高等數(shù)學(xué) 上冊 知識點

1、高等數(shù)學(xué)（上）知識點高等數(shù)學(xué)上冊知識點一、 函數(shù)與極限（一） 函數(shù)1、 函數(shù)定義及性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）；2、 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運算；3、 初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)；4、 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點；函數(shù) f (x) 在x0連續(xù) lim f (x) = f (x) 0x®x0間斷點 第一類：左右極限均存在. ( 可去間斷點、跳躍間斷點)第二類：左右極限、至少有一個不存在. (無窮間斷點、振蕩間斷點)5、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點定理、介值定理及其推論.（二） 極限1、 定義1） 數(shù)

2、列極限 : lim xnn®¥= a Û "e > 0, $N Î N, "n > N, xn- a < e2） 函數(shù)極限 :lim f (x) = A Û "e > 0, $d > 0, "x, 當(dāng)0 < x - x0x®x0< d 時，f (x) - A < e左極限： f (x-0) = limx®x-0f (x) 右極限： f (x+0) = limx®x+0f (x)lim f (x) = A 存在 Û f

3、(x ) = f (x- +0 0x® x0)2、 極限存在準(zhǔn)則1） 夾逼準(zhǔn)則： 1）yn£ xn£ zn( n ³ n0)2） lim y = limz = a lim xn n nn®¥ n®¥ n®¥= a2） 單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.3、 無窮小（大）量1） 定義：若lima = 0 則稱為無窮小量；若lima = ¥ 則稱為無窮大量.2） 無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、k 階無窮小Th1 a b Û b = a + o(a) ;Th2

4、a a¢,b b¢, lim4、 求極限的方法b¢ b b¢ 存在，則 lim = lim （無窮小代換）a¢ a a¢1)單調(diào)有界準(zhǔn)則； 2)夾逼準(zhǔn)則； 3)極限運算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；114) 兩個重要極限： a) lim sin x = 1 b) lim(1+ x) x = lim (1+ )x = ex®0 x xx®0 x®+¥5）無窮小代換：（x ® 0 ） a)x sinx tanx arcsinx arctanx b) 1- cos x 122xc) ex-1 x ,（a

5、x -1 xlna） d)ln(1+ x) x （log(1+ x) ax ） e) (1+ x)a -1 a xln a二、 導(dǎo)數(shù)與微分第 1 頁 共 6 頁高等數(shù)學(xué)（上）知識點（一） 導(dǎo)數(shù)f (x) - f (x1、 定義： f ¢(x) = lim0x®x0 x - x00)f (x) - f (x) , 右導(dǎo)數(shù)： f左導(dǎo)數(shù)： f ¢(x ) = lim¢(x ) = lim0x - x + 0- 0 ®- x x+x® x0 00f (x) - f (x )0x - x0函數(shù)f (x) 在x0點可導(dǎo)Û f ¢

6、;(x- 0) = f ¢(x+ 0)2、) 為曲線y = f (x) 在點(x幾何意義： f ¢(x , f (x00 0)處的切線的斜率.3、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、 求導(dǎo)的方法1） 導(dǎo)數(shù)定義； 2)基本公式； 3)四則運算； 4)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）；5) 隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)； 6)參數(shù)方程求導(dǎo)； 7)對數(shù)求導(dǎo)法.5、 高階導(dǎo)數(shù)1） 定義：d 2 y = d æç dy ö÷ 2)Leibniz 公式： dx2 dx è dx ø(uv)n(n) = å Ck (k ) (n-k )u vnk =0（

7、二） 微分1） 定義：Dy = f (x0+ Dx) - f (x) = ADx + o(Dx) ，其中A 與Dx 無關(guān).02） 可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微Û 可導(dǎo)，且dy = f ¢(x )Dx = f ¢(x )dx0 0三、 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：若函數(shù) f (x) 滿足：1） f (x)ÎCa,b； 2） f (x)Î D(a,b) ； 3） f (a) = f (b) ；則$x Î(a,b),使f ¢(x) = 0 .2、 Lagrange 中值定理：若函數(shù) f (x) 滿足：

8、1） f (x)ÎCa,b；2） f (x)Î D(a,b)；則$x Î(a,b),使f (b) - f (a) = f ¢(x)(b - a).3、 Cauchy 中值定理：若函數(shù) f (x), F(x) 滿足：1） f (x),F(x)ÎCa,b； 2） f (x),F(x)Î D(a,b)；3）F¢(x) ¹ 0, xÎ(a,b)則$x Î(a,b),使f (b) - f (a) f ¢(x)=F(b) - F(a) F¢(x)（二） 洛必達法則（三） Taylor 公

9、式（四） 單調(diào)性及極值1、 單調(diào)性判別法：f (x)ÎCa,b，f (x)ÎD(a,b)，則若f ¢(x) > 0，則f (x) 單調(diào)增加；則若f ¢(x) < 0 ，則 f (x) 單調(diào)減少.2、 極值及其判定定理：第 2 頁 共 6 頁高等數(shù)學(xué)（上）知識點a) 必要條件： f (x) 在 x可導(dǎo)，若x00為 f (x) 的極值點，則 f ¢(x0) = 0 .b)第一充分條件：f (x) 在 x0) = 0 ，則若當(dāng)x <的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 f ¢(x0x0時，f ¢(x) > 0，當(dāng)x >

10、x0時，f ¢(x) < 0 ，則x為極大值點；若當(dāng)x <0x0時，f ¢(x) < 0 ，當(dāng)x > x時，f ¢(x) > 0 ，則x00為極小值點；若在x0的兩側(cè) f ¢(x)不變號，則x不是極值點.0c) 第二充分條件： f (x) 在 x0處二階可導(dǎo)，且 f ¢(x0) = 0 ， f ¢¢(x ) ¹ 0，則0若 f ¢¢(x0) < 0 ，則x0 為極大值點；若 f ¢¢(x0) > 0，則x0為極小值點.3、 凹凸性及其

11、判斷，拐點1）f (x) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，若"x, x1 2Î I, f (x1+ x2 ) <2f (x ) + f (x1 22)，則稱 f (x) 在區(qū)間 I 上的圖形是凹的；若"x , x1 2Î I, f (x1+ x f (x ) + f (x) >2 1 22 2)，則稱 f (x) 在區(qū)間I 上的圖形是凸的.2）判定定理： f (x) 在a,b 上連續(xù)，在(a,b)上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則a) 若"xÎ(a,b), f ¢¢(x) > 0 ,則 f (x) 在a,b 上的圖形是凹

12、的；b) 若"xÎ(a,b), f ¢¢(x) < 0 ,則 f (x) 在a,b上的圖形是凸的.3）拐點：設(shè)y = f (x) 在區(qū)間I上連續(xù)，x0是 f (x) 的內(nèi)點，如果曲線y = f (x) 經(jīng)過點(x0, f (x )時，曲0線的凹凸性改變了，則稱點(x0, f (x0)為曲線的拐點.（五） 不等式證明1、 利用微分中值定理； 2、利用函數(shù)單調(diào)性； 3、利用極值（最值）.（六） 方程根的討論1、連續(xù)函數(shù)的介值定理； 2、Rolle 定理； 3、函數(shù)的單調(diào)性； 4、極值、最值； 5、凹凸性.（七） 漸近線1、 鉛直漸近線：lim f (x

13、) = ¥ ，則x = a 為一條鉛直漸近線；x®a2、 水平漸近線：lim f (x) = b ，則y = b 為一條水平漸近線；x®¥3、 斜漸近線：limx®¥f (x)x= k ,lim f (x) - kx = b 存在，則y = kx + b 為一條斜漸近線.x®¥（八） 圖形描繪四、 不定積分（一） 概念和性質(zhì)1、原函數(shù)：在區(qū)間I上，若函數(shù)F(x) 可導(dǎo)，且F¢(x) = f (x) ，則F(x) 稱為 f (x) 的一個原函數(shù).2、不定積分：在區(qū)間I上，函數(shù) f (x) 的帶有任意常數(shù)的原

14、函數(shù)稱為f (x) 在區(qū)間I上的不定積分.第 3 頁 共 6 頁高等數(shù)學(xué)（上）知識點3、 基本積分表（P188，13 個公式）；4、 性質(zhì)（線性性）.（二） 換元積分法1、 第一類換元法（湊微分）：ò f j(x)j¢(x)dx =ò f (u)duu=j(x)ò f j(t)j¢(t) dt 2、 第二類換元法（變量代換）：ò f (x)dx =t=j-1(x)ò ò （三） 分部積分法： udv = uv - vdu（四） 有理函數(shù)積分 ： 1、“拆”； 2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.五、 定積

15、分（一） 概念與性質(zhì)：1、2、定義：ò f (x)dx = limå f (xb nl®0 iai=1性質(zhì)：（7 條）)Dxi性質(zhì)7 （積分中值定理） 函數(shù) f (x) 在區(qū)間a,b上連續(xù)，則$x Îa,b，使ò f (x)dx = f (x )(b - a)ba（平均值： f (x ) =ò baf (x)dxb - a）（二） 微積分基本公式（NL 公式）1、 變上限積分：設(shè)F(x) = ò f (t)dt ，則F¢(x) = f (x)xad b (x)推廣： òdxa(x)f (t)dt = f

16、b(x)b¢(x) - f a(x)a¢(x)2、 NL 公式：若F(x) 為 f (x) 的一個原函數(shù)，則òbf (x)dx = F (b) - F (a)a（三） 換元法和分部積分1、 換元法：òbaf (x)dx = ò f j(t)j¢(t)dt 2、分部積分法：ò udv = uv - ò vdubb b baa a a（四） 反常積分1、 無窮積分：ò+¥f (x)dx = limòt f (x)dx , òbf (x)dx = limòb f (x)d

17、x , ò+¥f (x)dx = ò0f (x)dx + ò+¥f (x)dxa t®+¥ a -¥ t® -¥ t 0-¥ -¥2、 瑕積分：òbaò f (x)dx （a為瑕點）, ò f (x)dx = limf (x)dx = limò f (x)dx （b為瑕點）bb t+ -t® a t a t®b a兩個重要的反常積分：ì+ ¥, p £11) +¥ dx 

18、39; 2)ò = í a1- pa xp, p >1ïî p -1ì(b - a)1- q , q <1b dx b dx ï 1- qò = ò= í ïa (x - a) a (b - x)q qî+ ¥, q ³1第 4 頁 共 6 頁高等數(shù)學(xué)（上）知識點六、 定積分的應(yīng)用（一） 平面圖形的面積1、 直角坐標(biāo)：A = ò fb2a(x) - f1(x)dx2、 極坐標(biāo)：A = 1 bj2ò2 a2(q ) - j2 (q )d

19、q1（二） 體積1、 旋轉(zhuǎn)體體積：a)曲邊梯形y = f (x),x = a,x = b,x軸，繞x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：Vx= ò bp f 2 (x)dxab)曲邊梯形y = f (x),x = a,x = b,x軸，繞y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：Vy= ò 2pxf (x)dx （柱殼法）ba2、 平行截面面積已知的立體：V = A(x)dxòba（三） 弧長1、 直角坐標(biāo)：s =ò ba1 + f ¢( x ) dx 2、參數(shù)方程：2s = ò baj ¢(t)2 +f¢(t)2 dt3、極坐標(biāo)：s

20、 = òbr (q )2 + r¢(q )2 dqa七、 微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程.階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).2、 解：使微分方程成為恒等式的函數(shù).通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.（二） 變量可分離的方程g(y)dy = f (x)dx，兩邊積分òg(y)dy = ò f (x)dx（三） 齊次型方程dy y y = j ( )，設(shè)u = ，則 dx x xdy du dx x x dx dv=

21、u + x ； 或 = f ( )，設(shè)v = ，則 = v + ydx dx dy y y dy dy（四） 一階線性微分方程第 5 頁 共 6 頁高等數(shù)學(xué)（上）知識點dy + P(x)y = Q(x) ，用常數(shù)變易法或用公式： y = e ò Q(x)eòP(x)dxdx + Cù- P(x)dx éòê údx ë û（五） 可降階的高階微分方程1、 y(n) = f (x) ，兩邊積分n 次；2、 y¢¢ = f (x, y¢) （不顯含有y ）， 令 y¢ = p ，則 y¢¢ = p¢；3、 y¢¢ =f (y, y¢)（不顯含有 x ），令 y¢ = p ，則 y¢¢ = p dpd