九年級(jí)數(shù)學(xué)四點(diǎn)共圓例題講解

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)四點(diǎn)共圓例題講解知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)四點(diǎn)共圓是圓的基本內(nèi)容，它廣泛應(yīng)用于解與圓有關(guān)的問題與圓有關(guān)的問題變化多，解法靈活，綜合性強(qiáng)， 題型廣泛，因而歷來是數(shù)學(xué)競賽的熱點(diǎn)內(nèi)容。在解題中，如果圖形中蘊(yùn)含著某四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，或根據(jù)需要作出輔助圓使四點(diǎn)共圓，利用圓的有關(guān)性質(zhì)定理，則會(huì)使復(fù)雜問題變得簡單，從而使問題得到解決。因此，掌握四點(diǎn)共圓的方法很重要。判定四點(diǎn)共圓最基本的方法是圓的定義：如果A、B、C、D 四個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn) 0 的距離相等，即 OA=OB=OC=0D，那么 A、B、C、D 四點(diǎn)共圓.由此，我們立即可以得出1如果兩個(gè)直角三角形具有公共斜邊，那么這兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。將上述

2、判定推廣到一般情況，得：2如果四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。3如果四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。4如果兩個(gè)三角形有公共底邊，且在公共底邊同側(cè)又有相等的頂角，那么這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。運(yùn)用這些判定四點(diǎn)共圓的方法，立即可以推出：正方形、矩形、等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。其實(shí)，在與圓有關(guān)的定理中， 一些定理的逆定理也是成立的，它們?yōu)槲覀兲峁┝肆硪恍┳C明四點(diǎn)共圓的方法.這就是：AB 和 CD 相交于 E,且 AE EB=CE ED，貝 U A、B、C、D 四點(diǎn)共圓。P 的兩線段 PB、PD 上各有一點(diǎn) A、C,且 PA PB =PC PD，貝 U A、B

3、、C、D 四點(diǎn)共圓。3托勒密定理的逆定理：若四邊形ABCD 中，AB CD + BC DA=AC BD，貝 U ABCD 是圓內(nèi)接四邊形。另外，證多點(diǎn)共圓往往是以四點(diǎn)共圓為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)的一般可先證其中四點(diǎn)共圓，然后證其余各點(diǎn)均在這個(gè)圓上, 或者證其中某些點(diǎn)個(gè)個(gè)共圓，然后判斷這些圓實(shí)際是同一個(gè)圓。例題精講例 1:如圖，P ABC 內(nèi)一點(diǎn)，D、E、F 分別在 BC、CA、AB 上。已知 P、D、C、E 四點(diǎn)共圓，P、E、A、F 四點(diǎn)共圓，求證：B、D、P、F 四點(diǎn)共圓。證明連 PD、PE、PF.由于 P、D、C、F 四點(diǎn)共圓，所以/ BDP =/ PEC .又由于 A、E、P、F 四點(diǎn)共圓，所以/ P

4、EC = / AFP .于是/ BDP = / AFP，故 B、D、P、F 四點(diǎn)共圓。例 2:設(shè)凸四邊形 ABCD 的對角線 AC、BD 互相垂直，垂足為 E,證明：點(diǎn) E 關(guān)于 AB、BC、CD、DA 的對稱點(diǎn)共 圓。1相交弦定理的逆定理：若兩線段2.割線定理的逆定理：若相交于點(diǎn)A1證明以 E 為相似中心作相似變換，相似比為丄，此變換把 E 關(guān)于 AB、BC、CD、DA 的對稱點(diǎn)變?yōu)?E 在 AB、BC、2CD、DA 上的射影 P、Q、R、S （如圖）只需證明 PQRS 是圓內(nèi)接四邊形。由于四邊形 ESAP、EPBQ、EQCR 及 ERDS 都是圓內(nèi)接四邊形（每個(gè)四邊形都有一組對角為直角），

5、由E、P、B、Q 共圓有/ EPQ =/ EBQ由 E、Q、C、R 共圓有/ ERQ= / ECQ，于是/ EPQ +ZERQ = / EBQ +ZECQ=90 同理可得/ EPS+ZERS =90。從而有/ SPQ+ZQRS =180。，故 PQRS 是圓內(nèi)接四邊形。例 3:梯形 ABCD 的兩條對角線相交于點(diǎn) K，分別以梯形的兩腰為直徑各作一圓，點(diǎn)K 位于這兩個(gè)圓之外，證明:由點(diǎn) K 向這兩個(gè)圓所作的切線長度相等。證明 如圖，設(shè)梯形 ABCD 的兩腰為 AB 和 CD，并設(shè) AC、BD 與相應(yīng)二圓的第二個(gè)交點(diǎn)分別為M、N.由于/ AMB、/ CND 是半圓上的圓周角，所以/ AM B =Z

6、CND = 90 .從而/ BMC =ZBNC=90。，故 B、M、N、C 四點(diǎn)共圓， 因此/ MNK=/ ACB .又/ ACB = / KAD ,所以/ MNK = / KAD .于是 M、N、D、A四點(diǎn)共圓，因此 KM -KA = KNKD. 由切割線定理得 K向兩已知圓所引的切線相等。例 4:如圖，A、B 為半圓 0 上的任意兩點(diǎn)， AC、BD 垂直于直徑 EF , BH 丄 0A,求證：DH=AC.證法一 在 BD 上取一點(diǎn) A，使 AD = AC,貝 U ACDA是矩形。連結(jié) AH、AB、OB.由于 BD 丄 EF、BH 丄 OA，所以/ BDO = /BHO=90 .于是 D、B

7、,H、O 四點(diǎn)共圓，所以/ HOB =ZHDB .由于/ AHB = /AAB = 90,所以 A、H、A、B 四點(diǎn)共圓。故/ DAH =ZOAB，因此/ DHA= / OBA.而 OA = OB，所以/ OBA= / OAB，于是/ DHA =ZDAH.所以 DH = DA，故 DH = AC.證法二 設(shè)圓 O為點(diǎn) D、B、H、O 四點(diǎn)所共的圓，過 H 作 HG 丄 DH，與圓 O交于 G（如圖），則/ AOC =ZHBD = / DGH ,GD = OB = OA.因此 Rt OAC 也 Rt GDH，故 DH = AC.證法三 因?yàn)?D、B、H、O 四點(diǎn)共圓，且直徑為 OB .而 Rt

8、AOC 的斜邊為 OA，利用正弦定義及正弦定理，例 5:如圖，已知銳角三角形 ABC，以 AB 為直徑的圓與 AB 邊的高線 CC及其延長線交于 M、N，以 AC 為直徑的 圓與 AC 邊的高線 BB及其延長線交于 P、Q,求證：M、N、P、Q 四點(diǎn)共圓。證明 設(shè) BC 上的高為 AA, ABC 的垂心為 H,貝UA在以 AB 為直徑的圓上，從而 AHXHA=MHXHN.同理 AHXHA= PHXHQ.于是 MHXHN= PHXHQ，故 M、N、P、Q 四點(diǎn)共圓。說明 另證：在 RtAABM 和 Rt ACP 中，AM =AC -AB, AP = AB -AC.又厶 ABBACC，有 AC -

9、AB =AB -AC .于是 AM2= AP2，即 AM =AP .但 M、N 關(guān)于 AB 對稱，P、Q 關(guān)于 AC 對稱，故 AM=AN , AP=AQ .因此 M、N、P、Q 在以A 為圓心的圓上。得OAACsin AOC,OB.由于 OA =OB,ZAOC =ZDBH，所以 DH = AC.sinDBHECO D也可由 MHXHN = BHXHB=CHXHC = PHXHQ 推出 M、N、P、Q 四點(diǎn)共圓。 例 6:如圖，ABCD 是圓內(nèi)接四邊形，AD、BC 的延長線交于 P, PAB 與厶 PCD 的外心、垂心分別是O1、02和H1、H2，求證：O1、O2、H1、H2四點(diǎn)共圓。證明 因

10、為 出是 PAB 的垂心，所以HfB+ZABP =90 .又因?yàn)?2是 PCD 的外心，所以11O2PCCDP90 .而CDPCO2P，所以O(shè)2PCCDP=90.因?yàn)?A、B、C、D 四點(diǎn)共圓，22所以ZCDP =ZABP,所以HiPBO2PC，所以H2、Oi、P 三點(diǎn)共線同理可證H?、O?、P 三點(diǎn)共線。顯PHPO然厶 PABPCD，因此11，即PH1gPO2PH2gPO1，故01、02、H1、H2四點(diǎn)共圓。PH2PO2例 7:兩個(gè)等圓彼此相交，從它們的對稱中心引出兩條射線交圓周于不在同一條直線上的四個(gè)點(diǎn)，試證：這四個(gè)點(diǎn) 必在同一個(gè)圓周上。證明 如圖，設(shè)過兩圓的對稱中心 O 的二條射線為A1

11、B1、A,B2,A1、A位于第一個(gè)圓周上，而B2位于第二個(gè)圓周上。設(shè)點(diǎn)A3、B3和B4分別是點(diǎn)B2、A和A2關(guān)于點(diǎn) O 的對稱點(diǎn)，根據(jù)相交弦定理有B3OOB1=B2OOB4.因?yàn)锽3O=OA1,OB4=OA2，從而0A1OB1=OB2OA2，故A1B、A、B2四點(diǎn)必在同一個(gè)圓周上。例&如圖，AB 為定OO 中的定弦，作OO 的弦C1D1、C2D2、C2000D2000，對其中每一 i (i = 1, 2,，2000)CiDi都被弦 AB 平分于M：點(diǎn)，過 G、D 分別作OO 的切線，兩 切線交于P，求證：R、P2丄、P2000必在同一個(gè)圓周上，并指出圓心是什么點(diǎn)。證明 連結(jié)OCi、ODi對每一個(gè) i（i = 1 ,2，2000），因?yàn)镃iDi均被 A