信號與線性系統(tǒng) 第11講

1、第第5 5章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 5.65.6拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講2n收斂區(qū)包括虛軸的拉普拉斯變換可通過傅里葉變收斂區(qū)包括虛軸的拉普拉斯變換可通過傅里葉變換直接得到；換直接得到；n指數(shù)函數(shù)拉普拉斯變換；指數(shù)函數(shù)拉普拉斯變換；nt的正整冪次函數(shù)的拉普拉斯變換。的正整冪次函數(shù)的拉普拉斯變換。n部分分式展開方式求解部分分式展開方式求解n系數(shù)的兩種計算方式，洛比塔方法；系數(shù)的兩種計算方式，洛比塔方法；n無重根和有重根的系數(shù)計算。無重根和有重根的系數(shù)計算。n圍線積分的方式求解圍線積分的方式求解n理解約當(dāng)引理和熟

2、練掌握留數(shù)計算方法。理解約當(dāng)引理和熟練掌握留數(shù)計算方法。2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講3n復(fù)頻率的概念，可積條件的放寬復(fù)頻率的概念，可積條件的放寬n收斂區(qū)與可積條件，反變換與收斂區(qū)關(guān)系收斂區(qū)與可積條件，反變換與收斂區(qū)關(guān)系n頻域函數(shù)的替代法，常用函數(shù)的計算頻域函數(shù)的替代法，常用函數(shù)的計算n部分分式展開、系數(shù)計算、重根解的形式部分分式展開、系數(shù)計算、重根解的形式n留數(shù)計算方法、圍線積分補充路徑與解的關(guān)系留數(shù)計算方法、圍線積分補充路徑與解的關(guān)系n拉普拉斯變換的計算力求簡單拉普拉斯變換的計算力求簡單n掌握其性質(zhì)對于簡化計算有重要的作用。掌握其性質(zhì)對于簡化計算有重要的作用。2022-4-7信號與

3、線性系統(tǒng)第11講4a1 和和a2為任意常數(shù)為任意常數(shù)n例：例：求求 f (t) = sin t 的拉普拉斯變換。的拉普拉斯變換。n解：解：112211221122 ( )(), ( )() ( )( )()()ftFsftFsaftafta FsaFs設(shè)則LLLtttt22221 f(t)= s int=(-) 2 j11, 111s int2 jsc o stjjjjeeeesjsjsjsjss已 知同 理LLLL2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講5 ( )( )1 ()( )f tF ssf atFaa設(shè)則LL2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講6n例題：計算右圖拉普拉斯變換例題：計

4、算右圖拉普拉斯變換n解：解：n三個函數(shù)的原始變換三個函數(shù)的原始變換n根據(jù)時間平移性質(zhì)根據(jù)時間平移性質(zhì)00 ( )( ) ()( )stf tF sf ttF s e設(shè)則LLf (t) fa (t)fb (t)fc (t)0000ETTTTtttt)()()()()()()()(TtTtTETtEttTEtftftftfcba22( ),( ),( )abcEEEf tf tf tTssTsLLL222( )11s Ts Ts TEEEfteeT ssT sET seT sL2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講7計算半波正弦函數(shù)的拉普拉斯變換（計算半波正弦函數(shù)的拉普拉斯變換（P230例題例題5

5、7）n一個半波分解為兩個相差半個周期（一個半波分解為兩個相差半個周期（T/2）的正弦函數(shù)之和）的正弦函數(shù)之和n周期半波為上述合成函數(shù)的周期周期半波為上述合成函數(shù)的周期(T)重復(fù)重復(fù)n周期周期T，周期內(nèi)函數(shù)，周期內(nèi)函數(shù)fT(t)n如果如果n根據(jù)時移性質(zhì)得到根據(jù)時移性質(zhì)得到n結(jié)論結(jié)論( )( )()(2 )TTTf tf tf t Tf tT( )( )TTftF sL2( )( )( )( )( ) =1sTsTTTTTsTf tF sF s eF s eF seL1(1)sTe2sss( )()( )(1)2sTTftftFse單 個 半 波 ：L1122ss( )( )(1)(1)( )(1

6、)sTsTsTf tF seeF se周期半波：L 等比級數(shù)等比級數(shù)是否還是否還有其他有其他解法解法2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講8尺度變換與時間延遲的可交換性尺度變換與時間延遲的可交換性n解解：n（1）先時間延遲再尺度變換）先時間延遲再尺度變換n（2）先尺度變換再時間延遲）先尺度變換再時間延遲(0,0)( )( )() () ? abf tF sf atbatb，LL已已知知求求() ()() ()( )1bssbaf tbtbf atbatbF s esFeaaLL()()()()()()11bsafa ta tfa tba tbfatatsFaabbsFeaaaaLLL尺度變換后

7、，尺度變換后，新坐標(biāo)下延時新坐標(biāo)下延時2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講9n對于與指數(shù)函數(shù)相乘的函數(shù)，可以方便的求解對于與指數(shù)函數(shù)相乘的函數(shù)，可以方便的求解00 ( )( ) ( )()s tftFsft eFss設(shè)則LL222221sin()c o s()1( )()!( )()a ta ta ta tnnetsasaetsaettsanettsaLLLL2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講10n0為為t=0-時的函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)取值。證明如下：時的函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)取值。證明如下：n同理可以證明同理可以證明n階導(dǎo)數(shù)情況下的拉普拉斯變換階導(dǎo)數(shù)情況下的拉普拉斯變換n對于有始函數(shù)，對于有始函數(shù)，

8、t0時為時為0，上面的表達(dá)式將非常簡單，上面的表達(dá)式將非常簡單1211( ) ( )( ) ( )(0 )( )( )(0 )(0 )(0 )nnnnnndf tf tF ssF sfdtd f ts F ssfsffdt設(shè)則LLL000( )( )( )|( ) ( )(0 )stststdf tdf tedtf t esf t edtdtdtsF sfL分布積分方法分布積分方法( )( )() ()nnnd ftdftsFss Fsd td tLL2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講11f(t)的拉普拉斯變換為：的拉普拉斯變換為：n采用采用0-系統(tǒng)系統(tǒng)n直接時域求導(dǎo)得到：直接時域求導(dǎo)得到

9、：n對求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯變換對求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯變換n直接采用微分性質(zhì)得到結(jié)果直接采用微分性質(zhì)得到結(jié)果n兩者結(jié)果一致兩者結(jié)果一致n采用采用0+系統(tǒng)系統(tǒng)n直接時域求導(dǎo)得到直接時域求導(dǎo)得到n對求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯變換對求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯變換n直接利用微分性質(zhì)得到結(jié)果直接利用微分性質(zhì)得到結(jié)果n兩者結(jié)果一致兩者結(jié)果一致n采用采用0+、0-結(jié)果不同的原因結(jié)果不同的原因n函數(shù)函數(shù)f(t)求導(dǎo)以后在求導(dǎo)以后在0點有沖激點有沖激( )(t)a tfte1( t)a tesaL(t)( )(t)a ta tdeta ed t ()( 0)ss Fsfsa( )(t)1atastaesasaL(t)(t)a

10、 ta tdea ed t (t)ataaesaL( )(0)1sasFsfsasaf(0-)=00+系統(tǒng)不考慮系統(tǒng)不考慮沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)f( 0+)=12022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講12n一般單邊信號，采用一般單邊信號，采用0-系統(tǒng)系統(tǒng)nf(t)=f(t)u(t) 而而f(0-)=0 n根據(jù)微分性質(zhì)有比較簡單的結(jié)果根據(jù)微分性質(zhì)有比較簡單的結(jié)果n在分析單邊信號時在分析單邊信號時 f(t)，f(t)u(t)兩者的拉普拉斯變換一兩者的拉普拉斯變換一樣樣n但是但是 兩者時域微分以后的拉普拉斯變換卻不一定相等，因兩者時域微分以后的拉普拉斯變換卻不一定相等，因為兩者的為兩者的f(0-)可能不同可

11、能不同n上面兩個函數(shù)的時域微分以后的拉普拉斯變換就不相同上面兩個函數(shù)的時域微分以后的拉普拉斯變換就不相同( )( ) df tsF sdtL21 t0atf te1( )(t)atf te1( )dsftd tsaL2( )1dsftd tsaL2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講130101( ) ( )( ) ( )( )(0 )( ), (0 )( )ttF sf tF sfdsF sffdffdss設(shè)則LLL000000()()1()()( )tts ts tts tfdfded teFsfdfted tsssL0001()()()()()( 0)()ttfdfdfdfdFsfFss

12、sss LL本項為常數(shù)本項為常數(shù)本項積分為本項積分為0200()()tFsfdds L2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講140211( ),( )( )( )111( )! ( )tnnLtttdsF sL ttssssnL tts 而 2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講15 ( )()() ()( )() ()( )( ) ()nnnsftFsd Fstftd sdFstftd sftFs d st設(shè)則LLLL2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講162211 ( ,)( ,), ()( ,) ( ,)( ,)aaaaaft aFs aftaFs aaaft a d aFs a d

13、a為 參 變 量設(shè)，則LLL2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講17n設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)存在，并有拉普拉斯變換，則及其導(dǎo)數(shù)存在，并有拉普拉斯變換，則f(t)初值為初值為n證明：通過時域微分性質(zhì)證明證明：通過時域微分性質(zhì)證明)(lim)(lim)0(0ssFtffst00000000000()( 0)() |( 0)( 0)s ts ts ts ts ts td fd fd fs Fsfed ted ted td td td td fd fd fd ted tfted td td td td fffed td t1|0tste0)0()(dtedtdffssFst0lim( )(0

14、)lim(0 )stssdfsF sfedtfdt此處可見此處可見時域微分時域微分性質(zhì)對性質(zhì)對0和和0系統(tǒng)系統(tǒng)的關(guān)系的關(guān)系2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講18n如果函數(shù)如果函數(shù)f(t)在在0時刻突變時刻突變n此時計算初值沒有結(jié)果此時計算初值沒有結(jié)果n因為因為n所以當(dāng)所以當(dāng) f (t) 中包含沖激時，中包含沖激時，可先把可先把 (t) 移去后，再應(yīng)用移去后，再應(yīng)用初值定理初值定理( )( )( )afttft)(lim)(limssFsssFass(0 )(0 )(0 )(0 )aafff)(lim)0()0(ssFffasa101p01( )( )( )( )( )( )()( )s()

15、pppppppftatatatftLftFsLftaaasFs 則n同理，若同理，若 f (t) 在在 t=0 處有沖激及其導(dǎo)數(shù)，設(shè)其形式為處有沖激及其導(dǎo)數(shù)，設(shè)其形式為n初值定理應(yīng)表示為初值定理應(yīng)表示為)(lim)0()0(ssFffpsp2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講191( )( )1(0)lim( )lim1ssstsssss L1)(sssF1lim)(lim1111)(sssssFssssFss111lim)(lim)0()0(ssssFffsasa2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講20n設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)存在，并有拉普拉斯變換，且及其導(dǎo)數(shù)存在，并有拉普拉斯變換

16、，且F(s)的所有極點的所有極點都在都在S左半平面（包括原點處的單極點），則左半平面（包括原點處的單極點），則f(t)終值為終值為n證明：利用時域微分性質(zhì)，在證明：利用時域微分性質(zhì)，在s 0, 可以推導(dǎo)得到結(jié)果可以推導(dǎo)得到結(jié)果)(lim)(lim)(0ssFtffst0)0()(dtedtdffssFst000000lim()(0)lim(0)lim(0)( ) |()stssstsd fsFsfed td td ffed td tfftf2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講21在如圖所示電路中輸入一單位階在如圖所示電路中輸入一單位階躍電壓躍電壓 (t)，n求求 uR(t) 初值初值 uR(

17、0+) 和終值和終值 uR( )。由由KVL列方程列方程n由初值定理由初值定理n由終值定理由終值定理n物理解釋物理解釋u(t)uR(t)cR+-i(t)R( )( )( )( )( )ccu tutututi t R( )( )( )( )ccd ututR Cuttd t)(1)(tetuRCtc)()()()()()()(tetetttututuRCtRCtcR1()()11tR CRR CutetS R CsR CL11lim)0(sRCsRCusR01lim)(0sRCsRCusRs 0 (j 0)，得終值，得終值 f ( ) ，相當(dāng)于直流狀態(tài)；，相當(dāng)于直流狀態(tài)；s (j )，得初值，

18、得初值 f (0+) ，相當(dāng)于接入瞬間的高頻分量。，相當(dāng)于接入瞬間的高頻分量。2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講22n終值定理在時域函數(shù)終值定理在時域函數(shù)f(t)終值存在時有意義終值存在時有意義n根據(jù)根據(jù)F(s)的極點分布特點的極點分布特點n右半平面的極點，時域信號指數(shù)增長右半平面的極點，時域信號指數(shù)增長n虛軸上非原點的極點，時域信號振幅正弦振蕩虛軸上非原點的極點，時域信號振幅正弦振蕩n原點的高階極點，時域信號按照原點的高階極點，時域信號按照t整數(shù)冪增長整數(shù)冪增長n終值定理在上述極點存在時無法應(yīng)用終值定理在上述極點存在時無法應(yīng)用n可以簡單判定時域信號的初始情況和最終穩(wěn)定情況可以簡單判定時域

19、信號的初始情況和最終穩(wěn)定情況2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講23n時域卷積時域卷積n頻域卷積頻域卷積n證明：證明：11221212 ( )( ), ( )( ) ( )*( )( )( )f tF sf tF sf tf tF s F s設(shè)則LLL11221212 ( )( ), ( )( )1 ( )( )( )*( )2f tF sf tF sf t f tF sF sj設(shè)則LLL111221110()1121011211121( )( )( )()21()( )21()()21()()2js tstjjsstjjjftftft eFsed sd tjFsft ed td sjFsF

20、ssd sjFsFsjL2022-4-7信號與線性系統(tǒng)第11講24n例：已知指數(shù)函數(shù)拉普拉斯變換例：已知指數(shù)函數(shù)拉普拉斯變換n用卷積定理求用卷積定理求F(s)的反變換的反變換f(t)n解：復(fù)頻域的乘積轉(zhuǎn)化為時域兩解：復(fù)頻域的乘積轉(zhuǎn)化為時域兩個指數(shù)函數(shù)的卷積，令個指數(shù)函數(shù)的卷積，令1( )()()F sss111( )( )tef tsF sL= L1a tesaL 122( )( )tef tsF sLL112()()00()1()()()() ()11()ttttttttftftftsseedeedeeee L若若 = ，求上式的極限（分子分母對，求上式的極限（分子分母對 求導(dǎo)），得求導(dǎo)），得 s 重根時的反變換式重根時的反變換式12()1()l