第19講巧解圓柱和圓錐問題

1、 才子教育 小學奧數(shù)系列第19講 巧解圓柱和圓錐問題巧點晴方法和技巧本節(jié)討論圓柱體和圓錐體積和表面積的計算。 用r表示圓柱的底面半徑，h表示圓柱的高，S圓柱側(cè)表示圓柱的側(cè)面積，S圓柱表表示圓柱的表面積，V圓柱體表示圓柱的體積，則S圓柱側(cè)=底面周長×高=2rhS圓柱表=側(cè)面積2×底面積=2rh2rh2V圓柱體=底面積×高=r2h如果圓錐母線的長為a，底面半徑為r,高為h，那么S圓錐側(cè)=·2r·a=ra； S圓錐表=rar2 V圓錐=r2h巧指導例題精講A級 沖刺名校·基礎點晴例1、一個圓柱體底面周長和高相等。如果高縮短了2厘米，表面積就

2、減少12.56厘米2。求這個圓柱體的表面積（保留兩位小數(shù)）。解 底面周長（也是圓柱體的高）：12.56÷2=6.28(厘米)側(cè)面積：6.28×6.28=39.438 4(厘米2)。兩個底面積（3.14）為3.14×()2×2=6.28(厘米2)表面積為39.4 3846.2845.72（厘米2）。答：這個圓柱體的表面積是45.72厘米2。做一做1 一個圓柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面積將增加25.12厘米2。求原來的圓柱的表面積是多少？【例2】如下圖，一個酒精瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），已知它的容積為26.4厘米3。當瓶子正放時，瓶內(nèi)

3、酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時，空余部分的高為2厘米。問：酒精的體積是多少升？（3.14）分析與解 由題意得知，液體的體積是不變的，瓶內(nèi)空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分的3倍（6÷2）。26.4×=62.172(厘米3)62.172厘米3=62.172毫升=0.062 172升做一做2 有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是30分米3。現(xiàn)在瓶中裝有一些飲料，正放時飲料高度為20厘米，倒放時空余部分的高度為5厘米（見下圖）。問：瓶內(nèi)現(xiàn)有多少飲料？【例3】如下圖，一個皮球掉進一個盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶底面直徑為60厘米。

4、皮球有的體積浸在水中。問：皮球掉進水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（注：半徑為r的球的體積是r3）解 皮球的體積：r3=×()3=562.5(厘米3)；皮球浸在水中部分的體積：562.5×=450(厘米3)；水桶的底面積：×()2=900(厘米2)；水面升高的高度：450÷900=0.5（厘米）。答：水面升高0.5厘米。做一做3 一個皮球掉進一個盛有水的圓柱形水桶中，皮球的直徑為12厘米，水桶底面直徑為60厘米。皮球有的體積浸在水中，如右下圖。問：皮球掉進水中后，水桶的水面升高了多少厘米？B級 更上層樓【例4】 把一個高3分米的圓柱體的底面分成許多相

5、等的扇形，然后把圓柱體切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36分米2。求這個圓柱體的體積。分析與解 等底等高的近似長方體表面積比圓柱體的表面積增加的36分米2是如右圖所示的兩個陰影面的面積。陰影面的高度與圓柱相等，寬度是圓柱的半徑。r：36÷2÷3=6（分米）V：3.14×62×3=339.12（分米3）答：這個圓柱體的體積為339.12分米3。做一做4 用直徑為20厘米的圓鋼鍛造長300厘米、寬100厘米、厚5厘米的長方體鋼板，應截取圓鋼多少？（精確到1厘米）【例5】 某工廠原來用長4米、寬1米的鐵皮圍成無底無頂?shù)恼?/p>

6、方體形狀的產(chǎn)品存放處，恰好夠放一個星期的產(chǎn)品?，F(xiàn)在產(chǎn)量增加了27%，問：能否還用原來的鐵皮圍成存放處，裝下現(xiàn)在一個星期的產(chǎn)品？解 用長4米、寬1米的鐵皮圍成高1米的圓柱形，其容積為（4÷3.14÷2）2×3.14×11.274（米3）原存放處的容積為1米3，產(chǎn)量增加27%后，新存放處的容積只要有1×（127%）=1.27米3就可裝下。由此可見，能夠用原來的鐵皮裝下現(xiàn)在一個星期的產(chǎn)品。做一做5 下圖是一塊長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個油桶（接縫處忽略不計），求這個油桶的容積?！纠?】如右圖，一張扇形薄鐵片，弧長18.84分米，它能

7、夠圍成一個高4分米的圓錐，試求圓錐的容積（接縫處忽略不計）。 分析與解 扇形弧長圍成圓錐的底面周長，通過這個條件，可以求出圓錐的底面半徑。r=18.84÷（2×3.14）=3（分米）圓錐的容積是×3.14×32×4=37.68（分米3）。答：圓錐的容積為37.68分米3。做一做6 有一塊棱長分別為6厘米、8厘米、10厘米的長方體木塊，把它加工成體積盡可能大的圓錐體木塊，求這個圓錐木塊的體積。C級 勇奪冠軍【例7】如圖，厚度為0.25毫米的銅板紙被卷成一個空心圓柱（紙卷得很緊，沒有空隙），它的外直徑是180厘米，內(nèi)直徑是50厘米。這卷銅版紙的總長

8、是多少米？（=3.14）解 設銅版紙的寬度為L厘米，則銅版紙的體積為（）2（）2 ×L=7475L(厘米3)銅版紙的總長度是7475L÷0.025L=938860（厘米）=9388.60（米）做一做7 如下圖所示，有一卷透明膠，每層厚度為0.05厘米，求將這卷透明膠全部展開以后的長度為多少厘米？巧練習溫故知新A級 基礎點睛1.如右圖所示，圓錐形容器中裝有5升水，水面高度正好是圓錐高度的一半。問：這個容器還能裝多少升水？2.皮球掉進一個盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶底面直徑為60厘米。皮球有的體積浸在水中（見右圖）。問：皮球掉進水中后。水桶中的水面升高了多少

9、厘米？（注：半徑為r的球的體積是r3）3.有一個圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米。零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔的直徑是4厘米，孔深5厘米（見右圖）。如果將這個零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂多少面積？4.將一個底面半徑為20厘米、高27厘米的圓錐形鋁塊和一個底面半徑為30厘米、高20厘米的圓柱形鋁塊，熔鑄成一個底面半徑為15厘米的圓柱形鋁塊，求這個圓柱形鋁塊的高。5.右圖是一頂帽子。帽子部分是圓柱形，用黑布做；帽檐部分是一個圓環(huán)，用白布做。如果帽頂?shù)陌霃?、高與帽檐寬都是a厘米，那么哪種顏色的布用得多？B級 更上層樓6.一個底面直徑為20厘米的圓柱木桶里裝有水，水中淹沒

10、著一個底面直徑為18厘米、高為20厘米的鐵質(zhì)圓錐體。當圓錐體取出后，桶內(nèi)水面將降低多少？7.用直徑為40厘米的圓鋼鍛造長300厘米、寬100厘米、厚2厘米的長方形鋼板，應截取多長的一段圓鋼？8.如下圖所示，圓錐形容器內(nèi)裝的水正好是它的容積的。問：水面高度是容器高度的幾分之幾？9.下圖是一個機器零件，其下部是棱長20厘米的正方體，上部是圓柱形的一半。求它的表面積與體積。10.有兩個盛滿水的底面半徑為10厘米、高為30厘米的圓錐形容器，將它們盛的水全部倒入一個底面半徑為20厘米的圓柱形容器內(nèi)，求水深。C級 （選學）決勝總決賽·勇奪冠軍11.世界上最早的燈塔建于公元270年。如圖，塔分3層，每層都高27米，底座呈正四棱柱，中間呈正八棱柱，上部呈正圓錐。上部的體積是底座體積的幾分之幾？12.兩個同樣材料作出的球A和球B，一個實心，一個空心。A的直徑為7，質(zhì)量為22；B的直徑為10.6,質(zhì)量為33.3。問：哪個球是實心球？13.鐵路油罐車由兩個半球面和一個圓柱面鋼板焊接而成，尺寸如圖所示。問：該油罐車的容積是多少？14.如圖，一個圓錐形容器甲與一個半球形容器乙，它們圓形的口徑與容器的高的尺寸如圖所示。若用甲容器取水來注滿乙容器，問：至少要注入多少次