建筑力學課件14靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

1、第十四章第十四章靜定結(jié)構(gòu)的位移計算靜定結(jié)構(gòu)的位移計算 141 概 述一、結(jié)構(gòu)位移的定義一、結(jié)構(gòu)位移的定義結(jié)構(gòu)在荷載或其它因素作用下，會發(fā)生變形。由結(jié)構(gòu)在荷載或其它因素作用下，會發(fā)生變形。由于變形，結(jié)構(gòu)上各點的位置將會移動，桿件的橫于變形，結(jié)構(gòu)上各點的位置將會移動，桿件的橫截面會轉(zhuǎn)動，這些移動和轉(zhuǎn)動稱為結(jié)構(gòu)的位移。截面會轉(zhuǎn)動，這些移動和轉(zhuǎn)動稱為結(jié)構(gòu)的位移。 二、位移的分類二、位移的分類位移線位移：截面形心的直線移動距離角位移：截面的轉(zhuǎn)角位移位移絕對位移絕對位移相對位移相對位移廣義位移廣義位移三、剛架的位移舉例三、剛架的位移舉例 A A 點的線位移點的線位移 A水平線位移水平線位移 AH豎向線位移

2、豎向線位移 AV截面截面A A 的角位移的角位移 AC C、D D 兩點的水平相對線位移兩點的水平相對線位移 C (D)H = C +D A A、B B兩個截面的相對轉(zhuǎn)角兩個截面的相對轉(zhuǎn)角 AB=A+B 四、引起位移的原因四、引起位移的原因一般有：荷載（如前兩剛架）、溫度改變一般有：荷載（如前兩剛架）、溫度改變（如圖（如圖a a）、支座移動（如圖）、支座移動（如圖b b）材料收縮、）材料收縮、制造誤差等制造誤差等 五、五、 計算位移的目的計算位移的目的 有以下三個方面：有以下三個方面： 1 1、驗算結(jié)構(gòu)剛度。即驗算結(jié)構(gòu)的位移是否、驗算結(jié)構(gòu)剛度。即驗算結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許的位移限制值超過允許的

3、位移限制值 2 2、為超靜定結(jié)構(gòu)的計算打基礎(chǔ)。在計算超、為超靜定結(jié)構(gòu)的計算打基礎(chǔ)。在計算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時，除利用靜力平衡條件外，還靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時，除利用靜力平衡條件外，還需要考慮變形協(xié)調(diào)條件，因此需計算結(jié)構(gòu)的位需要考慮變形協(xié)調(diào)條件，因此需計算結(jié)構(gòu)的位移。移。 3 3、在結(jié)構(gòu)的制作、架設、養(yǎng)護過程中，有、在結(jié)構(gòu)的制作、架設、養(yǎng)護過程中，有時需要預先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定時需要預先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定的施工措施，因而也需要進行位移計算。的施工措施，因而也需要進行位移計算。14.2 14.2 虛功原理和單位荷載法虛功原理和單位荷載法 一、變形體的虛功原理一、變形體的虛功原理功：

4、 力對物體在一段路程上累積效應的量度，力對物體在一段路程上累積效應的量度，也是傳遞和轉(zhuǎn)換能量的量度也是傳遞和轉(zhuǎn)換能量的量度 實功 ：力在自身引起的位移上所作的功力在自身引起的位移上所作的功 當靜力加載時，即：當靜力加載時，即： F FP1P1由由0 0增加至增加至F FP1P1 1414 由由0 0增加至增加至 1414力力F Fp1p1在位移在位移 1414上作的實功上作的實功 12W14=FP11414虛功：虛功： 力在其他因素引起的位移上作的功力在其他因素引起的位移上作的功 其特點是位移與作功的力無關(guān)，在作功的過程其特點是位移與作功的力無關(guān)，在作功的過程中，力的大小保持不變中，力的大小保

5、持不變梁彎曲后，再在點梁彎曲后，再在點2 2處加靜力荷載處加靜力荷載F FP2P2，梁產(chǎn)生新，梁產(chǎn)生新的彎曲。位移的彎曲。位移 1212為力為力F FP2P2引起的引起的F FP1P1的作用點沿的作用點沿F FP1P1方向的位移。力方向的位移。力F FP1P1在位移在位移 1212 上作了功，為虛上作了功，為虛功，大小為功，大小為 W W1212=F=FP1 12P1 12在小變形條件下，在小變形條件下， 1212由圖示的原始形狀、尺由圖示的原始形狀、尺寸計算，并稱此狀態(tài)為虛功計算的位移狀態(tài)。與寸計算，并稱此狀態(tài)為虛功計算的位移狀態(tài)。與之相應，之相應， F FP1P1單獨作用的狀態(tài)單獨作用的狀

6、態(tài) 為虛功計算的力為虛功計算的力狀態(tài)。狀態(tài)。 當力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上作外力虛功當力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上作外力虛功時，力狀態(tài)的內(nèi)力也在位移狀態(tài)各微段的變形上時，力狀態(tài)的內(nèi)力也在位移狀態(tài)各微段的變形上作內(nèi)力虛功。作內(nèi)力虛功。 根據(jù)功和能的原理可得變形體的虛功原理：任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作虛功的總和，等于變形體的內(nèi)力在虛位移的相應變形上所作虛功的總和。 虛功原理也可以簡述為：“外力的虛功等于內(nèi)力的虛變形功外力的虛功等于內(nèi)力的虛變形功”。二、二、 單位荷載法單位荷載法 1 1、定義：應用虛功原理，通過加單位荷載、定義：應用虛功

7、原理，通過加單位荷載求實際位移的方法。求實際位移的方法。2 2、計算結(jié)構(gòu)位移的一般公式、計算結(jié)構(gòu)位移的一般公式M K= duF K+RiCi=d+ N+QFFFdv式中，式中，F(xiàn) =1 =1 則則Md +Fdu N+FdvQ FRiCi 經(jīng)進一步推導，可得經(jīng)進一步推導，可得NNPPKF FMMdsdsEIEA QQPRiiF FdsFCGA式中：E 彈性模量； G 剪切模量；A 橫截面積； I 截面慣性矩；k 截面形狀系數(shù)。如：對矩形截面k=6/5;圓形截面k=10/9。14.3 14.3 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算一、靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式一、靜定結(jié)

8、構(gòu)在荷載作用下的位移公式 如果結(jié)構(gòu)只有荷載作用，因支座移動引起的剛?cè)绻Y(jié)構(gòu)只有荷載作用，因支座移動引起的剛體位移體位移 0 0，位移公式則為，位移公式則為 Ci NNPPKPQQPF FMMdsdsEIEAkF FdsGA 對于曲桿（曲率半徑對于曲桿（曲率半徑r r），荷載作用下的位移公式為），荷載作用下的位移公式為QNQPNPPKPkF FF FMMdsdsdsEIEAGA NNPPMFF MdsdsEArEAr彎矩的影響 軸力的影響 剪力的影響 曲率的影響 圖圖a a 所示矩形截面圓弧形鋼桿，軸線的半徑與所示矩形截面圓弧形鋼桿，軸線的半徑與截面高度之比截面高度之比r/h=10,r/h=10

9、,彈性模量之比彈性模量之比E/G=2.5E/G=2.5，曲桿曲桿B B端形心在豎向荷載端形心在豎向荷載F FP P作用下的豎向線位移作用下的豎向線位移 由對應于彎矩、軸力、剪力、曲率的四部分組由對應于彎矩、軸力、剪力、曲率的四部分組成：成：MNQrBP Q : N : r = 1200 : 1 : 3 : 2 設虛擬狀態(tài)（圖b）計算虛內(nèi)力，用截面法計算實際狀態(tài)的內(nèi)力，代人位移公式運算，并注意矩形截面的不均勻系數(shù) =1.2 ，計算結(jié)果為212124PBPF rrEkEAhG 1200 1 324PF rEA BP中彎矩、軸力、剪力、曲率對應的四部分之比 M : : =二、各類桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下

10、的位移公式二、各類桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式（1 1）梁和剛架）梁和剛架 梁式桿的位移中彎矩的影響是主要的梁式桿的位移中彎矩的影響是主要的 ，位移計算公式中取第一項便具有足夠的工位移計算公式中取第一項便具有足夠的工程精度程精度 PKPMMdsEI（2 2）桁架）桁架 各桿為鏈桿，而且是同材料的等直桿。桿內(nèi)各桿為鏈桿，而且是同材料的等直桿。桿內(nèi)只有軸力，且處處相等。因而只取公式中的只有軸力，且處處相等。因而只取公式中的第二項并簡化為實用的形式第二項并簡化為實用的形式NNNPNPKPF FF FdsdsEAEANNPKPF F lEA（3 3）組合結(jié)構(gòu)）組合結(jié)構(gòu) 既有梁式桿，又有鏈桿，取用公式

11、中的前兩項既有梁式桿，又有鏈桿，取用公式中的前兩項 NNPPKPF F lMMdsEIEA（4 4）拱）拱 一般計軸力、彎矩的影響，剪切變形的影響忽一般計軸力、彎矩的影響，剪切變形的影響忽略不計略不計 NNPPKPF F lMMdsEIEA三、虛擬狀態(tài)的選取三、虛擬狀態(tài)的選取欲求結(jié)構(gòu)在荷載作用下的指定位移，須取相應欲求結(jié)構(gòu)在荷載作用下的指定位移，須取相應的虛擬狀態(tài)。即取同一結(jié)構(gòu)，在要求位移的地的虛擬狀態(tài)。即取同一結(jié)構(gòu)，在要求位移的地方，沿著要求位移的方位虛加單位荷載：方，沿著要求位移的方位虛加單位荷載：1 1）欲求一點的線位移，加一個單位集中力）欲求一點的線位移，加一個單位集中力2 2）欲求一

12、處的角位移，加一個單位集中力偶）欲求一處的角位移，加一個單位集中力偶 3 3）欲求兩點的相對線位移，在兩點的連線上加）欲求兩點的相對線位移，在兩點的連線上加一對指向相反的單位集中力一對指向相反的單位集中力 4 4）欲求兩處的相對角位移，加一對指向相反的）欲求兩處的相對角位移，加一對指向相反的單位集中力偶單位集中力偶 5 5）欲求桁架某桿的）欲求桁架某桿的角位移角位移在桿的兩端加一對在桿的兩端加一對平行、反向的集中力，兩力形成平行、反向的集中力，兩力形成單位力偶單位力偶。力偶臂為力偶臂為d d ，每一力的大小為，每一力的大小為1/d1/d力和力偶統(tǒng)稱為廣義力，力和力偶統(tǒng)稱為廣義力， 單位廣義力用

13、單位廣義力用X=1=1表示表示線位移和角位移統(tǒng)稱廣義位移，用線位移和角位移統(tǒng)稱廣義位移，用表示表示單位廣義力有截然相反的兩種設向，計算出的單位廣義力有截然相反的兩種設向，計算出的廣義位移則有正負之分：廣義位移則有正負之分： 正值表示廣義位移的方向與廣義力所設的指向相同正值表示廣義位移的方向與廣義力所設的指向相同負值表示廣義位移的方向與廣義力所設的指向相反負值表示廣義位移的方向與廣義力所設的指向相反 （2 2）計算）計算F,F,FNPNP ; ; 四、四、 靜定桁架的位移計算靜定桁架的位移計算計算步驟為計算步驟為 （1 1）設虛擬狀態(tài)；）設虛擬狀態(tài)；（3 3）用桁架的位移計算公式計算位移。）用桁

14、架的位移計算公式計算位移。例例14-114-1 圖示桁架各桿的圖示桁架各桿的EAEA相等，求相等，求C C 結(jié)點結(jié)點的豎向位移的豎向位移vc 解解: : （1 1）設虛擬狀態(tài)（如上圖）設虛擬狀態(tài)（如上圖b b所示）所示） （2 2）計算）計算FN N 和和F FNPNP（標于上圖（標于上圖 b.ab.a ）22221211222242 2NNVCPPPPF F lEAFaEAFaFaF aEA （3 3）代公式求）代公式求C C點的豎向位移點的豎向位移例例14-214-2 圖示鋼桁架，圖中括號內(nèi)數(shù)值為桿圖示鋼桁架，圖中括號內(nèi)數(shù)值為桿件橫截面面積（單位件橫截面面積（單位cmcm2 2 ）。許可撓

15、度與跨）。許可撓度與跨長的比值長的比值18 0 0wl，試校核桁架的剛度。，試校核桁架的剛度。解 對稱簡支桁架在對稱荷載作用下，最大撓度發(fā)對稱簡支桁架在對稱荷載作用下，最大撓度發(fā)生在桁架的對稱面處。生在桁架的對稱面處。 須計算結(jié)點須計算結(jié)點3 3的豎向位移，然后進行剛度校核。的豎向位移，然后進行剛度校核。1 1）建立虛擬狀態(tài)（如圖）建立虛擬狀態(tài)（如圖b b 所示）所示）2 2）計算）計算FN N 和和F FNPNP，并標于圖，并標于圖b b、a a 上上 3 3）求）求3 3點的豎向位移，進行剛度校核點的豎向位移，進行剛度校核 31NNPNPNPF F llF FEAEA 計算半個桁架的計算半

16、個桁架的 NNPlF FA，列表如下，列表如下: : lAF/(/)NPNF F lN mmAmax312 142000013.5210000NPNPlwF FmmmmEA max13.51240001775wmmlmm1800wl根據(jù)上表，得根據(jù)上表，得 所以，桁架滿足剛度條件所以，桁架滿足剛度條件 五、梁的位移及剛度校核五、梁的位移及剛度校核 1 1、 梁的位移梁的位移 撓度：撓度： 橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移 用用w w 表示，表示， 規(guī)定規(guī)定w w 向下為正。向下為正。 轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角： 橫截面的角位移橫截面的角位移 ，規(guī)定順時針轉(zhuǎn)為正，規(guī)定順時針

17、轉(zhuǎn)為正在工程設計手冊中列有常見梁的位移的計算結(jié)果在工程設計手冊中列有常見梁的位移的計算結(jié)果（如表（如表14.114.1所示），可供計算時查用。所示），可供計算時查用。表表14.1 14.1 梁的撓度與轉(zhuǎn)角公式梁的撓度與轉(zhuǎn)角公式 22PBF lEI3max3PF lwEIBMlEI2max2MlwEI續(xù)表36BqlEI4max8qlwEI2labA216PBF lEIab2l3max48PF lwEI時時A324BqlEI4max5384qlwEI6AM lEIB3M lEI2max9 3MlwEI3lx -（在處）續(xù)表續(xù)表-2 2梁的剛度校核梁的剛度校核梁的位移過大，則不能正常工作梁的位移過大

18、，則不能正常工作 對于梁的撓度，其許可值以許可的撓度與梁跨長對于梁的撓度，其許可值以許可的撓度與梁跨長之比之比wl為標準 在工程上，吊車梁的在工程上，吊車梁的 1/600 1/600 wl鐵路鋼桁梁的鐵路鋼桁梁的 1/9001/900wl梁的剛度條件為梁的剛度條件為: :maxwwll 例14-3 圖示簡支梁由工字鋼制成， 跨度中點處承受集中載荷 Fp。已知Fp=40KN，跨度l l=3m ，許用應力=160MPa，許用撓度w= /500，彈性模量E=2105MPa ，試選擇工字鋼的型號。解解 （1 1）按強度條件選擇工字鋼型號）按強度條件選擇工字鋼型號梁的最大彎矩為：梁的最大彎矩為： max

19、4PF lM3340 103 104Nmm 73 10 N mm按彎曲正應力強度條件選截面按彎曲正應力強度條件選截面m ax7m ax5333101601.87510187.5MWMNm mWM P am mcm查型鋼表選用查型鋼表選用20a20a工字鋼工字鋼, ,其彎曲截面系數(shù)為其彎曲截面系數(shù)為237cm3237cm3，慣性矩，慣性矩I=2370cm4I=2370cm4（2 2）校核梁的剛度）校核梁的剛度33357440 10(3000)4848 2 102.37 10pF lNmmwEIMPamm w30006500mmmm=4.75mm=4.75mm=梁的剛度足夠梁的剛度足夠 所以，選用

20、所以，選用20a20a工字鋼工字鋼 3 3、提高梁抗彎剛度的措施、提高梁抗彎剛度的措施梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度EI EI 、梁的跨、梁的跨度度L L 、荷載作用情況有關(guān)，那么，要提高梁的、荷載作用情況有關(guān)，那么，要提高梁的抗彎剛度可以采取以下措施：抗彎剛度可以采取以下措施：(1)(1) 增大梁的抗彎剛度增大梁的抗彎剛度EI EI 增大梁的增大梁的EIEI值主要是設法增大梁截面的慣性矩值主要是設法增大梁截面的慣性矩I I 值，一般不采用增大值，一般不采用增大E E 值的方法。值的方法。 在截面面積不變的情況下，采用合理的截面形在截面面積不變的情況下，采用合理的截面

21、形狀，可提高慣性矩狀，可提高慣性矩I I 。 （2 2）減小梁的跨度）減小梁的跨度L L梁的變形與其跨度的梁的變形與其跨度的n n次冪成正比。設法減小次冪成正比。設法減小梁的跨度梁的跨度L L ，將有效地減小梁的變形，從而提，將有效地減小梁的變形，從而提高其剛度。在結(jié)構(gòu)構(gòu)造允許的情況下，可采用高其剛度。在結(jié)構(gòu)構(gòu)造允許的情況下，可采用兩種辦法減小兩種辦法減小L L 值：值： 增加中間支座增加中間支座 45384aqlfEIbf 38af而兩端支座內(nèi)移兩端支座內(nèi)移 如圖所示，將簡支梁的支座向中間移動而變?nèi)鐖D所示，將簡支梁的支座向中間移動而變成外伸梁，一方面減小了梁的跨度，從而減成外伸梁，一方面減小

22、了梁的跨度，從而減小梁跨中的最大撓度；另一方面在梁外伸部小梁跨中的最大撓度；另一方面在梁外伸部分的荷載作用下，使梁跨中產(chǎn)生向上的撓度分的荷載作用下，使梁跨中產(chǎn)生向上的撓度（圖（圖c c），從而使梁中段在荷載作用下產(chǎn)生），從而使梁中段在荷載作用下產(chǎn)生的向下的撓度被抵消一部分，減小了梁跨中的向下的撓度被抵消一部分，減小了梁跨中的最大撓度值。的最大撓度值。(3) (3) 改善荷載的作用情況改善荷載的作用情況在結(jié)構(gòu)允許的情況下，合理地調(diào)整荷載的位置在結(jié)構(gòu)允許的情況下，合理地調(diào)整荷載的位置及分布情況，以降低彎矩，從而減小梁的變形，及分布情況，以降低彎矩，從而減小梁的變形，提高其剛度。如圖所示，將集中力分

23、散作用，提高其剛度。如圖所示，將集中力分散作用，甚至甚至 改為分布荷載，則彎矩降低，從而梁的改為分布荷載，則彎矩降低，從而梁的變形減小，剛度提高。變形減小，剛度提高。 14.414.4圖乘法圖乘法一、圖乘法原理一、圖乘法原理1 1、圖乘法的適用條件：、圖乘法的適用條件：（1 1）桿段的軸線為直線）桿段的軸線為直線 （2 2）桿段的彎曲剛度）桿段的彎曲剛度EIEI為常數(shù)為常數(shù) 直梁和剛架的直梁和剛架的位移公式則為位移公式則為001llppMMdsMM dxEIEI （3 3） M MP P圖和圖和圖中至少有一個直線圖形圖中至少有一個直線圖形 圖乘法原理圖乘法原理 dPMMsEI1dPMMsEI1

24、tandPxMxEItandPxMxEItan1BDcBDcAxAyEIEI圖乘法求位移的一般表達式為圖乘法求位移的一般表達式為1CAyEI 注意：注意：1. 1. 應取自直線圖中應取自直線圖中2.2.若若 與與 在桿件的同側(cè)在桿件的同側(cè), , 取正值取正值; ;反之反之, ,取負值取負值3. 3. 如圖形較復雜，可分解為簡單圖形如圖形較復雜，可分解為簡單圖形. .cyAcy3.3.圖乘法的步驟圖乘法的步驟: :(1).(1).設虛擬狀態(tài)；設虛擬狀態(tài)；PMM(2).(2).畫畫圖圖、圖圖；(3).(3).圖乘求位移圖乘求位移下面介紹幾個規(guī)則圖形的面積和形心位置 當圖形的面積和形心不便確定時，可

25、以將其當圖形的面積和形心不便確定時，可以將其分解成幾個簡單的圖形，分解成幾個簡單的圖形，分別與另一圖形相分別與另一圖形相應的縱坐標相乘。應的縱坐標相乘。4.4.圖形的分解圖形的分解梯梯- -梯同側(cè)組合：梯同側(cè)組合：1122111112121()()233233CCCAyA yA yEIEIlaedlbedEI同側(cè)組合：同側(cè)組合：1122111111()( -b) (d( -d)223CCCAyAyA yEIEIlbd el aeEI1122111121121()()233233CCCAyAyA yEIEIladelbedEI異側(cè)組合由區(qū)段疊加法作的彎矩圖由區(qū)段疊加法作的彎矩圖 ，其彎矩圖可，其

26、彎矩圖可以看成一個梯形和一個規(guī)則拋物線圖形以看成一個梯形和一個規(guī)則拋物線圖形的疊加的疊加 。曲曲- -折組合折組合1122331cccA yA yA yEI階梯形截面桿階梯形截面桿1122331 12 23 3cccA yA yA yE IE IE I二、二、 圖乘法計算直梁和剛架的位移圖乘法計算直梁和剛架的位移 下面舉例應用圖乘法求直梁和剛架的位移下面舉例應用圖乘法求直梁和剛架的位移 例例14.4 14.4 試求圖試求圖a a所示外伸梁所示外伸梁C C點的豎向位移點的豎向位移 CVCV。梁的。梁的EI=EI=常數(shù)常數(shù) 解解 MP、 M 圖分別如圖圖分別如圖 (b).(c)(b).(c)所示所

27、示。 BC BC 段的段的M MP P圖是標準二圖是標準二次拋物線；次拋物線； ABAB段的段的M MP P圖較復雜，圖較復雜， 但可將其分解為一個但可將其分解為一個三角形和一個標準二三角形和一個標準二次拋物線圖形次拋物線圖形 。由圖乘法得 1122332111()11328342cvA yA yA yEIlAqlly221128Alql2232ly 232138Alql3122ly 代入以上數(shù)據(jù)代入以上數(shù)據(jù), ,于是于是33313488163124CVqlqllqlllEI 4128qlEI例例14.514.5 試求圖試求圖a a所示伸臂梁所示伸臂梁C C點的豎向位移點的豎向位移 cv cv

28、 。 設設EI=EI=521.5 10 KN m解: 荷載彎矩圖和單位彎矩圖如圖荷載彎矩圖和單位彎矩圖如圖 b cb c所示。所示。 在在ABAB段段, M, MP P和和M圖均是三角形；圖均是三角形； 在在BCBC段，段，M MP P圖圖 可看作是由可看作是由B.C B.C 兩端的彎矩豎標所連成的三角形兩端的彎矩豎標所連成的三角形與相應簡支梁在均布荷載作用下的標準拋物線圖與相應簡支梁在均布荷載作用下的標準拋物線圖 即圖即圖b b中虛線與曲線之間包含的面積中虛線與曲線之間包含的面積 疊加而成。疊加而成。 將上述各部分分別圖乘再疊加，即得將上述各部分分別圖乘再疊加，即得11122300 6 44

29、5 6 323CVEIEI 5666066600.04444.441.5 10mcmEI例例14.6 14.6 試求圖試求圖 (a)(a)所示剛架結(jié)點所示剛架結(jié)點B B的水平的水平BH。 位移位移 設各桿為矩形截面，截面尺寸設各桿為矩形截面，截面尺寸為為bxhbxh，慣性矩，慣性矩l= ,l= ,312bhE E為常數(shù)，只為常數(shù)，只考慮彎矩變形的影響。考慮彎矩變形的影響。 解: 先作出先作出M MP P圖和圖和M圖圖, , 分別如圖分別如圖 (b) (c)(b) (c)所示。所示。 應用圖乘法求得結(jié)點應用圖乘法求得結(jié)點B B的水平位移為的水平位移為：1122331BHyyyEI22211121

30、1221223223382lqlllqlllqllEI 438qlEI14.5 14.5 靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移所引起的位移靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移所引起的位移靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動并不產(chǎn)生內(nèi)力也無變形，靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動并不產(chǎn)生內(nèi)力也無變形，只發(fā)生剛體位移。只發(fā)生剛體位移。 如圖如圖 a a所示靜定結(jié)構(gòu)所示靜定結(jié)構(gòu), ,其支座其支座 發(fā)生水平位移發(fā)生水平位移C C1 1 、豎向位移、豎向位移C C2 2 和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角C C3 3， 現(xiàn)要求由此引起的任現(xiàn)要求由此引起的任一點沿任一方向的位一點沿任一方向的位移，例如求移，例如求k k點豎向位點豎向位移移K。 因為從實際狀態(tài)中取出的微段因為從實際狀態(tài)中取

31、出的微段dsds的變形為的變形為d d這種位移仍用虛功原理來計算。由位移計算的一這種位移仍用虛功原理來計算。由位移計算的一般公式般公式 KMNdFQduFRiCidvFdv0=du= 于是上式可簡化為于是上式可簡化為RiFK= -Ci 這就是靜定結(jié)構(gòu)在支座位移時的這就是靜定結(jié)構(gòu)在支座位移時的位移計算公式位移計算公式。 式中式中RiF 為虛擬狀態(tài)圖為虛擬狀態(tài)圖b b的支座反力的支座反力， CiCi為實際狀態(tài)的支座位移，為實際狀態(tài)的支座位移， RiFC Ci i為反力虛功。為反力虛功。 當當RiF與實際支座位移與實際支座位移C Ci i 的的方向一致時其乘積取正，方向一致時其乘積取正，相反時取負。

32、相反時取負。 此外，上式右邊前面還此外，上式右邊前面還有一個有一個負號負號，不可漏掉。，不可漏掉。cHcH、豎向位移、豎向位移例例14.714.7 圖圖 (a)(a)所示靜定剛架，若支架所示靜定剛架，若支架A A發(fā)生圖示的位發(fā)生圖示的位移移:a=1.0cm,b=1.5cm. :a=1.0cm,b=1.5cm. Cv。試求試求C C點的水平位移點的水平位移解解 在在C C 點處分別加一水平和豎向的單位力，點處分別加一水平和豎向的單位力，求出其支座反力如圖求出其支座反力如圖 (b) (c) (b) (c) 所示。所示。 由公式由公式K= -RiFCi 得：得： cH=-(11.0-11.5)=0.

33、5cm cv=-1.51=-1.5cm14.6 14.6 互等定理互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理圖示結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，分別作用圖示結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，分別作用F FP1P1和和F FP2P2， 稱之為第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。稱之為第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。 虛功 W12為121212112QQNNPkF F dsF F dsM M dsFEAGAEI虛功 W21為212121221QQNNPkF F dsFF dsM M dsFEAGAEI112221PPFF比較，得功的互等定理比較，得功的互等定理: :W W1212=W=W2121即即: :功的互等定理一般形式為功的互等定理一般形式為: : Pk

34、kiPiikFF因此得到功的因此得到功的互等定理互等定理： 第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的相應位第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的相應位移上所作的外力虛功，等于第二狀態(tài)移上所作的外力虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的相應位移上所作的外力在第一狀態(tài)的相應位移上所作的外力虛功。的外力虛功。 二、位移互等定理二、位移互等定理條件：在結(jié)構(gòu)的條件：在結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)中都只兩種狀態(tài)中都只作用一個荷載，作用一個荷載， 且為單位荷載。且為單位荷載。 單位荷載所引起單位荷載所引起的位移稱為位移的位移稱為位移系數(shù)，用系數(shù)，用ij表示（圖表示（圖a.ba.b）1221 根據(jù)功的根據(jù)功的互等定理互等定理121211即即1221這

35、就是這就是位移互等定理位移互等定理： 第二個單位力所引起的第一個單位力作用點第二個單位力所引起的第一個單位力作用點沿其方向的位移，等于第一個單位力所引起沿其方向的位移，等于第一個單位力所引起的第二個單位力作用點沿其方向的位移。的第二個單位力作用點沿其方向的位移。 上述定理中，上述定理中，單位力可以是廣單位力可以是廣義單位力，相應義單位力，相應的位移系數(shù)亦為的位移系數(shù)亦為廣義位移。廣義位移。 2121與與1212可能含可能含1221即CAf義不同，但二者義不同，但二者數(shù)值相等。數(shù)值相等。三、反力互等定三、反力互等定理理反力互等定理也是功的互等定理的一種應用，反力互等定理也是功的互等定理的一種應用

36、，它反映在超靜定結(jié)構(gòu)中如果兩個支座分別發(fā)它反映在超靜定結(jié)構(gòu)中如果兩個支座分別發(fā)生單位位移時，兩個狀態(tài)中相應支座反力的生單位位移時，兩個狀態(tài)中相應支座反力的互等關(guān)系。單位位移引起的支座反力稱為反互等關(guān)系。單位位移引起的支座反力稱為反力系數(shù)，用力系數(shù)，用r rijij表示表示 根據(jù)功的互等定理，有即這就是這就是反力互等定理反力互等定理，它表明支座，它表明支座1 1發(fā)生單位位發(fā)生單位位移所引起的支座移所引起的支座2 2的反力，等于支座的反力，等于支座2 2發(fā)生與上發(fā)生與上述反力相應的單位位移所引起的支座述反力相應的單位位移所引起的支座1 1的反力。的反力。r211=r121r21=r12應注意支座的位移與該支座的反力在作功關(guān)系上的對應關(guān)系，即線位移與集中力相對應，角位移與集中力偶相對應。 可能r12與 r21 一個是反力偶，一個是反力，但二者的