第六節(jié)高斯公式與散度

1、第六節(jié)第六節(jié) 高斯公式與散度高斯公式與散度一、高斯一、高斯(Gauss)(Gauss)公式公式二、高斯公式的簡單應(yīng)用二、高斯公式的簡單應(yīng)用 三、物理意義三、物理意義 通量與散度通量與散度一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式定定理理 設(shè)設(shè) 為為空空間間有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域， 其其邊邊界界曲曲面面 由由有有限限塊塊光光滑滑或或分分片片光光滑滑的的曲曲面面圍圍成成, ,若若函函數(shù)數(shù)),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , 則則有有公公式式 yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)( (1) 其其中中 + +表表示示 的的邊邊界界曲曲

2、面面的的外外側(cè)側(cè). . 公式公式(1)叫做叫做高斯高斯(Gauss)公式公式.證明證明設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域 在面在面xoy上的投影區(qū)域為上的投影區(qū)域為xyD. .xyzo 由由1 , ,2 和和3 三部分組成三部分組成, , ),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyD根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)三重積分的計算法yxzzRVzRxyDyxzyxzdddd),(),(21 .dd),(,),(,12 xyDyxyxzyxRyxzyxR根據(jù)曲面積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法,dd),(,dd),(11 xyDyxyxzyxRyxzyxR ( (1 取取下下側(cè)側(cè), , 2 取取上上側(cè)

3、側(cè), , 3 取取外外側(cè)側(cè)) ),dd),(,dd),(22 xyDyxyxzyxRyxzyxR ,dd),(,),(,12 xyDyxyxzyxRyxzyxR yxzyxRdd),(于于是是. 0dd),(3 yxzyxR.dd),(d yxzyxRVzR,dd),(d zyzyxPVxP同理同理,dd),(d xzzyxQVyQ yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)(-高斯公式高斯公式合并以上三式得：合并以上三式得：GaussGauss公式的實質(zhì)公式的實質(zhì) 表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系曲面上的曲面積分之間的關(guān)

4、系.d)coscoscos(d)( SRQPVzRyQxP由兩類曲面積分之間的關(guān)系知由兩類曲面積分之間的關(guān)系知這這里里 cos,cos,cos是是 上上點點),(zyx處處的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. . 二、高斯公式的簡單應(yīng)用二、高斯公式的簡單應(yīng)用例例 1 1 計計算算 yxyzxzxyzyzxdddddd， 其其中中 是是 x2 + y2 =1，z =1 及及三三坐坐標(biāo)標(biāo)面面圍圍成成的的第第一一卦卦限限立立體體曲曲面面的的外外側(cè)側(cè)。 . 1 , 1 : , dddddd 22卦限立體曲面的外側(cè)卦限立體曲面的外側(cè)及三坐標(biāo)面所圍的第一及三坐標(biāo)面所圍的第一其中其中求求 zyxyxyzy

5、xxyzyxz 例1例1解解直接利用直接利用Gauss 公式公式記記 所圍立體區(qū)域為所圍立體區(qū)域為 , 則則 zyxyxzddd)(原積分原積分 101020d)sin(cosddzz 10220d21)sin(cosd 20d41)sin(cos31 .832 . 2, 1, , dd 2222邊界的外側(cè)邊界的外側(cè)圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域為為其中其中計算計算 zzyxzyxyxeIz 例2例2解解 zyxyxeIzddd22 222dd1d2221zyxzyxyxze zzze02021ddd 21d2zzez .22e 解法二解法二 zyxyxeIzddd22 1102022020dddddd

6、 zezezz.21)1(222ee . 1 , d3)d(d1)d(d2)d( 222222的內(nèi)側(cè)的內(nèi)側(cè)為為其中其中計算計算 zyxyxzzzyxxxzyy 例3例3解解記記 所圍立體區(qū)域為所圍立體區(qū)域為 , 則則 zyxzyxddd6)(3 222原積分原積分 200104ddsind3rr31346 851223 .552 使用使用Guass公式時應(yīng)注意公式時應(yīng)注意:1 1. . P,Q,R 是是對對什什么么變變量量求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù); ; 2 2. .是是否否滿滿足足高高斯斯公公式式的的條條件件; ;3.3.是取閉曲面的外側(cè)是取閉曲面的外側(cè). . 4 4. .若若不不是是閉閉曲曲面面，可

7、可采采用用補(bǔ)補(bǔ)上上若若干干塊塊曲曲面面 后后使使之之成成為為閉閉曲曲面面，補(bǔ)補(bǔ)上上的的曲曲面面要要與與原原曲曲面面 構(gòu)構(gòu)成成外外側(cè)側(cè)或或內(nèi)內(nèi)側(cè)側(cè). . 例例4 4 計算計算.31,01dd4d)d1(2dd)18(2外外側(cè)側(cè)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的曲曲面面的的軸軸繞繞是是由由曲曲線線其其中中yyxyzyxyzxzyzyyxI 1 xyzo123 解解221:xzy 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為, 3:1 y , 2:22 zxDzx作取右側(cè)的輔助面作取右側(cè)的輔助面則則 1 與與 2為所圍閉區(qū)域為所圍閉區(qū)域 的外側(cè)的外側(cè) , 有有yxyzxzyzyyxIdd4d)d1(2dd)18()(211

8、1 xyzo123 yxyzxzyzyyxIdd4d)d1(2dd)18()(211 zyxddd zxDxzdd)16( 13122dddyzxzxy 216 31d)1(yy 32 2 32 .34 三、物理意義三、物理意義 通量與散度通量與散度設(shè)設(shè)有有向向量量場場 kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),( 1 1、通量、通量( (或流量或流量) )的定義的定義: : yxRxzQzyPSFddddddd稱稱為為向向量量場場),(zyxF向向正正側(cè)側(cè)穿穿過過曲曲面面的的通通量量. . 沿場中某一定向曲面沿場中某一定向曲面的第二類曲面積分為的第二類曲面積分為 2. 2.

9、 散度的定義散度的定義: :kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),( 設(shè)向量場設(shè)向量場高斯公式可寫成高斯公式可寫成 SFVFdddiv稱數(shù)量稱數(shù)量,div),divergence(),(FzyxF記記為為處處的的散散度度在在點點為為),(zyxzRyQxP zRyQxPF div即即. div , )2( 222AkxzjyxizxA求求設(shè)設(shè) 例例1 1.222div2xzyxA . , div 222zyxrr 其其中中求求 例例2 2解解), ,( rzryrxr 322 divrzyr 322 rzx 322 ryx .2r 設(shè)設(shè)有有向向量量場場),(zyxF, ,

10、在在場場內(nèi)內(nèi)作作包包圍圍點點 M 的的閉閉曲曲面面 , , 包包圍圍的的區(qū)區(qū)域域為為 V, ,記記體體積積為為 V. . ),(divddiv1d1*MFVFVSFV .d1內(nèi)的平均源強(qiáng)內(nèi)的平均源強(qiáng)在在稱為稱為 FSFV 由上式得由上式得其中其中,* M)(div)(divlimd1lim*MFMFSFVMM .FM上述極限稱為在點處的源頭強(qiáng)度.,0d,0)(div)1處處有有正正源源在在稱稱有有時時當(dāng)當(dāng)MFSFMF 高斯公式的物理意義高斯公式的物理意義:源頭強(qiáng)度在立體源頭強(qiáng)度在立體 上的三重積分等于單位時間內(nèi)流上的三重積分等于單位時間內(nèi)流體通過體通過 的邊界流向外側(cè)的總流量的邊界流向外側(cè)的總

11、流量. .,)(div為為無無源源場場稱稱在在場場內(nèi)內(nèi)處處處處為為零零如如果果FMF.,0d,0)(div)2處處有有負(fù)負(fù)源源在在稱稱有有時時當(dāng)當(dāng)MFSFMF 四、小結(jié)四、小結(jié) SFVFdddiv（1）應(yīng)用的條件）應(yīng)用的條件（2）物理意義）物理意義2、高斯公式的實質(zhì)、高斯公式的實質(zhì)1、高斯公式、高斯公式 yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)(思考題思考題曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？思考題解答思考題解答曲面應(yīng)是光滑或分片光滑的曲面應(yīng)是光滑或分片光滑的閉閉曲面曲面.一、一、 利用高斯公式計算曲面積分利用高斯公式計算曲面積分: :1 1、d

12、xdyzdzdxydydzx333 , ,其中其中 為球面為球面 2222azyx 外側(cè)；外側(cè)；2 2、 zdxdyydzdxxdydz, ,其中其中 是界于是界于0 z和和 3 z之間的圓柱體之間的圓柱體922 yx的整個表面的外的整個表面的外 側(cè)；側(cè)；3 3、 xzdydz, , 其中其中是上半球面是上半球面 222yxRz 的上側(cè)的上側(cè) . .練習(xí)題練習(xí)題二二、證證明明: :由由封封閉閉曲曲面面所所包包圍圍的的體體積積為為 dszyxV)coscoscos(31 , ,式式中中 cos,cos,cos是是曲曲面面的的外外法法線線的的方方向向余余弦弦 . .三三、求求向向量量kxzjyxizxA22)2( , ,穿穿過過曲曲面面 : :為為立立方方體體ayax 0,0, ,az 0的的全全表表面面, ,流流向向外外側(cè)側(cè)的的通通量量 . .四四、求求向向量量場場kxzjxyieAxy)cos()cos(2 的的散散度度 . .五、設(shè)五、設(shè)),(,),(zyxvzyxu是兩個定義在閉區(qū)域是兩個定義在閉區(qū)域 上的上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù), ,nvnu ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法線方向的方向?qū)У耐夥ň€方向的方向?qū)?shù)數(shù)