第3章 隨機信號分析

1、2.1引言引言2.2隨機過程的一般表述隨機過程的一般表述2.3平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程2.4平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度2.5高斯過程高斯過程2.6窄帶隨機過程窄帶隨機過程2.7正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲 2.8隨機過程通過線性系統(tǒng)隨機過程通過線性系統(tǒng)第第 2 章章 隨機信號分析隨機信號分析返回主目錄作業(yè)作業(yè)P613-33-53-93-122.1 引言引言 自然界中事物的變化過程可以大致分成為兩類。自然界中事物的變化過程可以大致分成為兩類。一類是其變化過程具有確定的形式，或者說具有必一類是其變化過程具有確定的形式，或者說具有必然的變化規(guī)律，

2、用數(shù)學(xué)語言來說，其變化過程可以然的變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言來說，其變化過程可以用一個或幾個時間用一個或幾個時間t的確定函數(shù)來描述，這類過程稱的確定函數(shù)來描述，這類過程稱為為確定性過程確定性過程。返回本章返回本章 而另一類過程沒有確定的變化形式，也就是說，而另一類過程沒有確定的變化形式，也就是說，每次對它的測量結(jié)果沒有一個確定的變化規(guī)律，用每次對它的測量結(jié)果沒有一個確定的變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言來說，數(shù)學(xué)語言來說， 這類事物變化的過程不可能用一個這類事物變化的過程不可能用一個或幾個時間或幾個時間t的確定函數(shù)來描述，這類過程稱為的確定函數(shù)來描述，這類過程稱為隨機隨機過程過程。下面我們給出一個例子：。下面我

3、們給出一個例子： 設(shè)有設(shè)有n臺臺性能完全相同的接收機。我們在相同的工作環(huán)境性能完全相同的接收機。我們在相同的工作環(huán)境和測試條件下記錄和測試條件下記錄各臺各臺接收機的輸出接收機的輸出噪聲波形噪聲波形（這也可以理解（這也可以理解為對為對一臺一臺接收機在接收機在一段時間一段時間內(nèi)持續(xù)地進行內(nèi)持續(xù)地進行n次次觀測）。測試結(jié)觀測）。測試結(jié)果將表明，盡管設(shè)備和測試條件相同，記錄的果將表明，盡管設(shè)備和測試條件相同，記錄的n條曲線中找不條曲線中找不到兩個完全相同的波形。這就是說，接收機輸出的噪聲電壓隨到兩個完全相同的波形。這就是說，接收機輸出的噪聲電壓隨時間的變化是不可預(yù)知的，因而它是一個隨機過程。時間的變化

4、是不可預(yù)知的，因而它是一個隨機過程。 由此我們給隨機過程下一個更為嚴格的由此我們給隨機過程下一個更為嚴格的定義定義：設(shè)：設(shè)Sk(k=1, 2, )是隨機試驗。是隨機試驗。 每一次試驗都有一條時間波形（稱為樣本每一次試驗都有一條時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作xi(t)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體x1(t), x2(t)， , xn(t)， 就構(gòu)成一隨機過程，記作就構(gòu)成一隨機過程，記作(t)。簡言之，。簡言之， 無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做隨機過程。隨機過程。如圖如圖 2 - 1 所示所示。 圖 2- 1樣本函數(shù)的總體 x1(

5、t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn(t)tk隨機過程隨機過程基本特征基本特征體現(xiàn)在兩個方面體現(xiàn)在兩個方面(兩重性兩重性)： 它是一個它是一個時間函數(shù)時間函數(shù)； 在任一時刻觀察到的值是不確定的，即是在任一時刻觀察到的值是不確定的，即是一個一個隨機變量隨機變量 。 因此，我們又可以把隨機過程看成因此，我們又可以把隨機過程看成是是在在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。合。 通信系統(tǒng)中用于表示信息的信號不通信系統(tǒng)中用于表示信息的信號不可能是單一的確定的可能是單一的確定的, , 而是各種不同的而是各種不同的信號。信息就包含于出現(xiàn)信號。信息就包含于

6、出現(xiàn)的的信號之中。信號之中。例如二元信息需用二種信號表示例如二元信息需用二種信號表示, , 具體具體出現(xiàn)哪個信號是隨機的出現(xiàn)哪個信號是隨機的, ,不可能準確不可能準確預(yù)預(yù)測測( ( 如能如能預(yù)預(yù)測測, ,則無需通信了則無需通信了) )。 我們稱這我們稱這種具有隨機性的信號為種具有隨機性的信號為隨機信號隨機信號。隨機信號隨機信號 信號的某個或某幾個參數(shù)不能預(yù)知或信號的某個或某幾個參數(shù)不能預(yù)知或不能完全被預(yù)知，這種具有隨機性的不能完全被預(yù)知，這種具有隨機性的信號稱為隨機信號信號稱為隨機信號隨機噪聲隨機噪聲 不能預(yù)測的噪聲統(tǒng)稱為隨機噪聲不能預(yù)測的噪聲統(tǒng)稱為隨機噪聲2.2 隨機過程的一般表述隨機過程的

7、一般表述 設(shè)設(shè)(t)表示一個隨機過程，在任意給定的時刻表示一個隨機過程，在任意給定的時刻t1T， 其取值其取值(t1)是一個一維隨機變量。而隨機變量的統(tǒng)計特是一個一維隨機變量。而隨機變量的統(tǒng)計特性可以用性可以用分布函數(shù)分布函數(shù)或或概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)來描述。我們把隨機來描述。我們把隨機變量變量(t1)小于或等于某一數(shù)值小于或等于某一數(shù)值x1的概率的概率 P(t1)x1，簡記為，簡記為F1(x1, t1)， 即即 F1(x1,t1)=P(t1)x1 (2.2-1)式式(2.2 - 1)稱為隨機過程稱為隨機過程(t)的一的一維分布函數(shù)維分布函數(shù)。如果。如果F1(x1, t1)對對x1的偏導(dǎo)數(shù)存

8、在，即有的偏導(dǎo)數(shù)存在，即有返回本章返回本章圖 2- 1樣本函數(shù)的總體 F1(x1,t1)=P(t1)x1),(),(1111111txfxtxF 則稱則稱f1(x1, t1)為為(t)的的一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)。顯然，隨。顯然，隨機過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述機過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性，而沒有說明了隨機過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性，而沒有說明隨機過程在不同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為此需要隨機過程在不同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為此需要進一步引入二維分布函數(shù)。進一步引入二維分布函數(shù)。 任給兩個時刻任給兩個時刻t1, t

9、2T，則隨機變量，則隨機變量(t1)和和(t2)構(gòu)構(gòu)成一個二元隨機變量成一個二元隨機變量(t1), (t2)，稱，稱 F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2)x2 (2.2-3)為隨機過程為隨機過程(t)的的二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)。 如果存在如果存在);,();,(21212212, 12122t txxfxxttxxF 則稱則稱f2(x1,x2; t1,t2)為為(t)的的二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)。 同理，任給同理，任給t1, t2, , tnT, 則則(t)的的n維分布函數(shù)維分布函數(shù)被定義為被定義為 Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)= P(t1)x

10、1,(t2)x2, (tn)xn 若若).,;.,(.).,.;,(2121212, 121nnnnnnntttxxxfxxxtttxxF 則稱則稱fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)為為(t)的的n維概維概率密度函數(shù)率密度函數(shù)。顯然，。顯然，n越大，對隨機過程統(tǒng)計越大，對隨機過程統(tǒng)計特性的描述就越充分，但問題的復(fù)雜性也隨特性的描述就越充分，但問題的復(fù)雜性也隨之增加。在一般實際問題中，掌握二維分布之增加。在一般實際問題中，掌握二維分布函數(shù)就已經(jīng)足夠了。函數(shù)就已經(jīng)足夠了。 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面

11、地描述隨機過程的統(tǒng)計特性隨機過程的統(tǒng)計特性, 但在實際工作中，有時不易或但在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機過程的不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機過程的數(shù)字特征來描述隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單直觀。數(shù)字特征來描述隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單直觀。 1. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 設(shè)隨機過程設(shè)隨機過程(t)在任意給定時刻在任意給定時刻t1的取值的取值(t1)是一是一個隨機變量，其一維概率密度函數(shù)為個隨機變量，其一維概率密度函數(shù)為f1(x1, t1)，則，則(t1)的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為圖圖 2- 1樣本函數(shù)的總體樣本函數(shù)的總體 F1(x1,t1)=P(t1)x111

12、111),()(dxtxfxtE 注意，這里注意，這里t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把t1直接直接寫為寫為t, x1改為改為x, 這時上式就變?yōu)殡S機過程在任這時上式就變?yōu)殡S機過程在任意時刻的數(shù)學(xué)期望，記作意時刻的數(shù)學(xué)期望，記作a(t)， 于是于是dxtxfxtEta),()()(1a(t)是時間是時間t的函數(shù)，它表示隨機過程的的函數(shù)，它表示隨機過程的n個個樣本函數(shù)曲線的擺動中心。樣本函數(shù)曲線的擺動中心。a(t)2. 方差方差2)()()(tatEtD)()(),()()(221222ttadxtxfxtatE D(t)常記為常記為2(t)，它表示樣本偏離均值的程，它表示樣本偏離均值

13、的程度?？梢姺讲畹扔诰街蹬c數(shù)學(xué)期望平方之差。它度?？梢姺讲畹扔诰街蹬c數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機過程在時刻表示隨機過程在時刻t對于均值對于均值a(t)的偏離程度。稱的偏離程度。稱E2(t)為為均方值均方值。稱方差的平方根。稱方差的平方根(t)為為標準差標準差、均方差均方差或或均方根差均方根差。(t)的均值和方差都存在，則稱的均值和方差都存在，則稱(t)為為二階矩過程二階矩過程。3. 自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù) 均值和方差都只與隨機過程的一維概率均值和方差都只與隨機過程的一維概率密度函數(shù)有關(guān)，因而它們描述了隨機過程在密度函數(shù)有關(guān)，因而它們描述了隨機過程在各個孤立時刻的特

14、征。為了描述隨機過程在各個孤立時刻的特征。為了描述隨機過程在兩個不同時刻狀態(tài)之間的聯(lián)系，兩個不同時刻狀態(tài)之間的聯(lián)系， 還需利用二還需利用二維概率密度引入新的數(shù)字特征維概率密度引入新的數(shù)字特征。 衡量同一隨機過程在任意兩個時刻獲得衡量同一隨機過程在任意兩個時刻獲得的隨機變量之間的關(guān)聯(lián)程度時，常用協(xié)方差的隨機變量之間的關(guān)聯(lián)程度時，常用協(xié)方差函數(shù)函數(shù)B(t1, t2)和相關(guān)函數(shù)和相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)來表示。來表示。自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)定義為定義為B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) = f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2)()(2211taxtax 式中，

15、式中，t1與與t2是任取的兩個時刻；是任取的兩個時刻；a(t1)與與a(t2)為在為在t1及及t2時刻得到的數(shù)學(xué)期望；時刻得到的數(shù)學(xué)期望；f2(x1,x2; t1,t2)為二維概率密度函數(shù)。為二維概率密度函數(shù)。特例：當特例：當t1=t2 =t時，時， B(t1,t2)= D(t)用途：用協(xié)方差來判斷同一隨機過程的兩個變量用途：用協(xié)方差來判斷同一隨機過程的兩個變量是否相關(guān)。是否相關(guān)。 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)定義為定義為二者的關(guān)系二者的關(guān)系: B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2)用途：用途： a 用來判斷廣義平穩(wěn)；用來判斷廣義平穩(wěn)； b 用來求解隨機過程的功率譜密度及平均功率

16、。用來求解隨機過程的功率譜密度及平均功率。 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2) 若若 a(t1)=0或或a(t2)=0，則，則B(t1, t2)=R(t1, t2) 若若 t2t1，并令，并令t2=t1+， 則則 R(t1, t2)可表示為可表示為R(t1, t1+)。 這說明，相關(guān)函數(shù)依賴于起始時刻這說明，相關(guān)函數(shù)依賴于起始時刻t1及及t2與與t1之間之間的時間間隔的時間間隔,即相關(guān)函數(shù)是即相關(guān)函數(shù)是t1和和的函數(shù)。的函數(shù)。 由于由于B(t1, t2)和和R(t1, t2)是衡量同

17、一過程的相關(guān)程是衡量同一過程的相關(guān)程度的，度的， 因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。對于兩個或更多個隨機過程，可引入互相關(guān)函數(shù)。對于兩個或更多個隨機過程，可引入互協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù)。協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù)。設(shè)設(shè)(t)和和(t)分別表示兩個隨機過程，則分別表示兩個隨機過程，則互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)定義為定義為B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)定義為定義為 R(t1, t2)=E(t1)(t2)B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 2121212212121),;,()()()

18、,(dxdxttxxfxxttEttR2.3 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程2.3.1定義定義 所謂平穩(wěn)隨機過程，是指它的統(tǒng)計特性不隨時間的所謂平穩(wěn)隨機過程，是指它的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化。設(shè)隨機過程推移而變化。設(shè)隨機過程(t)，tT,若對于任意若對于任意n和任意選定和任意選定t1t2tn, tkT， k=1, 2, , n，以及，以及為任意值，且為任意值，且x1, x2, , xnR，有：，有： fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)= fn(x1, x2, , xn; t1+ , t2+ , , tn+ ) (2.3-1)則稱則稱(t)是是嚴平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程

19、或或狹義平穩(wěn)隨機過程狹義平穩(wěn)隨機過程。 返回本章返回本章該定義說明，平穩(wěn)隨機過程的概率密度函數(shù)并不隨該定義說明，平穩(wěn)隨機過程的概率密度函數(shù)并不隨著時間的推移而變化，即著時間的推移而變化，即狹義平穩(wěn)隨機過程狹義平穩(wěn)隨機過程是是統(tǒng)計統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān)的隨機過程特性與時間起點無關(guān)的隨機過程。具體到它的一維。具體到它的一維分布分布, 則與時間則與時間t無關(guān)，無關(guān)， 而二維分布只與時間間隔而二維分布只與時間間隔有有關(guān)，即有關(guān)，即有 f1(x1, t1)=f1(x1, t1 + )= f1(x1) (2.3-2) f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;t1+ ,t2+ )=f2(x1,x2

20、;) (2.3-3)以上兩式可由式（以上兩式可由式（2.3-1）分別令）分別令n=1和和n=2, 并取并取=-t1得證。得證。對于平穩(wěn)隨機過程對于平穩(wěn)隨機過程(t) (1)adxxfxdxtxfxtE111111111)(),()( 為一常數(shù)，為一常數(shù)，這表示平穩(wěn)隨機過程的各樣本函數(shù)圍這表示平穩(wěn)隨機過程的各樣本函數(shù)圍繞著一水平線起伏繞著一水平線起伏。(2) R(t1, t2)=(t1)(t1+) = )();,(2121221Rdxdxxxfxx 僅是時間間隔僅是時間間隔=t2-t1的函數(shù)，而不再是的函數(shù)，而不再是t1和和t2的二的二維函數(shù)。維函數(shù)。 若若 (1) a(t)=a (2) R(t

21、1, t1+)=R() 則稱則稱(t)為為寬平穩(wěn)隨機過程寬平穩(wěn)隨機過程或或廣義平穩(wěn)隨機過程廣義平穩(wěn)隨機過程 因為廣義平穩(wěn)隨機過程的定義只涉及與一維、因為廣義平穩(wěn)隨機過程的定義只涉及與一維、 二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征?？梢宰C明二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征。可以證明一個嚴平穩(wěn)一個嚴平穩(wěn)隨機過程只要它的均方值隨機過程只要它的均方值E2(t)有界，則它必定有界，則它必定是廣義平穩(wěn)隨機過程，但反過來一般不成立。是廣義平穩(wěn)隨機過程，但反過來一般不成立。 即：即： 廣義平穩(wěn)不一定狹義平穩(wěn)，狹義平穩(wěn)也不一定廣廣義平穩(wěn)不一定狹義平穩(wěn)，狹義平穩(wěn)也不一定廣義平穩(wěn)。義平穩(wěn)。 通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為

22、通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。以后討論的隨機過程除特殊說明外，平穩(wěn)的隨機過程。以后討論的隨機過程除特殊說明外，均假定是平穩(wěn)的，均假定是平穩(wěn)的， 且均指廣義平穩(wěn)隨機過程，簡稱且均指廣義平穩(wěn)隨機過程，簡稱平穩(wěn)過程。平穩(wěn)過程。 2.3.2 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性 平穩(wěn)隨機過程在滿足一定條件下，有平穩(wěn)隨機過程在滿足一定條件下，有“各態(tài)歷各態(tài)歷經(jīng)性經(jīng)性”。這種平穩(wěn)隨機過程，它的數(shù)字特征（均為。這種平穩(wěn)隨機過程，它的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均）完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的數(shù)字）完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的數(shù)字特征（均為特征（均為時間平均時間平均）來替代。也就是說，假設(shè)）來

23、替代。也就是說，假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機過程是平穩(wěn)隨機過程(t)的任意一個實現(xiàn)，它的時間均值的任意一個實現(xiàn)，它的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別為和時間相關(guān)函數(shù)分別為2/2/)(1)(limTTTdttxTtxa2/2/)()(1)()()(limTTTdttxtxTtxtxR圖 2- 1樣本函數(shù)的總體 如果平穩(wěn)隨機過程依概率如果平穩(wěn)隨機過程依概率1使下式成立：使下式成立： aa )()(RR 則稱該平穩(wěn)隨機過程具有則稱該平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性。 “各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義：的含義：隨機過程中的任一實現(xiàn)隨機過程中的任一實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此

24、，。因此， 我們無我們無需（實際中也不可能）獲得大量用來計算統(tǒng)計平均的需（實際中也不可能）獲得大量用來計算統(tǒng)計平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個隨機過程的樣本函數(shù)中樣本函數(shù)，而只需從任意一個隨機過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，就可獲得它的所有的數(shù)字特征， 從而使從而使“統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均”化為化為“時間平均時間平均”，使實際測量和計算的問題大為簡，使實際測量和計算的問題大為簡化。化。 注意：注意： 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程，隨機過程， 但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲

25、，在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲， 一般均能一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。 2.4 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度 2.4.1 平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù) 對于平穩(wěn)隨機過程而言，對于平穩(wěn)隨機過程而言， 它的自相關(guān)函數(shù)是特它的自相關(guān)函數(shù)是特別重要的一個函數(shù)。其一，平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特別重要的一個函數(shù)。其一，平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性，如性，如數(shù)字特征數(shù)字特征等，等， 可通過自相關(guān)函數(shù)來描述；其可通過自相關(guān)函數(shù)來描述；其二，自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)隨機過程的二，自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)隨機過程的譜特性譜特性有著內(nèi)在有著內(nèi)在的聯(lián)系。因此，我們有必

26、要了解平穩(wěn)隨機過程自相的聯(lián)系。因此，我們有必要了解平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。 設(shè)設(shè)(t)為實平穩(wěn)隨機過程，為實平穩(wěn)隨機過程， 則它的自相關(guān)函數(shù)則它的自相關(guān)函數(shù) R()=E(t)(t+) (2.4-8)返回本章返回本章具有下列主要性質(zhì)：具有下列主要性質(zhì)： R()=E(t)(t+) (1) R(0)=E2(t)=S ，(t)的平均功率的平均功率 (2.4-9） (2) R()=E2(t)，(t)的直流功率的直流功率 (2.4-10） 時，時， (t)與與(t+) 統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立 (3) R()=R(-) ，的偶函數(shù)的偶函數(shù) (2.4-11) R(-)=E(t)(t-) = E(

27、t +)(t)= R() (4) |R()|R(0) ，R()的上界的上界 (2.4-12) (5) R(0)-R()=2 ，方差，方差，(t)的交流功率的交流功率 (2.4-13) 當均值為當均值為0時，有時，有R(0)=2。 )()()(2limTFEPEPTTf 那么，如何方便地求功率譜那么，如何方便地求功率譜P()呢？呢？ 我們知道，我們知道，確知的非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是確知的非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對傅氏變換關(guān)系。一對傅氏變換關(guān)系。對于平穩(wěn)隨機過程對于平穩(wěn)隨機過程，也有類似，也有類似的關(guān)系的關(guān)系:2.4.2 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的功率譜

28、密度 隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。而對于任意的確定功率信號的。而對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度，它的功率譜密度為為 deRj)()(PdePRj)(21)(2.4-17）稱為維納稱為維納辛欽公式。辛欽公式。dPR)(21)0(2.4-18）R(0)=E2(t)=S ，(t)的平均功率的平均功率或或deRfPfj2)()(dfefPRfj2)()( 簡記為簡記為 R() P() 關(guān)系式（關(guān)系式（2.4-17）在平穩(wěn)隨機過程的理論和應(yīng)用）在平穩(wěn)隨機過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時域兩中是一個非常重要

29、的工具。它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。種分析方法的基本關(guān)系式。(2.4-19） 根據(jù)上述關(guān)系式及自相關(guān)函數(shù)根據(jù)上述關(guān)系式及自相關(guān)函數(shù)R()的性質(zhì)，不的性質(zhì)，不難推演功率譜密度難推演功率譜密度P()有如下性質(zhì)：有如下性質(zhì)： （1） P()0，非負性；，非負性； （2.4-20） （2） P(-)=P()，偶函數(shù)，偶函數(shù) （2.4-21）例例2 1 某隨機相位余弦波某隨機相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中，其中A和和c均為常數(shù)，均為常數(shù)，是在是在(0,2)內(nèi)均勻分布的隨機變量。內(nèi)均勻分布的隨機變量。 （1） 求求(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度；的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度； （2

30、） 討論討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解：解： (1) 先考察先考察(t)是否廣義平穩(wěn)。是否廣義平穩(wěn)。 (t)的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為dtAtEtac21)cos()()(20dttAcc)sinsincos(cos220常數(shù)）(0sinsincoscos22020dtdtAccdxtxfxtEta),()()(1(t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為)()(),(2121ttEttR)cos()cos(21tAtAEcc2)(cos)(cos212122ttttEAccdttAttAcc212)(cos2)(cos212202122)(cos20)(cos22122RAttA

31、cc可見可見(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)， 而自相關(guān)函數(shù)只與時間而自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔間隔有關(guān)，有關(guān)， 所以所以(t)為廣義平穩(wěn)隨機過程。為廣義平穩(wěn)隨機過程。根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即：傅里葉變換，即：)()(PR而而)()(cosccct所以，功率譜密度為所以，功率譜密度為)()(2)(2ccAP平均功率為平均功率為2)0(2ARS(2) (t)的時間平均。的時間平均。 根據(jù)式（根據(jù)式（2.2 - 6）可得）可得0)cos(12/2/limdttATaTTcTdttAtATRcTTcT)(cos()co

32、s(1)(2/2/limdttdtTAcTTcTTcT)22cos(cos22/2/2/2/2limcAcos22即：即： aa )()(RR統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均=時間平均，因此，隨機相位余弦波是各態(tài)時間平均，因此，隨機相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。歷經(jīng)的。 2.5 高斯隨機過程高斯隨機過程 2.5.1定義定義 若隨機過程若隨機過程(t)的任意的任意n維（維（n=1, 2, ）分布都）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。 其其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下：維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下： ),;,(2121nnntttxxxf)(21exp.)2(1

33、11212121kkkjjjnkjknjnaxaxBBB 式中式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|為歸一化為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即協(xié)方差矩陣的行列式，即返回本章返回本章B b12 b1nb21 1 b2nbn1 bn2 1 |B|jk為行列式為行列式|B|中元素中元素bjk的代數(shù)余因子，的代數(shù)余因子，bjk為為歸一化協(xié)方差函數(shù)歸一化協(xié)方差函數(shù)kjkkjjjkatatEb )()( 2.5.2 重要性質(zhì)重要性質(zhì) （1） 由上式可以看出由上式可以看出, 高斯過程的高斯過程的n維分布完全由維分布完全由n個隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)個隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方

34、差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。數(shù)字特征就可以了。 （2） 如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值與如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，由性質(zhì)點無關(guān)，由性質(zhì)(1)知，它的知，它的n維分布與時間起點無關(guān)。維分布與時間起點無關(guān)。 所以，所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。 （3） 如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)

35、的， 即對所有即對所有jk有有bjk=0，這時上式為，這時上式為 2)(exp)2(1),;,(122122121njjjjnjjnnnnaxtttxxxf2)(exp212212jjjnjaxj= f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn) 也就是說，如果高斯過程在不同時刻的取值是也就是說，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相不相關(guān)關(guān)的，的， 那么它們也是那么它們也是統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立的，以后分析問題時，的，以后分析問題時，會經(jīng)常用到高斯過程中的一維分布。例如，高斯過會經(jīng)常用到高斯過程中的一維分布。例如，高斯過程在任一時刻上的樣值是一個一維高斯隨機變量，程在任一時刻上的樣值是一個一維

36、高斯隨機變量，其一維概率密度函數(shù)可表示為其一維概率密度函數(shù)可表示為)2)(exp(21)(222axxf 式中，式中，a為高斯隨機變量的數(shù)學(xué)期望，為高斯隨機變量的數(shù)學(xué)期望，2為方為方差。差。f(x)曲線如圖曲線如圖 2 - 3所示。所示。 由上式和圖由上式和圖2 - 3可知可知f(x)具有如下特性：具有如下特性： (1) f(x)對稱于對稱于x=a這條直線。這條直線。f(a+x)=f(a-x) (2)x，f(x) 0，在點在點a處達到極大值處達到極大值21 (3) 1)(dxxf且有且有21)()(aadxxfdxxf圖圖2-3 正態(tài)分布的概率正態(tài)分布的概率f (x)12Oax （4） a表示

37、分布中心，表示分布中心，表示集中程度，表示集中程度，f(x)圖圖形將隨著形將隨著的減小而變高和變窄；隨的減小而變高和變窄；隨a的變化左右平的變化左右平移移 。 一維正態(tài)概率密度函數(shù)一維正態(tài)概率密度函數(shù)當當a=0，=1時，稱時，稱f(x)為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)，為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)，N(0,1)：)2exp(21)(2xxf正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)dzazxPxFx2)(exp21)()(22這個積分無法用閉合形式計算，我們要設(shè)法把這這個積分無法用閉合形式計算，我們要設(shè)法把這個積分式可以在數(shù)學(xué)手冊上查出積分值的特殊函個積分式可以在數(shù)學(xué)手冊上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來，一般常用以下特殊函數(shù)

38、：數(shù)聯(lián)系起來，一般常用以下特殊函數(shù)： 誤差函數(shù)和補誤差函數(shù)誤差函數(shù)和補誤差函數(shù)誤差函數(shù)誤差函數(shù):xtdtexerf022)(它是自變量的遞增函數(shù)，它是自變量的遞增函數(shù)，erf(0)=0，erf()=1，且，且erf(-x)=-erf(x)。 補誤差函數(shù)補誤差函數(shù):dtexerfxerfcxt22)(1)( 它是自變量的遞減函數(shù)，它是自變量的遞減函數(shù)，erfc(0)=1，erfc()=0，且，且erfc(-x)=2-erfc(x)。實際應(yīng)用中只要。實際應(yīng)用中只要x2即可近似有即可近似有21)(xexxerfc可推得可推得:)2(211)2(2121)(axerfcaxerfxF用誤差函數(shù)或互補誤

39、差函數(shù)表示用誤差函數(shù)或互補誤差函數(shù)表示F(x)的好處是，的好處是，它簡明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲它簡明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。性能。 2.8 隨機過程通過線性系統(tǒng)隨機過程通過線性系統(tǒng) 通信的目的在于傳輸信號，信號和系統(tǒng)總通信的目的在于傳輸信號，信號和系統(tǒng)總是聯(lián)系在一起的。通信系統(tǒng)中的信號或噪聲一般是聯(lián)系在一起的。通信系統(tǒng)中的信號或噪聲一般都是隨機的，對于平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變都是隨機的，對于平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)，其輸出過程類似于確知信號通過線性系統(tǒng)，系統(tǒng)，其輸出過程類似于確知信號通過線性系統(tǒng)，即：即：dthvthtvtvii)()()()()(0返回

40、本章返回本章(2.8-1)dtvhtvthtvii)()()()()(0 若若 vo(t) Vo(), vi(t) Vi(), h(t) H()，則，則有有 Vo()=H()Vi() (2.8-2)如果把如果把vi(t)看作是輸入隨機過程的一個樣本，則看作是輸入隨機過程的一個樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然，輸入過可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然，輸入過程程i(t)的每個樣本與輸出過程的每個樣本與輸出過程o(t)的相應(yīng)樣本之間都的相應(yīng)樣本之間都滿足式滿足式(2.8-4)的關(guān)系。就整個過程而言，便有的關(guān)系。就整個過程而言，便有 (2.8-5)假定輸入假定輸入i(t)是平

41、穩(wěn)隨機過程，是平穩(wěn)隨機過程， Ei(t)=a(常數(shù)常數(shù))系統(tǒng)的輸出過程系統(tǒng)的輸出過程o(t)的統(tǒng)計特性：的統(tǒng)計特性：1. 輸出過程輸出過程o(t)的數(shù)學(xué)期望：的數(shù)學(xué)期望： 對式（對式（2.8-5）兩邊取統(tǒng)計平均）兩邊取統(tǒng)計平均 dthti)()()(0dhadtEhtthEtEii)()()()()()(0求得求得dtthH)()0(所以所以 輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且的乘積，且Eo(t)與與t無關(guān)。無關(guān)。 2. 輸出過程輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) )()(),(1010110tt

42、EttRdtethHtj)()()0()()0()(0HtEHatEi直流傳遞函數(shù)直流傳遞函數(shù))()()()()()(),(111010110dthdaatahEttEttRii)()()()(11ddtatEhahii 可見可見, o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔而而與時間起點與時間起點t1無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，和自相關(guān)函數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。 )()()(11iiiRtatE)()()()(),(0110RddRha

43、httRi 而而則則 3. 輸出過程輸出過程o(t)的功率譜密度的功率譜密度 對對 進行傅里葉變換進行傅里葉變換, 有有deRPj)()(00dedadRhahji )()()(令令則有則有deRdehdeahPjijaj)()()()(0即即)()()()()()(20iiPHPHHP)(0RdeahHdeahHajaj)()(,)()( 可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度率譜密度Pi()與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H()|2的乘積。這是一個很重要的公式。的乘積。這是一個很重要的公式。 當我們當我們想得到輸出過程的自相關(guān)函數(shù)想得到輸出過程的自相

44、關(guān)函數(shù)Ro()時，比時，比較簡單的方法是先計算出功率譜密度較簡單的方法是先計算出功率譜密度Po()，然后求其反變換，這比直接計算然后求其反變換，這比直接計算Ro()要簡要簡便得多。便得多。)()()()(),(0110RddRhahttRi 例例2 帶限白噪聲。試求功率譜密度為帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為其他0|)(0HtjeKH解解: 由上式得：由上式得：HKH| ,| )(|202輸出功率譜密度：

45、輸出功率譜密度：HinKPHP|,2)()()(02020可見，可見， 輸出噪聲的功率譜密度在輸出噪聲的功率譜密度在|H內(nèi)是均勻內(nèi)是均勻的，的， 在此范圍外則為零，如圖在此范圍外則為零，如圖 2-8(a)所示，通常所示，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2 （a) (b) 圖圖2-8 帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)其自相關(guān)函數(shù)為：其自相關(guān)函數(shù)為：dePRj)(21)(00dfenKfjffHH20202HHHfnksin020式中，式中，H=2fH。由此可見，帶限白噪

46、聲只有在。由此可見，帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機變量才不相關(guān)。上得到的隨機變量才不相關(guān)。它告訴我們，它告訴我們，如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機變量的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機變量。如圖如圖 2-8(b)所示，帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)所示，帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)Ro()在在=0 處有最大值，這就是帶限白噪聲的平均功率處有最大值，這就是帶限白噪聲的平均功率:HfnkR0200)0(kkkkiihtdthtk)()(lim)()()(00004. 輸出過程輸出過程o(t)的分布：的分布： 一個線性系

47、統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)一個線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。的輸出過程也是高斯型的。 與輸入正態(tài)過程相比，輸出過程的數(shù)字特征與輸入正態(tài)過程相比，輸出過程的數(shù)字特征改變了。改變了。 高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯的。高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯的。2.6 窄帶隨機過程窄帶隨機過程 窄帶系統(tǒng)窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度，是指其通帶寬度f fc，且，且fc遠離零遠離零頻率的系統(tǒng)。隨機過程通過以頻率的系統(tǒng)。隨機過程通過以fc為中心頻率的窄帶系為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是統(tǒng)的輸出，即是窄帶過程窄帶過程。實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)。實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的

48、，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機的，則稱它們?yōu)榈?，如果這時的信號或噪聲又是隨機的，則稱它們?yōu)檎瓗д瓗щS機過程隨機過程。如用示波器觀察一個實現(xiàn)的波形，則。如用示波器觀察一個實現(xiàn)的波形，則如圖如圖2-6(b)所示，它是一個頻率近似為所示，它是一個頻率近似為fc，包絡(luò)和相位包絡(luò)和相位隨機緩變的正弦波。隨機緩變的正弦波。返回本章返回本章圖圖2-6 窄帶過程的窄帶過程的頻譜頻譜和波形示意和波形示意改變改變帶寬帶寬、載波載波對窄帶波形的影響對窄帶波形的影響 fcOS( f )fffcf(a)tOS( f )緩慢變化的包絡(luò)a(t

49、)頻率近似為 fc(b)窄帶隨機過程窄帶隨機過程(t)可用下式表示：可用下式表示： (t)=a(t) cosct+(t), a(t)0 (2.6-1)等價式為等價式為: (t)=c(t)cosct-s(t)sinct (2.6-2 ) 其中：其中： c(t)=a(t)cos(t) ( 2.6-3) s(t)=a(t) sin(t) (2.6-4) 式中式中, , a(t)及及(t)分別是分別是(t)的隨機包絡(luò)和隨機相的隨機包絡(luò)和隨機相位，位， c(t)及及s(t)分別稱為分別稱為(t)的同相分量和正交分量，的同相分量和正交分量， 它們也是隨機過程，顯然它們的變化相對于載波它們也是隨機過程，顯然

50、它們的變化相對于載波cosct的變化要緩慢得多。的變化要緩慢得多。 由式由式(2.6-1)至至(2.6-4)看出看出，(t)的統(tǒng)計特性可由的統(tǒng)計特性可由a(t)、(t)或或c(t)、s(t)的統(tǒng)計特性確定。反之，如果的統(tǒng)計特性確定。反之，如果已知已知(t)的統(tǒng)計特性則可確定的統(tǒng)計特性則可確定a(t)、(t)以及以及c(t)、s(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性。 2.6.1 同相和正交分量的統(tǒng)計特性同相和正交分量的統(tǒng)計特性 設(shè)窄帶過程設(shè)窄帶過程(t)是是平穩(wěn)高斯窄帶過程平穩(wěn)高斯窄帶過程，且均值為，且均值為0，方差為方差為2。下面將證明它的同相分量下面將證明它的同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t

51、)也是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與也是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與(t)具有相同具有相同的方差。的方差。 1. 1. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct= 0 (2.6-5) 則則： Ec(t)=0 Es(t)=0 (2.6-6) E(t)= Ec(t)= Es(t)=0 2. 自相自相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)R(t, t+)=E(t)(t+) =Ec(t)cosct-s(t) sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+) sinc(t+) =Rc(t, t+) cosct cosc(t+) -R c s(t, t+) cosctsinc(t+) -R s c(t

52、, t+) sinc tcosc(t+) +R s(t, t+) sinc tsinc(t+) （2.6-7）式中：式中： R c(t, t+)=Ec(t)c(t+) R c s(t, t+)=Ec(t)s(t+) R s c(t, t+)=Es(t)c(t+) R s(t, t+)= Es(t)s(t+) 因為因為(t)是平穩(wěn)的，則有是平穩(wěn)的，則有 R(t, t+)=R() 這就要求式這就要求式(2.6-7)的右邊也應(yīng)該與的右邊也應(yīng)該與t無關(guān)，而僅無關(guān)，而僅與時間間隔與時間間隔有關(guān)。有關(guān)。 令令 t=0 ，則式，則式(2.6-7)應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變?yōu)?ctctttRttRRsccsin| ),(co

53、s| ),()(00(2.6-8)這時，顯然應(yīng)有這時，顯然應(yīng)有)(),()(),(scscccRttRRttR則式（則式（2.6-8）變?yōu)椋┳優(yōu)閏csccRRRsin)(cos)()(2.6-9)再取使再取使t=/2c，同理可求得，同理可求得(2.6-10) 其中應(yīng)有其中應(yīng)有 R s(t, t+)=R s() R s c(t, t+)=R s c() 式（式（2.6-9）和式（）和式（2.6-10）應(yīng)同時成立）應(yīng)同時成立ccsccRRRsin)(cos)()(cccssRRRsin)(cos)()( 故有故有 R c()=R s() (2.6-11) R c s()= -R s c() (2.

54、6-12)由以上的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知，由以上的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知， 如如果窄帶過程果窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，則c(t)與與s(t)也必將是平穩(wěn)也必將是平穩(wěn)的。同相分量的。同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)具有相同的自相關(guān)函數(shù)函數(shù)，而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有，而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有R c s()=R s c(-) (R(t1, t1+)=E(t1)(t1+)將上式代入式（將上式代入式（2.6-12），可得），可得 R s c()=-R s c(-) (2.6-13)同理可推得同理可推得 R c s()=-R c s(-) (2

55、.6-14)即即c(t)、s(t)的互相關(guān)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)R s c()、R c s()都是都是的的奇函數(shù)，在奇函數(shù)，在=0時時 R s c(0)=R c s(0)=0 (2.6-15)于是，由式（于是，由式（2.6-9）及式（）及式（2.6-10）得到）得到 R (0)=R c(0)=R s(0) (平均功率平均功率) (2.6-16) 則則 2 =2 c =2 s (2.6-17)這表明這表明(t)、c(t)和和s(t)具有相同的平均功率或方具有相同的平均功率或方差差（因為均值為（因為均值為0）。）。 ccsccRRRsin)(cos)()(cccssRRRsin)(cos)()( 另外，

56、因為另外，因為(t)是平穩(wěn)的，所以是平穩(wěn)的，所以(t)在任意時刻的在任意時刻的取值都是服從高斯分布的隨機變量，取值都是服從高斯分布的隨機變量， 故在式（故在式（2.6 -2）中取：中?。?(t)=c(t)cosct-s(t)sinct t=t1=0 時，時， (t1)=c(t1)t=t2=/2c時，時，(t2)=s(t2) 所以所以c(t1)，s(t2)也是高斯隨機變量，從而也是高斯隨機變量，從而c(t)、 s(t)也是高斯隨機過程也是高斯隨機過程。而。而c(t)、s(t)在同一在同一時刻的取值是互不相關(guān)的隨機變量，時刻的取值是互不相關(guān)的隨機變量， 因而它們還因而它們還是統(tǒng)計獨立的。是統(tǒng)計獨立

57、的。 綜上所述，我們得到一個重要結(jié)論：綜上所述，我們得到一個重要結(jié)論：一一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，它的，它的同相分量同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)也是平穩(wěn)高斯也是平穩(wěn)高斯過程，過程， 而且均值都為零，方差也相同。此而且均值都為零，方差也相同。此外，外， 在同一時刻上得到的在同一時刻上得到的c和和s是互不相關(guān)是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。的或統(tǒng)計獨立的。2.6.2 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性 由于由于c和和s統(tǒng)計獨立，聯(lián)合概率密度函數(shù)為統(tǒng)計獨立，聯(lián)合概率密度函數(shù)為 2exp21)()(),(2222scscscfff 設(shè)設(shè)a,的聯(lián)合

58、概率密度函數(shù)為的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(a, )，則利，則利用概率論知識，用概率論知識， 有有 ),(),(),(),(afafscsc 而而sincosaasc 得到得到 于是于是2)sin()cos(exp2222aaa2exp2222aa 注意，這里注意，這里a0, 而而在在(0，2)內(nèi)取值。內(nèi)取值。 再利用概率論中邊際分布知識將再利用概率論中邊際分布知識將f(a,)對對積分，積分， 可求得包絡(luò)可求得包絡(luò)a的一維概率密度函數(shù)為的一維概率密度函數(shù)為scscscaaa),(),(cossinsincosaaa),(),(scfaafdaadafaf2exp2),()(202220,2exp22

59、2aaa 可見，可見，a服從瑞利分布服從瑞利分布。 同理，同理，f(a, )對對a積分可求得相位積分可求得相位的一維概的一維概率密度函數(shù)為率密度函數(shù)為20,21)2exp(21),()(22020daaadaaff可見，可見，服從均勻分布服從均勻分布。 且有：且有： f(a,)=f(a)f() (2.6-23) 綜上所述，我們又得到一個重要結(jié)論：綜上所述，我們又得到一個重要結(jié)論：一個均值為零，一個均值為零， 方差為方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯的窄帶平穩(wěn)高斯過程過程(t)，其包絡(luò)，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，的一維分布是瑞利分布，相位相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一的一維分布是均勻分布

60、，并且就一維分布而言，維分布而言，a(t)與與(t)是統(tǒng)計獨立的是統(tǒng)計獨立的，即，即有下式成立：有下式成立： f(a,)=f(a)f() (2.6-23)2.7 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲 信號經(jīng)過信道傳輸后總會受到噪聲的干擾，為信號經(jīng)過信道傳輸后總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機前端設(shè)置一個帶了減少噪聲的影響，通常在接收機前端設(shè)置一個帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是信號與窄帶噪聲的混合波形。最通濾波器的輸出是信號與窄帶噪聲的混合波形。最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波，這是通常見的是