函數(shù)的凸性曲線的曲率

1、3第 7 章 函數(shù)的凸性曲線的曲率內(nèi)容摘要凸函數(shù)函數(shù)的“凸性”概念最初來自曲線的彎曲方向。 例如，曲線y=x3（圖 1 1）在Oy軸左邊是向下彎曲的（稱為上凸）， 而在Oy軸右邊是向上彎曲的（稱為下凸）。雖然說“彎曲方向” 或“凸性”這些名稱是幾何上的術(shù)語，但經(jīng)過抽象后的凸函數(shù) 理論在其它數(shù)學(xué)分支中也是很有用的。從圖 2 2 中看出，向上彎曲（下凸）的曲線上任何兩點(diǎn)的連線 （弦）（弦）AB的中點(diǎn)C在弧AB的下方。根據(jù)上面幾何上的啟示，我們引入下面的定義:稱連續(xù)函數(shù)f （x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)為下凸（上凸）函數(shù)，假若對于（a,b）內(nèi)任意兩點(diǎn)x和x2，都有【注 1 1】在國內(nèi)早期的一些教科書（包括

2、翻譯前蘇聯(lián)的一些教科書 ）中，都把下凸函數(shù)稱為“凹函數(shù)”，而 把上凸函數(shù)稱為“凸函數(shù)”。這里的稱呼與新近一些教科書或論文中的稱呼是一致的。請讀者注意到這些區(qū) 別。【注 2 2】還請讀者注意，通常說“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)是下（上）凸函數(shù)”，若對于（a,b）內(nèi)任意兩 點(diǎn)Xi和X2（X刁2）與任意 r r（0,1），都滿足琴生（JesenJesen）不等式f f txtx1亠（1 1 -t-t）X X2 “tftf（X X1）（）（1-t1-t）f f（X X2）（它等價(jià)于不等式f f （t t1X X1t t2X X2）:t t f f （X X1） t t2f f （X X2）（）（其

3、中t1和t2為正數(shù)且t t2=1）顯然，不等式（探）是琴生不等式的特殊情形。不過，對于連續(xù)函數(shù)來說，不等式（探）與琴生不等式是等價(jià)的。因此，我們就用簡單的不等式（探）定義函數(shù)的凸性。關(guān)于連續(xù)函數(shù)情形下兩者等價(jià)性的證明，有興趣的讀者 可去看本網(wǎng)站上的專題選講。AB的中點(diǎn)C在弧AB的上方；而從圖3 3 中看出，向下彎曲（上凸）的曲線上任何兩點(diǎn)的連線f(Xi) f(X2)2(Xi= X2)圖 1 1圖 3 33【注 3 3】若函數(shù)f （x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)可微分，則從下圖 4 4 看出，下凸（上凸）函數(shù)的圖形上，每一點(diǎn)處108108定理 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)。若導(dǎo)數(shù)f(X)在(a

4、,b)內(nèi)是增大( (減小) )的，則 函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是下凸( (上凸) )的。( (逆命題也成立。專題選講中有證明) )。假若函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，那么根據(jù)上述定理和判別函數(shù)單調(diào)性的方 法，就有下面判別函數(shù)凸性的方法。判別法 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)f (x)若f”(x)0(a：x :：: b)，貝U f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是下凸函數(shù)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)(x)是增函數(shù);若f (x) 0(a : x :：: b)，則f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是上凸函數(shù)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)f (x)是減函 數(shù)。拐點(diǎn)( (變曲點(diǎn)) )函數(shù)圖形可能在這一段上是上凸的， 而在相

5、鄰的另一段上又是下凸的 ( (如圖 1 1 中原點(diǎn)的兩 邊) )。這樣兩段弧的連接點(diǎn)， 就稱為函數(shù)圖形( (曲線) )的拐點(diǎn)( (曲線拐彎的點(diǎn)) )或變曲點(diǎn)( (曲線改變 彎曲方向的點(diǎn)) )。同時(shí)，也把函數(shù)圖形拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè) 函數(shù)的拐點(diǎn) 或變曲點(diǎn)。請讀者注 意到函數(shù)的拐點(diǎn)與函數(shù)圖形( (曲線) )的拐點(diǎn)之間的區(qū)別！若點(diǎn)X。( (a,b)是函數(shù)f (x)的拐點(diǎn)且有二階導(dǎo)數(shù) 這是因?yàn)?，例如函?shù)f (x)在點(diǎn)x0的左邊近旁下凸時(shí)，由于所以f ”(x0) = lim_- 0( (極限運(yùn)算單調(diào)性) )x廠x _x0且函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0的右邊上凸時(shí)，由于f (x0) f (x)(x0:：x)，所

6、以f ( x) f V x0)f (x0lim00( (極限運(yùn)算單調(diào)性) )X _x0因此f (xJO. .同理，若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x的左邊上凸且在點(diǎn)f(x) -x4，盡管有(0)=0，但0不是函數(shù)f (x) =x4的拐點(diǎn),因?yàn)閒 (Xo)，則f (Xo)= 0f (x) :：f (x)(x：xO( (見注x0的右邊下凸時(shí)，也有f ”(x) =0. .但是要注意，僅有f (x) =0時(shí)，點(diǎn)x不一定是函數(shù)f (x)的拐點(diǎn)。例如函數(shù)的切線都在圖形的下面( (上面) )，而且導(dǎo)函數(shù)f (x)( (切線的斜率) )是增大( (減小) )的。我們也可以證明這個(gè)結(jié)論 ( (見專題選講) )。109109

7、f (x) =12x20(|x|0)即函數(shù)f(X)=X4在原點(diǎn)0的兩邊都是下凸的( (圖 5)5)。圖 5 5110110特別，假若函數(shù)f(x)在區(qū)間( (X。、:,xo.)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且 廠( (X) )在點(diǎn)X0的兩邊有相反 的符號,則X。就是函數(shù)f(x)的拐點(diǎn)。此時(shí)，當(dāng)然有f ”(x)=03勾畫函數(shù)圖形的方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中，畫函數(shù)圖形用的是描點(diǎn)法。它的缺點(diǎn)是不能從整體上把握函數(shù)變化的狀 態(tài)。微積分中講的繪圖方法稱為 解析法，而它的優(yōu)點(diǎn)正好彌補(bǔ)了描點(diǎn)法的缺陷。我們利用導(dǎo) 數(shù)的有關(guān)信息所畫出的略圖，使我們能夠看出函數(shù)的變化狀態(tài)。例如在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)，它是增 大的或減小的，是下凸的或上凸的；又在哪個(gè)

8、點(diǎn)上取到極大值或極小值。因此，把描點(diǎn)法和 解析法結(jié)合起來就是最好的繪圖方法。4函 數(shù) 圖形的漸近線 不管是描點(diǎn)法，還是解析法，都只能畫出函數(shù)圖形的有限部分。對 于那些能夠伸向無窮遠(yuǎn)處的函數(shù)圖形，當(dāng)函數(shù)圖形伸向無窮遠(yuǎn)時(shí)，它有可能無限接近某一直 線( (稱它為漸近線) )。例如，函數(shù) y y = =arctanarctan x x 的圖形 有兩條漸近線y二-2( (圖6)6)。因?yàn)樗鼈兣cOx軸平 行，所以稱它們?yōu)?水平漸近線。求水平漸近線的方 法很簡單。若存在有窮極限lim f (x) = b或lim f (x) = bx x i -則曲線y = f (x)就有水平漸近線y = b則曲線y二f (

9、x)就有垂直漸近線x =a. .可見，當(dāng)函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)時(shí)，它才有垂直漸近線。函數(shù)圖形還可能有 斜漸近線y =kx b (k = 0)。如圖 8 8，設(shè)曲線y = f (x)上點(diǎn)P(x, y)到直線kx b的距離為d.在直角三角形PAN中，f (x) -(kx +b) = PA = Jd2+d2tan2日=d sec函數(shù)圖形也可能有垂直漸近線。例如函數(shù)y = ta n x的圖形( (圖 7)7)有兩條垂直漸近線X X - - _ _ 2 2求垂直漸近線的方法也很簡單。若函數(shù)y - f (x)有無窮間斷點(diǎn)a，即lim f (x)八( (左極限) ).a -或lim f (x)二：( (右極限)

10、)xTa111111按定義，直線y二kx b是曲線y二f （x）的漸近線，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P沿曲線y二f（x）伸向無窮遠(yuǎn)時(shí)，有d r 0；而d r 0,當(dāng)且僅當(dāng)有常數(shù)k和b，使是，當(dāng)條件滿足時(shí)，可以按下面的方法求常數(shù) 第一步，先求斜率k因?yàn)榍襵b =limf （x） -kx丨x_C5曲線的曲率（理工科專業(yè)學(xué)生用，經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)生不用）曲線的下凸和上凸說的是曲線的彎曲方向，而曲線的曲率說的是曲線的彎曲程度。段沒有彎曲，所以認(rèn)為它的曲率為0 0. . 般情形下，如圖 9 9,弧AB的全曲率規(guī)定為起點(diǎn) A A 處切線方向與終點(diǎn) B B 處切線方向的偏 差. .可是，弧CD的全曲率與弧AB的全曲率相同，但前者

11、顯 然比后者彎曲得更厲害一些。這就是說，弧的彎曲程度與弧本身 的長度有關(guān)。因此，就像測量物理量或幾何量時(shí)先確定一個(gè)單位 那樣，把單位長度弧的全曲率取作測量弧時(shí)曲率的單位，而把長 度為 L LS S 的弧的全曲率同弧長 L LS S 的比值，稱為該弧的平均曲率。它有點(diǎn)像質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的平均速度。像定義質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的瞬時(shí)速度那樣，把極限KA二limlim B:A.ssQ As ds定義為弧AB在點(diǎn) A A 處的曲率（其中宀為弧AB的全曲率，冶為弧AB的長度）。對于半徑為 R R 的圓周來說（圖 1010），由于 AsAs 二 R R；， 所以圓周上任一點(diǎn)處的曲率都相等，且曲率為d）1K = lim（半徑的倒

12、數(shù)）V As d s R對于一般的弧來說，雖然弧上各點(diǎn)處的曲率可能不盡相同，但是當(dāng)弧上點(diǎn)A處的曲率KA=0=0 時(shí)，我們可以設(shè)想在弧的凹方一側(cè)有一個(gè)圓周，它與弧在點(diǎn)A相切（即有公切線）且半徑RA=1/ KA. .這樣的圓周就稱為弧上點(diǎn)A處的曲率圓；而它的圓心稱為弧上點(diǎn)A處的曲率中心。如圖 1111 中那個(gè)拋物線在原點(diǎn) O O 或點(diǎn)A（1,a）的曲率圓。請讀者注意，因?yàn)榍视锌? 能是lim I f (x) -(kx b) = 0 x廠或I i m( X)k x= bx_c：lim空型=佃=0 j xxx所以k = limf（x）；x廠x第二步，再求截距b，即直線112112負(fù)數(shù)（在實(shí)際應(yīng)用中，

13、有時(shí)把絕對值KA稱為曲率），而曲率半徑要與曲率保持相同的正113113負(fù)號， 所以曲率半徑也有可能是負(fù)數(shù)方向。圖 1111圖 1212對于用方程y二y(x) (a遼x mb)表示的弧( (圖 12)12)，由于y (x) = tan v，- arctan y (x)所以，若有二階導(dǎo)數(shù)yx)，則x x1141141 + y(x)注意到d 1 y (x)2dx，則弧上點(diǎn)A x, y(x)處的曲率為K ds當(dāng)y(x) =0時(shí)，曲率半徑為y (x)y(x)2?32(曲率公式)1 y(x)2( (曲率半徑公式) )R二丄Ky(x)其中，y_(x) .0時(shí)， 曲率K和曲率半徑R都大于 0 0 ,說明曲線弧

14、向上彎曲或曲率圓在弧的 上方( (圖 12)12)。反之，說明曲線弧向下彎曲或曲率圓在弧的下方。例如圖1111 中那個(gè)拋物線y = ax2，因?yàn)閥 = 2ax, y =2a，所以2a( (曲率)K二(1 4a2x2)32，/川丄22、32( (曲率半徑)R R= =1 1= =(j4a x)2a顯然，原點(diǎn)0(0,0)處有最大曲率1K =2a2a，最小曲率半徑R. .點(diǎn)A(1,a)處的曲率和曲率2a半徑依次為2a2、32，K =(1 4a2)3可見，拋物線上離頂點(diǎn)越遠(yuǎn)，曲率越小，而曲率半徑越大。第7-1節(jié)看我做題322.32R_(1+4a )2a115115解y = 3x26x = 3x(x 2

15、),y = 6x 6 = 6(x 1)用駐點(diǎn)-2和0(它們有可能是極值點(diǎn))，與二階導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)-1(它有可能是拐點(diǎn))，將函 數(shù)的定義區(qū)間(：，：)劃分為四個(gè)小區(qū)間：(_：,_2), (-2,-1), (-1,0), (0,再把函數(shù)f (x)在這些小區(qū)間內(nèi)有關(guān)f(x)和f“(x)的信息，填在下面的表格中。 按照表格中提供的信息，就可以畫出它的略圖(它沒有漸近線。為什么？)。x2_ 2 x + 22.2.勾畫出函數(shù)y的略圖。X 1.x2-2x 2=lim1，xx(x 1)所以它有斜漸近線y = x -1( (見圖) )其次，x.2-1(40)0(0,切ty+0-0+ +y料-0+ +y/丨13極

16、大(1)拐點(diǎn)-J極小/ /0 0y =x3+3x2-1解因?yàn)?xmwxmw，所以它有垂直漸近線x =1(沒有水平漸近線)。又b =|im(y _kx)x2xxx-1-x2二limx廠x -1第 1 1 題圖3 31 12 20/-1-1116116* x(x -2)“2y2，y3(x-1)(x-1)像第 1 1 題那樣，用函數(shù)的駐點(diǎn)0和2( (沒有其它臨界點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)) )，把函數(shù)的定義域分成若干小區(qū)間( (注意，X = 1是間斷點(diǎn)) )，并把有關(guān)信息填入下面的表格中：117117x x（卻）0 0(0,1)1 1(1,2)2 2(2步y(tǒng)，0 0一一0 0y“一一+y/n_2_2極大

17、n間斷點(diǎn)u2極小/ U有垂直漸近線x =1和斜漸近線y = x _1根據(jù)表格中提供的信息，就可勾畫出函數(shù)的略圖（見上圖）。（）3.3.對于用參數(shù)方程x = x（t）J J（G G 蘭 t t 蘭 B B）y =y（t）表示的曲線弧，其中x（t）和y（t）有二階導(dǎo)數(shù)且x(t)2y(t)20 不妨認(rèn)為x(t) = O 因?yàn)閐y _ y(t)，d2y _ d fdy _ d (t) _ dy(t) dt _ y(t)x(t) y(t)(t)dx x(t)dx2dx dx dx x(t) dt x(t) dxx(t)3把它們依次代入曲率公式和曲率半徑公式，則得1.1. 用判別法，驗(yàn)證下列函數(shù)在所示區(qū)間

18、內(nèi)是下凸的：y1）, （0,二）；y =ex,（-二，：）；y =xlnx,（0,二）；y =xx, （0：）2.2. 用判別法，驗(yàn)證函數(shù)y =x -（0： ： ：1）與y = I n x在區(qū)間（0, ：）內(nèi)是上凸的。3.3. 根據(jù)判別法，求下列函數(shù)的下凸區(qū)間或上凸區(qū)間：23y =3x-x；y二x sin x；22y = e f；y = ln（1 x2）答案:在（-：,1）內(nèi)下凸，在（1,r）內(nèi)上凸;第7-2節(jié)yx _ yx/2- 23(x y )/2232(X +y )yx - yx根據(jù)提示做習(xí)題2（曲率公式）（yx - yx嚴(yán)0）（曲率半徑公118118(*)經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)生不用看在（2k二

19、,2k二：）內(nèi)上凸，在（2k二：,2k二 2二）內(nèi)下凸;在（Y,十）與（士嚴(yán)）內(nèi)下凸，在（_力士）內(nèi)上凸;119119在(:，_1)與(1,:)內(nèi)上凸，在(一1,1)內(nèi)下凸。4.4.設(shè)函數(shù)f(X)(-：:X”：；)為連續(xù)偶函數(shù)。若在區(qū)間 (：，0)內(nèi)有f (x)0且f (x) : 0則在區(qū)間(0, ：)內(nèi)，下列哪一種情形是對的？(A) f (x) 0, f (x) 1)；二x3-3x；2 y =e_x；2xy二120120二(x 6)ex；7.7.證明：若xi0(i =1,2/ ,n)，則有- x亠xxnxix xn12n( (幾何平均值不超過算術(shù)平均值 ) )( (理工科學(xué)生做以下習(xí)題 ) )8.8.求下列曲線的曲率和曲率半徑:n提示：考慮下凸函數(shù)f(x) =-1 nx (x 0)121121第7-3節(jié)2004/2004/選擇題試做研究生入學(xué)考試題(三)設(shè)f (x) = x(1 x)，則(A) x=0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線y二f (x)的拐點(diǎn)(B) x =0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y二f