概率論課堂講義3.2

1、*3.2 邊緣分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性 邊緣分布隨機(jī)變量獨(dú)立性一、邊緣分布的定義邊緣分布的定義 1邊緣分布 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)向量其分布函數(shù)為F(x,y)，X和Y的分布函數(shù)分別記為Fx(x)和FY(y), 依次稱Fx(x),FY(y)為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).2.公式. 由于Fx(x)=P(XxY+)=PXx,Y+ =F(x,+) 同理有 FY(y)=F(+, y).例1: 設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為 F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)， - x+ , - y+ 求(1)常數(shù)A,B,CA,B,C (2)邊緣分布函數(shù)Fx(x),FY(y)。解: 由分布函

2、數(shù)的性質(zhì)知 )2)(2(),(lim1 CBAyxFyx)arctan)(2(),(lim0yCBAyxFx )2)(arctan(),(lim0 CxBAyxFy聯(lián)立這三個(gè)方程,并取x=0,y=0,可得 A=1/2, B=/2,C=/2. yxyxFarctan2arctan21),(2 xxxyxFxFyXarctan121arctan2122arctan21),(lim)()2(2 yyxFyFxYarctan121),(lim)( 從而 1邊緣分布律 設(shè)(X,Y)為離散型二維隨機(jī)向量,分別稱X和Y的分布律為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律。 2計(jì)算 問(wèn)題：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為PP

3、X= =xi, ,Y= =yj=pij, ,i，j=1,2,=1,2, ,求關(guān)于X和Y的邊緣分布律。 xxyyijijpyYxXPyxF,),(因因?yàn)闉榻饨猓?xxjijxxyijXiijppxFxF1),()(所所以以二、離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布律，另另一一方方面面 xxixxiXiixXPpxXPxF)( ijijippxXP1比比較較兩兩式式，有有jiijjppyYP 1同同理理，例2XY -1 0 4 1 0.17 0.05 0.213 0.04 0.28 0.25求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律。3邊緣分布律的表示法 解: X的可能取值為1,3且 PX=1=PX=1,Y=-1+

4、PX=1,Y=0+PX=1,Y=4 =0.17+0.05+0.21=0.43 PX=3=PX=3,Y=-1+PX=3,Y=0+PX=3,Y=4 = 0.04+0.28+0.25 =0.57 因此關(guān)于X的邊緣分布律為 X 1 3p 0.43 0.57同樣的方法求得關(guān)于Y的邊緣分布律為 Y -1 0 4p 0.21 0.33 0.46 我們把邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上如下表所示 YX -1 0 4 PX=xi=pi. 1 0.17 0.05 0.21 0.43 3 0.04 0.28 0.25 0.57 PY=yj=p.j 0.21 0.33 0.46 1YX12 gLLjiyyyp12

5、MMijxxxp111211 gLLjpppp212222 gLLjppppMMMM12 gLLiiijippppMMMM12 1gggLLjppp邊緣分布律的表示法 三、連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的邊緣概率密度1.邊緣概率密度 設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量,具有概率密度f(wàn)(x,y), X和Y的概率密度分別為fx(x),fY(y),分別稱fx(x), fY(y)為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度。 2.公式: ,),()(dyyxfxfX dxyxfyfY ),()( )( ,)( , )xXFxF xf u y dy du 證：因?yàn)?，另一方面另一方面dxxfxFxXX )()(.),()(d

6、yyxfxfX 比比較較兩兩式式，有有dxyxfyfY ),()(同同樣樣，可可得得 例3 設(shè)(X,Y)的概率密度是其它,xy,x),x(cy)y, x(f00102求求 (1) c的值；的值； （2）兩個(gè)邊緣密度。）兩個(gè)邊緣密度。=5c/24=1,得得 c =24/5。 100)2(xdxdyxcy解：解：(1) 由概率密度的性質(zhì)，由概率密度的性質(zhì)，dxxxc10222/ )( 1),(dxdyyxf dxdyyxf),(2) xXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx10 x注意積分限注意積分限注意取值范圍注意取值范圍xy01y=x),2223(5242yyy1)2(524)(

7、yYdxxyyf10 y其它, 010),2223(524)(2yyyyyfY其它, 010),2(512)(2xxxxfX即即例: 設(shè)(X,Y)在單位圓D(x,y)|x2+y21上服從均勻分布,求邊緣概率密度f(wàn)x(x),fY(y)。解： (X,Y)的概率密度為： 其其他他011),(22yxyxf -1 0 x 1 xy 先求fx(x) : 當(dāng)-1x1時(shí) 211121),()(22xdydyyxfxfxxX 其他0112)(2xxxfX 注意積分限注意積分限注意取值范圍注意取值范圍 211121)(1122ydxyfyyyY 同同理理時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 其他其他0112)(2yyyfY 例4: 設(shè)(X

8、,Y)N(1,2,12,22,)，即(X,Y)具有概率密度 2211222221212()()()()122(1)2121( , ),21, xxyyf x yexy求邊緣概率密度f(wàn)x(x),fY(y) 。 212122112221212222)()(2)( xxyyxy由于解：222121222121()11(1)2 12(1)2121( )21 所以xyxXfxeedy 1122211 xyt令令：dydt2211: 則則 dteexftxX22)(12212121)( 222 dtet而而 xexfxX,21)(21212)(1 所所以以 yeyfyY,21)(22222)(2 同同理理

9、即XN(1,12)，YN(2,22).且不依賴參數(shù)。 *隨機(jī)變量獨(dú)立性 引言引言 我們把獨(dú)立性這一概念引入隨機(jī)變量的情況。那么我們?cè)趺炊x隨機(jī)變量獨(dú)立性這一概念呢？ 直觀上，如果隨機(jī)變量X(Y)的取值絲毫不影響隨機(jī)變量Y(X)的取值，則X和Y是獨(dú)立的隨機(jī)變量。即設(shè)I1，I2為數(shù)軸上任何兩個(gè)區(qū)間，事件XI1與YI2是獨(dú)立的，即 PXI1 ， YI2=PXI1PYI2 特別取I1 =(-, x，I2=(-，y，(x，y為任意實(shí)數(shù))，上式就化為 PXx，Yy=PXxPYy 即為 F(x，y)=FX(x)FY(y) 反之，若X與Y滿足F(x，y)=FX(x)FY(y) ，則有 Px1Xx2，y1Yy2

10、 =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1) = Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1) =Fx(x2)-Fx(x1)FY(y2)-FY(y1) =Px1Xx2Py1Y y2 可進(jìn)一步推廣，對(duì)任意區(qū)間I1，I2，有 PXI1，YI2=PXI1PYI2。 1 1 定義定義：設(shè)F(x，y)及Fx(x) ， FY(y)分別是二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若對(duì)于所有x，y有 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。 一、隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義 例1:

11、 設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為 , 邊緣分布函數(shù)分別為 yyFxxFYXarctan21)(,arctan21)( 容易看出，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有 F(x，y)=Fx(x)FY(y),所以X與Y是相互獨(dú)立的 解: yxyxFarctan2arctan21),(2 討論X與Y的獨(dú)立性。- x+ , - y+,注釋注釋 由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但反之，由邊緣分布不能確定聯(lián)合分布。如果X與Y相互獨(dú)立，則X，Y的邊緣分布就能確定聯(lián)合分布。 定理 設(shè)(X，Y)為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 PX=xi,Y=yj=pij (i，j=1，2，) 其邊緣分布律分別為PX=xi=pi (i=1，2，) PY=y

12、j=p j (j=1，2，) 則X X與Y Y相互獨(dú)立的充要條件是對(duì)于任意i，j有: pij= pipj 二、離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件)()(),(,yFxFpppppyxFYXyyjxxijyyxxiyyxxijjijiji 所以X與Y相互獨(dú)立。 (2)必要性。若X與Y相互獨(dú)立，對(duì)于任意實(shí)數(shù) x1x2，y1y2，有 Px1Xx2，y1Yy2=Px1Xx2Py1Yy2證明：(1)充分性。若對(duì)于任意i，j有: pij=pip j 則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y有 ,ijijpP Xx Yy于是，對(duì)于任意i，j，由概率的連續(xù)性11lim,iijjnmP xXxyYynm11lim limiijjnmP

13、xXxP yYynmijijP XxP Yypp 例1: 在上節(jié)例中討論X與Y的獨(dú)立性。 YX -1 0 4 PX=xi=Pi. 1 0.17 0.05 0.21 0.43 3 0.04 0.28 0.25 0.57 PY=yj=P.j 0.21 0.33 0.46 1解: 由計(jì)算知 PX=1=0.43，PY=-1=0.21， 且 PX=1， Y=-1=0.17 容易看出 PX=1，Y =-1PX=1PY=-1 因此X與Y不是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量. 三、連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件定理. 設(shè)(X，Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分別為(X，Y)的概率密度和邊緣概率密度，

14、則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是等式 f(x，y) = = fx(x)fY(y) 對(duì)f(x，y)，fx(x)，fY(y)的所有連續(xù)點(diǎn)成立.證明：(1) 充分性。若f(x，y)= =fx(x)fY(y) ，則 ( , )( , )( )( ) xyxyXYF x yf u v dvdufufv dvdu所以，X與Y相互獨(dú)立 ( )( )( )( )xyXYXYfu dufv dvFxFy(2)必要性。若X與Y相互獨(dú)立，則在f(x，y) ， fx(x)，fY(y)的所有連續(xù)點(diǎn)有 )()()()()()(),(),(22yfxfdyydFdxxdFyxyFxFyxyxFyxfYXYXYX 例2: 設(shè)(X

15、，Y)N(1，2，12，22，)，證明X 與Y相互獨(dú)立的充要條件為=0。 證明: (X，Y)的概率密度為 )()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 xxxxyxf關(guān)于X和Y的邊緣密度分別為 ,21)(21212)(1 xXexf22222)(221)( yYeyf(1)充分性。如果=0,則對(duì)所有x，y有 f(x，y) = = fx(x)fY(y) ，即X與Y相互獨(dú)立。 (2)必要性。如果X與Y相互獨(dú)立，由于f(x，y), fx(x), fY(y)都是連續(xù)函數(shù)，故對(duì)所有x，y有f(x，y) = = fx(x)fY(y) ，特別地，取x=1 ，y=2可得 2)(2)(212222212121)()( yxY