現(xiàn)代信號處理第6章連續(xù)小波變換2

1、第六章第六章 連續(xù)小波變換及其工程應(yīng)用連續(xù)小波變換及其工程應(yīng)用6.1 6.1 諧波小波變換及其工程應(yīng)用諧波小波變換及其工程應(yīng)用6.2 Laplace6.2 Laplace小波特征波形相關(guān)濾波小波特征波形相關(guān)濾波6.3 Hermitian6.3 Hermitian連續(xù)小波變換與信號奇異性識別連續(xù)小波變換與信號奇異性識別引言引言小波分析中被廣泛使用的小波分析中被廣泛使用的Daubechies類小波與樣條類小波與樣條小波都是實小波，它們沒有明確的解析表達(dá)式，對小波都是實小波，它們沒有明確的解析表達(dá)式，對信號的小波分解是通過構(gòu)造相應(yīng)的正交濾波器系數(shù)信號的小波分解是通過構(gòu)造相應(yīng)的正交濾波器系數(shù)hk和和g

2、k運(yùn)用運(yùn)用Mallat快速算法實現(xiàn)的?？焖偎惴▽崿F(xiàn)的。除了這兩類小波，其它類型的小波基函數(shù)也被陸續(xù)除了這兩類小波，其它類型的小波基函數(shù)也被陸續(xù)構(gòu)造出來并且得到了深入研究和工程運(yùn)用。構(gòu)造出來并且得到了深入研究和工程運(yùn)用。本章介紹三種在工程實際應(yīng)用中取得了理想效果的本章介紹三種在工程實際應(yīng)用中取得了理想效果的連續(xù)小波基函數(shù)，它們都具有明確的解析表達(dá)式。連續(xù)小波基函數(shù)，它們都具有明確的解析表達(dá)式。這三種連續(xù)小波分別是這三種連續(xù)小波分別是諧波小波、諧波小波、Laplace小波和小波和Hermitian小波。小波。6.1 6.1 諧波小波變換及其工程應(yīng)用諧波小波變換及其工程應(yīng)用6.1.1諧波小波的定義及

3、正交性諧波小波的定義及正交性6.1.2 Newland快速算法快速算法6.1.3 諧波小波時頻圖諧波小波時頻圖6.1.4 諧波小波濾波諧波小波濾波6.1.5 諧波小波應(yīng)用諧波小波應(yīng)用n小波分形技術(shù)原理與離散信號盒維數(shù)的計算小波分形技術(shù)原理與離散信號盒維數(shù)的計算n 諧波小波軸心軌跡陣列的實現(xiàn)及其不規(guī)則度描述諧波小波軸心軌跡陣列的實現(xiàn)及其不規(guī)則度描述6.1.1諧波小波的定義及正交性諧波小波的定義及正交性諧波小波諧波小波(harmonic wavelet)是由劍橋大學(xué)是由劍橋大學(xué)D. E. Newland教授在教授在1993年提出的。年提出的。諧波小波是一種復(fù)小波，在頻域緊支，有明確的函諧波小波是一

4、種復(fù)小波，在頻域緊支，有明確的函數(shù)表達(dá)式，其伸縮與平移構(gòu)成了數(shù)表達(dá)式，其伸縮與平移構(gòu)成了L2(R)空間的規(guī)范空間的規(guī)范正交基。正交基。諧波小波小波具有完全諧波小波小波具有完全“盒形盒形”的頻譜。的頻譜。諧波小波分解算法是通過信號的快速傅里葉變換諧波小波分解算法是通過信號的快速傅里葉變換（FFT）及其逆變換（）及其逆變換（IFFT）實現(xiàn)的，算法速度快，）實現(xiàn)的，算法速度快，精度高，因而具有很好的工程應(yīng)用價值。精度高，因而具有很好的工程應(yīng)用價值。6.1.1諧波小波的定義及正交性諧波小波的定義及正交性實偶函數(shù)實偶函數(shù)we(t)和實奇函數(shù)和實奇函數(shù)wo(t) , , 它們的傅里葉變換分別為它們的傅里葉

5、變換分別為 6.1.1諧波小波的定義及正交性諧波小波的定義及正交性W( )所對應(yīng)的函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)w (t) = we (t) + iwo (t)由由W( )的傅里葉逆的傅里葉逆變換得變換得 w (t)函數(shù)為諧波小波，它是復(fù)小波，在頻域緊支，且具有完全函數(shù)為諧波小波，它是復(fù)小波，在頻域緊支，且具有完全“盒形盒形”的頻譜。的頻譜。6.1.1諧波小波的定義及正交性諧波小波的定義及正交性根據(jù)小波理論對諧波小波進(jìn)行伸縮、平移就生成諧波小波根據(jù)小波理論對諧波小波進(jìn)行伸縮、平移就生成諧波小波函數(shù)族（函數(shù)族（j, k Z）：）：設(shè)設(shè)w(t)伸縮平移得到函數(shù)族為伸縮平移得到函數(shù)族為v(t)，即，即 v(t)=

6、w(2jt - k) 其頻譜為其頻譜為隨著小波層（即隨著小波層（即j）的變）的變大，諧波小波的頻譜寬大，諧波小波的頻譜寬度倍增而幅值降低度倍增而幅值降低分析頻寬從高頻到低頻是以分析頻寬從高頻到低頻是以1/21/2關(guān)系逐漸減小的，對信號的低關(guān)系逐漸減小的，對信號的低頻部分劃分比較細(xì)，而高頻部分劃分比較粗，這說明諧波小波頻部分劃分比較細(xì)，而高頻部分劃分比較粗，這說明諧波小波分解是一種小波分解分解是一種小波分解 04163281/2,j=021/8, j=21/16, j=31/4, j=16.1.1諧波小波的定義及正交性諧波小波的定義及正交性當(dāng)當(dāng)j 0，W( )與與V( )在頻域中總處于不同的頻段

7、，因而總有在頻域中總處于不同的頻段，因而總有說明處于不同層的諧波小波總是正交的說明處于不同層的諧波小波總是正交的 對于處于同層的諧波小波對于處于同層的諧波小波w(t)，w(t k) , 其中其中(k 0, k Z)， 說明處于第零層的諧波小波也是正交的。對其它層，以上說明處于第零層的諧波小波也是正交的。對其它層，以上結(jié)論可以類似得到結(jié)論可以類似得到 。因此，因此，w w( (t t) )及其伸縮平移函數(shù)族構(gòu)成信號的正交基。以諧波小及其伸縮平移函數(shù)族構(gòu)成信號的正交基。以諧波小波作為基函數(shù)系就可以將信號既不交迭，又無遺漏地分解到相波作為基函數(shù)系就可以將信號既不交迭，又無遺漏地分解到相互獨(dú)立的空間，

8、實現(xiàn)將信號成分分解到不同頻段互獨(dú)立的空間，實現(xiàn)將信號成分分解到不同頻段 。deWWkj)()(dekj42241 = = 6.1.2 Newland快速算法快速算法諧波小波構(gòu)成了諧波小波構(gòu)成了L2 ( R ) 空間的規(guī)范正交基，則任何信號空間的規(guī)范正交基，則任何信號x ( t ) L2 ( R ) 都可以表示為諧波小波的線性和，即都可以表示為諧波小波的線性和，即aj,k為函數(shù)為函數(shù)x(t)的小波展開系數(shù)的小波展開系數(shù) 用求內(nèi)積的方法計算小波展開系數(shù)運(yùn)算量太大，是很不實用的。用求內(nèi)積的方法計算小波展開系數(shù)運(yùn)算量太大，是很不實用的。因此諧波小波的提出者因此諧波小波的提出者NewlandNewlan

9、d給出了一種快速算法，可以快給出了一種快速算法，可以快速而精確地求得諧波小波分解，對諧波小波運(yùn)用于工程實踐有速而精確地求得諧波小波分解，對諧波小波運(yùn)用于工程實踐有很大好處。很大好處。6.1.2 Newland快速算法快速算法Newland快速算法是通過信號的快速傅里葉變換快速算法是通過信號的快速傅里葉變換FFT和快速和快速傅里葉逆變換傅里葉逆變換IFFT實現(xiàn)。設(shè)有離散信號實現(xiàn)。設(shè)有離散信號x (r)，r = 0, N 1,其中其中N = 2n，其諧波小波分解為，其諧波小波分解為as , s= 0, N 1。令。令as由由Fs經(jīng)分段、對每一段作經(jīng)分段、對每一段作IFFT得到，下兩式為其表達(dá)式：得

10、到，下兩式為其表達(dá)式：6.1.2 Newland快速算法快速算法下圖表示一數(shù)據(jù)長度為下圖表示一數(shù)據(jù)長度為16的實序列的諧波小波分解示意圖的實序列的諧波小波分解示意圖6.1.3 諧波小波時頻圖諧波小波時頻圖諧波小波分解結(jié)果一般用諧波小波分解結(jié)果一般用小波時頻圖（小波時頻圖（Wavelet Time-Frequency Map）直）直觀表示。觀表示。在各網(wǎng)格以在各網(wǎng)格以as模的平方為高模的平方為高作柱體就構(gòu)成了諧波小波作柱體就構(gòu)成了諧波小波時頻圖。小波時頻圖是隨時頻圖。小波時頻圖是隨|as|2起伏的面。這里高度取起伏的面。這里高度取lg|as|2。 由由Parseval公式得到公式得到 ，諧波小波

11、分解結(jié)果表明不同頻率和諧波小波分解結(jié)果表明不同頻率和時間的諧波小波能量對整個信號能量貢獻(xiàn)的大小時間的諧波小波能量對整個信號能量貢獻(xiàn)的大小 6.1.3 諧波小波時頻圖諧波小波時頻圖下圖為信號下圖為信號x (r) = sin(2 15tr)，( r = 0 , , 511；tr = r / 320 )的波形及諧波小波分解時頻圖。該信號是單一頻率的，的波形及諧波小波分解時頻圖。該信號是單一頻率的，所以諧波小波分解只有一個層有值，在小波時頻圖上表現(xiàn)所以諧波小波分解只有一個層有值，在小波時頻圖上表現(xiàn)為對應(yīng)的層有峰值。為對應(yīng)的層有峰值。諧波小波分解系數(shù)，低頻頻帶內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)少，高頻頻帶內(nèi)諧波小波分解系數(shù)，

12、低頻頻帶內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)少，高頻頻帶內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)多。的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)多。6.1.4 諧波小波濾波諧波小波濾波旋轉(zhuǎn)機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷利用機(jī)組同一截面兩路相互旋轉(zhuǎn)機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷利用機(jī)組同一截面兩路相互垂直振動信號的合成軸心軌跡來監(jiān)測其運(yùn)行狀態(tài)和識別故垂直振動信號的合成軸心軌跡來監(jiān)測其運(yùn)行狀態(tài)和識別故障類型。當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)故障時，信號表現(xiàn)出非平穩(wěn)特性，而障類型。當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)故障時，信號表現(xiàn)出非平穩(wěn)特性，而小波變換對處理非平穩(wěn)信號是非常有效的，我們可以用相小波變換對處理非平穩(wěn)信號是非常有效的，我們可以用相互垂直的互垂直的X方向與方向與Y方向的小波分解結(jié)果來合成軸心軌跡。方向的小波分解結(jié)果來合成軸心軌跡。M

13、allat算法分解時要隔二抽一，從而使得小波分解各層的數(shù)算法分解時要隔二抽一，從而使得小波分解各層的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)和采樣頻率隨分解層次增加而逐漸減小。這樣，直據(jù)點(diǎn)數(shù)和采樣頻率隨分解層次增加而逐漸減小。這樣，直接對運(yùn)行轉(zhuǎn)子垂直、水平方向振動信號進(jìn)行小波分解，采接對運(yùn)行轉(zhuǎn)子垂直、水平方向振動信號進(jìn)行小波分解，采用同一尺度同一頻段的分解數(shù)據(jù)合成軸心軌跡，將使軸心用同一尺度同一頻段的分解數(shù)據(jù)合成軸心軌跡，將使軸心軌跡不但不具有可比性，而且由于數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)減少、采樣頻軌跡不但不具有可比性，而且由于數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)減少、采樣頻率降低會使合成的軸心軌跡失真，這種直接合成軸心軌跡率降低會使合成的軸心軌跡失真，這種直接合成軸心軌

14、跡的方法是不合適的。的方法是不合適的。諧波小波濾波能夠在低頻頻帶和高頻頻帶內(nèi)都具有足夠的諧波小波濾波能夠在低頻頻帶和高頻頻帶內(nèi)都具有足夠的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。6.1.4 諧波小波濾波諧波小波濾波諧波小波實際上是一個完全理想的帶通濾波器諧波小波實際上是一個完全理想的帶通濾波器 ，可以用下，可以用下面的方法定義諧波小波面的方法定義諧波小波 其中其中m, n決定了諧波小波變換的尺度（決定了諧波小波變換的尺度（j），且），且n = 2m，當(dāng)當(dāng)m = 0時，時，n = 1。 諧波小波的光滑性，諧波小波的光滑性，“盒形盒形”譜特性，零相移特性以及明譜特性，零相移特性以及明顯的數(shù)學(xué)表達(dá)式，使得我們可構(gòu)造出不

15、同尺度下各頻段序顯的數(shù)學(xué)表達(dá)式，使得我們可構(gòu)造出不同尺度下各頻段序列數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)不變、采樣頻率不變的算法，最終成功應(yīng)用于列數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)不變、采樣頻率不變的算法，最終成功應(yīng)用于轉(zhuǎn)子軸心軌跡分析轉(zhuǎn)子軸心軌跡分析 6.1.4 諧波小波濾波諧波小波濾波6.1.4 諧波小波濾波諧波小波濾波6.1.4 諧波小波濾波諧波小波濾波為了對信號的某一特定頻段的成分進(jìn)行研究，在對信號的諧為了對信號的某一特定頻段的成分進(jìn)行研究，在對信號的諧波小波分解進(jìn)行重構(gòu)時可將其它頻段的諧波小波系數(shù)置為波小波分解進(jìn)行重構(gòu)時可將其它頻段的諧波小波系數(shù)置為“0”，只保留該段的小波系數(shù)，由于諧波小波的正交性，如，只保留該段的小波系數(shù)，由于諧波小

16、波的正交性，如此重構(gòu)的結(jié)果只包含信號該頻段的成分，其它成分都被剔除此重構(gòu)的結(jié)果只包含信號該頻段的成分，其它成分都被剔除了。了。這個算法與本節(jié)開始所給出的算法是一致的，實際是諧這個算法與本節(jié)開始所給出的算法是一致的，實際是諧波小波重構(gòu)算法的延伸，是對信號進(jìn)行了濾波，我們稱這一波小波重構(gòu)算法的延伸，是對信號進(jìn)行了濾波，我們稱這一過程為諧波小波濾波。過程為諧波小波濾波。諧波小波濾波計算過程并未采用基于隔二抽取的諧波小波濾波計算過程并未采用基于隔二抽取的Mallat算法，算法，因此保證了信號各頻段成分點(diǎn)數(shù)不變，采樣頻率不變，這樣因此保證了信號各頻段成分點(diǎn)數(shù)不變，采樣頻率不變，這樣就可以實現(xiàn)機(jī)組同一截面

17、互相垂直兩個方向振動信號的軸心就可以實現(xiàn)機(jī)組同一截面互相垂直兩個方向振動信號的軸心軌跡合成。軌跡合成。6.1.4 諧波小波濾波諧波小波濾波諧波小波包變換諧波小波包變換6.1.5 諧波小波應(yīng)用諧波小波應(yīng)用小波分形技術(shù)原理與離散信號盒維數(shù)的計算小波分形技術(shù)原理與離散信號盒維數(shù)的計算諧波小波軸心軌跡陣列的實現(xiàn)及其不規(guī)則度描述諧波小波軸心軌跡陣列的實現(xiàn)及其不規(guī)則度描述 小波變換只是把信號從時間域變換到時間小波變換只是把信號從時間域變換到時間- -尺度尺度域或時間域或時間- -頻率域，如何從小波變換后的信號中提取頻率域，如何從小波變換后的信號中提取機(jī)械動態(tài)信息和故障特征才是工程應(yīng)用領(lǐng)域最關(guān)心的機(jī)械動態(tài)信

18、息和故障特征才是工程應(yīng)用領(lǐng)域最關(guān)心的問題。因此，為了使小波分析技術(shù)達(dá)到工程實用化，問題。因此，為了使小波分析技術(shù)達(dá)到工程實用化，必須研究開發(fā)小波變換信號再處理技術(shù)必須研究開發(fā)小波變換信號再處理技術(shù)小波分形技術(shù)原理與離散信號盒維數(shù)的計算小波分形技術(shù)原理與離散信號盒維數(shù)的計算分形的自相似仿射算子分形的自相似仿射算子r與小波變換的伸縮因子與小波變換的伸縮因子a是作用相同，是作用相同，小波變換從低分辨到高分辨的過渡原則與分形過程的從總小波變換從低分辨到高分辨的過渡原則與分形過程的從總體向局部、從宏觀向微觀深化分析原則是一致的，小波和體向局部、從宏觀向微觀深化分析原則是一致的，小波和分形都具有自相似性，

19、兩者結(jié)合是可行的。分形都具有自相似性，兩者結(jié)合是可行的。小波分形技術(shù)原理是應(yīng)用小波包變換將機(jī)械振動信號分解小波分形技術(shù)原理是應(yīng)用小波包變換將機(jī)械振動信號分解到正交的、獨(dú)立的頻帶內(nèi)，然后分別計算出每個頻帶信號到正交的、獨(dú)立的頻帶內(nèi)，然后分別計算出每個頻帶信號的盒維數(shù)，的盒維數(shù)， 用盒維數(shù)衡量小波包分解每個頻帶信號的復(fù)雜用盒維數(shù)衡量小波包分解每個頻帶信號的復(fù)雜程度程度由于一維離散信號的盒維數(shù)是介于由于一維離散信號的盒維數(shù)是介于1和和2之間的一個實數(shù)，之間的一個實數(shù)，信號越復(fù)雜維數(shù)越大信號越復(fù)雜維數(shù)越大 分形分形小波小波Mandelbrot集合小波分形技術(shù)原理與離散信號盒維數(shù)的計算小波分形技術(shù)原理與

20、離散信號盒維數(shù)的計算設(shè)離散信號設(shè)離散信號 是是n維歐氏空間維歐氏空間Rn上的閉集。將上的閉集。將Rn劃分劃分成盡可能細(xì)的成盡可能細(xì)的網(wǎng)格，若網(wǎng)格，若N是網(wǎng)格寬度為是網(wǎng)格寬度為的離散空間上的離散空間上集合集合X的網(wǎng)格計數(shù)。盒維數(shù)定義為的網(wǎng)格計數(shù)。盒維數(shù)定義為 :XXjx,)(由于離散信號的最高分辯率為采樣間隔由于離散信號的最高分辯率為采樣間隔t，所以上式的極限，所以上式的極限是無法按其定義是無法按其定義0 0求出。實際計算時一般采用近似方法，求出。實際計算時一般采用近似方法，即將即將網(wǎng)格視為最小網(wǎng)格，然后逐步放大為網(wǎng)格視為最小網(wǎng)格，然后逐步放大為k網(wǎng)格，網(wǎng)格，kZ+，令令則網(wǎng)格寬度為則網(wǎng)格寬度為

21、k的信號的信號x( (j) )的網(wǎng)格計數(shù)為的網(wǎng)格計數(shù)為 小波分形技術(shù)原理與離散信號盒維數(shù)的計算小波分形技術(shù)原理與離散信號盒維數(shù)的計算在在lg k lg Nk圖中確定線性好的一段為信號無標(biāo)度區(qū)圖中確定線性好的一段為信號無標(biāo)度區(qū) ，如，如果無標(biāo)度區(qū)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為果無標(biāo)度區(qū)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為k1，k2，則在此區(qū)域內(nèi)，應(yīng)，則在此區(qū)域內(nèi)，應(yīng)該滿足線性回歸模型該滿足線性回歸模型 這樣，用最小二乘法可求得信號這樣，用最小二乘法可求得信號x(j)的盒維數(shù)為的盒維數(shù)為即盒維數(shù)是最小二乘法擬合直線斜率的估計值即盒維數(shù)是最小二乘法擬合直線斜率的估計值小波分解小波分解l次后第次后第i頻帶信號頻帶信號 的盒維數(shù)分別

22、記為的盒維數(shù)分別記為 ，可以，可以作為無量綱指標(biāo)來描述振動信號在不同尺度下和不同頻帶內(nèi)作為無量綱指標(biāo)來描述振動信號在不同尺度下和不同頻帶內(nèi)的復(fù)雜性和不規(guī)則性，從而提取出故障出現(xiàn)時信號的非平穩(wěn)的復(fù)雜性和不規(guī)則性，從而提取出故障出現(xiàn)時信號的非平穩(wěn)特征。特征。 )( ,nxililBd , 諧波小波軸心軌跡陣列的實現(xiàn)及其不規(guī)則度描述諧波小波軸心軌跡陣列的實現(xiàn)及其不規(guī)則度描述 某大型化肥廠某大型化肥廠CO2壓縮機(jī)發(fā)生喘振時，壓縮機(jī)發(fā)生喘振時，高壓缸水平方向（高壓缸水平方向（X方向）和垂直方向（方向）和垂直方向（Y方向）由渦流式位移傳感器拾取的振方向）由渦流式位移傳感器拾取的振動信號，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速動信號，轉(zhuǎn)

23、子轉(zhuǎn)速6530r/min，采樣頻率，采樣頻率2000Hz，數(shù)據(jù)長度，數(shù)據(jù)長度1024點(diǎn)。點(diǎn)。 軸心軌跡較為復(fù)雜且不規(guī)則，加之軸心軌跡較為復(fù)雜且不規(guī)則，加之較小的高倍工頻分量影響使得軸心較小的高倍工頻分量影響使得軸心軌跡有一些局部能量突變點(diǎn)，且其軌跡有一些局部能量突變點(diǎn)，且其分形盒維數(shù)為分形盒維數(shù)為1.384,1.384,數(shù)值比較大。數(shù)值比較大。 諧波小波軸心軌跡陣列的實現(xiàn)及其不規(guī)則度描述諧波小波軸心軌跡陣列的實現(xiàn)及其不規(guī)則度描述X方向、方向、Y方向信號的第方向信號的第2層諧波小波包分解層諧波小波包分解 與第與第0頻段合成頻段合成軸心軌跡及其分形盒維數(shù)軸心軌跡及其分形盒維數(shù)第第0 0頻段小波對應(yīng)

24、的是低頻喘振、頻段小波對應(yīng)的是低頻喘振、工頻振動和二倍頻振動的特征，工頻振動和二倍頻振動的特征，高倍工頻分量影響已剔除，軸心高倍工頻分量影響已剔除，軸心軌跡光滑度提高，不規(guī)則度減少，軌跡光滑度提高，不規(guī)則度減少，其分形盒維數(shù)其分形盒維數(shù)1.35361.3536相對原始軸相對原始軸心軌跡也有所減少心軌跡也有所減少諧波小波軸心軌跡陣列的實現(xiàn)及其不規(guī)則度描述諧波小波軸心軌跡陣列的實現(xiàn)及其不規(guī)則度描述第第3層諧波小波層諧波小波包分解后，第包分解后，第0、1頻段合成軸心頻段合成軸心軌跡及分形盒軌跡及分形盒維數(shù)維數(shù) 圖圖(d)(d)分形盒維數(shù)分形盒維數(shù)1.26041.2604較較前圖有所減少，但其分形前圖

25、有所減少，但其分形盒維數(shù)為明顯比正常機(jī)組盒維數(shù)為明顯比正常機(jī)組大，這說明低頻喘振的確大，這說明低頻喘振的確是一種低頻不平穩(wěn)性振動。是一種低頻不平穩(wěn)性振動。圖圖(f)(f)的的1.35011.3501盒維數(shù)說明盒維數(shù)說明低頻喘振不但自身是不平低頻喘振不但自身是不平穩(wěn)的晃動，而且影響著二穩(wěn)的晃動，而且影響著二倍頻區(qū)的穩(wěn)定性，導(dǎo)致二倍頻區(qū)的穩(wěn)定性，導(dǎo)致二倍頻區(qū)也有晃動現(xiàn)象發(fā)生倍頻區(qū)也有晃動現(xiàn)象發(fā)生6.2 Laplace6.2 Laplace小波特征波形相關(guān)濾波小波特征波形相關(guān)濾波6.2.1 Laplace小波及其特性小波及其特性6.2.2 Laplace小波基函數(shù)相關(guān)濾波小波基函數(shù)相關(guān)濾波6.2.3

26、 應(yīng)用實例應(yīng)用實例沖擊響應(yīng)信號檢測的意義沖擊響應(yīng)信號檢測的意義振動信號中出現(xiàn)沖擊響應(yīng)波形往往標(biāo)志著旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備發(fā)生振動信號中出現(xiàn)沖擊響應(yīng)波形往往標(biāo)志著旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備發(fā)生松動、碰撞、沖擊等故障。如何從強(qiáng)大的工頻振動、諧波振松動、碰撞、沖擊等故障。如何從強(qiáng)大的工頻振動、諧波振動和背景噪聲中提取出沖擊響應(yīng)信號的發(fā)生時刻、振蕩頻率動和背景噪聲中提取出沖擊響應(yīng)信號的發(fā)生時刻、振蕩頻率和阻尼比等參數(shù)對設(shè)備故障的診斷和定位至關(guān)重要。和阻尼比等參數(shù)對設(shè)備故障的診斷和定位至關(guān)重要。在往復(fù)機(jī)械中，活塞、連桿、氣閥等運(yùn)動部件對系統(tǒng)具有相在往復(fù)機(jī)械中，活塞、連桿、氣閥等運(yùn)動部件對系統(tǒng)具有相同的激勵頻率，在頻譜上頻率特征

27、互相重疊，很難分辨。然同的激勵頻率，在頻譜上頻率特征互相重疊，很難分辨。然而，各個運(yùn)動部件對系統(tǒng)施加的沖擊并非同時發(fā)生，即相互而，各個運(yùn)動部件對系統(tǒng)施加的沖擊并非同時發(fā)生，即相互之間有一定的相位差，因此在時域上表現(xiàn)為一系列有一定時之間有一定的相位差，因此在時域上表現(xiàn)為一系列有一定時間間隔的沖擊響應(yīng)波形，每一個沖擊頻率與某個特定運(yùn)動部間間隔的沖擊響應(yīng)波形，每一個沖擊頻率與某個特定運(yùn)動部件相對應(yīng)，如果將這些單個沖擊響應(yīng)波形提取出來，分別用件相對應(yīng)，如果將這些單個沖擊響應(yīng)波形提取出來，分別用特征參數(shù)表示，即可對往復(fù)機(jī)械機(jī)構(gòu)的狀態(tài)進(jìn)行趨勢分析和特征參數(shù)表示，即可對往復(fù)機(jī)械機(jī)構(gòu)的狀態(tài)進(jìn)行趨勢分析和診斷，

28、因此，沖擊響應(yīng)信號的提取對往復(fù)機(jī)械故障診斷意義診斷，因此，沖擊響應(yīng)信號的提取對往復(fù)機(jī)械故障診斷意義重大重大。 LaplaceLaplace小波的引入小波的引入使用與信號波形最匹配的基函數(shù)對信號進(jìn)行分解、提取出使用與信號波形最匹配的基函數(shù)對信號進(jìn)行分解、提取出隱含故障特征是故障診斷?？崎T診思想的精髓。隱含故障特征是故障診斷?？崎T診思想的精髓。自從將小波分析引入到機(jī)械故障診斷領(lǐng)域以來，我們就一自從將小波分析引入到機(jī)械故障診斷領(lǐng)域以來，我們就一直在尋找一種小波，它在滿足小波的基本條件的同時，應(yīng)直在尋找一種小波，它在滿足小波的基本條件的同時，應(yīng)該具備與沖擊響應(yīng)信號類似的單邊衰減性質(zhì)。該具備與沖擊響應(yīng)信

29、號類似的單邊衰減性質(zhì)。 對一個二階欠阻尼系統(tǒng)進(jìn)行對一個二階欠阻尼系統(tǒng)進(jìn)行LaplaceLaplace反變換，反變換，Strang G.Strang G.構(gòu)構(gòu)造出了造出了LaplaceLaplace小波，該小波在復(fù)數(shù)空間內(nèi)為螺旋衰減曲線，小波，該小波在復(fù)數(shù)空間內(nèi)為螺旋衰減曲線，其實部和虛部與單自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由衰減響應(yīng)函數(shù)非其實部和虛部與單自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由衰減響應(yīng)函數(shù)非常相似。常相似。Lawrence C. FreudingerLawrence C. Freudinger等人將等人將LaplaceLaplace小波成功小波成功應(yīng)用于無人駕駛飛機(jī)機(jī)翼模態(tài)參數(shù)的識別，取得了良好的應(yīng)用于無人駕駛

30、飛機(jī)機(jī)翼模態(tài)參數(shù)的識別，取得了良好的效果效果LaplaceLaplace小波及其特性小波及其特性 其它 , 0 , , ,21stjtWteAett,st tRestst0 ,08. 0 , 25sW與單自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自與單自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由衰減響應(yīng)函數(shù)非常相似由衰減響應(yīng)函數(shù)非常相似緊支性顯而易見緊支性顯而易見，不具備不具備正交性正交性，其頻域盒形不好，其頻域盒形不好，故濾波特性較差。故濾波特性較差。 , , , 1 , 0, , ,212121ZpRZnRZmRfffFpnmF , : , : Fftft離散網(wǎng)格空間離散網(wǎng)格空間 Laplace小波基函數(shù)庫小波基函數(shù)庫 稱作稱作Lapla

31、ce小波基函數(shù)庫的小波原子。小波基函數(shù)庫的小波原子。集合集合F 相當(dāng)于小波伸縮相當(dāng)于小波伸縮集合集合T 相當(dāng)于小波平移相當(dāng)于小波平移集合集合Z 改變小波衰減形狀改變小波衰減形狀 t相關(guān)濾波法相關(guān)濾波法 cos,22xtxt 22,2xtxt max,fFf Hzf內(nèi)積可以度量信號之間的相關(guān)性內(nèi)積可以度量信號之間的相關(guān)性，若信號若信號x(t)是某個系統(tǒng)是某個系統(tǒng)S S的的輸出，通過計算輸出，通過計算x(t)與與LaplaceLaplace小波原子的內(nèi)積，可以估計它小波原子的內(nèi)積，可以估計它們之間的相似性，從而得到們之間的相似性，從而得到S S的模態(tài)參數(shù)與的頻率、阻尼特性的模態(tài)參數(shù)與的頻率、阻尼特

32、性的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系, ,和匹配追蹤的思想類似和匹配追蹤的思想類似 000021 , 01. 0 , 2sin00200tttntttnAttfetxnttf單自由度系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)信號單自由度系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)信號 st a b c dsssHzf10004. 00st 0001. 0nA20:5 . 0:5F9 . 0:1 . 0:3 . 02 . 0:005. 0:005. 05:1 . 0:500 t10f04. 0lLaplace小波相關(guān)濾波方法具備在強(qiáng)大的噪聲干擾中準(zhǔn)確小波相關(guān)濾波方法具備在強(qiáng)大的噪聲干擾中準(zhǔn)確識別出脈沖響應(yīng)信號頻率的能力。識別出脈沖響應(yīng)信號頻率的能力。l濾波法對頻率參

33、數(shù)較敏感濾波法對頻率參數(shù)較敏感 。l相關(guān)濾波法也適合于識別多自由度系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。相關(guān)濾波法也適合于識別多自由度系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。 l相關(guān)濾波法的計算量很大，為了減少計算量，加速計算相關(guān)濾波法的計算量很大，為了減少計算量，加速計算過程，過程，可可采用二次相關(guān)濾波法。采用二次相關(guān)濾波法。 大型水輪機(jī)軸系轉(zhuǎn)動時一階固有頻率提取大型水輪機(jī)軸系轉(zhuǎn)動時一階固有頻率提取 大型水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)動態(tài)固有頻率是大型水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)動態(tài)固有頻率是機(jī)組結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的重要技術(shù)指標(biāo)。雖然動機(jī)組結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的重要技術(shù)指標(biāo)。雖然動力學(xué)方法已經(jīng)在水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)分析力學(xué)方法已經(jīng)在水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)分析中得到廣泛應(yīng)

34、用中得到廣泛應(yīng)用97-99，但簡化處理后的力學(xué)，但簡化處理后的力學(xué)模型是近似的，由其得到的結(jié)果和實際工程模型是近似的，由其得到的結(jié)果和實際工程對象往往存在很大的差別，因此，現(xiàn)場實測對象往往存在很大的差別，因此，現(xiàn)場實測機(jī)組軸系的固有頻率具有十分重要的意義機(jī)組軸系的固有頻率具有十分重要的意義 意義意義難點(diǎn)難點(diǎn)大型水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)軸大型水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)軸系為剛性轉(zhuǎn)子，系為剛性轉(zhuǎn)子，無法通多升降速測量固有頻率無法通多升降速測量固有頻率敲擊產(chǎn)生的響應(yīng)很微弱敲擊產(chǎn)生的響應(yīng)很微弱工作轉(zhuǎn)速為工作轉(zhuǎn)速為1.136Hz，軸，軸系轉(zhuǎn)動時的一階固有頻率系轉(zhuǎn)動時的一階固有頻率的理論計算值為的理論計算值為3.78Hz，試驗

35、估計值可能在試驗估計值可能在34Hz之間之間 一次撞擊振動信號識別一次撞擊振動信號識別 多次撞擊振動信號識別多次撞擊振動信號識別 提高識別精度提高識別精度 從兩種信號提取出的水輪機(jī)軸系固有頻率（從兩種信號提取出的水輪機(jī)軸系固有頻率（3.44Hz、3.64Hz）不完全相等，主要原因是強(qiáng)大的工頻振動對相關(guān)濾波精度造成不完全相等，主要原因是強(qiáng)大的工頻振動對相關(guān)濾波精度造成的影響的影響。應(yīng)用頻帶為應(yīng)用頻帶為36Hz的諧波小波帶通濾波器的諧波小波帶通濾波器 ，將信號，將信號中的工頻振動分量濾掉中的工頻振動分量濾掉 內(nèi)燃機(jī)缸蓋振動信號識別內(nèi)燃機(jī)缸蓋振動信號識別是進(jìn)氣閥關(guān)閉時刻，是進(jìn)氣閥關(guān)閉時刻，由此可以推

36、斷該缸由此可以推斷該缸進(jìn)氣閥存在異常。進(jìn)氣閥存在異常。停機(jī)檢修，發(fā)現(xiàn)停機(jī)檢修，發(fā)現(xiàn)4號缸進(jìn)氣閥明顯磨號缸進(jìn)氣閥明顯磨損而導(dǎo)致漏氣損而導(dǎo)致漏氣，必必然導(dǎo)致較強(qiáng)的沖擊然導(dǎo)致較強(qiáng)的沖擊 小結(jié)小結(jié)l沖擊響應(yīng)信號的有效提取和參數(shù)的正確識別對設(shè)備故障的診斷和定位至關(guān)重要。本章利用Laplace小波相關(guān)濾波法，建立了基于Laplace小波的沖擊響應(yīng)信號檢測?？崎T診。lLaplace小波相關(guān)濾波法能夠在強(qiáng)大噪聲或其它干擾中準(zhǔn)確捕捉到脈沖響應(yīng)信號，識別出響應(yīng)波形的參數(shù)。l可以預(yù)測，Laplace小波相關(guān)濾波法在模態(tài)識別和設(shè)備故障診斷中具有良好的應(yīng)用前景。6.3 Hermitian6.3 Hermitian連續(xù)小

37、波變換與連續(xù)小波變換與 信號奇異性識別信號奇異性識別6.3.1 機(jī)械故障診斷中的奇異性機(jī)械故障診斷中的奇異性6.3.2 小波變換對信號奇異性檢測的基本原理小波變換對信號奇異性檢測的基本原理6.3.3 Hermitian小波的定義及特性研究小波的定義及特性研究6.3.4 Hermitian連續(xù)小波變換及分解結(jié)果的表達(dá)連續(xù)小波變換及分解結(jié)果的表達(dá)方式方式信號奇異性檢測的意義信號奇異性檢測的意義u機(jī)械設(shè)備由于局部異常而誘發(fā)的信號往往具有奇異性機(jī)械設(shè)備由于局部異常而誘發(fā)的信號往往具有奇異性（Singularity），它表現(xiàn)為突變、尖點(diǎn)等不規(guī)則的瞬變結(jié)構(gòu)。），它表現(xiàn)為突變、尖點(diǎn)等不規(guī)則的瞬變結(jié)構(gòu)。信號的

38、奇異性包含了相應(yīng)對象的重要狀態(tài)特征信息，判斷信信號的奇異性包含了相應(yīng)對象的重要狀態(tài)特征信息，判斷信號的奇異點(diǎn)出現(xiàn)時刻，并對信號奇異性實現(xiàn)科學(xué)的描述，在號的奇異點(diǎn)出現(xiàn)時刻，并對信號奇異性實現(xiàn)科學(xué)的描述，在信號處理和故障診斷等領(lǐng)域具有重要的意義信號處理和故障診斷等領(lǐng)域具有重要的意義 u奇異性提取要求對信號進(jìn)行局部化分析。由于小波分析具有奇異性提取要求對信號進(jìn)行局部化分析。由于小波分析具有良好的時頻良好的時頻(尺度尺度)局部化能力，它很自然被引入到信號奇局部化能力，它很自然被引入到信號奇異性分析領(lǐng)域異性分析領(lǐng)域 u小波變換奇異性檢測的研究工作主要包括兩個方面：一是選小波變換奇異性檢測的研究工作主要包

39、括兩個方面：一是選擇或構(gòu)造局部化分析能力強(qiáng)的小波，二是研究小波變換結(jié)果擇或構(gòu)造局部化分析能力強(qiáng)的小波，二是研究小波變換結(jié)果的有效表達(dá)方式的有效表達(dá)方式 小波變換對信號奇異性檢測的基本原理小波變換對信號奇異性檢測的基本原理 奇異性的定義奇異性的定義 數(shù)學(xué)上稱無限次可導(dǎo)函數(shù)是光滑的或沒有奇異性。若函數(shù)數(shù)學(xué)上稱無限次可導(dǎo)函數(shù)是光滑的或沒有奇異性。若函數(shù)在某處有間斷點(diǎn)或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則稱該函數(shù)在此處有在某處有間斷點(diǎn)或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則稱該函數(shù)在此處有奇異性，該點(diǎn)就是奇異點(diǎn)。信號的奇異性是由奇異點(diǎn)處的奇異性，該點(diǎn)就是奇異點(diǎn)。信號的奇異性是由奇異點(diǎn)處的李氏指數(shù)（李氏指數(shù)（Lipschitz Expone

40、nts, LE）來度量的）來度量的 小波變換的極值點(diǎn)、過零點(diǎn)與信號奇異小波變換的極值點(diǎn)、過零點(diǎn)與信號奇異性的聯(lián)系性的聯(lián)系 小波變換在奇異性檢測中的進(jìn)展小波變換在奇異性檢測中的進(jìn)展 GrossmannGrossmann采用采用MorletMorlet小波用于圖像的邊緣檢測小波用于圖像的邊緣檢測 -20-100102000.20.40.60.8-4-2024-1-0.500.51t在支撐區(qū)域內(nèi)在支撐區(qū)域內(nèi)Morlet小波是多次振蕩的小波是多次振蕩的，根據(jù)根據(jù)Nyquist采樣采樣定理，在離散處理時需要較多的數(shù)據(jù)點(diǎn)來表達(dá)定理，在離散處理時需要較多的數(shù)據(jù)點(diǎn)來表達(dá)Morlet小波。小波。點(diǎn)數(shù)較多的濾波器

41、必然會平滑掉信號中的部分奇異性點(diǎn)數(shù)較多的濾波器必然會平滑掉信號中的部分奇異性104，所以，奇異性檢測需要振蕩次數(shù)較少的小波，這正是本章所以，奇異性檢測需要振蕩次數(shù)較少的小波，這正是本章選擇選擇Hermitian小波的出發(fā)點(diǎn)小波的出發(fā)點(diǎn) Mallat通過小波變換來求解LE ，還研究了基于小波變換的奇異點(diǎn)信號重構(gòu)，這些研究工作在信號壓縮和圖像識別中具有重大的貢獻(xiàn)。 然而，就機(jī)械故障診斷而言，我們所關(guān)心的問題是信號奇然而，就機(jī)械故障診斷而言，我們所關(guān)心的問題是信號奇異點(diǎn)的出現(xiàn)時刻和它的類型異點(diǎn)的出現(xiàn)時刻和它的類型。 對信號的過渡點(diǎn)比較敏感，而對信號的過渡點(diǎn)比較敏感，而 則適合于識則適合于識別信號的極值點(diǎn)。若需要同時識別出信號的過渡點(diǎn)和極值別信號的極值點(diǎn)。若需要同時識別出信號的過渡點(diǎn)和極值點(diǎn)點(diǎn)，兩者，兩者不能兼顧。不能兼顧。lHarold SzuHarold Szu創(chuàng)造性地將創(chuàng)造性地將 合并為合并為HermitianHermitian小小波。美中不足的是，波。美中不足的是，Harold SzuHarold Szu只通過小波變換相空間截面只通過小波變換相空間截面圖（相圖）來對信號奇異性進(jìn)行識別，忽略了小波變換時間圖（相圖）來對信號奇異性進(jìn)行識別，忽略了小波變換時間- -尺度幅值圖（幅