最新高中數(shù)學必修人教A版教案全套

1、（ 必修五 ）重慶鐵路中學陳昭旭數(shù)學 5 第一章解三角形課題: 111 正弦定理授課類型： 新授課教學目標知識與技能： 通過對任意三角形邊長和角度關系的探索， 掌握正弦定理的內容及其證明方法； 會運用正 弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法： 讓學生從已有的幾何知識出發(fā) , 共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生 通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。情感態(tài)度與價值觀： 培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探 索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力， 通過三角形函數(shù)、 正弦定理、 向量的數(shù)量積等知

2、識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物 之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。教學重點 正弦定理的探索和證明及其基本應用。教學難點 已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。教學過程 . 課題導入A如圖 11-1 ，固定 ABC的邊 CB及 B，使邊 AC繞著頂點 C轉動。 思考： C 的大小與它的對邊 AB 的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？ 顯然，邊 AB 的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？ C B . 講授新課 探索研究 （在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖11-2 ，在 Rt ABC中，設 BC=a,AC=b,AB=c

3、, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 a sin A， cb sin B ，c又 sin C 1 c ,c則 sin A sin Bcc sin C從而在直角三角形ABC中， asin A sin B sin CC a（圖 11-2） 思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？ （由學生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖 11-3 ，當 ABC 是銳角三角形時，設邊CD=asinB bsin A, 則a b ， sin A sin B ，同理可得sin Csin B從而asin Abcsin B sin CbA圖 1 1-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等

4、式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。（證法二）：過點 A作 j AC， C由向量的加法可得 AB AC CB則 j AB j (AC CB) j AB j AC j CBjj ABcos 900 A 0 j CBcos 900 C csin A asinC，即asinAcsinC同理，過點C作 j BC ，可得bcsinB sinC從而asin Abcsin B sin C類似可推出，當ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理： 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即由學生課后自己推導）a b c sin A sin B s

5、in C 理解定理 （1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù) 使 a ksin A， b ksin B ， c ksin C；（2）sinA sinB sin C等價于 sinA sinB 從而知正弦定理的基本作用為：cbsin C sin Bacsin A sin C已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如 a bssininBA已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如 sin A asin B。 b 一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作 解三角形 。 例題分析 例 1在 ABC 中，已知 A 32.

6、00， B 81.80 ， a 42.9 cm，解三角形。 解：評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。1cm）。例 2在 ABC 中，已知 a 20 cm， b 28 cm， A 400 ，解三角形（角度精確到 10 ，邊長精確到 解：評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。 . 課堂練習第 5 頁練習第 1（ 1）、2（ 1）題。 補充練習 已知 ABC中， sin A:sin B:sin C 1:2:3 ，求 a: b: c （答案： 1： 2：3）. 課時小結 （由學生歸納總結）（ 1）定理的表示形式：a b c a b c k k 0 ；sin A si

7、n B sin C sin A sin B sin C或 a k sin A， b k sin B ， c ksin C（k 0）（2）正弦定理的應用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。 . 課后作業(yè)第 10 頁 習題 1.1A 組第 1（1）、2（ 1）題。板書設計教學后記課題 :1.1.2 余弦定理授課類型： 新授課教學目標知識與技能： 掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法， 本的解三角形問題。并會運用余弦定理解決兩類基過程與方法： 利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論， 并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基 本的解三角形問題

8、情感態(tài)度與價值觀： 培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦 定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。教學重點余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用； 教學難點 勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。 教學過程. 課題導入如圖 11-4 ，在 ABC中，設 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 C，求邊 c b a(圖 11-4). 講授新課 探索研究 聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？ 用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因 A、B 均未知，所以較難求邊 c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。如

9、圖 1 1-5 ，設 CB a ， CA b ， AB cc，c c a b a b aa2a bb2b 2a2abb那么 c aCa從而 c2 a2 b2 2ab cos C(圖 1 1-5)同理可證 a2 b2 c2 2bc cos Ab2 a2 c2 2accosB于是得到以下定理余弦定理 ：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩 倍。即 a2 b2 c2 2bc cos Ab2 a2 c2 2accosBc 2 a2 b2 2abcosC思考： 這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量， 能否由三邊求出角？由學生推出）

10、從余弦定理，又可得到以下推論：cosA222 bca 2bccosB22 acbcosC2ac2ba 理解定理 從而知余弦定理及其推論的基本作用為： 已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； 已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考： 勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？（由學生總結）若ABC中， C=900 ，則 cosC 0 ，這時 c2 a2 b2由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。 例題分析 例 1在 ABC中，已知 a 2 3 ，c 62，B 600，求 b及 A評

11、述：解法二應注意確定 A 的取值范圍。例 2在 ABC中，已知 a 134.6 cm ， b 87.8cm ， c 161.7 cm ，解三角形 （見課本第 8 頁例 4，可由學生通過閱讀進行理解）. 課堂練習第 8 頁練習第 1（ 1）、2（ 1）題。補充練習 在 ABC中，若 a2 b2 c2 bc ，求角 A（答案： A=1200 ） . 課時小結（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。 . 課后作業(yè)課后閱讀：課本第 9 頁 探究與發(fā)現(xiàn) 課時作業(yè)：第 11 頁 習題 1.1A 組

12、第 3（1），4（1）題。 教學后記課題: 113 解三角形的進一步討論授課類型： 新授課教學目標知識與技能： 掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時， 有兩解或一解或無解等情形； 角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。過程與方法： 通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公 式及三角形有關性質求解三角形問題。情感態(tài)度與價值觀： 通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數(shù)的關 系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉化的可能， 從而從本質上反映了事物之間的內在聯(lián) 系。教學重點 在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角

13、解三角形時，有兩解或一解或無解等情形； 三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。教學難點正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。教學過程. 課題導入 創(chuàng)設情景 思考：在 ABC中，已知 a 22cm， b 25cm， A 1330 ，解三角形。（由學生閱讀課本第 9 頁解答過程）從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)， 在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時， 在某些條件下會出現(xiàn)無解 的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。. 講授新課 探索研究 例 1在 ABC中，已知 a,b,A ，討論三角形解的情況（解答過程詳見課本第9 10 頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三

14、角形時，只有當A 為銳角且bsin A a b 時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。 隨堂練習 1（1）在 ABC中，已知 a 80， b 100， A 450，試判斷此三角形的解的情況。（2）在 ABC中，若 a 1，c 1 ， C 400 ，則符合題意的 b的值有 個。2（3）在 ABC中， a xcm，b 2cm， B 450 ，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x 的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3） 2 x 2 2 ） 例 2在 ABC中，已知 a 7， b 5，c 3，判斷 ABC的類型。a2 b2 c 2 A是直角ABC是直角三角形分析：由余弦定理可知a2 b2

15、 c 2 A是鈍角ABC是鈍角三角形a2 b2 c 2 A是銳角ABC是銳角三角形 隨堂練習 2（ 1）在 ABC中，已知 sin A:sin B:sin C 1:2:3 ，判斷 ABC的類型。 （2）已知 ABC滿足條件 acosA bcosB ，判斷 ABC的類型。（答案：（ 1） ABC是鈍角三角形 ；（2） ABC是等腰或直角三角形）例 3在 ABC中， A 600，b 1，面積為 23 ，求 sin A asinb Bc sin C 的值. 課堂練習1）在 ABC中，若 a 55，b 16 ，且此三角形的面積 S 220 3 ，求角 C2）在 ABC中，其三邊分別為a、 b、 c，且

16、三角形的面積4，求角 C答案：（ 1） 600或1200 ；（2）450） . 課時小結（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形； （2）三角形各種類型的判定方法；（3）三角形面積定理的應用。 . 課后作業(yè)（1）在 ABC中，已知 b 4，c 10， B 300 ，試判斷此三角形的解的情況。（ 2）設 x、 x+1、 x+2 是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù) x 的取值范圍。（3）在 ABC中， A 600 ，a 1，b c 2，判斷 ABC的形狀。4）三角形的兩邊分別為 3cm， 5cm,它們所夾的角的余弦為方程 5x 2 7x 6 0的根，求這個三角形的面積

17、。教學后記課題 : 2.2 解三角形應用舉例第一課時授課類型： 新授課教學目標知識與技能： 能夠運用正弦定理、 余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題， 了解常用 的測量相關術語過程與方法： 首先通過巧妙的設疑， 順利地引導新課， 為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。 其次結合學生的實 際情況， 采用 “提出問題引發(fā)思考探索猜想總結規(guī)律反饋訓練”的教學過程， 根據(jù)大 綱要求以及教學內容之間的內在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示， 幫助學生掌握解法， 能夠類比解決實際問題。 對于例 2 這樣的開放性題目要鼓勵學生討論， 開放多種思 路，引導學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當?shù)闹?/p>

18、點和矯正情感態(tài)度與價值觀： 激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣 , 并體會數(shù)學的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學 符號表達題意和應用轉化思想解決數(shù)學問題的能力教學重點實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解教學難點 根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖教學過程 . 課題導入1、 復習舊知 復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？2、 設置情境 請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題， “遙不可及的月亮 離我們地球究竟有多遠呢？” 在古代， 天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離， 是什么神 奇的方法探索到這個

19、奧秘的呢？我們知道， 對于未知的距離、 高度等， 存在著許多可供選擇的測量方案， 比如可以應用全等三角形、 相似三角形的方法， 或借助解直角三角形等等不同的方法， 但由于在實際測 量問題的真實背景下， 某些方法會不能實施。 如因為沒有足夠的空間， 不能用全等三角形的方法來測量， 所以， 有些方法會有局限性。 于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。 今天我們開始學習正 弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。. 講授新課 （1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求 轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來

20、求解 例題講解 （2） 例 1、如圖，設 A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A 的同側，在所在的河岸邊選定一點 C，測出 AC的距離是 55m， BAC=51 ， ACB=75 。求 A、B兩點的距離 （ 精確到 0.1m）啟發(fā)提問 1： ABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪 個定理比較適當？啟發(fā)提問 2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學 生回答。變式練習：兩燈塔 A、 B與海洋觀察站 C的距離都等于 a km, 燈塔 A在觀察站 C的北偏東 30 ，燈塔 B在觀察站 C南偏東 60 ，則 A、B 之間的距離為多少？ 老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。例 2、如圖， A

21、、B兩點都在河的對岸（不可到達） ，設計一種測量 A、B 兩點間距離的方法。 分析：這是例 1 的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定 C、D 兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與一邊既可求出另兩邊的方法，分 別求出 AC和 BC，再利用余弦定理可以計算出 AB 的距離。分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。變式訓練：若在河岸選取相距 40米的 C、D兩點，測得 BCA=60 ， ACD=30 ， CDB=45 ， BDA= 60評注：可見， 在研究三角形時， 靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案， 但

22、有些過程較繁復， 如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。學生閱讀課本 4 頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。 . 課堂練習課本第 14 頁練習第 1、2 題 . 課時小結解斜三角形應用題的一般步驟： （1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖 （2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜 三角形的數(shù)學模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解（ 4 ）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 .課后作業(yè) 課本第 22頁第 1、2、

23、3題教學后記課題: 2.2 解三角形應用舉例第二課時授課類型： 新授課教學目標知識與技能： 能夠運用正弦定理、 余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物體高度測量的問題過程與方法： 本節(jié)課是解三角形應用舉例的延伸。 采用啟發(fā)與嘗試的方法， 讓學生在溫故知新中學會正 確識圖、 畫圖、想圖，幫助學生逐步構建知識框架。 通過 3 道例題的安排和練習的訓練來鞏固深化解三 角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導 討論 歸納，目的不在于讓學生記住結論，更多的 要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。作業(yè)設計思考題，提供學生更廣闊的思考空間情感態(tài)度與價值觀： 進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸

24、納、類比、概括的能力教學重點 結合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題教學難點能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件教學過程. 課題導入提問：現(xiàn)實生活中 , 人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛 機下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀拷裉煳覀兙蛠砉餐接戇@方面的問題. 講授新課 范例講解 例 1、AB是底部 B 不可到達的一個建筑物， A 為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法。例 2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角 =54 40 ，在塔底 C處測得 A處的俯角 =50 1 。27.3 m, 求出山高 CD（精確到 1 m）已知鐵塔 B

25、C部分的高為分析： 求 AB長的關鍵是先求 AE，在 ACE中，如能求出 C點到建筑物頂部 A 的距離 CA，再測出由 C點觀察 A的 仰角，就可以計算出 AE 的長。例 3、如圖 , 一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛, 到 A 處時測得公路南側遠處一山頂D 在東偏南15 的方向上 ,行駛 5km后到達 B處,測得此山頂在東偏南 25 的方向上 , 仰角為 8 , 求此山的高度 CD. 課堂練習課本第 17 頁練習第 1、 2、 3 題 . 課時小結 利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖 , 要懂得從所給的背景資料中進行 加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕?. 課

26、后作業(yè)1、 課本第 23頁練習第 6、7、8 題2、為測某塔 AB 的高度，在一幢與塔 AB 相距 20m的樓的樓頂處測得塔頂 A 的仰角為 30 ，測得塔基20 3B 的俯角為 45 ，則塔 AB 的高度為多少 m？(答案： 20+ 20 3 (m) )3板書設計教學后記課題 : 2.2 解三角形應用舉例第三課時授課類型： 新授課教學目標知識與技能： 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問題過程與方法： 本節(jié)課是在學習了相關內容后的第三節(jié)課， 學生已經(jīng)對解法有了基本的了解， 這節(jié)課應通 過綜合訓練強化學生的相應能力。除了安排課本上的例1，還針對性地選擇了既具典型性

27、有具啟發(fā)性的2 道例題，強調知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生的主體地位，重過程，重討論，教 師通過導疑、導思讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律， 舉一反三。情感態(tài)度與價值觀： 培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學過程中激發(fā) 學生的探索精神。教學重點 能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系教學難點靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題教學過程. 課題導入 創(chuàng)設情境 提問： 前面我們學習了如何測量距離和高度， 這些實際上都可轉化已知三角形的一些邊和角求其余邊的 問題。然而在實際的航海生活中 , 人們又

28、會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方 向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。. 講授新課 范例講解 例 1、如圖，一艘海輪從 A出發(fā)，沿北偏東 75 的方向航行 67.5 n mile 后到達海島 B,然后從 B出發(fā) ,沿北偏東 32 的方向航行 54.0 n mile 后達到海島 C.如果下次航行直接從 A出發(fā)到達 C,此船應該沿怎 例 2、在某點 B處測得建筑物 AE的頂端 A的仰角為 ，沿 BE方向前進 30m，至點 C處測得頂端 A 的仰 角為 2 ，再繼續(xù)前進 10 3m至 D點，測得頂端 A的仰角為 4 ，求 的大小和建筑物 AE的高。0.

29、1, 距離精確到 0.01n mile)例 3、某巡邏艇在 A處發(fā)現(xiàn)北偏東 45 相距 9 海里的 C處有一艘走私船，正沿南偏東 75 的方向以 10 海里 /小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里 /小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？但作為有關現(xiàn)實生活的應用題， 必評注： 在求解三角形中， 我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解， 須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 . 課堂練習 課本第 18 頁練習 . 課時小結 解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況： （1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定

30、理或余弦定理解之。 （ 2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形， 這時需要選擇條件足夠的三角 形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。 . 課后作業(yè)1、課本第 23 頁練習第 9、10、11 題2、我艦在敵島 A南偏西 50 相距 12海里的 B處,發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西 10 的方向以 10海里/ 小時的 速度航行 . 問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2 小時追上敵艦？（角度用反三角函數(shù)表示）教學后記課題: 2.2 解三角形應用舉例授課類型： 新授課教學目標知識與技能： 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用過

31、程與方法： 本節(jié)課補充了三角形新的面積公式， 巧妙設疑， 引導學生證明， 同時總結出該公式的特點， 循序漸進地具體運用于相關的題型。 另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學知識的生動運用， 教師要放手 讓學生摸索， 使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點， 能不拘一格， 一題多解。 只 要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。情感態(tài)度與價值觀： 讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步 培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗教學重點推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目教學難點利用正弦定理、余弦定理來求證簡

32、單的證明題教學過程. 課題導入 創(chuàng)設情境 師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在ABC中，邊 BC、CA、AB上的高分別記為 ha 、 h b 、h c ，那么它們如何用已知邊和角表示？生： h a =bsin C=csin Bhb =csin A=asin Chc =asin B=bsina A c師：根據(jù)以前學過的三角形面積公式S=1 ah,應用以上求出的高的公式如 ha =bsin C代入，可以推導21出下面的三角形面積公式， S=1 absin C，大家能推出其它的幾個公式嗎？211生：同理可得， S= bcsin A, S= acsinB22

33、 師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？ 生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解. 講授新課 范例講解 例 1、在 ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到 0.1cm 2 ）（ 1 ）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;（ 2）已知 B=62.7 ,C=65.8 ,b=3.16cm;（ 3 ）已知三邊的長分別為 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析： 這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關系， 我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺

34、什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。例 2、如圖 , 在某市進行城市環(huán)境建設中 , 要把一個三角形的區(qū)域改造成室內公園 角形區(qū)域的三條邊長分別為 68m,88m,127m, 這個區(qū)域的面積是多少？（精確到 師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎？ 生：本題可轉化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。 由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結。, 經(jīng)過測量得到這個三0.1cm 2 ）？例 3、在 ABC中，求證：1）2 2 2 2a2 b2 sin 2 A sin2 B22c sin C2222) a +b +c =2( bccosA+cacosB+abc

35、osC)分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題， 來證明觀察式子左右兩邊的特點， 聯(lián)想到用正弦定理變式練習 1：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 3,求 a及 ABC的面積 S提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。變式練習 2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，1)2)acosA = bcosBsinC =sin A sinB cosA cosB提示：利用正弦定理或余弦定理， “化邊為角”或“化角為邊”. 課堂練習課本第 21 頁練習第 1、2 題 . 課時小結利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式， 然后化簡并考

36、察邊或 角的關系，從而確定三角形的形狀。 特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。 . 課后作業(yè)課本第 23 頁練習第 12、14、15 題教學后記第二章數(shù)列課題 : 2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法授課類型： 新授課（第 1 課時）教學目標知識與技能： 理解數(shù)列及其有關概念， 了解數(shù)列和函數(shù)之間的關系； 了解數(shù)列的通項公式， 并會用通項 公式寫出數(shù)列的任意一項；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式。過程與方法： 通過對一列數(shù)的觀察、 歸納， 寫出符合條件的一個通項公式， 培養(yǎng)學生的觀察能力和抽象 概括能力情感態(tài)度與價值觀： 通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生

37、活，提高數(shù)學學習的興趣。 教學重點數(shù)列及其有關概念，通項公式及其應用教學難點 根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式教學過程 . 課題導入 三角形數(shù)： 1，3，6， 10， 正方形數(shù)： 1，4，9， 16，25， . 講授新課數(shù)列的定義 ：按一定次序排列的一列數(shù)叫做 數(shù)列 .注意 ：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此， 如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同， 那么它們 就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn) .數(shù)列的項 ：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的 項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第 1 項（或首項），第 2 項，第 n 項， .例如，上

38、述例子均是數(shù)列，其中中， “4”是這個數(shù)列的第 1 項（或首項） ，“9”是這個數(shù)列中的第 6 項.數(shù)列的一般形式 ： a1,a2,a3, ,an, ，或簡記為 an ，其中 an 是數(shù)列的第 n項1 結合上述例子，幫助學生理解數(shù)列及項的定義 . 中，這是一個數(shù)列，它的首項是“1”，“ ”是這個3 數(shù)列的第“ 3”項，等等 下面我們再來看這些數(shù)列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系？這一關系可否用一個公式 表示？ （引導學生進一步理解數(shù)列與項的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項公式）對于上面的數(shù)列， 第一項與這一項的序號有這樣的對應關系：項111112345序號 12 34 51 這個數(shù)的第一項與

39、這一項的序號可用一個公式：an來表示其對應關系n 即：只要依次用 1，2， 3代替公式中的 n，就可以求出該數(shù)列相應的各項 結合上述其他例子，練習找其對應關系數(shù)列的通項公式 ：如果數(shù)列 an 的第 n項an與 n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式注意 ：并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，如上述數(shù)列；一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1， 0，1，0， 1，0，它的通項公式可以是1 ( 1)，也可以是 an|cosn1|.數(shù)列通項公式的作用：求數(shù)列中任意一項；檢驗某數(shù)是否是該數(shù)列中的一項 . 數(shù)列的通項公式具有雙重身份， 它表示了數(shù)列的第 項， 又是這個

40、數(shù)列中所有各項的一般表示 通項公 式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關系， 給了數(shù)列的通項公式， 這個數(shù)列便確定了， 代入項數(shù)就可求出 數(shù)列的每一項5. 數(shù)列與函數(shù)的關系數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集 1 ， 2， 3， n )為定義域的函數(shù) an f (n) ，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。反過來，對于函數(shù) y=f(x) ,如果 f(i) (i=1 、2、3、4)有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列 f(1) 、 f(2) f(3) 、 f(4) ，f(n) ，6數(shù)列的分類：1)根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列 ：項數(shù)有限的數(shù)列 . 例如數(shù)列 1，2，3，4，5，6。是 有窮

41、數(shù)列無窮數(shù)列 ：項數(shù)無限的數(shù)列 . 例如數(shù)列 1，2，3，4，5，6是 無窮數(shù)列 2)根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第 2 項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第 2 項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列。 常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。擺動數(shù)列：從第 2 項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列 觀察： 課本 P33 的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，擺動數(shù)列？ 范例講解 課本 P34-35 例 1. 課堂練習課本 P36 練習 3、 4、 5補充練習 ：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33, ；2

42、4 6 8 10 ；(2) 3 , 15, 35, 63 , 99 , ；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42, .課時小結本節(jié)課學習了以下內容： 數(shù)列及有關定義， 會根據(jù)通項公式求其任意一項， 并會根據(jù)數(shù)列的前 n 項求一 些簡單數(shù)列的通項公式。 . 課后作業(yè)課本 P38習題 2.1A 組的第 1 題 板書設計教學后記課題 : 2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法授課類型： 新授課（第課時）教學目標知識與技能： 了解數(shù)列的遞推公式， 明確遞推公式與通項公式的異同； 會根據(jù)數(shù)列的遞推公

43、式寫出數(shù)列 的前幾項；理解數(shù)列的前 n 項和與 an 的關系過程與方法： 經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程。情感態(tài)度與價值觀： 通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣。教學重點 根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項教學難點理解遞推公式與通項公式的關系教學過程. 課題導入 復習引入 數(shù)列及有關定義. 講授新課數(shù)列的表示方法1、通項公式法如果數(shù)列 an 的第 n 項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這 個數(shù)列的通項公式。如數(shù)列 的通項公式為 ；的通項公式為 ；的通項公式為 ；2、圖象法啟發(fā)學生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項數(shù) 為橫坐標，相應的項

44、 為縱坐標，即以 為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數(shù)列 為例，做出一個數(shù)列 的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在 軸的右側，而 點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢3、遞推公式法 知識都來源于實踐，最后還要應用于生活 用其來解決一些實際問題觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學模型模型一： 自上而下：第 1 層鋼管數(shù)為 4；即： 1 4 1+3第 2 層鋼管數(shù)為 5；即： 2 5 2+3第 3 層鋼管數(shù)為 6；即： 3 6 3+3 第 4 層鋼管數(shù)為 7；即： 4 7 4+3 第 5 層鋼管數(shù)為

45、 8；即： 5 8 5+3 第 6 層鋼管數(shù)為 9；即： 6 9 6+3第 7 層鋼管數(shù)為 10；即： 7 10 7+3若用 an 表示鋼管數(shù)， n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且an n 3（1n7）運用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應規(guī)律建立了數(shù)列模型， 運用這一關系， 會很快捷地求出每一層 的鋼管數(shù) 這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便。讓同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學生尋找規(guī)律） 模型二：上下層之間的關系自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。即 a1 4 ； a2 5 4 1 a1 1 ； a3 6 5 1 a2 1依此類推： an an 1 1（2

46、 n7）對于上述所求關系，若知其第 1 項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要。 定義：遞推公式：如果已知數(shù)列 an 的第 1 項（或前幾項） ，且任一項 an 與它的前一項 an 1 （或前 n 項）間 的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)字排列的一個數(shù)列： 3，5，8，13，21， 34，55，89 遞推公式為： a1 3,a2 5,an an 1 an 2（3 n 8） 數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請學生回憶函數(shù)的表示法：列表法， 圖象法，解析式法相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表

47、示法：用 表示第一項，用 表示 第一項，用 表示第 項，依次寫出成為4、列表法簡記為 范例講解 a1 1例3 設數(shù)列 an 滿足 1 寫出這個數(shù)列的前五項。nan 1 （n 1）.an 1補充例題 例 4 已知 a1 2 ， an 1 2an 寫出前 5 項，并猜想 an . 課堂練習課本 P36 練習 2 補充練習 1根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式(1) a10, an 1 an(2n1) (n N)；(2) a11, an 1 2an (n N)； an 2(3) a13, an 13an2 (n N). . 課時小結 本節(jié)課學習了以下內容： 1遞推公式及其

48、用法； 2通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n 項）之間的關系 . 課后作業(yè)習題 2。 1A組的第 4、6 題教學后記課題 : 2.2 等差數(shù)列授課類型： 新授課（第 1 課時）教學目標 知識與技能： 了解公差的概念， 明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件， 能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差 數(shù)列 ; 正確認識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、 項數(shù)、 指 定的項過程與方法： 經(jīng)歷等差數(shù)列的簡單產生過程和應用等差數(shù)列的基本知識解決問題的過程。 情感態(tài)度與價值觀： 通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學生的觀察、分析資料的能力，積極思維， 追

49、求新知的創(chuàng)新意識。教學重點 等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式。教學難點 等差數(shù)列的性質教學過程 . 課題導入 創(chuàng)設情境 上兩節(jié)課我們學習了數(shù)列的定義及給出數(shù)列和表示的 數(shù)列的 幾種方法 列舉法、通項公式、遞推公式、 圖象法 . 這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點。下面我們看這樣一些例子。課本 P41頁的 4 個例子： 0，5，10，15，20，25， 48，53，58，63 18 ，15.5 ，13，10.5 ，8， 5.5 10072，10144，10216，10288，10366 觀察：請同學們仔細觀察一下，看看以上四個數(shù)列有什么共同特征？ 共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等

50、于同一個常數(shù)（即等差） ；（誤：每相鄰兩項的差 相等 應指明作差的順序是后項減前項） ，我們給具有這種特征的數(shù)列一個名字 等差數(shù)列 . 講授新課1等差數(shù)列 ：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列 就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。公差 d 一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；對于數(shù)列 an , 若 an an 1=d （與 n 無關的數(shù)或字母 ） ，n2，nN ，則此數(shù)列是等差數(shù)列， d 為 公差。思考： 數(shù)列、的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什么？2等差數(shù)列的通項公式： an a1 （n 1）d【或 an

51、 am （n m）d】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關系而得 若一等差數(shù)列 an 的首項是 a1 ，公差是 d，則據(jù)其定 義可得：a2a1d 即： a2a1da3a2d 即： a3a2da12da4a3d 即： a4a3da13d由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：an a1 （n 1）d已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項a1 和公差 d，便可求得其通項 an 。由上述關系還可得： am a1 （m 1）d即： a1 am (m 1)d則： an a1 (n 1)d = am (m 1)d (n 1)d am (n m)d即等差數(shù)列的第二通項公式 an am （n m）d d= am an

52、mn 范例講解 例 1求等差數(shù)列 8，5，2的第 20 項 -401 是不是等差數(shù)列 -5， -9， -13的項？如果是，是第幾項？例 3已知數(shù)列 an 的通項公式 an pn q，其中 p 、 q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？ 若是，首項與公差分別是什么？分析：由等差數(shù)列的定義，要判定an 是不是等差數(shù)列，只要看 an an 1（ n 2）是不是一個與 n 無關的常數(shù)。注：若 p=0，則 an 是公差為 0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列 q，q，q，若 p0, 則an是關于 n的一次式 ,從圖象上看 ,表示數(shù)列的各點均在一次函數(shù) y=px+q 的圖象上 ,一次 項的系數(shù)是公差 ,直線在 y

53、 軸上的截距為 q.數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是其通項 an =pn+q （p、q是常數(shù) ），稱其為第 3通項公式。 判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法是否滿足 3 個通項公式中的一個。. 課堂練習課本 P45 練習 1、 2、3、4 補充練習 1.（1）求等差數(shù)列 3，7，11，的第 4項與第 10 項.分析：根據(jù)所給數(shù)列的前 3 項求得首項和公差，寫出該數(shù)列的通項公式，從而求出所求項 . 解：根據(jù)題意可知： a1=3,d=73=4.該數(shù)列的通項公式為： an=3+（n1）4,即an =4n1（n1,n N*） a4 =4 4 1=15, a10 =4101=39.評述：關鍵是求出通項公式 .（2）求等差數(shù)列 10，8，6，的第 20 項. 解：根據(jù)題意可知： a1 =10,d=8 10= 2.該數(shù)列的通項公式為： an=10+（n1）（ 2）,即： an=2n+12,a20=220+12=28. 評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準確性 .（3）100 是不是等差數(shù)列 2，9，16，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，則關鍵是要看是否存在一正整數(shù) n 值，使得 an 等于 這