湖北省宜昌市2021-2022學年高二上學期12月月月考數(shù)學試題(含答案)

1、內(nèi)裝訂線內(nèi)裝訂線學校:_姓名：_班級：_考號：_外裝訂線湖北省宜昌市2021-2022學年高二上學期12月月月考數(shù)學試題題號一二三四總分得分注意事項：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上評卷人得分一、單選題1拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的是（       ）A與相互獨立B與互斥C與相等D2設，向量，且，則（       ）ABC3D43若直線的方向向量為

2、，平面的法向量為，則（       ）ABCD與相交但不垂直4已知圓的方程為，那么圓心坐標和半徑分別為（       ）A，B，C，D，5設是橢圓的離心率，且，則實數(shù)的取值范圍是ABCD6若為數(shù)列的前項和，且，則（       ）ABCD307已知雙曲線過點且漸近線為，則下列結(jié)論錯誤的是（       ）A曲線的方程為

3、；B左焦點到一條漸近線距離為；C直線與曲線有兩個公共點；D過右焦點截雙曲線所得弦長為的直線只有三條；8過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于、兩點，拋物線的準線為，于，于，則四邊形的面積為（       ）A32BC64D評卷人得分二、多選題9已知事件，且，則下列結(jié)論正確的是（       ）A如果，那么，B如果與互斥，那么，C如果與相互獨立，那么，D如果與相互獨立，那么，10已知直線，則下列結(jié)論正確的是（    &

4、#160;  ）A直線的傾斜角是B若直線，則C點到直線的距離是2D過與直線平行的直線方程是11以下四個命題表述正確的是（       ）A直線恒過定點B圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C曲線與曲線恰有三條公切線，則D已知圓，點P為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經(jīng)過定點12已知雙曲線的離心率為，右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，則有A漸近線方程為B漸近線方程為CD評卷人得分三、填空題13數(shù)列的前項和，則通項公式_.14甲、乙兩名學生通過某次聽力測試

5、的概率分別為和，且是否通過聽力測試相互獨立，兩人同時參加測試，其中有且只有一人能通過的概率是_15已知點是橢圓上的一點，分別為橢圓的左、右焦點，已知=120°，且，則橢圓的離心率為_.16已知，是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的左支交于，兩點，若，且，則的離心率是_.評卷人得分四、解答題17有一個數(shù)學難題，在半小時內(nèi)，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，2人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它，求：（1）2人都未解決的概率；（2）問題得到解決的概率.18在四棱錐PABCD中，PAB是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，ABCD，ABBC，BCCD1，PD.（1）證明：ABPD

6、（2）求二面角APBC的余弦值.19已知直線和圓(1)若直線交圓于，兩點，求弦的長；(2)求過點且與圓相切的直線方程20橢圓的一個焦點，離心率.(1)求橢圓的方程；(2)求以點為中點的弦所在的直線方程.21如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：xy2=0，拋物線C：y2=2px（p0）.（1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；（2）已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.求證：線段PQ的中點坐標為；求p的取值范圍.22已知雙曲線，O為坐標原點，離心率，點在雙曲線上 （1）求雙曲線的方程（2）如圖，若直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點Q，P，且，求的最小值試卷第5頁，

7、共5頁參考答案：1A【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的概念以及對立事件的概率求法逐一判斷即可.【詳解】事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，可知兩事件互不影響，即與相互獨立，故A正確；由于事件與事件能同時發(fā)生，所以不為互斥事件，故B錯誤；顯然事件和事件不相等，故C錯誤；由，所以，故D錯誤.故選：A2C【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直與平行的坐標表示，求得的值，得到向量，進而求得，得到答案.【詳解】由題意，向量，因為，可得，解得，即，又因為，可得，解得，即，可得，所以.故選：C.3B【解析】【分析】通過判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系，可得結(jié)論【詳解】因為，所以

8、，所以，因為直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，故選：B4B【解析】【分析】將已知方程轉(zhuǎn)化為標準方程即可得圓心坐標和半徑【詳解】由題，所以，所以圓心坐標為，半徑為，故選：B5D【解析】【詳解】當焦點在x軸時，當焦點在y軸時，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.6D【解析】【分析】根據(jù)公式直接求出，進一步求出答案.【詳解】.故選：D.【點睛】本題考查數(shù)列前項和與通項公式的關系，屬于基礎題.7C【解析】【分析】求出雙曲線的標準方程，根據(jù)方程判斷雙曲線的性質(zhì)B直接求出左焦點到漸近線的距離，C由直線方程與雙曲線方程聯(lián)立求得公共點坐標，D考慮到過焦點，因此一是求出通徑長，一是求出實軸長，與它們比較可得【

9、詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，所以可設雙曲線方程為，又雙曲線過點，所以，所以雙曲線方程為，A正確；由雙曲線方程知，左焦點為，漸近線方程為，左焦點到漸近線的中庸為，B正確；由得，代入雙曲線方程整理得，解得，所以，直線與雙曲線只有一個公共點，C錯；雙曲線的通徑長為，因此過右焦點，且兩頂點都右支上弦長為的弦有兩條，又兩頂點間距離為，因此端點在雙曲線左右兩支上且弦長為的弦只有一條，為實軸，所以共有3條弦的弦長為，D正確故選：C【點睛】本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線的方程，利用方程研究雙曲線的性質(zhì)是解析幾何的基本方法雙曲線的弦分兩種：一種弦的兩個端點在同一支上，一種弦的兩個端點在

10、雙曲線的兩支上，兩個端點在雙曲線的兩支上的弦的最短的為實軸.8D【解析】【分析】設直線AB的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立整理得，求得，及，由面積公式求得四邊形的面積得選項.【詳解】解：由拋物線得其焦點，設直線AB的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，整理得，即，解得，所以，所以，所以四邊形的面積為，故選：D.9BD【解析】【分析】A選項在前提下，計算出，即可判斷；B選項在與互斥前提下，計算出，即可判斷；C、D選項在與相互獨立前提下，計算出， ，即可判斷.【詳解】解：A選項：如果，那么，故A選項錯誤；B選項：如果與互斥，那么，故B選項正確；C選項：如果與相互獨立，那么，故C選項錯誤；D選項：如果與相互獨立

11、，那么，故D選項正確.故選：BD.【點睛】本題考查在包含關系，互斥關系，相互獨立的前提下的和事件與積事件的概率，是基礎題.10CD【解析】【分析】求出直線的斜率可得傾斜角，即可判斷A；利用兩直線垂直的條件可判斷B；利用點到直線的距離公式可判斷C；利用兩直線平行的條件可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】由可得，所以直線的斜率為，對于A：因為直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，可得，故選項A不正確；對于B：直線的斜率為，因為，所以不成立，故選項B不正確；對于C：點到直線的距離是，故選項C正確；對于D：設與直線平行的直線方程是，則，可得，所以過與直線平行的直線方程是，故選項D正確；故選：CD.11B

12、CD【解析】將直線的方程進行整理利用參數(shù)分離即可判斷選項A；根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關系比較即可判斷選項B；由題意知兩圓外切；由圓心距等于半徑即可求得值，即可判斷選項C；設出點坐標，求出以線段為直徑的圓的方程，與已知圓的方程相減即可得直線的方程，即可判斷選項D，進而可得正確選項.【詳解】對于選項A：由可得：，由可得，所以直線恒過定點，故選項A不正確；對于選項B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過圓心以及和圓相切，故圓上有且僅有3個點到直線的距離等于，故選項B正確；對于選項C：由可得，圓心，由 可得，圓心，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得：，故選項C正確；對于

13、選項D：設點坐標為，所以，即，因為、分別為過點所作的圓的兩條切線，所以，所以點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得：，與已知圓相減可得，消去可得：即，由可得，所以直線經(jīng)過定點，故選項D正確.故選：BCD.【點睛】結(jié)論點睛：（1）圓和圓的公共弦的方程為兩圓的方程相減即可.（2）已知，以線段為直徑的圓的方程為：.12BC【解析】【分析】由離心率公式化簡可得漸近線方程，通過求圓心A到漸近線的距離結(jié)合直角三角形可得到的值.【詳解】雙曲線離心率為故漸近線方程為，取MN的中點P,連接AP,利用點到直線的距離公式可得,則，所以則故選BC【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線和

14、離心率的應用，考查圓的有關性質(zhì)，屬于中檔題.13【解析】【分析】由給出的數(shù)列的前項和公式，分和分類求解，然后驗證時的通項公式是否滿足即可【詳解】解：數(shù)列的前項和，時，時，當時不成立所以 .故答案為：14#0.5【解析】【分析】分兩種情況，結(jié)合相互獨立事件公式即可求解.【詳解】記甲，乙通過聽力測試的分別為事件，則可得，兩人有且僅有一人通過為事件，故所求事件概率為.故答案為：15【解析】【詳解】設，由余弦定理知，所以，故填.16【解析】【分析】由題意利用幾何關系得到關于a,c的方程，然后結(jié)合二次齊次方程即可確定雙曲線的離心率.【詳解】如圖所示，由題意，可設，由雙曲線的定義可得：，在中，由勾股定理可

15、得：，據(jù)此可得：，在中，由勾股定理可得：，據(jù)此可得：.故答案為【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2c2a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)17（1）；（2）【解析】（1）由兩個獨立事件同時發(fā)生的概率等于兩個事件分別發(fā)生的概率乘積，即可求出2人都未解決的概率；（2）根據(jù)問題能得到解決的對立事件為兩人都未解決問題，再根據(jù)對立事件概率和等于，即可求解.【詳解】解

16、：（1）由題意知：甲、乙兩人都未能解決的概率為：；（2）問題能得到解決，即至少有人能解決問題，其對立事件為兩人都未解決問題，問題得到解決的概率為：.18（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)進行證明即可；（2）由AD2+BD2AB2，可得ADBD，以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）證明：連結(jié)BD，在四棱錐PABCD中，PAB是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，ABCD，ABBC，BCCD1，PD.BDAD，AD2+PD2AP2，BD2+PD2PB2

17、，ADPD，BDPD，ADBDD，PD平面ABCD，AB平面ABCD，ABPD.（2）解：AD2+BD2AB2，ADBD，以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，則A（，0，0），B（0，0），C（，0），P（0，0，），（），（0，），（，），設平面ABP的法向量（x，y，z），則，取x1，得（1，1，1），設平面PBC的法向量，則，取，得（1，1，1），設二面角APBC的平面角為，則二面角APBC的余弦值為：cos.【點睛】本題考查了線面垂直判定定理和性質(zhì)的應用，考查了利用空間向量求二面角問題，考查了推理論證能力和數(shù)學運算能力.19(1)(2)或【解析】【分析】

18、（1）先由圓的方程得到圓心和半徑，根據(jù)幾何法求弦長，即可得出結(jié)果；（2）當直線斜率不存在時，可直接得出切線方程；當直線斜率存在時，先設切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑列方程，得出的值即可求出直線方程(1)將圓：化成標準方程：，所以的圓心為，半徑，所以到直線：的距離，所以；(2)當直線斜率不存在時，過點的直線為，是圓的一條切線；當直線的斜率存在時，設圓的切線方程為，即，所以圓心到直線的距離為，即，解得：，所以此時切線方程為，化簡得綜上所述，所求的直線方程為：或20(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，即可求得橢圓的方程；（2）利用點差法即可求得直線的斜率，利用點斜式即可求得直線方程.(1)根據(jù)題意可得，故可得，則，故橢圓方程為：.(2)顯然，直線的斜率存在，設兩點的坐標為，故可得，故，故，由題可知，故可得，故直線的方程為，即.21（1）；（2）證明見解析;.【解析】【分析】（1）先確定拋物線焦點，再將點代入直線方程；（2）利用拋物線點之間關系進行化簡，結(jié)合中點坐標公式求證;利用直線與拋物線位置關系確定數(shù)量關系：，解出p的取值范圍.【詳解】（1）拋物線的焦點為由