湖南大學(xué)離散數(shù)學(xué)習(xí)題一解答

1、第三章習(xí)題一解答 一、求下列集合的冪集 1、楊,李,石 解：P(楊,李,石) =F, 石,李,石,楊,楊,石,楊,李,楊,李,石 2、1,2,2,1,1,2,1,1,2 解：原集合=1,2,2,1,2,1=1,2，只含一個(gè)元素，故其冪集只有2 個(gè)元素： P=F,1,2 二、利用包含排斥原理，求解以下各題。 1、對(duì)60 人調(diào)查，25 讀每周新聞，26 讀時(shí)代，26 人讀財(cái)富，9 人讀每周新聞和財(cái)富，11 讀每周新聞和時(shí)代，8 人讀時(shí)代與財(cái)富，還有 8 人什么都不讀，請(qǐng)計(jì)算： (1) 閱讀全部三種雜志的人數(shù)。 (2) 分別求只閱讀每周新聞、時(shí)代、財(cái)富雜志的人數(shù)。 解：記A=每周新聞的讀者，B=時(shí)代

2、的讀者，C=財(cái)富的讀者。 由于8 人什么都不讀，故只有 52 人讀雜志，即 |ABC|=52。已知 |A|=25，|B|=26，|C|=26 |AC|=9，|AB|=11，|BC|=8 （1）由包含排斥原理可知 |ABC|=|A|+|B|+|C|-|AC|-|AB|-|BC|+| ABC|，故 52=25+26+26-9-11-8+| ABC|，即有 | ABC|=3， 所以同時(shí)讀三種雜志的人為3 人。 （2）注意到 |ST| = |S|-|ST|，故只讀每周新聞的人數(shù)為： =|A|-|AB|-|AC|+| ABC|=25-9-11+3=8； 只讀時(shí)代人數(shù)為：|B|-|BA|-|BC|+| A

3、BC|=26-11-8+3=10 ； 只讀財(cái)富的人為：|C|-|CA|-|CB|+| ABC|=26-9-8+3=12。 2、某班25個(gè)學(xué)生，14人會(huì)打籃球，12人會(huì)打排球，6人會(huì)籃球和排球，5人會(huì)打籃球和網(wǎng)球，還有2人會(huì)打這三種球，已知6人會(huì)網(wǎng)球的都會(huì)籃球或排球，求不會(huì)打球的人。 解：先求出會(huì)打球的人，25-會(huì)打球的人=不會(huì)打球的人。 |籃|=14, |排|=12, |籃排|=6, |籃網(wǎng)|=5, |籃排網(wǎng)|=2，|網(wǎng)|=6， 又 6= |網(wǎng)(籃È排)| = |網(wǎng)籃|+|網(wǎng)排|-|網(wǎng)籃排|, 故 5+ |網(wǎng)排|-2=6， 故 | 網(wǎng)排|=3, 由包含排斥原理可知會(huì)打球的人數(shù)為 |籃

4、排網(wǎng)|=|籃|+|排|+|網(wǎng)|-|籃排|-|籃網(wǎng)|-|排網(wǎng)|+|籃排網(wǎng)| =14+12+6- 6- 5-3+2=20， 故不會(huì)打球有5 人。 3、在 1 到300 的整數(shù)中（1 和300 包含在內(nèi)），分別求滿足以下條件的整數(shù)個(gè)數(shù)： (1) 同時(shí)能被3，5，7 整除； (2) 不能被3 和 5 整除，也不能被7 整除的數(shù)； (3) 可以被3 整除，但是不能被 5 和7 整除； (4) 可以被3 或5 整除，但不能被7 整除； (5) 只被3,5,7 中一個(gè)整除的數(shù)； 解：用A3 表示1 到300中能被3 整除的數(shù)的集合，A5表示1 到300中能被5整除的數(shù)的集合，A7表示1 到300中能被7 整

5、除的數(shù)的集合。 則有 |A3|=ë300/3û=100， |A5|=ë300/5û=60 ，|A7|=ë300/7û=42； | A3A5 |=ë300/15û=20， | A3A7|=ë300/21û=ë100/7û=14，| A5A7|=ë300/35û=ë60/7û=8， | A3A5A7|=2。 | A3A5A7| = |A3|+| A5|+|A7|-|A3A5|-|A3A7|-|A5A7|+|A3A5A7|=100+60+42

6、-20-14-8+2 =162 (1) 同時(shí)能被3，5，7 同時(shí)整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為 | A3A5A7|=2； (2) 不能被3 和 5 整除，也不能被7 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為 | A3A5A7|=300- | A3A5A7| =300-162=138； (3) 注意到 |AB| = |A|-|AB|，故可被3整除但不能被 5 和7 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為 | A3A5A7| = | A3(A5A7)| = | A3 |-| (A3A5)(A3A7)|=| A3 |-| A3A5|-| A3A7|+| A3A5A7|=100-20-14+2=68; (4) 可以被3 或5 整除，但不能被7 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為

7、 | (A3A5)A7| =| (A3A7)(A5A7)| =| A3A7|+| A5A7|-| A3A5A7| =(| A3|-| A3A7|)+ (| A5|-| A5A7|)-(| A3A5|-| A3A5A7|) = (100-14)+(60-8)-(20-2)=120; (5) 只被3,5,7 中一個(gè)整除的數(shù)的個(gè)數(shù)分別為 只被3 整除的數(shù)：| A3|-| A3A5|-| A3A7|+| A3A5A7|=100-20-14+2=68； 只被5 整除的數(shù)：| A5|-| A5A3|-| A5A7|+| A5A3A7|=60-20-8+2=34 ； 只被7 整除的數(shù)：| A7|-| A7A

8、3|-| A7A5|+| A7A3A5|=42-14-8+2=22。 4、求 1120 之間的素?cái)?shù)。 提示：采用篩選法求不超過(guò) 120 之間的素?cái)?shù)。由 120<121，故 <11，只要去掉2,3,5,7的倍數(shù)，則剩下來(lái)的數(shù)不可能有因數(shù)存在，即為素?cái)?shù)。 解：令A(yù)2，A3，A5，A7分別為1120范圍內(nèi)能被2，3，5，7 整除的數(shù)的集合，則1120中去除2,3,5,7的整倍數(shù)后所剩的數(shù)的個(gè)數(shù)為| A2A3A5A7| = 120- | A2A3A5A7| 。由于 |A2|=ë120/2û=60，|A3|=ë120/3û=40，|A5|=ë

9、120/5û=24，|A7|=ë120/7û=17；|A2A3|=ë120/6û=20， |A2A5|=ë120/10û=12， |A2A7|=ë120/14û=60/7=8， |A3A5|=ë120/15û=40/5=8 ，|A3A7|=ë120/21û=40/7=5，|A5A7|=ë120/35û=24/7=3； |A2A3A5|=ë120/(2*3*5) û=4 ，|A2A3A7|=ë120/(2*3*7) &

10、#251;=2 ， |A3A5A7|=ë120/(3*5*7) û=1， |A2A5A7|=ë120/(2*5*7) û=1； |A2A3A5A7|=ë120/(2*3*5*7) û=0 ； 所以| A2A3A5A7|=60+40+24+17-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0=141-56+8=149-56=93 ， 故1120中去除2,3,5,7的整倍數(shù)后所剩的數(shù)的個(gè)數(shù)為120-93=27。但這不是素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，因?yàn)槿コ稊?shù)時(shí)還去除了2,3,5,7的一倍，這本是不該去掉的，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)回來(lái)，而這剩下的27個(gè)數(shù)中1不是素

11、數(shù)，應(yīng)該去掉故素?cái)?shù)的總數(shù)應(yīng)當(dāng)是27+4-1=30 。 5、在 1 和 10000 之間（包括 1 和 10000 在內(nèi)）不能被4、5、6 整除的數(shù)有多少個(gè)？ 解：設(shè)A4, A5, A6 分別表示110000范圍內(nèi)被4,5,6 整除的數(shù)的集合，則要求的數(shù)的個(gè)數(shù)為(注意分母中的是最小公倍數(shù))：=10000 (ë10000/4û+ë10000/5û+ë10000/6û)(ë10000/20û+ë10000/12ûë10000/30û)ë10000/30û=100

12、00(2500+2000+1666)(500+833+333)+166 =10004666=5334 6、在 1 和 10000 之間（包括 1 和 10000）既不是某個(gè)整數(shù)的平方，也是不是某個(gè)整數(shù)的立方的數(shù)有多少？ 解：設(shè)A=x2 | 1£ x2£10000，B=x3 | 1£ x3£10000，則要求的數(shù)的個(gè)數(shù)為. 7、在 1 和 10000 之間（包括 1 和 10000）有多少個(gè)整數(shù)包含了1，2，3 和4。 解：設(shè)A1, A2, A3, A4 分別表示110000范圍內(nèi)含1,2,3,4的數(shù)的集合。（1）如果將題意理解為要求整數(shù)只含有1,2,3,4之一時(shí)，則要求的數(shù)的個(gè)數(shù)為。 而 為110000內(nèi)不含1,2,3,4的數(shù)的個(gè)數(shù)，這相當(dāng)于用六個(gè)數(shù)字0,5,6,7,8,9去填四個(gè)空格