積分法分部積分法分部積分公式分部積分公式 bababavduuvudv (1) 變量代換寫出，要換限；變量代換寫出，要換限； (2) 被積函數(shù)表示式受積分限的

39、制約。被積函數(shù)表示式受積分限的制約。 (3) 不用回代不用回代. 計(jì)算定積分計(jì)算定積分(NL公式）公式）與計(jì)算不定積分的不同之處：與計(jì)算不定積分的不同之處：5 5、定積分應(yīng)用的常用公式、定積分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形ababX型區(qū)域的面積型區(qū)域的面積1)如果圖形為：如果圖形為：,dyc ).()(21yxy )(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx DY 型區(qū)域的面積型區(qū)域的面積21( )( )baAyy dy如果曲邊梯形的曲

40、邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)2) dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形3)(2) 體積體積xdxx xyo2 ( )bxaVf xdx 2 ( )dycVydy xyo)(yx cd2 ( )by kaVf xk dx 2 ( )dx

41、 acVya dy xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為dxxfxVbay| )(|2 柱殼法(3) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長xoyabxdxx dy弧長弧長dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)弧長弧長dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線

42、弧為6.6.若干重要結(jié)果若干重要結(jié)果2200(1)sin d0,cos d0,x xx x2200 sin dcos d1,x xx x0 sin d2;x x 0(2)( )d( )() daaaf xxf xfxx00 ( )2( )d( )af xf xxf x為函數(shù)，為函數(shù)，為函數(shù)；為函數(shù)；奇奇偶偶，3( )f xT是是周周期期為為 的的函函數(shù)數(shù), ,則則（ ）0( )d( )d (),a TTaf xxf xxx R00( )d( )d ();nTTf xxnf xxn +Z22004sindcosdnnx xx x（ ）（ ）(1)!,!(1)!,!2nnnnnn為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)；為偶數(shù)；005(sin )d(sin )d ,2xfxxfxx（ ）200sind2sind ;nnx xx x2+06ed;2xx（ ）7、廣義、廣義(反常反常)積分積分(1)無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散.(2