工程力學(xué)04綜述

1、工程力學(xué)學(xué)習(xí)目標了解力在空間坐標系的投影熟悉空間匯交力系的平衡條件和平衡方程熟悉力對點之矩矢、力對軸之矩矢了解空間力偶系的平衡條件和平衡方程了解空間任意力系力的合成熟悉空間任意力系的平衡條件和平衡方程了解重心2022-4-73 工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。 (a)圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系； (b)圖中去了風(fēng)力為空間平行力系。迎 面風(fēng) 力側(cè) 面風(fēng) 力b2022-4-74cosyFFcoszFF1、直接投影法、直接投影法一、力在直角坐標軸上的投影一、力在直角坐標軸上的投影cosFFx2022-4-752、二次投影法（間接

2、投影法）、二次投影法（間接投影法） 當(dāng)力與各軸正向夾角不易當(dāng)力與各軸正向夾角不易確定時，可先將確定時，可先將 F 投影到投影到xy面上，然后再投影到面上，然后再投影到x、y軸上，軸上，即即coscoscoscossinFFFXxysincossinsinsinFFFYxysincosFFZ2022-4-76例：求圖示手柄上的力F 在三個坐標軸上的投影coscosFYsinFZsincos FXcos FFxy73 3、力沿坐標軸分解、力沿坐標軸分解： 若以 表示力沿直角坐標軸的正交分量，則： zyxFFF,zyxFFFF222ZYXFFZFYFXcos,cos,coskZFjYFiXFzyx,

3、而：kZjYiXF所以：F Fx xF Fy yF Fz z2022-4-78RiFF空間匯交力系的合力空間匯交力系的合力 4、空間匯交力系的合力解析式、空間匯交力系的合力解析式合力的大小合力的大小222()()()RxyzFFFFcos(, )xRRFF iF 方向余弦方向余弦cos(, )yRRFFjFcos(, )zRRFF kF ( (由于力多邊形是空間力多邊形，合成并不方便，一般不采用幾何法合成）由于力多邊形是空間力多邊形，合成并不方便，一般不采用幾何法合成） 空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點的作用線通過匯交點.

4、.2022-4-79空間匯交力系平衡的充分必要條件是：空間匯交力系平衡的充分必要條件是：稱為空間匯交力系的平衡方程稱為空間匯交力系的平衡方程. .0 xF 0yF 0zF 0RF 該力系的合力等于零，即該力系的合力等于零，即 空間匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有空間匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在三個坐標軸上的投影的代數(shù)和分別為零各力在三個坐標軸上的投影的代數(shù)和分別為零. .2022-4-710求：三根桿所受力. 例例66已知：已知：P P=1000N ,=1000N ,各桿重不計各桿重不計. .解：各桿均為二力桿，取球鉸O O， 畫受力圖。0 xF 045sin45sinOCO

5、BFF0yF 045cos45cos45cosOAOCOBFFF0zF 045sinPFOAN1414OAF（拉）N707OCOBFF例例7 空間構(gòu)架由空間構(gòu)架由 3 根無重直桿組成，在根無重直桿組成，在 D 端用球鉸鏈連接，端用球鉸鏈連接，如圖所示。如圖所示。A，B 和和C 端則用球鉸鏈固定在水平地板上。如果端則用球鉸鏈固定在水平地板上。如果掛在掛在 D 端的物重端的物重P =10 kN，求鉸鏈，求鉸鏈 A，B 和和C 的約束力。的約束力。2022-4-7132022-4-713 1 1、力對點的矩以矢量表示、力對點的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢3 3）轉(zhuǎn)向：即使剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的方向）轉(zhuǎn)向：即

6、使剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的方向2 2）轉(zhuǎn)動軸方位：力的作用線與矩心所）轉(zhuǎn)動軸方位：力的作用線與矩心所決定的平面的法線方位決定的平面的法線方位1 1）大?。毫Γ┐笮。毫 F與力臂的乘積與力臂的乘積三要素：三要素：一、力對點之矩矢一、力對點之矩矢 FrFMdFFrFrFmO),sin()(FOMO（F）dyzx|MO( F ) |= F.d =2SOABAB定義矢量定義矢量 rOAMO( F ) = rOAF 空間力系中，力對點的矩空間力系中，力對點的矩矢量等于矢量等于力始點相對于矩心的力始點相對于矩心的矢量矢量與與力矢量力矢量的的矢量積矢量積rOA投影（投影（A點坐標）：點坐標）：x、y、zF 投影：

7、投影：Fx、Fy、Fz rOA = x i +y j +z k F =Fx i +Fy j +Fz kMO( F ) = rOAFzyxFFFzyxkjirOAMO( F ) = rOAFzyxFFFzyxkjikjixyzxyzyFxFxFzFzFyF力對點矩矢量的力對點矩矢量的解析表達式解析表達式力對點的矩矢量在力對點的矩矢量在 x、y、z 軸上的軸上的投影投影MO( F )x = yFz - zFyMO( F )y = zFx - xFzMO( F )z = xFy - yFx2022-4-7162022-4-716( )()zOxyxyM FM FFh二、力對軸之矩二、力對軸之矩202

8、2-4-717 力對軸的矩矢力力對軸的矩矢力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個代數(shù)量，其絕對值等于該力在垂直于該軸的平面上一個代數(shù)量，其絕對值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對于這個平面與該軸的交點的矩。的投影對于這個平面與該軸的交點的矩。 正負號規(guī)定：從正負號規(guī)定：從z z軸正端來看，若力的這個投影使軸正端來看，若力的這個投影使物體繞該軸逆時針轉(zhuǎn)動，則為正，反之為負?？捎糜沂治矬w繞該軸逆時針轉(zhuǎn)動，則為正，反之為負?？捎糜沂致菪▌t確定。螺旋法則確定。 力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對該軸的矩為零力對該

9、軸的矩為零. .定義：定義：它是代數(shù)量，方向規(guī)定它是代數(shù)量，方向規(guī)定 + + 的面積2)()(BOAdFFmFmxyxyOz2022-4-7182022-4-718力對軸的矩的解析式)()()()(yOxOxyOzFmFmFmFmxyzyFxFFm)(由合力矩定理：由合力矩定理：即同理可得其余兩式，即有：xyzzxyyzxyFxFFmxFzFFmzFyFFm)()()(力對軸的矩的解析式力對軸的矩的解析式FxFyFzFxyFOyzxAByxzOA點坐標：點坐標：x、y、zF 投影：投影：Fx、Fy、FzMz ( F ) = MO ( Fxy )= MO ( Fx ) + MO ( Fy ) =

10、 -Fx.y + Fy .x 力力F 對對 oz 軸的矩為軸的矩為同理力同理力F 對對 ox 軸的矩為軸的矩為= -Fy.z + Fz .y 力力F 對對 oy 軸的矩為軸的矩為= -Fz.x + Fx .z 三、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關(guān)系三、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關(guān)系FxFyFzFxyFOyzxAByxzOA點坐標：點坐標：x、y、zF 投影：投影：Fx、Fy、FzMx (F )= yFz zFyMy (F )= zFx - xFzMz (F )= xFy - yFx.MO (F )=( yFz zFy) i + ( zFx xFz) j +( yFz zFy) k

11、力力F 對對 O 點之矩矢量的解析表達式點之矩矢量的解析表達式力對某點矩矢量在通過該點的任一軸上的投影等于力對該軸的矩力對某點矩矢量在通過該點的任一軸上的投影等于力對該軸的矩2022-4-7212022-4-721 例例44：求圖示手柄上的力：求圖示手柄上的力F F 對三個坐標軸之矩對三個坐標軸之矩coscosFYsinFZsincos FXF作用點: F在坐標軸上的投影：lxly20zsin2)(lFzYyZMxFsin)(lFxZzXMyF)sin2(coscos)(lFyXxYMzF2022-4-7222022-4-722一、力偶矩以矢量表示力偶矩矢一、力偶矩以矢量表示力偶矩矢( ,)(

12、 )()OOOABMF FMFMFrFrF ( ,)()OABMF FrrFM FFBAMrF 空間力偶對剛體的作用效應(yīng)，可用力偶矩矢來度量，即用力偶中空間力偶對剛體的作用效應(yīng)，可用力偶矩矢來度量，即用力偶中的兩個力對空間某點之矩的矢量和來度量。的兩個力對空間某點之矩的矢量和來度量。2022-4-7232022-4-723BAMrF+ 由此可得出，由此可得出，它有三個要素：，它有三個要素： 力偶矩的大小力偶矩的大小= 力偶矩作用面的方位力偶矩作用面的方位與力偶作用面法線方向相同與力偶作用面法線方向相同 在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向遵循右手螺旋規(guī)則。遵循右手螺旋規(guī)則。M24 證證 作II/，

13、cd / ab 作一對平衡力R, R (在E點,且 使-R=R) 由反向平行力合成得： F1與R合成得F2，作用在d點 F1與R合成得F2，作用在c點 且R-F1=F2 ，R- F1= F2 在I內(nèi)的力偶（F1，F(xiàn)1）等效變成II內(nèi)的（ F2， F2 ） 二、空間力偶的等效定理二、空間力偶的等效定理 作用在同一剛體的兩個空間力偶，如果其力偶矩矢相等，則兩個作用在同一剛體的兩個空間力偶，如果其力偶矩矢相等，則兩個力偶等效。力偶等效。2022-4-725三、空間力偶系的合成與平衡條件三、空間力偶系的合成與平衡條件111222,.,nnnMrF MrFMrF=iMMM為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的

14、矢量和為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. .2022-4-726222()()()xyzMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xxyyzzMMMMMM稱為空間力偶系的平衡方程稱為空間力偶系的平衡方程. .000 xyzMMM0M 空間力偶系平衡的充分必要條件是空間力偶系平衡的充分必要條件是 : :合力偶矩矢等于零，即合力偶矩矢等于零，即 cosxMMcosyMMcoszMM27, ,x y z,xyzMMM求：工件所受合力偶矩在求：工件所受合力偶矩在 軸上的投影軸上的投影 . . 例例 已知：在工件四個面上同時鉆已知：在工件四個面上同時鉆5 5個孔，每個孔所受切削

15、力偶矩均個孔，每個孔所受切削力偶矩均為為8080Nm.解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到點A A .mN1 .19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizz2022-4-728求求: :軸承軸承A,BA,B處的約束力處的約束力. . 例例 已知：兩圓盤半徑均為已知：兩圓盤半徑均為200mm200mm，AB AB =800mm=800mm，圓盤面，圓盤面O O1 1垂直于垂直于z z軸，圓盤面軸，圓盤面O O2 2垂直于垂直于x x軸，兩盤面上作用有力偶，軸，兩盤面上作用有力偶，F(xiàn) F1 1=3N=3N，F(xiàn) F2

16、2=5N=5N，構(gòu)件自重不計構(gòu)件自重不計. .解：取整體，受力圖如圖所示.0 xM24008000AzFF0zM14008000AxFFN5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF2022-4-729 把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的簡化問題，但須把平面坐標系擴充為空間坐標系。簡化問題，但須把平面坐標系擴充為空間坐標系。 nFFFF321, 設(shè)作用在剛體上有設(shè)作用在剛體上有空間一般力系空間一般力系向向O點簡化點簡化（O點任選）點任選）一、空間任意力系向一點的簡化一、空間任意力系向一點的簡化2022-4-730根據(jù)力線平移定

17、理，將各力平行搬到O點得到一空間匯交力系： 和附加力偶系 注意 分別是各力對O點的矩。由于空間力偶是自由矢量，總可匯交于O點。, , 321nFFFFnmmm,21nmmm,212022-4-731合成 得主矢即（主矢 過簡化中心O， 且與O點的選擇無關(guān)）合成 得主矩即： （主矩 與簡化中心O有關(guān)）,321nFFFFRiiFFRRnmmm,21OM)(iOiOFmmmOM2022-4-732結(jié)論：結(jié)論： 空間力系向任一點簡化，可得到一力和一力偶。該力空間力系向任一點簡化，可得到一力和一力偶。該力通過簡化中心，其力矢稱為力系的主矢，它等于力系諸力通過簡化中心，其力矢稱為力系的主矢，它等于力系諸力

18、的矢量和，并于簡化中心無關(guān)；這個力偶的力偶矩矢稱為的矢量和，并于簡化中心無關(guān)；這個力偶的力偶矩矢稱為力系對簡化中心的主矩，它等于力系諸力對簡化中心之矩力系對簡化中心的主矩，它等于力系諸力對簡化中心之矩矢的矢量和，并與簡化中心的選擇有關(guān)。矢的矢量和，并與簡化中心的選擇有關(guān)。33 空間一般力系向一點簡化得一主矢和主矩，下面針對主空間一般力系向一點簡化得一主矢和主矩，下面針對主矢、主矩的不同情況分別加以討論。矢、主矩的不同情況分別加以討論。1 1、若 , 則該力系平衡平衡（下節(jié)專門討論）。0, 0OMR2 2、若 則力系可合成一個合力偶合力偶，其矩等于原力系對于簡化中心的主矩MO。此時主矩與簡化中心

19、的位置無關(guān)此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。0, 0OMR3 3、若 則力系可合成為一個合力合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通過簡化中心O點。 （此時（此時與簡化中心有關(guān)，換個簡化中心，主矩不為零）與簡化中心有關(guān)，換個簡化中心，主矩不為零）0, 0OMRRRR34 4 4、若 此時分兩種情況討論。即： OMR OMR / 0, 0OMR由于做iOOOFRRMRMddRM合力,若時OMR )(dRMO可進一步簡化，將MO變成( R, ,R)使R與R抵消只剩下R。35若 時，為力螺旋的情形為力螺旋的情形（新概念，又移動又轉(zhuǎn)動）例例 擰螺絲 炮彈出膛時炮彈螺線OMR /R不平行也不垂直M0，最一般

20、的成任意角 在此種情況下，首先把MO 分解為M/和M 將M/和M 分別按、處理。主矢R在直角坐標系oxyz的投影：主矢的大小和方向余弦：222zyxRRRR222zyxFFF , ,cosRFxxR , ,cosRFyyRRFzz,cos R, xxFR, yyFRzzFR三、主矢、主矩的計算三、主矢、主矩的計算1 1、主矢的計算、主矢的計算：2、主矩的計算：、主矩的計算：主矩主矩LO在直角坐標系在直角坐標系oxyz的投影：的投影：主矩的大小和方向余弦：主矩的大小和方向余弦： Fxoxml Fyoyml Fzozml 222FFFzyxommmL , ,cosoxoLmFiL , ,cosoy

21、oLmFjL ozoLmFkL ,cos第六章第六章 空間任意力系空間任意力系2022-4-739四、空間任意力系的平衡條件四、空間任意力系的平衡條件 如果該物體平衡，則必須要使該物體不能沿如果該物體平衡，則必須要使該物體不能沿x、y、z三三軸移動，也不能繞軸移動，也不能繞x、y、z三軸轉(zhuǎn)動。三軸轉(zhuǎn)動。 即滿足：0)( , 00)( , 00)( , 0FmZFmYFmXzyx空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程空間任意力系平衡的充要條件是：空間任意力系平衡的充要條件是： 各力在三個坐標軸上的投影的代數(shù)和及各力對此三個軸各力在三個坐標軸上的投影的代數(shù)和及各力對此三個軸力矩的代數(shù)和都必須

22、分別等于零。力矩的代數(shù)和都必須分別等于零。 共六個獨立方程，只能求解獨立的六個未知數(shù)。共六個獨立方程，只能求解獨立的六個未知數(shù)。2022-4-740還有四矩式，五矩式和六矩式，同時各有一定限制條件。 對于空間匯交力系：（設(shè)各力匯交于原點對于空間匯交力系：（設(shè)各力匯交于原點）則0)(0)(0)(iziyixFmFmFm成為恒等式成為恒等式000ZYX2022-4-741 對于空間平行于對于空間平行于 z 軸的平行力系：軸的平行力系：則000)(YXFmiz成為恒等式成為恒等式故空間平行于故空間平行于 z 軸的平行力系的平衡方程為：軸的平行力系的平衡方程為：0)(0)(0FmFmZyixOxyzF

23、1F2F3Fn2022-4-742例例 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡時(勻速轉(zhuǎn)動)力Q=？和軸承A , B的約束反力？最好使每一個方程有一個未知數(shù)，方便求解。(Q力作用在C輪的最低點）解解：選研究對象 作受力圖 選坐標列方程2022-4-743)N(746,010050;0)N(352,0;0由QQPmPYPYYzzyyAyA)N(385 , 020sin ; 0)N(2040 , 020sin 50300200 ; 0)N(729 , 020cos ; 0)N(437 , 020cos 5020050300 ; 0

24、0000AzBABzBxAxBABByxzZQPZZZZQPZmXQPXXXXQXPPmAA方法方法(二二) :將空間力系投影到三個坐標平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面力將空間力系投影到三個坐標平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面力系平衡問題來求解，請同學(xué)們課后自己練習(xí)求解。系平衡問題來求解，請同學(xué)們課后自己練習(xí)求解。2022-4-745例例 已知：AB桿, AD,CB為繩, A、C在同一垂線上，AB重80N，A、B光滑接觸，ABC=BCE=600, 且AD水平，AC鉛直。求平衡時，TA，TB及支座A、B的反力。解：解：思路：要巧選投影軸和取思路：要巧選投影軸和取矩軸，使一個方程解出一個未矩軸，使一個方程解出一個未知數(shù)。知數(shù)

25、。2022-4-7460N8 , 0PNZB由02160cos, 0 CEPACTmBDDN)( 1 .23806333260ctg260cos60ctg2160cos PPTACPACTBBCEAC 60cos60ctg又2022-4-747)N( 5 .1121806360cos060cos , 0BABATTTTX)N( 20238063060sin , 0ABANTNY48【例】已知：F F、P P及各尺寸 求： 桿內(nèi)力解：研究對象，長方板受力圖如圖列平衡方程026PaaF 0ABMF 26PF 0AEMF 05F 0ACMF 04F 0EFMF 022216baabFPaaF01F

26、0FGMF 022bFPbFbPF5 . 12 0BCMF 045cos232bFPbbFPF2232022-4-749已知： P=8kN,101kNP各尺寸如圖求：A、B、C 處約束力解：研究對象：小車受力：受力：1,ABDP P FFF 列平衡方程0zF01DBAFFFPP 0FMx022 . 02 . 11DFPP 0FMy06 . 02 . 16 . 08 . 01DBFFPP結(jié)果：kNkNkN423. 4,777. 7,8 . 5ABDFFF例例6 6 空間平行力系空間平行力系45 重重 心心 （自學(xué)）（自學(xué)） 空間平行力系，當(dāng)它有合空間平行力系，當(dāng)它有合力時，合力的作用點力時，合力的作用點C 就是此就是此空間平行力系的中心空間平行力系的中心。而物體。而物體重心問題可以看成是空間平行重心問題可以看成是空間平行力系中心的一個特例。力系中心的一個特例。 一、空間平行力系的中心、物體的重心一、空間平行力系的中心、物體的重心1 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理可得：由合力矩定理可得：RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC 如果把物體的重力都如果把物體的重力都看成為平行力系，則求重看成