復(fù)雜機(jī)電控制第四章

1、第四章 復(fù)雜開(kāi)放系統(tǒng)的自組織理論提綱耗散結(jié)構(gòu)論協(xié)同學(xué)突變論混 沌 學(xué)智能控制與非線性科學(xué) 第四章 復(fù)雜開(kāi)放系統(tǒng)的自組織理論耗散結(jié)構(gòu)論、協(xié)同學(xué)、突變論及混沌理論等非線性科學(xué)，共同揭示了物質(zhì)系統(tǒng)變化過(guò)程中的可逆與不可逆、有序與無(wú)序的矛盾以及這種矛盾相互轉(zhuǎn)化的機(jī)理和條件。同時(shí)也揭示了自然界物質(zhì)系統(tǒng)如何從平衡到不平衡，從對(duì)稱到非對(duì)稱，從穩(wěn)定到不穩(wěn)定的演化和相反演化的規(guī)律。實(shí)際上，對(duì)復(fù)雜對(duì)象（過(guò)程）能進(jìn)行有效控制的智能控制系統(tǒng)是一類復(fù)雜的開(kāi)放系統(tǒng)，本質(zhì)上具有非線性動(dòng)力學(xué)特征。因此，為了深入分析和研究智能控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性及其本質(zhì)，其中包括穩(wěn)定性問(wèn)題，必須借助于復(fù)雜開(kāi)放系統(tǒng)的自組織理論。 本章概要介紹這一

2、理論的基本內(nèi)容。4.1 耗散結(jié)構(gòu)論 耗散結(jié)構(gòu)論是比利時(shí)自由大學(xué)普利高津（J. Prigogine，1917）教授1969年在“理論物理與生物學(xué)”國(guó)際會(huì)議上作的題為“結(jié)構(gòu)、耗散與生命”的報(bào)告中正式提出的。 這一理論由于在以研究具有大量粒子和大量自由度的復(fù)雜系統(tǒng)為對(duì)象的熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)研究的前沿上取得了突破，而獲得了1979年諾貝爾獎(jiǎng)。4.1 耗散結(jié)構(gòu)論 耗散結(jié)構(gòu)理論根據(jù)熱力學(xué)原理，把各種宏觀系統(tǒng)分為孤立系統(tǒng)、封閉系統(tǒng)和開(kāi)放系統(tǒng)。孤立系統(tǒng)：把與外界環(huán)境既沒(méi)有物質(zhì)交換又沒(méi)有能量交換的系統(tǒng)；封閉系統(tǒng)：與外界僅有能量交換而無(wú)物質(zhì)交換的系統(tǒng)；開(kāi)放系統(tǒng)：與外界既有能量交換，又有物質(zhì)交換的系統(tǒng)。4.1 耗散

3、結(jié)構(gòu)論 耗散結(jié)構(gòu)理論研究一個(gè)開(kāi)放系統(tǒng)由混沌向有序轉(zhuǎn)化的機(jī)理、條件和規(guī)律。 定義：一個(gè)遠(yuǎn)離平衡態(tài)的開(kāi)放系統(tǒng)（不論是力學(xué)的、生物的、還是社會(huì)的、經(jīng)濟(jì)的系統(tǒng)），當(dāng)外界條件或系統(tǒng)的某個(gè)參量變化到一定的臨界值時(shí)，通過(guò)漲落發(fā)生突變，即非平衡相變，就有可能從原來(lái)的混沌無(wú)序狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N時(shí)間、空間或功能有序的新?tīng)顟B(tài)。 這種在遠(yuǎn)離平衡非線性區(qū)形成的宏觀有序結(jié)構(gòu)，需要不斷與外界交換物質(zhì)和能量以能形成（或維持）新的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，普利高津把這種需要耗散物質(zhì)和能量的有序結(jié)構(gòu)稱為耗散結(jié)構(gòu)，將系統(tǒng)在一定條件下能自行產(chǎn)生的組織性和相干性稱為自組織現(xiàn)象。 耗散結(jié)構(gòu)論是研究耗散結(jié)構(gòu)的性質(zhì)、穩(wěn)定和演變規(guī)律的科學(xué)，又被稱為非平衡系統(tǒng)的自

4、組織理論。4.1.1 4.1.1 非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念 1. 孤立系統(tǒng)與開(kāi)放系統(tǒng)對(duì)于研究對(duì)象的每一個(gè)系統(tǒng)而言，周圍的環(huán)境稱為外部（環(huán)境），嚴(yán)格地講，任何系統(tǒng)都要受到外界的影響，自然界并不存在真正的孤立系統(tǒng)。封閉系統(tǒng)和開(kāi)放系統(tǒng)都要受到外界的影響，因此，把這兩類系統(tǒng)統(tǒng)稱為開(kāi)放系統(tǒng)，即開(kāi)放系統(tǒng)是泛指受系統(tǒng)之外環(huán)境影響的系統(tǒng)。系統(tǒng)的開(kāi)放性，對(duì)于系統(tǒng)由低級(jí)到高級(jí)的進(jìn)化、自組織及新的功能的產(chǎn)生起著決定性的作用。4.1.1 4.1.1 非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念2. 平衡態(tài)與非平衡態(tài)l一個(gè)孤立系統(tǒng)，初始時(shí)在各個(gè)部位的熱力一個(gè)孤立系統(tǒng)，初始時(shí)在各個(gè)部位

5、的熱力學(xué)參量（溫度、氣體密度等）可能具有不學(xué)參量（溫度、氣體密度等）可能具有不同的值，但這些參量隨時(shí)間變化，最終將同的值，但這些參量隨時(shí)間變化，最終將達(dá)到一種不變的狀態(tài)，或叫達(dá)到一種不變的狀態(tài)，或叫定態(tài)定態(tài)，這種定，這種定態(tài)稱為平衡態(tài)。態(tài)稱為平衡態(tài)。l孤立系統(tǒng)一旦達(dá)到了平衡態(tài)，在不存在外孤立系統(tǒng)一旦達(dá)到了平衡態(tài)，在不存在外界影響的條件下，將永遠(yuǎn)保持這個(gè)狀態(tài)。界影響的條件下，將永遠(yuǎn)保持這個(gè)狀態(tài)。開(kāi)放系統(tǒng)也可能達(dá)到平衡態(tài)。開(kāi)放系統(tǒng)也可能達(dá)到平衡態(tài)。4.1.1 4.1.1 非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念2. 平衡態(tài)與非平衡態(tài) 無(wú)論是孤立系統(tǒng)或開(kāi)放系統(tǒng)的平衡態(tài)都有兩個(gè)重?zé)o論是孤立

6、系統(tǒng)或開(kāi)放系統(tǒng)的平衡態(tài)都有兩個(gè)重要特征：要特征：u一是狀態(tài)參量不再隨時(shí)間變化，即達(dá)到定態(tài)；u二是在定態(tài)系統(tǒng)內(nèi)部不存在物理量的宏觀流動(dòng)。凡不具備以上任何一條件的狀態(tài)，稱為非平衡態(tài)。孤立系統(tǒng)的定態(tài)就是平衡態(tài)，而開(kāi)放系統(tǒng)則有本質(zhì)的區(qū)別，開(kāi)放系統(tǒng)不一定隨時(shí)間朝定態(tài)發(fā)展，即使開(kāi)放系統(tǒng)達(dá)到定態(tài)，也不一定是平衡態(tài)。開(kāi)放系統(tǒng)的演化強(qiáng)烈地依賴于系統(tǒng)的外部條件，它的非平衡態(tài)演化有著豐富的內(nèi)容和多種可能性。4.1.1 4.1.1 非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念3. 對(duì)稱性、有序和無(wú)序自然界的許多事物都具有某種對(duì)稱性，所謂對(duì)稱性是指事物的某種屬性經(jīng)過(guò)一定的變換仍保持不變的性質(zhì)。不同事物之間或事物

7、內(nèi)部各要素之間的關(guān)系具有一定的次序，稱為“序”，“序”又和對(duì)稱性密切相關(guān)。一般說(shuō)來(lái)，系統(tǒng)對(duì)稱性越高有序度越低。所以，有序意味著在某些方面的對(duì)稱性減少，或稱對(duì)稱性破缺。在類似的外部條件下，平衡態(tài)比非平衡態(tài)更“無(wú)序”，具有更多的對(duì)稱性。非平衡態(tài)會(huì)引起對(duì)稱性的破缺或各種“有序”的運(yùn)動(dòng)，而開(kāi)放條件則可能把這種對(duì)稱性破缺維持下來(lái)。4. 熵與不可逆性 為了描述物理系統(tǒng)的熱力學(xué)狀態(tài)，德國(guó)物理學(xué)家克勞休斯和奧地利物理學(xué)家玻爾茲曼從宏觀和微觀兩個(gè)角度以及二者之間的必然聯(lián)系中，定義了熱力學(xué)系統(tǒng)中物理熵的概念。 克勞休斯將熱力學(xué)第二定律表述為： 孤立系統(tǒng)內(nèi)的不可逆過(guò)程總是指向熵增加的方向，故熱力學(xué)第二定律又被稱為熵

8、增原理。它的變化可以直接反映出系統(tǒng)的自發(fā)不可逆過(guò)程的方向。波爾茲曼統(tǒng)計(jì)熵 深刻揭示了系統(tǒng)微觀狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律并直接規(guī)定著系統(tǒng)的宏觀深刻揭示了系統(tǒng)微觀狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律并直接規(guī)定著系統(tǒng)的宏觀特性，其中特性，其中WW是熱力學(xué)系統(tǒng)某一宏觀狀態(tài)所包含的微觀狀態(tài)數(shù)是熱力學(xué)系統(tǒng)某一宏觀狀態(tài)所包含的微觀狀態(tài)數(shù)目，目，K K為系數(shù)。為系數(shù)。lnsKW4.1.1 4.1.1 非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念4. 熵與不可逆性 熵是熱力學(xué)引入的最重要的物理概念，它對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的研究至關(guān)重要。 在熱力學(xué)系統(tǒng)中粒子數(shù)越多，對(duì)稱的均勻分布在排列總數(shù)中所占的比例就越大，把對(duì)應(yīng)于每一宏觀分布的排列數(shù)叫做熱力學(xué)幾

9、率，根據(jù)熱力學(xué)幾率定義熵為 其中 量為玻爾茲曼常數(shù)，等于焦耳/度。不同的宏觀分布具有不同的熱力學(xué)幾率，而均勻分布對(duì)應(yīng)最大的熱力學(xué)幾率稱為最可幾分布，它具有最大熵為 處于非平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)具有較小的熱力學(xué)幾率和熵，它一定要自發(fā)地朝熵增大的方向發(fā)展，直到達(dá)到平衡態(tài)時(shí)最無(wú)序、最混亂，此時(shí)熵也處于最大。因此，熵的大小可作為系統(tǒng)混亂程度的度量。lnskWlnMMskWk4.1.1 4.1.1 非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的基本概念 一個(gè)孤立系統(tǒng)在自發(fā)地從非平衡態(tài)發(fā)展到平衡態(tài)的過(guò)程中，熵要不斷增大，即 其中等號(hào)只有在系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)、熵取得最大值時(shí)才成立。該式稱為孤立系統(tǒng)的熱力學(xué)第二定律表達(dá)式

10、。對(duì)于開(kāi)放系統(tǒng)要考慮系統(tǒng)內(nèi)部熵的產(chǎn)生外，還要考慮系統(tǒng)與外界之間熵的交換，因此，開(kāi)放系統(tǒng)的熱力學(xué)第二定律需要把系統(tǒng)的熵分成兩部分 d 為系統(tǒng)的總熵變，deS為環(huán)境輸入的負(fù)熵流，其中 叫熵流，它可正，可負(fù)，也可為零，它反映了系統(tǒng)與外界之間熵的交換；而 表示系統(tǒng)內(nèi)部熵的產(chǎn)生，它絕不可以為負(fù)，即 或 這就是熱力學(xué)第二定律的普遍數(shù)學(xué)表述。對(duì)孤立系統(tǒng)而言，0ds eidsd sd s0id s edsd sed sid s0ed s s4.1.2 4.1.2 自組織現(xiàn)象自組織現(xiàn)象 無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的微觀粒子（或微觀系統(tǒng)），在某種條件下相互協(xié)同組織成更高級(jí)的運(yùn)動(dòng)形式，這種實(shí)例很多。貝納德對(duì)流就是一個(gè)著名的實(shí)

11、驗(yàn)例子。 一層流體，上下各與一很大的恒溫?zé)嵩窗褰佑|，如圖所示。兩極板間距離h遠(yuǎn)小于板的寬度和長(zhǎng)度。當(dāng)兩板溫度相等 時(shí)，流體處于平衡態(tài)。升高下板溫度，液體內(nèi)就會(huì)形成下高上低的溫度梯度，流體處于非平衡態(tài)。 圖 恒溫?zé)嵩?.1.2 4.1.2 自組織現(xiàn)象自組織現(xiàn)象 由于溫度梯度的存在，熱量不斷從下板通過(guò)液體流向上板，然而只要溫度不大，從宏觀上看整個(gè)液體仍保持靜止。 不斷增大兩板溫差，就把液體不斷增大兩板溫差，就把液體越來(lái)越推向遠(yuǎn)離平衡的狀態(tài)。越來(lái)越推向遠(yuǎn)離平衡的狀態(tài)。當(dāng)溫差增大超過(guò)某一閾值時(shí)，當(dāng)溫差增大超過(guò)某一閾值時(shí)，液體的靜止熱傳導(dǎo)狀態(tài)就會(huì)突液體的靜止熱傳導(dǎo)狀態(tài)就會(huì)突然被打破，代之的是對(duì)流狀態(tài)。然

12、被打破，代之的是對(duì)流狀態(tài)。 下圖中(1)是在豎截剖面上所觀察到的對(duì)流線，下圖中(2)則是對(duì)流狀態(tài)的俯視圖，從中可見(jiàn)到規(guī)則的正六邊形的對(duì)流格子，圖中只畫出其中一部分。4.1.2 4.1.2 自組織現(xiàn)象自組織現(xiàn)象在貝納德對(duì)流中，由于溫差的變大并超過(guò)閾值，無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的微觀粒子相互協(xié)同組織成更高級(jí)的運(yùn)動(dòng)形式。在對(duì)流發(fā)生時(shí)，水平面上產(chǎn)生了對(duì)稱破缺，不同部分的流體具有不同的宏觀流速，而這種不同又是有規(guī)則地組織起來(lái)形成宏觀的有序運(yùn)動(dòng)。不難看出，這種對(duì)稱性破缺是系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)產(chǎn)生的一種自組織現(xiàn)象。貝納德對(duì)流實(shí)驗(yàn)表明，一個(gè)新的高級(jí)的組織是怎樣從原先相對(duì)無(wú)序、對(duì)稱、低組織程度中自發(fā)地產(chǎn)生出來(lái)，為了維持這種自組

13、織必須不斷地對(duì)系統(tǒng)作某種形式的“功”，即不斷地“耗散”能量。4.1.3 4.1.3 穩(wěn)定性與分叉理論穩(wěn)定性與分叉理論 在熱力學(xué)系統(tǒng)中同樣存在穩(wěn)定性的概念。 例如在貝納德對(duì)流實(shí)驗(yàn)中，控制外界條件溫差可以迫使系統(tǒng)從平衡態(tài)連續(xù)地過(guò)渡到穩(wěn)定的非平衡態(tài)，這樣的非平衡定態(tài)與原來(lái)的平衡態(tài)一起，統(tǒng)一地稱為熱力學(xué)分支。 由于外界環(huán)境變化，熱力學(xué)分支失穩(wěn)，而由于外界環(huán)境變化，熱力學(xué)分支失穩(wěn)，而使系統(tǒng)躍遷到耗散結(jié)構(gòu)分支的現(xiàn)象，叫非使系統(tǒng)躍遷到耗散結(jié)構(gòu)分支的現(xiàn)象，叫非平衡相變。平衡相變。4.1.3 4.1.3 穩(wěn)定性與分叉理論穩(wěn)定性與分叉理論4.1.34.1.3耗散結(jié)構(gòu)形成的條件耗散結(jié)構(gòu)形成的條件 熱力學(xué)第二定律和生

14、物進(jìn)化論都描述了自然界中一些普遍現(xiàn)象， 前者指明了從有序到無(wú)序， 后者說(shuō)明了從無(wú)序到有序，耗散結(jié)構(gòu)論將這兩種截然相反的理論統(tǒng)一了起來(lái)。4.1.34.1.3耗散結(jié)構(gòu)形成的條件耗散結(jié)構(gòu)形成的條件1.開(kāi)放系統(tǒng)是形成耗散結(jié)構(gòu)的必要條件。 只有開(kāi)放系統(tǒng)，在通過(guò)與外界交換能量和物質(zhì)的過(guò)程中引入負(fù)熵來(lái)抵消自身內(nèi)部熵的增加，在系統(tǒng)的總熵逐步減少，才能從無(wú)序走向有序。所以，孤立系統(tǒng)絕不會(huì)形成耗散結(jié)構(gòu)。 生物體是典型的耗散結(jié)構(gòu)，它必須進(jìn)行新陳代謝，從外界攝人物質(zhì)和能量，排出代謝物；在貝納德對(duì)流中，上下兩極的溫差導(dǎo)致了液體系統(tǒng)不斷與高、低溫?zé)嵩唇粨Q能量，只要中斷這種交換，對(duì)流也會(huì)隨之停止。4.1.34.1.3耗散結(jié)

15、構(gòu)形成的條件耗散結(jié)構(gòu)形成的條件2. 系統(tǒng)必須是遠(yuǎn)離平衡態(tài)。 耗散結(jié)構(gòu)論指出，熱平衡態(tài)處于熵極大的混亂無(wú)序狀態(tài)，不可能產(chǎn)生新的有序狀態(tài)。系統(tǒng)即使處于近平衡態(tài)并與外界有能量、物質(zhì)交換，其自發(fā)趨勢(shì)也仍是回到平衡態(tài)。系統(tǒng)只有遠(yuǎn)離平衡態(tài)，才有可能形成新的穩(wěn)定有序的結(jié)構(gòu)。在這個(gè)意義上，普利高津得到了“非平衡是有序之源”的結(jié)論。4.1.34.1.3耗散結(jié)構(gòu)形成的條件耗散結(jié)構(gòu)形成的條件 3開(kāi)放系統(tǒng)總是通過(guò)某種突變過(guò)程產(chǎn)生自組織現(xiàn)象，即某種臨界值的存在是伴隨耗散結(jié)構(gòu)形成的重要條件。. 在臨近點(diǎn)附近，控制參數(shù)的微小變化可以從根本上改變系統(tǒng)性質(zhì)的現(xiàn)象叫突變現(xiàn)象。在臨界點(diǎn)附近，系統(tǒng)性質(zhì)發(fā)生突變的現(xiàn)象并非只在非平衡相變

16、中出現(xiàn)。在平衡結(jié)構(gòu)出現(xiàn)時(shí)，同樣會(huì)伴隨有閾值、失穩(wěn)及對(duì)稱性自發(fā)破缺等現(xiàn)象。 4. 正反饋造成熱力學(xué)分支的失穩(wěn)，為耗散結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生提供了條件。 熱力學(xué)分支的穩(wěn)定性取決于這種正反饋與耗散因素的競(jìng)爭(zhēng)。當(dāng)正反饋較弱而后者占優(yōu)勢(shì)時(shí)，熱力學(xué)分支是穩(wěn)定的；反之，原來(lái)的狀態(tài)就要失穩(wěn)。4.1.34.1.3耗散結(jié)構(gòu)形成的條件耗散結(jié)構(gòu)形成的條件 5. 系統(tǒng)內(nèi)各要素間應(yīng)存在非線性相互作用。線性的正反饋可能使熱力學(xué)分支失穩(wěn)，也可能通過(guò)自我復(fù)制產(chǎn)生宏觀序，但它無(wú)法重建出一個(gè)新的穩(wěn)定的態(tài)。在熱力學(xué)分支失穩(wěn)的基礎(chǔ)上，由非線性項(xiàng)可使系統(tǒng)重新穩(wěn)定到新的耗散結(jié)構(gòu)分支上。 4.1.34.1.3耗散結(jié)構(gòu)形成的條件耗散結(jié)構(gòu)形成的條件6. 漲

17、落導(dǎo)致有序。 漲落指的是系統(tǒng)中某個(gè)參量或行為相對(duì)于平均值的偏離。 當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，漲落是一種干擾，系統(tǒng)的抗干擾能力將迫使?jié)q落逐漸衰減，使系統(tǒng)回到原來(lái)的狀態(tài)或軌道。如果系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，漲落有可能被放大為“巨漲落”，使系統(tǒng)從不穩(wěn)定狀態(tài)躍遷到一個(gè)新的有序狀態(tài)。 普利高津認(rèn)為，在耗散結(jié)構(gòu)里，在不穩(wěn)定之后出現(xiàn)的宏觀有序是由增長(zhǎng)最快的漲落決定的。 因此，漲落導(dǎo)致有序。 4.2 協(xié)同學(xué)4.2.1 4.2.1 協(xié)同學(xué)的創(chuàng)立協(xié)同學(xué)的創(chuàng)立 協(xié)同學(xué)(synergetics)是西德斯圖加特大學(xué)理論物理學(xué)教授哈肯（H. Haken，1927）在1970年提出的。 60年代哈肯從事激光理論的研究。他對(duì)激光

18、的形成過(guò)程采用統(tǒng)計(jì)學(xué)和動(dòng)力學(xué)相結(jié)合的研究和分析方法，從而建立了較完整的激光理論。 而激光恰恰是遠(yuǎn)離平衡態(tài)時(shí)所發(fā)生的從無(wú)序到有序的典型現(xiàn)象。一個(gè)固體激光器像一只普通的燈，發(fā)出相位和方向都無(wú)規(guī)則的自然光。當(dāng)光泵功率增大到某一特定的閾值時(shí)，大量激活原子會(huì)同步地發(fā)出同頻率的光波，激光器則發(fā)出相位和方向都整齊一致的單色光激光，光場(chǎng)系統(tǒng)處于非平衡的有序狀態(tài)。一旦光泵強(qiáng)度低于閾值，這種非平衡的有序狀態(tài)就會(huì)崩潰。 哈肯從激光理論出發(fā)，通過(guò)與流體動(dòng)力學(xué)中的貝納德對(duì)流花紋的形成以及天體物理學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科中的典型現(xiàn)象類比分析，發(fā)現(xiàn)了在許多領(lǐng)域存在著類似的非平衡有序結(jié)構(gòu)形成的現(xiàn)象，為創(chuàng)立協(xié)同學(xué)奠定了基礎(chǔ)。 協(xié)同學(xué)是

19、研究系統(tǒng)依靠自組織產(chǎn)生空間結(jié)構(gòu)、時(shí)間結(jié)構(gòu)或是功能結(jié)構(gòu)上自發(fā)形態(tài)的一門橫斷學(xué)科。 協(xié)同學(xué)主要研究復(fù)雜系統(tǒng)宏觀特征的質(zhì)變問(wèn)題。 協(xié)同學(xué)研究對(duì)象是由大量子系統(tǒng)組成的復(fù)雜系統(tǒng)，在一定條件下，由于子系統(tǒng)間相互作用和協(xié)作，這種系統(tǒng)就會(huì)形成有一定功能的自組織結(jié)構(gòu)，在宏觀上便產(chǎn)生了時(shí)間結(jié)構(gòu)，或空間結(jié)構(gòu)，或時(shí)間-空間結(jié)構(gòu)，也就是達(dá)到_r新的有序狀態(tài)。4.2.2 4.2.2 協(xié)同學(xué)的基本內(nèi)容協(xié)同學(xué)的基本內(nèi)容哈肯將具有M個(gè)分量的狀態(tài)向量（序參量）描述的系統(tǒng)方程表示為 （5-2-1）當(dāng)描述連續(xù)介質(zhì)的模式結(jié)構(gòu)時(shí)，分量q，既依賴于時(shí)間，又依賴于空間，即（5-2-2）其中x為空間坐標(biāo)。對(duì)于不同的對(duì)象各分量的含意也不同，例如

20、在流體力學(xué)， 的含意可能是密度 ，速度場(chǎng) ，或是溫度場(chǎng) 。在生物學(xué)中，這些分量可能是細(xì)胞的密度或是神經(jīng)元的激發(fā)率等，將q對(duì)時(shí)間求導(dǎo)記為（5-2-3）在協(xié)同學(xué)中，研究問(wèn)題是將確定性與不確定性結(jié)合起來(lái)，描述開(kāi)放系統(tǒng)有序狀態(tài)的序參量隨時(shí)間演化方程，一般可以表示為（5-2-4）12( ,)Mqq qq( , )jjqqx tdqqdt ( , ) ( , ), , ( )q x tN q x txF tjq( , )x t( , )x t( , )T x t 其中是 序參量，又稱狀態(tài)向量。 是非線性函數(shù)向量驅(qū)動(dòng)力，它依賴于（5-2-4）式左端出現(xiàn)在同一個(gè)或是不同空間上各點(diǎn)的狀態(tài)變量 。 在連續(xù)擴(kuò)展的介

21、質(zhì)中，可能存在擴(kuò)散或波的傳播，因而會(huì)出現(xiàn)微分算子 。 表示控制參數(shù)，如貝納德對(duì)流中的溫差控制等。函數(shù) 表示來(lái)自內(nèi)部或外部的隨機(jī)漲落力。 系統(tǒng)內(nèi)部的隨機(jī)漲落是推動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)變的決定因素。協(xié)同學(xué)中序參量的變化實(shí)際上是指系統(tǒng)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均值的變化。當(dāng)消去了大量慢變量對(duì)序參量的影響后，還存在著序參量偏離平均值的漲落。這種漲落一般對(duì)系統(tǒng)的演化進(jìn)程影響不大，但當(dāng)外部條件達(dá)到閾值時(shí)，系統(tǒng)處于不平衡狀態(tài)，漲落便會(huì)被驟然放大，把系統(tǒng)推進(jìn)到新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)。( /,/,/)xyz qNq( )F t 有些系統(tǒng)同時(shí)存在著幾個(gè)序參量，而每一個(gè)序參量又決定著一種宏觀結(jié)構(gòu)。序參量之間的協(xié)作與競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致最終出現(xiàn)哪一種結(jié)構(gòu)。隨著外

22、界條件的不同，新的有序結(jié)構(gòu)也會(huì)變化。 例如，貝納德花紋在液體上下表面溫差達(dá)到一定閾值時(shí)，呈現(xiàn)六邊形蜂窩狀；而當(dāng)溫度繼續(xù)上升達(dá)到一個(gè)新閾值時(shí)又會(huì)出現(xiàn)滾動(dòng)的卷狀結(jié)構(gòu)。這種序參量之間的協(xié)同合作與競(jìng)爭(zhēng)決定著系統(tǒng)從無(wú)序到有序的演化進(jìn)程。 在有序結(jié)構(gòu)形成的分類中，哈肯采用了突變論的數(shù)學(xué)工具。下面簡(jiǎn)要介紹突變論的基本概念。4.3 突變論4.3.1 4.3.1 突變論的基本概念突變論的基本概念 突變論是一門新興的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支。1972年法國(guó)數(shù)學(xué)家托姆（R. Thom）出版了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學(xué)著作，系統(tǒng)地闡述了突變理論，標(biāo)志著這個(gè)新學(xué)科的誕生。 突變論以不連續(xù)現(xiàn)象為研究對(duì)象，它運(yùn)用拓?fù)鋵W(xué)、奇點(diǎn)理論和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定

23、性等數(shù)學(xué)工具，以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究為基本出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)為突變現(xiàn)象的本質(zhì)是系統(tǒng)（或過(guò)程）從一種穩(wěn)定結(jié)構(gòu)（狀態(tài)）到另一種穩(wěn)定結(jié)構(gòu)(狀態(tài))的躍遷。 突變論用一組參數(shù)描述系統(tǒng)所處的狀態(tài)，即用狀態(tài)空間中的點(diǎn)表示每一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，表明該系統(tǒng)狀態(tài)的某個(gè)函數(shù)取一定的值（如能量取極小，熵取極大等）。當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)從一種穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)，而參數(shù)再略作變化，將使處于不穩(wěn)定狀態(tài)的系統(tǒng)進(jìn)入另一穩(wěn)定狀態(tài)，從而狀態(tài)發(fā)生了突變。突變現(xiàn)象是一種由量變到質(zhì)變的飛躍，因此，突變理論的本質(zhì)就是揭示事物質(zhì)變方式是如何依賴條件變化的。 托姆通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出自然界的各種突變共有七種基本方式的結(jié)論，它們

24、分別被稱為折線型、尖角型、燕尾型、蝴蝶型、雙曲型、橢圓型和拋物型。4.3.24.3.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般概念系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般概念 穩(wěn)定性的概念在日常生活中人們非常熟悉，一根筷子橫放在桌子上十分穩(wěn)定，豎直立起來(lái)就非常不穩(wěn)定。然而，雜技演員卻能讓一支筷子穩(wěn)穩(wěn)地立在指尖上眾所周知，在控制領(lǐng)域中倒立擺的平衡控制是一個(gè)典型控制難題?？墒牵捎媚：刂品椒▍s將帶有動(dòng)態(tài)干擾的倒立擺系統(tǒng)的平衡控制得很好，其中干擾的兩個(gè)例子，一個(gè)是懸在倒立擺上盛有酒的酒杯，另一個(gè)是懸在倒立擺的盤子里有只不停運(yùn)動(dòng)的老鼠。穩(wěn)定性是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的首要問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，按某一定規(guī)律運(yùn)行的系統(tǒng)，在受到系統(tǒng)外部或內(nèi)部的干擾使系統(tǒng)偏離平衡狀態(tài)時(shí)，系

25、統(tǒng)能否消除干擾而恢復(fù)到原規(guī)律的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這就是所謂系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性（或稱動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性）問(wèn)題。除了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性概念外，還有系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和軌道穩(wěn)定性概念。人造設(shè)備等的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性又稱可靠性，當(dāng)研究自然界的物質(zhì)系統(tǒng)時(shí)，外界環(huán)境、實(shí)驗(yàn)設(shè)備等已知條件的穩(wěn)定性都屬于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性范疇。應(yīng)該指出，描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)微分方程描述工具的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的一個(gè)組成部分。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性不能滿足時(shí)，系統(tǒng)也是不穩(wěn)定態(tài)。因此，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)要同時(shí)滿足動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。 所謂軌道穩(wěn)定性實(shí)際上是動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的拓寬，即由一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的穩(wěn)定性，拓寬為一類運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的穩(wěn)定性。軌道穩(wěn)定性是指在不限定時(shí)間、速度的條件下，保持穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)軌道的穩(wěn)

26、定性。例如，人造衛(wèi)星或航天飛機(jī)飛行時(shí)，在受到干擾后恢復(fù)與保持預(yù)定運(yùn)行軌道的能力就屬于這種穩(wěn)定性。須指出，軌道穩(wěn)定性的軌道不一定都是現(xiàn)實(shí)空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡，軌道一般泛指狀態(tài)空間中狀態(tài)點(diǎn)的軌跡。 一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)總的發(fā)展趨勢(shì)不外乎三種基本形式：一是系統(tǒng)處于一種穩(wěn)定結(jié)構(gòu)；二是系統(tǒng)發(fā)生振蕩或崩潰；三是系統(tǒng)從一種穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)向另一種穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)演化。要使整個(gè)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)，必須使系統(tǒng)的每一個(gè)子系統(tǒng)都處于穩(wěn)定態(tài)，它們的相互作用保持著各自的穩(wěn)定。 幾乎所有的穩(wěn)定系統(tǒng)，在一定條件下都可以轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)和振蕩。子系統(tǒng)以正反饋這種方式相互作用，就會(huì)使系統(tǒng)不穩(wěn)定，而負(fù)反饋則是使系統(tǒng)趨向穩(wěn)定的作用方式。一般來(lái)說(shuō)，那些相互作用過(guò)分強(qiáng)烈

27、的子系統(tǒng)往往會(huì)發(fā)生振蕩。因此，可以通過(guò)改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)來(lái)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。了解系統(tǒng)變化中的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)，在控制系統(tǒng)時(shí)，可以更好地利用它、改造它、使動(dòng)態(tài)系統(tǒng)向期望的方向發(fā)展。 突變理論實(shí)際上是微分方程穩(wěn)定性理論的深入和發(fā)展。微分方程穩(wěn)定性理論在于判斷一定結(jié)構(gòu)條件（結(jié)構(gòu)狀態(tài)）下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的穩(wěn)定性。突變理論用狀態(tài)空間中的點(diǎn)表示每一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，以結(jié)構(gòu)狀態(tài)空間為自變量變化域，以每一結(jié)構(gòu)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)為因變量，可以得出系統(tǒng)穩(wěn)定態(tài)對(duì)于結(jié)構(gòu)狀態(tài)變化的超曲面，由此超曲面可以確定在任何結(jié)構(gòu)狀態(tài)下，系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變。因此，突變理論是在結(jié)構(gòu)狀態(tài)變動(dòng)的情況下，重點(diǎn)研究系統(tǒng)穩(wěn)定態(tài)的變化及其突變形式的變化規(guī)律?？梢哉J(rèn)為，突變理

28、論的出發(fā)點(diǎn)是控制論中有關(guān)系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題。 智能控制系統(tǒng)本質(zhì)上是復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，為了對(duì)復(fù)雜對(duì)象進(jìn)行有效控制，智能控制器不僅控制參數(shù)，而且其結(jié)構(gòu)都能根據(jù)動(dòng)態(tài)特性需要自適應(yīng)地改變。研究這樣的智能控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，突變論無(wú)疑是有用的工具。第四節(jié) 混 沌 學(xué) 混沌科學(xué)創(chuàng)立于70年代，1977年在意大利召開(kāi)的第一次國(guó)際混沌會(huì)議標(biāo)志著它的誕生。80年代，混沌科學(xué)獲得了進(jìn)一步發(fā)展。表現(xiàn)在學(xué)術(shù)會(huì)議增多，出版多種混沌雜志和著作。 進(jìn)入90年代，混沌科學(xué)得到了廣泛的應(yīng)用，涉及到生物、醫(yī)學(xué)、信息、氣象、經(jīng)濟(jì)及文藝等眾多領(lǐng)域。日本三洋電機(jī)公司在1992年率先開(kāi)發(fā)出混沌控制煤油暖風(fēng)器，日本東京大學(xué)合原一幸副教授等人

29、研制的混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)IC化獲得成功，為研制混沌神經(jīng)計(jì)算機(jī)奠定了基礎(chǔ)。 目前，混沌科學(xué)已成為繼模糊邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之后，并與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊邏輯相互交叉和融合進(jìn)行智能模擬和智能信息處理的強(qiáng)有力工具。1混沌現(xiàn)象與混沌學(xué)混沌一詞的英文為Chaos，意思是混亂，紊亂。在我國(guó)傳說(shuō)中指宇宙形成以前模糊一團(tuán)的無(wú)秩序景象。然而現(xiàn)代科學(xué)中的混沌，已不同于以往人們想象那樣一片混亂、無(wú)秩序狀態(tài)，而是指那些不具備周期性和對(duì)稱性特征的有序狀態(tài)。混沌已被物理學(xué)家看作是物理學(xué)第三次革命。今天的科學(xué)認(rèn)為，混沌現(xiàn)象到處可見(jiàn)。如蒸籠冒著熱氣的運(yùn)動(dòng)，大氣中的湍流，漂浮在水面上五彩斑斕變化莫測(cè)的油膜花漾等都可以出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，幾乎可以認(rèn)為，

30、自然界存在的絕大部分運(yùn)動(dòng)都是混沌運(yùn)動(dòng)，規(guī)則運(yùn)動(dòng)相對(duì)地只在局部的范圍和較短的時(shí)間內(nèi)存在。我們周圍的世界存在著各種各樣的耗散結(jié)構(gòu)，開(kāi)放系統(tǒng)的最簡(jiǎn)單的耗散結(jié)構(gòu)是由極限環(huán)描述的周期運(yùn)動(dòng)。對(duì)于具有耗散結(jié)構(gòu)的開(kāi)放系統(tǒng)，當(dāng)非線性進(jìn)一步增強(qiáng)時(shí)，一般都會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上在任何領(lǐng)域中，當(dāng)非線性足夠強(qiáng)時(shí)，都會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。在學(xué)術(shù)上，混沌是指在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的無(wú)規(guī)則性或不規(guī)則性。混沌運(yùn)動(dòng)是確定性系統(tǒng)中局限于有限相空間的高度不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)。所謂軌道高度不穩(wěn)定，是指鄰近的軌道隨時(shí)間的發(fā)展會(huì)指數(shù)的分離。由于這種不穩(wěn)定性，系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間行為會(huì)顯示出某種混亂性。 混沌學(xué)(Scientifical chaos)一詞是為了表示確

31、定性非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所表現(xiàn)出來(lái)的復(fù)雜行為而使用的一個(gè)術(shù)語(yǔ)。在這個(gè)意義上講，混沌學(xué)是研究確定性非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所表現(xiàn)出來(lái)的具有無(wú)規(guī)則性復(fù)雜行為混沌運(yùn)動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)，它屬于非線性科學(xué)的重要組成部分。 混沌學(xué)正在和許多學(xué)科領(lǐng)域相結(jié)合，產(chǎn)生了新的邊緣學(xué)科，如混沌圖像處理、混沌醫(yī)學(xué)、混沌控制、混沌預(yù)測(cè)、混沌藝術(shù)等。2混沌的基本特性(性態(tài))混沌具有下述特性：（1）軌道不穩(wěn)定性(非周期性)l 對(duì)某些參量值，在幾乎所有的初始條件下，都將產(chǎn)生非周對(duì)某些參量值，在幾乎所有的初始條件下，都將產(chǎn)生非周期性動(dòng)力學(xué)過(guò)程，即混沌運(yùn)動(dòng)具有軌道不穩(wěn)定性。期性動(dòng)力學(xué)過(guò)程，即混沌運(yùn)動(dòng)具有軌道不穩(wěn)定性。l 正如普里高津所指出，非線

32、性動(dòng)力學(xué)特性，它在適當(dāng)?shù)募s正如普里高津所指出，非線性動(dòng)力學(xué)特性，它在適當(dāng)?shù)募s束下導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定性和分叉現(xiàn)象。束下導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定性和分叉現(xiàn)象。（2）對(duì)初始條件的敏感依賴性 隨著時(shí)間的推移，任意靠近的各個(gè)初始條件將表現(xiàn)出各自獨(dú)立的時(shí)間演化，即存在對(duì)初始條件的敏感依賴性。 美國(guó)麻省理工學(xué)院氣象學(xué)家洛倫茲(ELorenz)發(fā)現(xiàn)，如果模擬大氣動(dòng)力學(xué)特性的微分方程的解確實(shí)是混沌的，那么就不可能進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)期的天氣預(yù)報(bào)，因?yàn)橐粋€(gè)任意小的擾動(dòng)，尤如蝴蝶翅膀的振動(dòng)，都有可能在將來(lái)某個(gè)時(shí)候改變地球另一邊的天氣。 這就是著名的蝴蝶效應(yīng)，它常用作說(shuō)明混沌作用的一個(gè)形象例證。2混沌的基本特性(性態(tài))（3）長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性

33、 由于初始條件僅限于某個(gè)有限精度，而初始條件的微小差異可能對(duì)以后的時(shí)間演化產(chǎn)生巨大的影響，因此不可能長(zhǎng)期預(yù)測(cè)將來(lái)某一時(shí)刻之外的動(dòng)力學(xué)特性。 即混沌系統(tǒng)的長(zhǎng)期演化行為是不可預(yù)測(cè)的。（4）具有分形的性質(zhì) 分形（Fractal）這個(gè)詞是由曼德布羅特(BBMandelbrot)在70年代創(chuàng)立分形幾何學(xué)時(shí)所使用的一個(gè)新詞。 分形幾何是以非規(guī)則幾何形狀為研究對(duì)象的幾何學(xué)。所謂分形是指維空間一個(gè)點(diǎn)集的一種幾何性質(zhì)，它們具有無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu)，在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質(zhì)，具有小于所在空間維數(shù)的非整數(shù)維數(shù)，這種點(diǎn)集叫分形體。 分維就是用非整數(shù)維分?jǐn)?shù)維來(lái)定量地描述分形的基本特性。 分形集就是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中

34、那些不穩(wěn)定軌跡的初始點(diǎn)的集合，因此，混沌吸引子就是分形集。3 復(fù)雜系統(tǒng)的自相似過(guò)程 分形（分形（FractalFractal）源于拉丁文形容詞）源于拉丁文形容詞fractusfractus，本意是不規(guī)則，本意是不規(guī)則的、破碎的、分?jǐn)?shù)的。分形莉莉的創(chuàng)始人曼德布羅特認(rèn)為：的、破碎的、分?jǐn)?shù)的。分形莉莉的創(chuàng)始人曼德布羅特認(rèn)為：“分形是非線性變換下的不變性分形是非線性變換下的不變性”。非線性科學(xué)家郝柏林教。非線性科學(xué)家郝柏林教授也認(rèn)為，復(fù)雜性的根源是非線性。研究復(fù)雜性的問(wèn)題離不授也認(rèn)為，復(fù)雜性的根源是非線性。研究復(fù)雜性的問(wèn)題離不開(kāi)分析性科學(xué)。多數(shù)非線性問(wèn)題有其外在的幾何表現(xiàn)或內(nèi)在開(kāi)分析性科學(xué)。多數(shù)非線性

35、問(wèn)題有其外在的幾何表現(xiàn)或內(nèi)在的幾何表示，這里的幾何學(xué)在理想情況下市具有非整數(shù)位數(shù)的幾何表示，這里的幾何學(xué)在理想情況下市具有非整數(shù)位數(shù)的分析幾何學(xué)。的分析幾何學(xué)。 分形方法自分形方法自1967年問(wèn)世以來(lái)，雖然只有短短幾十年的歷史，年問(wèn)世以來(lái)，雖然只有短短幾十年的歷史，然而已在一些領(lǐng)域獲得成應(yīng)用，它被用來(lái)揭示復(fù)雜現(xiàn)象巾深然而已在一些領(lǐng)域獲得成應(yīng)用，它被用來(lái)揭示復(fù)雜現(xiàn)象巾深藏的有組織結(jié)構(gòu)。藏的有組織結(jié)構(gòu)。 許多科學(xué)家預(yù)言，在許多科學(xué)家預(yù)言，在21世紀(jì)之中，無(wú)論是自然科學(xué)領(lǐng)域還是世紀(jì)之中，無(wú)論是自然科學(xué)領(lǐng)域還是社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，應(yīng)用分形方法都將取得重大成果。復(fù)雜性的社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，應(yīng)用分形方法都將取得重大成

36、果。復(fù)雜性的根源是非線性，存在于工程、管理、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的復(fù)雜的難解根源是非線性，存在于工程、管理、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的復(fù)雜的難解問(wèn)題大多數(shù)屬于非線性問(wèn)題，研究復(fù)雜件的問(wèn)題都不開(kāi)非線問(wèn)題大多數(shù)屬于非線性問(wèn)題，研究復(fù)雜件的問(wèn)題都不開(kāi)非線性科學(xué)。性科學(xué)。 多數(shù)非線性問(wèn)題有其外在的幾何表現(xiàn)或內(nèi)在的幾何表示：這多數(shù)非線性問(wèn)題有其外在的幾何表現(xiàn)或內(nèi)在的幾何表示：這里的幾何學(xué)在理想情況下是具有非整數(shù)維數(shù)的分形集合學(xué)。里的幾何學(xué)在理想情況下是具有非整數(shù)維數(shù)的分形集合學(xué)。 1 ） 什么是自相似l 當(dāng)一個(gè)物體的一部分放大后看起來(lái)仍與整個(gè)物體一樣，那這個(gè)物體就是自相似。某一圖形的每個(gè)特征都按同一比例縮小或放大，任何一個(gè)到相片洗

37、印店放大過(guò)相片的人都很熟悉。l 描述部分和整體之間這種相似件的一個(gè)更具體的專門術(shù)語(yǔ)是“自類同”(self affinity)。自然界中存在著許多具有白相似特征購(gòu)現(xiàn)象。 自然界中許多植物具有自相似持性。 例如，右圖211足一枝躍類植物仔細(xì)觀察，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它的每個(gè)枝權(quán)都在外形上和整體相同，僅僅在尺寸上小一 些。而枝杈的枝杈也和整體相同，只是變得更加小了。 用分形理論得到的圖212所示的分形植物，其枝杈是整個(gè)植物的小版本而枝權(quán)的枝杈則是更小的版本c許多著名的分形圖形都能展現(xiàn)這種自相似性。 1 ） 什么是自相似 又如圖又如圖2-1-32-1-3所示的所示的SierpinskiSierpinski三角形。

38、在三角形。在SierpinskiSierpinski三角形中每個(gè)小三角形郁是大三角形中每個(gè)小三角形郁是大三角形的更小版本。這種特件習(xí)以無(wú)限地持續(xù)下去。另一個(gè)著名的分形圖形是圖三角形的更小版本。這種特件習(xí)以無(wú)限地持續(xù)下去。另一個(gè)著名的分形圖形是圖2-l 2-l -4-4所示的所示的KohnKohn雪花它像雪花它像SierpinskiSierpinski一樣，表現(xiàn)出完全的自相似的持件。一樣，表現(xiàn)出完全的自相似的持件。 但是，這里的白相似體現(xiàn)在每一個(gè)邊都是由它的更小版本組成，而整個(gè)圖形并沒(méi)有但是，這里的白相似體現(xiàn)在每一個(gè)邊都是由它的更小版本組成，而整個(gè)圖形并沒(méi)有重復(fù)。也就是說(shuō)，這時(shí)的自相似的實(shí)質(zhì)應(yīng)該

39、是某一個(gè)部分在其他地方的重復(fù)出現(xiàn)。重復(fù)。也就是說(shuō)，這時(shí)的自相似的實(shí)質(zhì)應(yīng)該是某一個(gè)部分在其他地方的重復(fù)出現(xiàn)。 人體的循環(huán)系統(tǒng)，也是自然界中自相似的好例子。從最大的動(dòng)脈和靜脈分支知道最人體的循環(huán)系統(tǒng)，也是自然界中自相似的好例子。從最大的動(dòng)脈和靜脈分支知道最小的微血管，整個(gè)過(guò)程都顯現(xiàn)相同的分支模式。涂過(guò)你不知道的正確使用顯微鏡，小的微血管，整個(gè)過(guò)程都顯現(xiàn)相同的分支模式。涂過(guò)你不知道的正確使用顯微鏡，將無(wú)法分辨微血管和大動(dòng)脈。將無(wú)法分辨微血管和大動(dòng)脈。 自然界中，有許多景物都在某種程度上存在這種自相似性，即它們中的一個(gè)部分和自然界中，有許多景物都在某種程度上存在這種自相似性，即它們中的一個(gè)部分和它的整

40、體或者其他部分都十分形似。例如，它的整體或者其他部分都十分形似。例如，l 地形屬于自相似范疇。地形屬于自相似范疇。l 手掌上的碎巖鋸齒狀邊緣與遠(yuǎn)程地平線邊的山脊有相同的不規(guī)則形狀。手掌上的碎巖鋸齒狀邊緣與遠(yuǎn)程地平線邊的山脊有相同的不規(guī)則形狀。l 在道在道瓊斯指數(shù)中，某一個(gè)階段的曲線圖總和另外一個(gè)更長(zhǎng)的階段的曲線圖極為相似。瓊斯指數(shù)中，某一個(gè)階段的曲線圖總和另外一個(gè)更長(zhǎng)的階段的曲線圖極為相似。 這使我們可以用分形來(lái)生成地形，不管顯示時(shí)怎么放大，它看起來(lái)任然像地面。這使我們可以用分形來(lái)生成地形，不管顯示時(shí)怎么放大，它看起來(lái)任然像地面。 1 ） 什么是自相似l 客觀事物有它自己的特征長(zhǎng)度，要用恰當(dāng)?shù)?/p>

41、尺度去測(cè)量。用尺來(lái)測(cè)量萬(wàn)里長(zhǎng)城，嫌太短；l 用尺來(lái)測(cè)量大腸桿菌，又嫌太長(zhǎng)，從而產(chǎn)生了特征長(zhǎng)度。還有的事物沒(méi)有特征尺度，就必須同時(shí)考慮從小到大的許許多多尺度(或者叫標(biāo)度)，這叫做“無(wú)標(biāo)度性”的問(wèn)題。 為此，為此，19671967年法國(guó)數(shù)學(xué)家年法國(guó)數(shù)學(xué)家B BB BMandelbrotMandelbrot提出了提出了“英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)? ?”的問(wèn)題。的問(wèn)題。 利用自相似原理解決復(fù)雜形態(tài)海岸線的測(cè)量問(wèn)題。因?yàn)椋０毒€的測(cè)量問(wèn)題，其長(zhǎng)度依賴于測(cè)量單位。若以1km為單位測(cè)量海岸線，得到的近似長(zhǎng)度將短于1km的迂回曲折都忽略悼了；若以1m為單位測(cè)量，則能測(cè)出被忽略掉的遼回曲折，長(zhǎng)度將變

42、大，測(cè)景單位進(jìn)一步變小測(cè)得的長(zhǎng)度將愈來(lái)愈大，這些愈來(lái)愈大的長(zhǎng)度將趨近于一個(gè)確定位，這個(gè)極限值就是海岸線的長(zhǎng)度。 但曼德勃羅(B.B.Mandelbrot)發(fā)現(xiàn)：由于海岸線的極不規(guī)則和極不光滑，當(dāng)測(cè)量單位變小時(shí)，所得的長(zhǎng)度是無(wú)限增大的。因此，海岸線的長(zhǎng)度是不確定的。1 什么是自相似 經(jīng)典幾何研究規(guī)則圖形，平面解析幾何研究次和二次曲線，微分幾何研究光滑的曲線和曲面，傳統(tǒng)上將自然界大量存在的不規(guī)則形體規(guī)則化再進(jìn)行處理，我們將海岸線折線化得出一個(gè)有意義的長(zhǎng)度。曼德勃羅(BBMandelb rot)突破了這一點(diǎn)。 長(zhǎng)度也許已不能正確概括海岸線這類不規(guī)則圖形的特征。 海岸線雖然很復(fù)雜，卻有一個(gè)重要的件質(zhì)自

43、相似性。從不同比例尺的地形圖上，我們可以看出海岸線的形狀大體相同，其曲折、復(fù)雜程度是相似的。換言之，海岸線的任一小部分都包含與整體相同的相似的細(xì)節(jié)。 在物理學(xué)中，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣小的渦流，都是十分紊亂的流體運(yùn)動(dòng)。流體宏觀運(yùn)動(dòng)的能量，經(jīng)過(guò)大、中、小、微等許許多多尺度上的游渦，最后轉(zhuǎn)化成分子尺度上的熱運(yùn)動(dòng)，同時(shí)涉及大量不同尺度上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就要借助“無(wú)標(biāo)度性”分形幾何，解決湍流中高漩渦區(qū)域問(wèn)題。 從以上簡(jiǎn)單的例子，我們說(shuō)自相似性就是局部與整體相似，局部中又有相似的局部，每一小局部中包含的細(xì)節(jié)并不比整體所包含的少，不斷重復(fù)的無(wú)窮嵌套，形成了奇妙的分形圖案，它

44、不但包括嚴(yán)格的幾何相似性，而且包括通過(guò)大量的統(tǒng)計(jì)而呈現(xiàn)出的自相似性。2）.自相似的模擬 在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認(rèn)為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。分形理論把維數(shù)視為分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混池吸引子等理論時(shí)需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度。 1919年，數(shù)學(xué)家從測(cè)度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。 分維的概念我們可以從兩方面建立起來(lái)：一方面，我們首先畫一個(gè)線段、正方形和立方休，它們的邊長(zhǎng)都是1。 將它們的邊

45、長(zhǎng)二等分，此時(shí)，原圖地線度縮小為原來(lái)的1/2，而將原圖等分為若干個(gè)相似的圖形。其線段、正方形、立方體分別被等分為21、22和23個(gè)相似的子圖形其中的指數(shù)1，2，3，正好等于與圖形相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)維數(shù)。2）.自相似的模擬 一般說(shuō)來(lái)，如果某圖形是出把原因縮小為1/a的相似的b個(gè)圖形所組成，有下式的關(guān)系成立：log/ logDabDba則指數(shù)D稱為相似性維數(shù)，D可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。2）.自相似的模擬 另一方面。當(dāng)我們畫根直線，如果我們用0維的點(diǎn)來(lái)量它，其結(jié)果為無(wú)窮大，因?yàn)橹本€中包含無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)；如果我們用一塊平面來(lái)量它，其結(jié)果是0，因?yàn)橹本€中不包含平面。 那么，用怎樣的尺度來(lái)量它才會(huì)得到有限值呢那么，

46、用怎樣的尺度來(lái)量它才會(huì)得到有限值呢?看來(lái)只有看來(lái)只有用與其向維數(shù)的小線段來(lái)量它才會(huì)得到有限值而這里直用與其向維數(shù)的小線段來(lái)量它才會(huì)得到有限值而這里直線的維數(shù)為線的維數(shù)為1(大于大于0、小于、小于2）。）。 與此類似如果我們畫一個(gè)Koch曲線，其整體是一條無(wú)限長(zhǎng)的線折疊而成，顯然。用小直線段度量其結(jié)果是無(wú)窮大，而用平面量，其結(jié)果是()(此曲線小不包含平面)，那么只有找一個(gè)與Kouch小曲線維數(shù)相同的尺子度量它才會(huì)得到有限值而這個(gè)維數(shù)顯然大丁1、小于2，那么只能是小數(shù)(即分?jǐn)?shù))了所以存在分維，其實(shí)Koch曲線的維數(shù)是12618 。 3）.分形幾何的特征 分形幾何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的

47、層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形慫、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，稱為自相似性。 例如一塊磁鐵中的每一部分都保整體一樣具有南北兩極不斷例如一塊磁鐵中的每一部分都保整體一樣具有南北兩極不斷分割下之，每一部分都具有和整體一樣的特性?？陀^自然中許多分割下之，每一部分都具有和整體一樣的特性?？陀^自然中許多事物。具有自相似的事物。具有自相似的“層次層次”結(jié)構(gòu)。在理想情況下，甚至具有無(wú)結(jié)構(gòu)。在理想情況下，甚至具有無(wú)窮層次。適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小幾何尺小，整個(gè)結(jié)構(gòu)并不改變，不少窮層次。適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小幾何尺小，整個(gè)結(jié)構(gòu)并不改變，不少?gòu)?fù)雜的物理現(xiàn)象，背后就是反映著這類層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)。復(fù)雜的物理現(xiàn)象

48、，背后就是反映著這類層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)。 經(jīng)典維數(shù)都是整數(shù)：點(diǎn)是零維、線是一維、面是二維、體是三維。經(jīng)典維數(shù)都是整數(shù)：點(diǎn)是零維、線是一維、面是二維、體是三維。而分形維數(shù)可以取分?jǐn)?shù)，簡(jiǎn)稱分維。而分形維數(shù)可以取分?jǐn)?shù)，簡(jiǎn)稱分維。 例如，海岸線的分維數(shù)例如，海岸線的分維數(shù)D值可以取為值可以取為1.02，125等。曼德勃羅等。曼德勃羅是想用此詞來(lái)描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的是想用此詞來(lái)描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的大類復(fù)雜無(wú)規(guī)則的幾何對(duì)象。大類復(fù)雜無(wú)規(guī)則的幾何對(duì)象。 例如彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈粗糙不堪的斷面，變幻太常的浮云，九曲回腸的樹流，縱橫交錯(cuò)的血管令人眼花繚亂

49、的滿天繁星等。 它們的特點(diǎn)是：極不規(guī)則或極不光滑。直觀而粗略地說(shuō)，這些對(duì)象都是分形。外形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有以下特點(diǎn)：(1)從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。例如，海岸援和山川形狀，從遠(yuǎn)距離觀察，其形狀是極不規(guī)則的。(2)在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀從近距離觀察其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。 當(dāng)然，也有些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來(lái)描述般隨機(jī)現(xiàn)象的，還有一些是用來(lái)描述混鈍和非線性系統(tǒng)的。這些自相似性不僅是這類分形的性質(zhì)，實(shí)際上可以用來(lái)作為它們的定義。 Kohn雪花和Sierplnski三角形也是比較典型

50、的分形圖形，它們都具有嚴(yán)格的自相似特性。 這些自然現(xiàn)象，特別是物理現(xiàn)象和分形有著密切的關(guān)系，銀河這些自然現(xiàn)象，特別是物理現(xiàn)象和分形有著密切的關(guān)系，銀河系中的若斷若續(xù)的星體分布，就具由分維的吸引子。多孔介質(zhì)系中的若斷若續(xù)的星體分布，就具由分維的吸引子。多孔介質(zhì)中的流體運(yùn)動(dòng)和它產(chǎn)生的滲流模型，都是分形的研究對(duì)象。中的流體運(yùn)動(dòng)和它產(chǎn)生的滲流模型，都是分形的研究對(duì)象。 嚴(yán)格地而且正式去定義分形是嚴(yán)格地而且正式去定義分形是件非常復(fù)雜而且困難的事情。最為流行的件非常復(fù)雜而且困難的事情。最為流行的 一個(gè)定義是：外形是一種只有自相似特性的現(xiàn)象、圖像或者物理過(guò)程。即一個(gè)定義是：外形是一種只有自相似特性的現(xiàn)象、圖

51、像或者物理過(guò)程。即分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似：分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似： 1 自相似性 分形最明顯的特征是自相似件。例如圖212所示的分形植物、圖213所示的Sierpnski三角形、圖214所爾的Kohn雪花都是比較典型的分形圖形，它們都具有嚴(yán)格的自相似特性c 2無(wú)限精細(xì)和無(wú)限復(fù)雜性圖2-1-2所示的這張?jiān)虑虮砻娴恼掌彩怯梅中渭夹g(shù)生成的。如果你把照片放大觀看，也可以看到更加細(xì)致的東西。因?yàn)榉中文軌虮３肿匀晃矬w無(wú)限細(xì)致的特性，所以無(wú)論你怎么放大，最終，還是可以看見(jiàn)清晰的細(xì)節(jié)。另外，分形的正式定義是依據(jù)分維(分?jǐn)?shù)維)來(lái)判斷的。因?yàn)榉志S的概念復(fù)雜性以及其構(gòu)成結(jié)果的復(fù)

52、雜性(見(jiàn)圖216)決定了其無(wú)限復(fù)雜性的特征。4）.分維的計(jì)算我們生活在一個(gè)具有長(zhǎng)度、寬度和深度的三維世界里。你可能知道：一個(gè)平面是二維的，一條直線是一維的，而一個(gè)點(diǎn)呢？零維的!我們能夠想象具有類似維數(shù)的任何物體；但是，你能想象一個(gè)具有分?jǐn)?shù)維(分維)的物體嗎? 假如你把條直線分為N段，那么，你就有了原始直線的N個(gè)更小的版本，每一個(gè)都按照一個(gè)比例系數(shù)r減小，在這里Nr1。對(duì)一個(gè)正方形來(lái)說(shuō)，也分成幾個(gè)小的正方形，也讓每一正方形的每邊的縮放比例為r。注意，這個(gè)時(shí)候N和r的關(guān)系是 。總之，假設(shè)你把個(gè)d維物體分為N等份,每一份的縮放比例是r，二者的關(guān)系是。經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算，可以得到其分維為：通過(guò)上述的定義，當(dāng)

53、覆蓋長(zhǎng)度為L(zhǎng)的線段時(shí) ， ，可算出d為1。對(duì)于覆蓋邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形， ，可得d為2。 dloglog 1 rN21rN ( )/nL22( )/nL圖2-2-1所演示的為Kohn雪花，先畫一個(gè)等邊三角形，把邊長(zhǎng)為原來(lái)三角形邊長(zhǎng)的1/3的小等邊三角形選放在原來(lái)三角形的三條邊上，由此得到一個(gè)六角星；再將這個(gè)六角星的每個(gè)角上的小等邊三角形按上述同意方法變成一個(gè)小六角星.如此一致進(jìn)行下去，就得到了雪花的形狀。對(duì)于Kohn雪花來(lái)說(shuō)，按照式（2-2-6）計(jì)算有N=4和r=1/3.運(yùn)用上面的等式，可以計(jì)算d=log4/log31.261859507143. 在Sierpinski三角形中，首先作一個(gè)如圖2-

54、2-2所示的完全填充的三角形（二維），然后，從中間移去一個(gè)=三角形，再在剩下的三角形中分別移去一個(gè)三角形，最終它的面積等于零了，于是，它的位數(shù)自然小于2，但是卻永遠(yuǎn)達(dá)不到1。 因此，無(wú)論何處它都不接近一條線。所以，它的維數(shù)也在2與1之間。Sierpinski三角形中，我們把三角形分成了三個(gè)相等的部分。而每一部分的變成和高只是原先三角形的1/2，所以N=3，并且r=1/2，根據(jù)上式計(jì)算的結(jié)果則是d=log3/log2，結(jié)果大約等于1.584962500721.5）.分形幾何學(xué)的應(yīng)用 分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了應(yīng)用。如存顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會(huì)看見(jiàn)它不間斷地做無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)(布朗

55、運(yùn)動(dòng))這是花粉在大量液體分子的無(wú)規(guī)則碰撞(每秒鐘多達(dá)十億次)下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分。其實(shí)由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續(xù)，但又處處無(wú)導(dǎo)數(shù)的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是2，大大高于它的拓?fù)渚S數(shù)1。 在某些電化學(xué)反應(yīng)中，電極附近成績(jī)的固態(tài)物質(zhì)，以不規(guī)則的樹枝形狀向外增長(zhǎng)。受到污染的些流水中、粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物不斷以新的沉積而生長(zhǎng)，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。 自然界中更大的尺度上也存在分形對(duì)象。枝粗干可以分出不規(guī)則的校權(quán)，每個(gè)枝權(quán)繼續(xù)分為細(xì)杈，至少有十幾次分支的層次，可以用分形

56、幾何學(xué)6) 基本術(shù)語(yǔ)相空間：相空間：在連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)中，用一組一階微分方程描述運(yùn)動(dòng)，以狀態(tài)變量(或狀態(tài)向量)為坐標(biāo)軸的空間構(gòu)成系統(tǒng)的相空間。系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)用相空間的一個(gè)點(diǎn)表示，通過(guò)該點(diǎn)有唯一的一條積分曲線。不動(dòng)點(diǎn)：不動(dòng)點(diǎn)：又稱平衡點(diǎn)、定態(tài)。它是系統(tǒng)狀態(tài)變量所取的一組值，對(duì)于這些值系統(tǒng)不隨時(shí)間變化。在連續(xù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，相空間中有一點(diǎn)，若滿足當(dāng)時(shí)，軌跡，則稱為不動(dòng)點(diǎn)。吸引子：吸引子：指相空間的這樣的一個(gè)點(diǎn)集 (或一個(gè)子空間)，對(duì)鄰域的幾乎任意一點(diǎn)當(dāng)時(shí)所有軌跡線均趨于，吸引子是穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)。奇異吸引子：奇異吸引子：又稱混沌吸引子，指相空間中具有分?jǐn)?shù)維的吸引子的集合，混沌軌道運(yùn)行在該集合之中。流與映射：

57、流與映射：動(dòng)力系統(tǒng)隨時(shí)間的變化，當(dāng)發(fā)生在連續(xù)的時(shí)間中時(shí)，將其稱為流，對(duì)應(yīng)于相空間的一條連續(xù)軌線；當(dāng)發(fā)生在離散時(shí)間中時(shí)，則稱之為映射，對(duì)應(yīng)于相空間中的一些離散的相點(diǎn)。李雅普諾夫指數(shù)：李雅普諾夫指數(shù)：用于度量在相空間中初始條件不同的兩條相鄰軌跡隨時(shí)間按指數(shù)律吸引或分離的程度，這種軌跡收斂或發(fā)散的比率，稱為李雅普諾夫指數(shù)。正的李雅普諾夫指數(shù)意味著存在混沌運(yùn)動(dòng)。分支：分支：又稱分岔，或分叉。指長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)的類型在某個(gè)參數(shù)或某組參數(shù)發(fā)生變化時(shí)也發(fā)生變化。這個(gè)參數(shù)值（或某組參數(shù)值）稱為分支點(diǎn)，在分支點(diǎn)處參量的微小變化會(huì)產(chǎn)生不同定性性質(zhì)的動(dòng)力學(xué)特性，所以系統(tǒng)在分支點(diǎn)處是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的。8)混沌具有下述特性

58、：（1）軌道不穩(wěn)定性(非周期性)對(duì)某些參量值，在幾乎所有的初始條件下，都將產(chǎn)生非周期性動(dòng)力學(xué)過(guò)程，即混沌運(yùn)動(dòng)具有軌道不穩(wěn)定性。正如普里高津所指出，非線性動(dòng)力學(xué)特性，它在適當(dāng)?shù)募s束下導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定性和分叉現(xiàn)象。（2）對(duì)初始條件的敏感依賴性隨著時(shí)間的推移，任意靠近的各個(gè)初始條件將表現(xiàn)出各自獨(dú)立的時(shí)間演化，即存在對(duì)初始條件的敏感依賴性。美國(guó)麻省理工學(xué)院氣象學(xué)家洛倫茲(ELorenz)發(fā)現(xiàn)，如果模擬大氣動(dòng)力學(xué)特性的微分方程的解確實(shí)是混沌的，那么就不可能進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)期的天氣預(yù)報(bào)，因?yàn)橐粋€(gè)任意小的擾動(dòng)，尤如蝴蝶翅膀的振動(dòng)，都有可能在將來(lái)某個(gè)時(shí)候改變地球另一邊的天氣。這就是著名的蝴蝶效應(yīng)，它常用作說(shuō)明混沌作用

59、的一個(gè)形象例證。（3）長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性由于初始條件僅限于某個(gè)有限精度，而初始條件的微小差異可能對(duì)以后的時(shí)間演化產(chǎn)生巨大的影響，因此不可能長(zhǎng)期預(yù)測(cè)將來(lái)某一時(shí)刻之外的動(dòng)力學(xué)特性。即混沌系統(tǒng)的長(zhǎng)期演化行為是不可預(yù)測(cè)的。（4）具有分形的性質(zhì)分形（Fractal）這個(gè)詞是由曼德布羅特(BBMandelbrot)在70年代創(chuàng)立分形幾何學(xué)時(shí)所使用的一個(gè)新詞。分形幾何是以非規(guī)則幾何形狀為研究對(duì)象的幾何學(xué)。所謂分形是指維空間一個(gè)點(diǎn)集的一種幾何性質(zhì)，它們具有無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu)，在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質(zhì)，具有小于所在空間維數(shù)的非整數(shù)維數(shù)，這種點(diǎn)集叫分形體。分維就是用非整數(shù)維分?jǐn)?shù)維來(lái)定量地描述分形的基本特性

60、。分形集就是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中那些不穩(wěn)定軌跡的初始點(diǎn)的集合，因此，混沌吸引子就是分形集。4.混沌的潛在應(yīng)用領(lǐng)域 混沌是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在一定條件下所表現(xiàn)的一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，看似雜亂無(wú)章卻有一定的規(guī)律，它是確定性的，卻又有隨機(jī)行為，這些性態(tài)都與探索復(fù)雜開(kāi)放系統(tǒng)的耗散結(jié)構(gòu)理論、協(xié)同學(xué)及突變論有著密切的聯(lián)系。 混沌有無(wú)序的一面，但在某些條件下它反而表現(xiàn)為組織結(jié)構(gòu)的高度有序，它是系統(tǒng)進(jìn)化和產(chǎn)生信息之源。通過(guò)對(duì)混沌系統(tǒng)的產(chǎn)生信息能力進(jìn)行評(píng)價(jià)并選取有用的信息，再通過(guò)適當(dāng)學(xué)習(xí)使其優(yōu)化，可以逐步實(shí)現(xiàn)利用泥池進(jìn)行智能信息處理。 在混沌動(dòng)力學(xué)中，簡(jiǎn)單的非線性規(guī)則反復(fù)作用，可能產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)。利用這一重要特征，在由簡(jiǎn)單據(jù)件