2018版高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1學(xué)案：第二章3.2雙曲線的簡單性質(zhì)

1、3.2 雙曲線的簡單性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解雙曲線的簡單性質(zhì)（對稱性、范圍、頂點、實軸長和虛軸長等）.2 理解離心 率的定義、取值范圍和漸近線方程 .3掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中 a, b, c, e 間的關(guān)系 4 能用雙曲線的 簡單性質(zhì)解決一些簡單問題.H問題導(dǎo)學(xué)-知識點一雙曲線的簡單性質(zhì)思考 類比橢圓的簡單性質(zhì)，結(jié)合圖像，你能得到雙曲線2 2字一 b2= i（a0, b0）的哪些性質(zhì)？梳理標(biāo)準(zhǔn)方程- 2-2-予器=1(a 0, b0)-2-2-02含=1(a0, b0)圖形NA0性質(zhì)范圍對稱性對稱軸：對稱中心：對稱軸：對稱中心：頂點坐標(biāo)漸近線y=xy=傘離心率e=c,e(1,+s) a知識點二雙曲線的離心

2、率思考 1 如何求雙曲線的漸近線方程?思考 2 橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度，在雙曲線中，雙曲線的“張口” 大小是圖像的一個重要特征，怎樣描述雙曲線的“張口”大小呢？梳理 雙曲線的焦距與實軸長的比C，叫作雙曲線的，其取值范圍是 ea- -越大，雙曲線的張口 _ 知識點三雙曲線的相關(guān)概念1 雙曲線的對稱中心叫作雙曲線的中心.2實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線，它的漸近線是y= (.題型探究類型一由雙曲線方程研究其性質(zhì)例 1 求雙曲線 9y2-4X2=-36 的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線 方程.反思與感悟由雙曲線的方程研究其性質(zhì)的解題步驟(1) 把雙曲線方

3、程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類問題的關(guān)鍵.(2) 由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點位置，確定a, b 的值.(3) 由 c2= a2+ b2求出 c 值，從而寫出雙曲線的簡單性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練 1 求雙曲線 9y216X2=144 的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、漸近線 方程.類型二由雙曲線的簡單性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例 2 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.5(1) 虛軸長為 12,離心率為 4；(2) 頂點間距離為 6,漸近線方程為 y= 2x;(3) 求與雙曲線 x2 2y2= 2 有公共漸近線，且過點M(2, - 2)的雙曲線方程.反思與感悟(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟1確定或分類討論雙曲線的焦點所在的坐標(biāo)

4、軸;2設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;3根據(jù)已知條件或簡單性質(zhì)列方程，求待定系數(shù);4求出 a, b,寫出方程.2 2(2)與雙曲線 j淳=1 共焦點的雙曲線方程可設(shè)為類型三 與雙曲線有關(guān)的離心率問題2與雙曲線字-洋=1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為字-滬X仔0);漸近線為 axby= 0 的雙曲線方程可設(shè)為a2x2 b2y2= ?(仔0).跟蹤訓(xùn)練 2 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)一個焦點為(0,13)，且離心率為 ：；雙曲線過點(3,9 2)，離心率 e=1； (3)漸近線方程為 y= 2x,且經(jīng)過點 A(2, 3).2y2222= 1(0, b ?0, b0)的左、右焦點，雙曲線上存在一

5、點P 使9得|PFi|+ |PF2|= 3b,|PFI|PF2|=4ab,則該雙曲線的離心率為()4A. 3B.539引申探究D . 3例 3 條件9“|PFi|+ |PF2|= 3b, |PFi| |PF2|= 4ab” 改為“若 PFi丄 PF2,且/PFiF2= 30 ,結(jié)果如何?反思與感悟求雙曲線離心率的常見方法(1)依據(jù)條件求出 a, c,再計算 e=ca(2)依據(jù)條件建立參數(shù) a, b, c 的關(guān)系式，一種方法是消去b 轉(zhuǎn)化為離心率 e 的方程求解,另一種方法是消去 c 轉(zhuǎn)化成含 a 的方程，求出 a 后，利用 e=i 求解.2 2跟蹤訓(xùn)練 3 雙曲線X2-1(0a0)與直線 I:

6、 x+ y= 1 相交于兩個不同的點 A, B,求雙曲線aC 的離心率的取值范圍.反思與感悟求離心率的取值范圍技巧(1)根據(jù)條件建立 a, b, c 的不等式.c b(2)通過解不等式得：或：的取值范圍，求得離心率的取值范圍.a a2 2跟蹤訓(xùn)練 4 已知 F1, F2是雙曲線予一2= l(a, b0)的左，右焦點，過 Fi且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于 A, B 兩點，若厶 ABF2為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率 e 的取值范圍為()A . (1 ,+ )B. ( . 2 + 1 ,+ )C. (1 , .2+ 1)D. (1 , .3)當(dāng)堂訓(xùn)練2 2 21雙曲線 1x5/= 1 與橢

7、圓 25+ = 1 的(A.焦點相同B .頂點相同C.實軸與長軸相同D 短軸與虛軸相同2 22.設(shè)雙曲線+卷=1 的漸近線方程為 3xi2y= 0,則 a 的值為()a 9C. 22 23.設(shè) Fi和 F2為雙曲線 j器=1(a0, b0)的兩個焦點，若三個頂點，則雙曲線的離心率為()3B.25C.q D. 34等軸雙曲線的一個焦點是Fi( 6,0)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()2 2x y_ . A 匚=1A.9 92 2y x 彳C= 118 1822 2B.y2*= 1 9 92 2x V D. = 118 1825設(shè)雙曲線?一 1(a 0, b 0)的虛軸長為 2，焦距為 2 3，則雙曲線的漸近

8、線方程為規(guī)律與方法1.漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，2 2兩方程聯(lián)系密切，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 孑*= 1(a0,b0)右邊的常數(shù)“1”換為“ 0”，就是漸近線方程.反之由漸近線方程 ax )y= 0 變?yōu)?a2x2 b2y2=人再結(jié)合其他條件求得 X 就可得雙曲線方程.2準(zhǔn)確畫出幾何圖形是解決解析幾何問題的第一突破口對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì).利用雙曲線的漸近線來畫雙曲線特別方便，而且較為精確，只要作出雙曲線的兩個頂點和兩條漸近線，就能畫出它的近似圖形.Fi, F2, P(0,2b)是正三角形的答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考 范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線.梳理 x a 或 xwa

9、 y a 或 yw a 坐標(biāo)軸 原點 坐標(biāo)軸 原點Ai( a,0), A2(a,0) Ai(0, a), A2(0, a)知識點二2 2 2 2思考 1 將方程Xy2= 1(a0, b0)右邊的“ 1 ”換成0”，即由X2占=0 得X琴=0,如 a ba baD2 2圖，作直線 ab=o,在雙曲線i 的各支向外延伸時，與兩直線逐漸接近，把這兩條直線叫作雙曲線的漸近線.2 2思考 2 雙曲線字i 的各支向外延伸逐漸接近漸近線，所以雙曲線的“張口”大小取 決于b的值，設(shè) e=c，則b= = e2 1.aa a av當(dāng) e 的值逐漸增大時，的值增大，雙曲線的“張口”逐漸增大.a梳理離心率 (1 ,+

10、 )越大題型探究 例 1 解 將 9y24X2=36 變形為2x_9所以 a= 3, b = 2, c=：13,因此頂點坐標(biāo)為(一 3,0), (3,0);焦點坐標(biāo)為(一.13 , 0), ( 13, 0);實軸長是 2a = 6，虛軸長是 2b= 4; 離心率 e=C=;a 3漸近線方程為 y= x= 3x.2 22 2 2跟蹤訓(xùn)練 1 解 把方程 9y2 316X2=144 化為標(biāo)準(zhǔn)方程七-32= 1.由此可知，實半軸長 a= 4,虛半軸長 b = 3;c= a2+ b2=42+ 32= 5,焦點坐標(biāo)是(0, 5), (0,5);離心率 e=C=5;a 4漸近線方程為 y= 3x.2 2

11、2 2例 2 解(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為a ba b由題意知 2b= 12 ,C=5,a 42 2 . .2且 c = a + b ,b = 6, c= 10, a= 8.2 22 2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為右曇=1 或右36= 1.64 3664 3632 2設(shè)以 y= 分為漸近線的雙曲線方程為 X = 2 0)-當(dāng)?0 時，a2= 4 入一9 2a=2 4?= 6?X=4;當(dāng)=0 時，a2= 9 入- 2a = 2 9 = 6? = 1.2 2 2 2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 7 七=1 或半y = 1.9819442 2設(shè)與雙曲線 X2 y2= 1 有公共漸近線的雙曲線方程為X2 y2=將 0).

12、將點(2, 2)代入雙曲線方程，/曰222得=-(2)2=- 2,2 2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二x= 1.跟蹤訓(xùn)練 2 解(1)依題意可知，雙曲線的焦點在y 軸上，且 c= 13,c 13I又=5, 二 a= 5, b = c2 a2= 12,故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2y丄=25144 = 由 e2=10，設(shè) a2= 9k(k0),則 c2= 10k, b2= c2 a2= k.22 22設(shè)所求雙曲線方程為 -乞=1或 L- = 19k k9k k將(3,9 .2)代入，得 k = 161，與 k0 矛盾，無解；將(3,9 .2)代入，得 k = 9.2 2故所求雙曲線方程為x= 1.1方法一

13、雙曲線的漸近線方程為y= x,2 2若焦點在 x 軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為予詁=1(a0, b0),則b=1a 2 A(2, 3)在雙曲線上，聯(lián)立，無解.2 2若焦點在 y 軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為*詁=1(a0, b0),a 1則 b=1聯(lián)立，解得 a2= 8, b2= 32.2 2所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為= 1.832 A(2, 3)在雙曲線上,弊點=1.方法二由雙曲線的漸近線方程為y= x,可設(shè)雙曲線方程為 一 y2=X將 0）. A(2, - 3)在雙曲線上,I?(3)2=入即X=8.2 2所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y令=1.832例 3 B 考慮雙曲線的對稱性，不妨設(shè) P 在右

14、支上,則 |PFi| |PF2|= 2a,而 |PFi|+ |PF2|= 3b,兩式等號左右兩邊平方后相減,2 29b 4a 得 IPF111PF2匸 4又已知 |PFi| |PF2|=9ab,229 9b 4a b 4 4ab=4，得 a= 3(負值舍去).該雙曲線的離心率e=a,，1+a1+42引申探究 解 作出滿足題意的幾何圖形（如圖），利用 PFi丄 PF2及/PF1F2=30 求出 a, c 的關(guān)系式.設(shè)點 P 在雙曲線右支上.TPF1PF2,|F1F2|=2C,且/ PF1F2= 30- |PF2|=C,|PF1|=3C.又點 P 在雙曲線的右支上，- |PF1| |PF2|= ( 3