關(guān)于連續(xù)與一致連續(xù)畢業(yè)論文

1、 . 南 京 師 大 學(xué) 泰 州 學(xué) 院畢 業(yè) 論 文（設(shè) 計(jì)）題 目： 關(guān)于連續(xù)與一致連續(xù) 院（系、部）：數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)摘要：通過例子，給出了一致連續(xù)概念中公共的直觀而且實(shí)際的取法。對(duì)初學(xué)者建立一支連續(xù)的概念將有所幫助 在數(shù)學(xué)分析中，關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)問題的理解與應(yīng)用是理解數(shù)學(xué)中其他知識(shí)的認(rèn)識(shí)。為了加深對(duì)一致連續(xù)問題的認(rèn)識(shí)，本文從一致連續(xù)的概念出發(fā)，總結(jié)了一直連續(xù)的條件.運(yùn)算性質(zhì)。函數(shù)在區(qū)間I上的一致連續(xù)性與連續(xù)是兩個(gè)截然不同的概念，后者是一個(gè)局部性的概念，前者有整體性質(zhì)，他刻畫了函數(shù)在區(qū)間I上變化的相對(duì)均勻性。本文對(duì)一致連續(xù)性做進(jìn)一步討論，給出幾個(gè)判別定力，作為

2、教科書中相應(yīng)容的補(bǔ)充和深化。 數(shù)學(xué)分析中函數(shù)一致連續(xù)概念的給出以與證明函數(shù)在某區(qū)間上一致連續(xù)的數(shù)學(xué)方法，應(yīng)該說已經(jīng)形成了完整的體系。本文談的是對(duì)于初學(xué)者如何較快的建立對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)作為典籍的教材，給出的定義是科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模墒亲鳛榻逃齽t不能照本宣科，而需要把概念中所隱含的知識(shí)逐步交代清楚才有可能是初學(xué)者盡快建立起一致連續(xù)的概念關(guān)鍵詞:函數(shù)，一致連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，公共 The Necessary and Sufficient Condition of Consistent Continuity of Function and Its Application SONG Wen-tan，WANG Xiao

3、-dong Abstract: This paper discuss the consist continuity of function defined in finite interval （a,b） and infiniti interval and the several necessary and sufficient condition of condition of consistent continuity of function are given. 目錄1 緒論連續(xù)以與一致連續(xù)的認(rèn)識(shí)31.1函數(shù)連續(xù)的概念31.2 連續(xù)的性質(zhì)31.3 函數(shù)一致連續(xù)的概念41.4一致連續(xù)的性質(zhì)

4、42 連續(xù)以與一致連續(xù)的判別62.1 基本概念62.2 基本定理103 對(duì)于連續(xù)和一致連續(xù)的討論133.1主要結(jié)論與證明133.2有限區(qū)間上函數(shù)的一致連續(xù)性153.3 無限區(qū)間上函數(shù)的一致連續(xù)性16辭20參考文獻(xiàn)21附錄21 連續(xù)的概念 若f(x)在X。的某領(lǐng)域U（X。）有定義，且f(x)=f(x),則稱函數(shù)y=f(x)在X=X。處連續(xù)。 連續(xù)的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)的在點(diǎn)連續(xù)性，即可推斷出函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域的性態(tài)。（局部連續(xù)性）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)的某鄰域有界。（局部保號(hào)性）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，且，則對(duì)任意存在某鄰域 時(shí)，（四則運(yùn)算性質(zhì)）若函數(shù)則在區(qū)間I上有定義，且都在 連續(xù)，則（）在點(diǎn)連續(xù)。（復(fù)合函數(shù)的

5、連續(xù)性）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。(最大最小值定理) 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間 上有最大值與最小值。(介值性定理) 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，若為介于之間的任何實(shí)數(shù)（或）,則在開區(qū)間至少存在一點(diǎn)，使得 . 一致連續(xù)的概念定義一：設(shè)在區(qū)間有定義,若,使得,只要,就有,則稱在X上一致連續(xù)。定義二：設(shè)在區(qū)間有定義,若,使得,只要，就有,.則稱在X上一致連續(xù)。定義三：設(shè)在區(qū)間有定義,若,使得,只要，就有,.則稱在X上一致連續(xù)。一致連續(xù)的性質(zhì)1.（有界性定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上有界2.（區(qū)間連續(xù)性）當(dāng)函數(shù)分別在區(qū)間上一致連續(xù),且區(qū)間的右端點(diǎn)為,區(qū)間的左端點(diǎn)也為（可分

6、別為有限或無限區(qū)間）,在區(qū)間上的一致連續(xù)性.結(jié)論：當(dāng)函數(shù)分別在區(qū)間,上一致連續(xù),則在區(qū)間上是一致連續(xù)的.3.（介值定理和零值定理）若是有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則介于之間的實(shí)數(shù),必使得.作為推論,若,則必使得.4.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上一致連續(xù)的充要條件是：與都存在5.設(shè)在 上連續(xù)，在上一致連續(xù)，且，則在上一致連續(xù)。6.若函數(shù)在連續(xù)，且，則函數(shù) 在上一致連續(xù)。7.函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù)的充要條件是在上存在兩個(gè)數(shù)列，使的，但當(dāng)時(shí) ，。8.若函數(shù)在（）上連續(xù)且，（，）都存在，則函數(shù)在（）一致連續(xù)。9. 函數(shù)與都在上一致連續(xù)，則，(有意義)在上一致連續(xù)。函數(shù)一致連續(xù)性的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，若有稱函數(shù)

7、在上一致連續(xù)。例1.證明：函數(shù)在上一致連續(xù)。證 ：由于，取=，則對(duì)任何，只要，就有，故函數(shù)在上一致連續(xù)。例2. 證明：函數(shù)在區(qū)間（其中為常數(shù)）上一致連續(xù)；在區(qū)間上非一致連續(xù)。證 ： （1）由于，取，則對(duì)任意當(dāng)時(shí)，就有，故函數(shù)在區(qū)間（其中為常數(shù)）上一致連續(xù)；（2），取，雖然有 但，故函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù)。例3.（1）敘述于區(qū)間一致連續(xù)的定義;(2)設(shè)，都于區(qū)間一致連續(xù)且有界，證明：也于一致連續(xù)。解： （1）若有稱函數(shù)在上一致連續(xù)。（2）由題設(shè)，有界，從而存在，使再由，都一致連續(xù)，則使且時(shí)有令則時(shí)，所以在上一致連續(xù)。例4.函數(shù)在上連續(xù)，又在上一致連續(xù)，用定義證明：在上一致連續(xù).證： 由在上一致連

8、續(xù)，故，存在 當(dāng) ，且時(shí)，有同理，在上一致連續(xù)，對(duì)上述，存在， 當(dāng)，且時(shí)，有令，則對(duì)，當(dāng)且時(shí)，(1)若，由式有.(2)若，由式也有.(3)若，時(shí)，則，所以.從而得證在上一致連續(xù)。例5.證明：在其中上一致連續(xù)，=在上不一致連續(xù)。證:對(duì)取區(qū)間，當(dāng)時(shí)，由一致連續(xù)的定義知在給定的區(qū)間中一致連續(xù)。（2）,在取取對(duì)任意的，只要n充分大總有，.所以在上不一致連續(xù)。例6設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上。（1） 用方法敘述在上一致連續(xù)的概念；（2） 設(shè),證明：在上一致連續(xù)；（3） 證明：函數(shù)在上非一致連續(xù)。解:（1） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，若有稱函數(shù)在上一致連續(xù)。（2），取，則當(dāng)時(shí)，所以在上一致連續(xù).(3) 由 例5可知函數(shù)在

9、（0,1）上非一致連續(xù).例7.用定義證明在上一致連續(xù).證 ：令=，先證在上一致連續(xù). 設(shè)且。取，當(dāng)且時(shí)，有。即證在上一致連續(xù)。 一致連續(xù)的基本定理與其應(yīng)用證明題1.有限非閉區(qū)間的定理1：函數(shù)在上一致連續(xù)的充分必要條件是在上連續(xù)且與 都存在。2.有限非閉區(qū)間的推論1：函數(shù)在上一致連續(xù)的充分必要條件是在上連續(xù)且 存在。3.有限非閉區(qū)間的推論2：函數(shù) 在上一致連續(xù)的充分必要條件是 在 上連續(xù)且存在。4.組合空間的定理1：（一致連續(xù)函數(shù)的區(qū)間可加性）函數(shù)在上一致連續(xù)，若，則在上一致連續(xù)。5.無窮區(qū)間的定理1：函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在上連續(xù)且存在。6.無窮區(qū)間判別定理的推論：函數(shù)在上連續(xù)且和都存在

10、。7.無窮區(qū)間的定理2：函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在上連續(xù)且存在。8.無窮區(qū)間定理2推論：函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在上連續(xù)且和都存在。9.類似于有限開區(qū)間一致連續(xù)性判別法的定理：函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在上連續(xù)且和都存在。10.一般任意區(qū)間上的判別法即萊布希茨判別法：若對(duì)于定義在區(qū)間X上的函數(shù)和，有成立，而在上一致連續(xù)，則在上也一致連續(xù)。11.一般任意區(qū)間上的判別法定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且滿足在上有界，則在上一致連續(xù)。例1.（1）； （2）； （3）。解：（1）在連續(xù)，且即都存在，故在一致連續(xù)。(2)在連續(xù)，且，故一致連續(xù)。（3）滿足定理?xiàng)l件，故在區(qū)間一致連續(xù)。例2.若在上連續(xù)，

11、存在，則在上一致連續(xù)。證: 因?yàn)?，由柯西?zhǔn)則，當(dāng)s時(shí)，有. a 又由于在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，故對(duì)上述，當(dāng)，且時(shí)，有 b 取則且時(shí)，由a, b倆式知.此即證在上一致連續(xù).例3.求證：在上一致連續(xù)。證：因?yàn)樵谏线B續(xù)，又由羅比塔法則可證。由上題得在一致連續(xù)。 例4已知在上連續(xù)，證明：存在。證： 由假設(shè)，對(duì),都有故當(dāng)時(shí)，有由柯西準(zhǔn)則知 存在。例5.設(shè)在有限開區(qū)間上連續(xù)，證明：在上一致連續(xù)的充要條件是與都存在。證: 充分性，設(shè), 規(guī)定 則在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，所以在上一致連續(xù)。再證必要性，由上題可證存在，類似上題可證存在。例6.證明：如果一個(gè)函數(shù)在區(qū)間（0,1）里一致連續(xù)，那么存在一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)

12、間里連續(xù)，并且對(duì)任何。證：由例5可知存在，存在，令則在里連續(xù)，且=，例7.討論在上的一致連續(xù)性。解：因?yàn)?構(gòu)造新函數(shù)則在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，所以在上連續(xù)，從而一致連續(xù)所以在上連續(xù)，所以在其上一致連續(xù)。 主要結(jié)論與證明1.若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。證明：（用反證法）假設(shè)在上不一致連續(xù)，則某個(gè)正數(shù)，對(duì)任何正數(shù)，都對(duì)應(yīng)的，雖然，但有?，F(xiàn)以表示自然數(shù)，令，記與它相應(yīng)的兩點(diǎn)為，雖然，但有 (1)當(dāng)取遍自然數(shù)時(shí)，得數(shù)列。由致密性定理,收斂子列，()。同時(shí)也有，且()。由(1)有 （2） 現(xiàn)讓(2)式中，再由在連續(xù)性知，這與矛盾，所以在一致連續(xù)。2. 函數(shù)在開區(qū)間一致連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間連續(xù)，且都

13、存在。證明：(必要性) ，由上面證明已知在連續(xù)，又由的任意性知 在連續(xù)。下面只證存在，的證法與之類似。因?yàn)樵谝恢逻B續(xù)，所以，有 。取，則當(dāng)時(shí)，必有 ，也有，。由上式可以推出 ，由極限存在的柯西準(zhǔn)則知 存在。(充分性) 令 則由在連續(xù)知，在連續(xù)從而一致連續(xù)。3.若在連續(xù)單調(diào)、有界，則函數(shù)在一致連續(xù)。證明：由單調(diào)有界性知，存在，由(3)知 在一致連續(xù)。4.若函數(shù)在上連續(xù)，且，則在一致連續(xù)。證明：由知，有 。所以，也有 。則。而是閉區(qū)間，所以在上一致連續(xù)。所以對(duì)上述，且，有 ，即 。若或,或，一定得出。綜上所述，在一致連續(xù)。對(duì)于5也可以改為在上連續(xù)，且，則在一致連續(xù)。證法類似，分別區(qū)間為，(，+)。

14、則時(shí)，必同時(shí)在三個(gè)區(qū)間之一，所以在一致連續(xù)。5.在R上連續(xù)周期函數(shù)是一致連續(xù)函數(shù)。證明 設(shè)是一個(gè)周期，因?yàn)樵赗上連續(xù)，且在上連續(xù)，所以一致連續(xù)。即，有 。：，存在整數(shù)，滿足，因?yàn)?，所以 ，即 。所以是R上的一致連續(xù)函數(shù)。 6.若函數(shù)在區(qū)間I上滿足利普希茨條件：則在I上一致連續(xù)。證：，取，則當(dāng)且時(shí)所以在I上一致連續(xù)。 有限區(qū)間上函數(shù)的一致連續(xù)性與例題(一致連續(xù)性) 若是有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則必在上一致連續(xù).證:(利用有限閉區(qū)間的稠密性反證) 假定連續(xù)函數(shù)不一致連續(xù),即和,使得 ,并且,.取的一個(gè)子列收斂于,則也收斂于,從而,得到矛盾.(最大值和最小值的可達(dá)性) 若是有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),

15、則必,使得, .作為推論,在上有界.證:(利用有限閉區(qū)間的列緊性)僅證最小值的可達(dá)性.令,由§1.9的命題2知,使得.取一個(gè)子列收斂于,便有,即. 無限區(qū)間上函數(shù)的一致連續(xù)性若函數(shù)在區(qū)間（有限或無窮）上單調(diào),且在處處存在且有界,則函數(shù)在開區(qū)間 上一致連續(xù).推論1. 若函數(shù)是開區(qū)間（有限或無窮）上的凸函數(shù),且擬導(dǎo)數(shù)存在,有界,則 在區(qū)間 上一致連續(xù).推論2.若函數(shù)在開區(qū)間 （有限或無窮）滿足條件：,有. 和 都存在在上處處擬可導(dǎo),且擬導(dǎo)數(shù)有界.則函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù). 若函數(shù) 在區(qū)間上滿Lipschitz條件,即存在常數(shù) ,使對(duì)任何 ,都有 ,則函數(shù) 在區(qū)間 上一致連續(xù).在區(qū)間上可導(dǎo),

16、且 在區(qū)間上有界,則函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù).若函數(shù)在可導(dǎo),且（常數(shù)或）,則在 一致連續(xù)的充要條件是為常數(shù).例題1.證明：函數(shù)在上一致連續(xù)。證： 因?yàn)?，所以，.故單調(diào)遞減，.,所以在上有界，設(shè).,存在，那么當(dāng)，且時(shí)，其中在之間，由式在上一致連續(xù)。2.已知=.(1)證明：對(duì)任何實(shí)數(shù)，在上一致連續(xù)；(2)證明：在上非一致連續(xù)。證:（1）因?yàn)樵谏线B續(xù)，根據(jù)Cantor定理知在上一致連續(xù)； (2)令 但，所以在上非一致連續(xù)。例11.設(shè)在上可導(dǎo)，且，證明：在上非一致連續(xù).證：由知，取，則存在N>0,當(dāng)時(shí)，有。再取，且和時(shí)，。所以在上非一致連續(xù)。 辭論文得以完成，要感的人實(shí)在太多了。首先要感我的指導(dǎo)老師黃玉才，因?yàn)檎撐氖窃谕趵蠋煹南ば闹笇?dǎo)下完成的。王老師指引我的論文的寫作的方向和框架，并對(duì)本論文初稿進(jìn)行逐字批閱，指出論文中需要修改的地方，使我有了思考的方向，他的循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪，他的嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)，將一直是我以后工作、學(xué)習(xí)中的榜樣。在此,謹(jǐn)向王老師表示崇高的敬意和衷心的感！王老師在我撰寫論文的過程中給予我的極幫助！同時(shí)要感四年來教導(dǎo)過我的各科老師，學(xué)院的各位領(lǐng)導(dǎo)，還有在我寫論文過程中，幫我一起搜集資料的朋友們。正是因?yàn)橛心銈?，才使?/p>