表面積與體積

1、北京奧運(yùn)會(huì)場(chǎng)館圖38.9億赫爾佐格赫爾佐格德梅隆德梅隆“鳥巢(nest)”30億問題提出問題提出 1. 1.對(duì)于空間幾何體，我們分別從結(jié)對(duì)于空間幾何體，我們分別從結(jié)構(gòu)特征和視圖兩個(gè)方面進(jìn)行了研究，為構(gòu)特征和視圖兩個(gè)方面進(jìn)行了研究，為了度量一個(gè)幾何體的大小，我們還須進(jìn)了度量一個(gè)幾何體的大小，我們還須進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何體的表面積和體積一步學(xué)習(xí)幾何體的表面積和體積. . 2. 2.柱、錐、臺(tái)、球是最基本、最簡(jiǎn)柱、錐、臺(tái)、球是最基本、最簡(jiǎn)單的幾何體，研究空間幾何體的表面積單的幾何體，研究空間幾何體的表面積和體積，應(yīng)以柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積，應(yīng)以柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積為基礎(chǔ)和體積為基礎(chǔ). .那么

2、如何求柱、錐、臺(tái)、那么如何求柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積呢？球的表面積和體積呢？復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧矩形面積公式：矩形面積公式：Sab三角形面積公式：三角形面積公式：12Sah圓面積公式：圓面積公式：2Sr圓周長公式：圓周長公式：2Cr扇形面積公式：扇形面積公式：12Srl梯形面積公式：梯形面積公式：1()2Sab h扇環(huán)面積公式：扇環(huán)面積公式：1()()2Sllrr（一）柱體、錐體、臺(tái)體的表面積（一）柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 思考思考: :面積是相對(duì)于平面圖形而言的，體面積是相對(duì)于平面圖形而言的，體積是相對(duì)于空間幾何體而言的積是相對(duì)于空間幾何體而言的. .面積面積: :平面圖形所占平面的大小平面

3、圖形所占平面的大小 體積體積: :幾何體所占空間的大小幾何體所占空間的大小 表面積：表面積：幾何體表面面積的大小幾何體表面面積的大小怎樣理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積？怎樣理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積？一般地一般地, ,多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和表面積表面積= =側(cè)面積側(cè)面積+ +底面積底面積 在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？幾何體表面積幾何體表面積展開圖展開圖平面圖形面積平面圖形面積空間問題空間問題平面問題平面

4、問題 正方體、長方體是由多個(gè)平面圍成的幾何體，它正方體、長方體是由多個(gè)平面圍成的幾何體，它們的表面積就是各個(gè)面的面積的和們的表面積就是各個(gè)面的面積的和 因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積 棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？ 棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？面積？h正棱柱的側(cè)面展開圖

5、正棱柱的側(cè)面展開圖 棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？面積？/h/h正棱錐的側(cè)面展開圖正棱錐的側(cè)面展開圖 棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？面積？側(cè)面展開正棱錐的側(cè)面展開圖正棱錐的側(cè)面展開圖 棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？面積？側(cè)面展開hh正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖棱柱棱柱的側(cè)面展開圖是由的側(cè)面展開圖是由平行四邊形平行四邊形組成的平面圖組成的平面圖形，形，棱錐棱錐的側(cè)面展開圖是由的側(cè)面展開圖是由三角形三角形組成的平面圖組成的平面圖形，形，

6、棱臺(tái)棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由的側(cè)面展開圖是由梯形梯形組成的平面圖形。組成的平面圖形。這樣，求它們的這樣，求它們的表面積表面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行平行四邊形、三角形、梯形的面積四邊形、三角形、梯形的面積問題。問題。 棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計(jì)算它們的體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計(jì)算它們的表面表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積之和積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積之和h 例例1 已知棱長為已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面，各面均為等邊三角形的四面體體S-ABC，求它

7、的表面積，求它的表面積 DBCAS 分析：四面體的展開圖是由四個(gè)全等的正三角形分析：四面體的展開圖是由四個(gè)全等的正三角形組成組成因?yàn)橐驗(yàn)锽C=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面體因此，四面體S-ABC 的表面積的表面積交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D解：先求解：先求 的面積，過點(diǎn)的面積，過點(diǎn)S作作 ，ABCBCSD .已知棱長為已知棱長為a，底面為正方形，各，底面為正方形，各側(cè)面均為等邊三角形的四棱錐側(cè)面均為等邊三角形的四棱錐S-ABCD，求它的表面積。，求它的表面積。 )31 (4解：已知解：已知底面為正方形，底面為正方形，各側(cè)各側(cè) 面面 均均 為

8、為 等等 邊邊 三角三角形的四棱錐形的四棱錐S-ABCD的表的表面積為面積為 ，求它，求它的棱長。的棱長。 .已知三棱臺(tái)的上下底面均為正三已知三棱臺(tái)的上下底面均為正三角形，邊長分別為角形，邊長分別為3cm和和9cm，側(cè)面是全等的等腰梯形，側(cè)棱長側(cè)面是全等的等腰梯形，側(cè)棱長為為5cm，求它的表面積。，求它的表面積。OOr)(2222lrrrlrS圓柱表面積lr2圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形)(2lrrrlrS圓錐表面積r2lOr 參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺(tái)的側(cè)參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么面展開圖是

9、什么 )(22rllrrrS圓臺(tái)表面積r2lOrO r2 r圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)圓柱、圓錐、圓臺(tái)表面積側(cè)面展開圖側(cè)側(cè)面積表面積rllrS22側(cè)rllrS221側(cè))(2lrrS)(lrrS1(2 2)2( )Srrlrr l側(cè))(22rllrrrSlOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS錐)(22rllrrrS臺(tái) 圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？什么關(guān)系？rr上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大r0上底縮小上底縮小 例例2 2 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑20 cm20 cm，盆，盆底直徑為底直徑

10、為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm1.5 cm，盆壁長，盆壁長15cm15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取取3.143.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圓臺(tái)的表面積公式得解：由圓臺(tái)的表面積公式得 花盆的表面積：花盆的表面積：2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面積約是答：花盆的表面積約是999 999 2cm練習(xí)題：練習(xí)題：1. 將一個(gè)邊長為將一個(gè)邊長為a的正方體，切成的正方體，切成27個(gè)全個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了（等的小

11、正方體，則表面積增加了（ ） （A）6a2 （B）12a2 （C）18a2 （D）24a2B2. 在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中，有四個(gè)恰好是在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中，有四個(gè)恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的表面積與此正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的表面積與此正四面體的表面積的比值為（正四面體的表面積的比值為（ ） （A） （B） （C） （D）236233B 3. 側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長為底面邊長為a，該三棱錐的全面積是，該三棱錐的全面積是（ ） （A） （B） （C） （D）2334a234a2332a233()24aA4. 球內(nèi)接正方體的表面積與球的表面積球內(nèi)接正

12、方體的表面積與球的表面積的比為（的比為（ ） （A）2： （B）3： （C）4： （D）6：A . 已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長為3cm。它的展開圖的形狀為_。該圖形的弧長為_cm，半徑為_cm，所以圓錐的側(cè)面積為_cm2。扇形634扇形面積公式rlS21 1.有一張白紙，寬為4，長為12，現(xiàn)在將白紙卷成圓柱，求它的底面半徑。 2.已知圓臺(tái)的上底面半徑為r =2,下底面半徑為r =4，母線長為l =5，求它的側(cè)面積，兩底面面積之和。 3.已知圓臺(tái)的上底面半徑為r =1,且側(cè)面積等于兩底面面積之和，母線長為l =5/2,求下底面半徑r 。( )Srrl側(cè)圓臺(tái)側(cè)面積公式圓臺(tái)側(cè)面積公式各面面積

13、之和各面面積之和rr0 r展開圖展開圖22()Srrr lrl 圓臺(tái)圓臺(tái)圓柱圓柱)(2lrrS)(lrrS圓錐圓錐空間問題空間問題“平面平面”化化棱柱、棱錐、棱柱、棱錐、棱臺(tái)棱臺(tái)圓柱、圓錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)圓臺(tái)所用的數(shù)學(xué)思想：所用的數(shù)學(xué)思想：柱體、錐體、臺(tái)體的表面積柱體、錐體、臺(tái)體的表面積思考：思考：取一些書堆放在桌面上取一些書堆放在桌面上( (如圖所示如圖所示) ) ，并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？積是否發(fā)生變化？從以上事實(shí)中你得到什么啟發(fā)？從以上事實(shí)中你得到什么啟發(fā)？（二）柱體、錐體、臺(tái)體的體積（二）柱體、錐體、臺(tái)體的體積 問題

14、：?jiǎn)栴}：兩個(gè)底面積相等、高也相等的兩個(gè)底面積相等、高也相等的柱體的體積如何？柱體的體積如何？思考思考 關(guān)于體積有如下幾個(gè)原理：關(guān)于體積有如下幾個(gè)原理： （1 1）相同的幾何體的體積相等；）相同的幾何體的體積相等； （2 2）一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分）一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積之和；體積之和； （3 3）等底面積等高的兩個(gè)同類幾何體的）等底面積等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相等；體積相等； （4 4）體積相等的兩個(gè)幾何體叫做）體積相等的兩個(gè)幾何體叫做等積體等積體. . 長方體體積：長方體體積：正方體體積：正方體體積：圓柱的體積：圓柱的體積：Vabc3Va2Vr h圓錐的體積：圓錐的體積

15、：VSh13VSh復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧柱體、錐體、臺(tái)體的體積柱體、錐體、臺(tái)體的體積正方體、長方體，以及圓柱的體積公式可以統(tǒng)正方體、長方體，以及圓柱的體積公式可以統(tǒng)一為：一為：V = Sh（S為底面面積，為底面面積，h為高）為高）一般棱柱的體積公式也是一般棱柱的體積公式也是V = Sh，其中，其中S為為底面面積，底面面積，h為高（即上下底面的距離）為高（即上下底面的距離）hs柱柱 體體圓錐的體積公式是圓錐的體積公式是 ShV31(其中其中S為底面面積，為底面面積，h為高為高)31它是同底同高的圓柱的體積的它是同底同高的圓柱的體積的 錐錐 體體棱錐的體積公式也是棱錐的體積公式也是 ShV31SOhhA

16、SBC探究探究探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系？探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系？31它也是同底同高的棱柱的體積的它也是同底同高的棱柱的體積的 ShV31（其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）為高） 由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是等于面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是等于底面面積乘高的底面面積乘高的 31 經(jīng)過探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積經(jīng)過探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積的的 即棱錐的體積：即棱錐的體積：31 由于圓臺(tái)由于圓臺(tái)( (棱臺(tái)棱臺(tái)) )是由圓錐是由

17、圓錐( (棱棱錐錐) )截成的，因此可以利用兩個(gè)錐截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差得到圓臺(tái)體的體積差得到圓臺(tái)( (棱臺(tái)棱臺(tái)) )的的體積公式體積公式( (過程略過程略) )根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31棱臺(tái)（圓臺(tái)）的體積公式棱臺(tái)（圓臺(tái)）的體積公式hSSSSV)(31 其中其中 ， 分別為上、下底面面積，分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)為圓臺(tái)（棱臺(tái)）的高（棱臺(tái)）的高SS柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？hSSSSV)(31S為底面面積，為底

18、面面積，h為柱體高為柱體高ShV SS S分別為上、下分別為上、下底面底面面積，面積，h 為臺(tái)體高為臺(tái)體高ShV310SS為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大上底縮小上底縮小 例例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊，已知底面是正六邊形，邊長為形，邊長為12mm，內(nèi)孔直徑為，內(nèi)孔直徑為10mm，高為，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)（問這堆螺帽大約有多少個(gè)（ 取取3.14）？）？3/8 . 7cmg 解：六角螺帽的體積是六棱解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即柱的體

19、積與圓柱體積之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的個(gè)數(shù)為所以螺帽的個(gè)數(shù)為252)956. 28 . 7(10008 . 5（個(gè)）（個(gè)）答：這堆螺帽大約有答：這堆螺帽大約有252252個(gè)個(gè)2 2、用一張長、用一張長12cm12cm、寬、寬8cm8cm的鐵皮圍成圓柱形的側(cè)面，的鐵皮圍成圓柱形的側(cè)面，該圓柱體積為該圓柱體積為_1 1、已知一正四棱臺(tái)的上底面邊長為、已知一正四棱臺(tái)的上底面邊長為4cm,4cm,下底面邊長為下底面邊長為8cm,8cm,高為高為3cm,3cm,其體積為其體積為_112cm112cm3 333288192c

20、mcmpp或各面面積之和各面面積之和展開圖展開圖22()Srrr lrl 圓臺(tái)圓臺(tái)圓柱圓柱)(2lrrS)(lrrS圓錐圓錐棱柱、棱錐、棱柱、棱錐、棱臺(tái)棱臺(tái)圓柱、圓錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)圓臺(tái)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積柱體、錐體、臺(tái)體的表面積柱體、錐體、臺(tái)體的體積柱體、錐體、臺(tái)體的體積ShV31錐體錐體hSSSSV)(31臺(tái)體臺(tái)體柱體柱體ShV 柱體、錐體、柱體、錐體、臺(tái)體的體積臺(tái)體的體積基礎(chǔ)檢測(cè)：1、判斷題、判斷題（1） 四棱柱是平行六面體四棱柱是平行六面體（2） 六個(gè)面都是矩形的六面體是長方體六個(gè)面都是矩形的六面體是長方體（3） 直平行六面體是長方體直平行六面體是長方體（4） 底面是矩形的四棱柱是長方體底面是矩形的四棱柱是長方體（5）在圓柱的上下底面上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線）在圓柱的上下底面上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線是圓柱的母線（6）圓臺(tái)所有的軸截面是全等的等腰梯形）圓臺(tái)所有的軸截面是全等的等腰梯形（7）與圓錐的軸平行的截面是等腰三角形）與圓錐的軸平行的截面是等腰三角形（8）過球面上兩點(diǎn)的大圓有一個(gè)或無數(shù)個(gè)）過球面上兩點(diǎn)的大圓有一