多元函數(shù)微積分

1、1第第6 6章章 多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分6.16.1空間解析幾何簡介空間解析幾何簡介. .6.26.2多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學. .6.36.3多元函數(shù)積分學多元函數(shù)積分學. .2主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一一. .空間直角坐標系空間直角坐標系. .二二. .向量的基本概念及其運算向量的基本概念及其運算. .三三. .平面與直線的方程平面與直線的方程. .四四. .曲面方程的概念和常用曲面的方程曲面方程的概念和常用曲面的方程. .五五. .空間曲線及其在坐標面上的投影空間曲線及其在坐標面上的投影. .6.1 6.1 空間解析幾何簡介空間解析幾何簡介3O 過空間一個定點過空間一個定點O， y

2、軸(縱軸) z軸(豎軸)(坐標)原點 x軸(橫軸) x 1 y 1 z 1拇指方向四指轉(zhuǎn)向右手規(guī)則作三條互相垂直的軸，作三條互相垂直的軸，它們都以它們都以O為原點且為原點且一般具有相同的長度一般具有相同的長度單位單位它們的正向通常符合右手它們的正向通常符合右手規(guī)則.這樣的三條坐標軸就組成這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系了一個空間直角坐標系一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系4 三條坐標軸中的任意兩三條坐標軸中的任意兩條都可以確定一個平面，條都可以確定一個平面，坐標面：坐標面：這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標面這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標面x軸及軸及y軸所確定的坐標面叫做軸所確定的坐標面叫

3、做 xOy面，面，另兩個坐標面是另兩個坐標面是 yOz 面、面、zOx面面.xyozxoy面面yoz面面zox面面5O z y x 第一卦限第一卦限卦卦 限：限： 三個坐標面把三個坐標面把空間分成八個部分，空間分成八個部分，每一部分叫做每一部分叫做一個卦限一個卦限6O z y x 第二卦限第二卦限卦卦 限：限：7第三卦限第三卦限O z y x 卦卦 限：限：8O z y x 第四卦限第四卦限卦卦 限：限：9O z y x 第五卦限第五卦限卦卦 限：限：10O z y x 第六卦限第六卦限卦卦 限：限：11O z y x 第七卦限第七卦限卦卦 限：限：12O z y x 第八卦限第八卦限卦卦 限

4、限：13二、空間一點的坐標：二、空間一點的坐標： 設設 M 為 空 間 一 已 知 點 為 空 間 一 已 知 點 O x y z PRx z yMQ過過點點 M 作三個平面分別垂直于作三個平面分別垂直于 x軸軸y 軸和軸和 z 軸，軸， 三個平面在三個平面在 x 軸、軸、y軸軸和和 z 軸的交點依次為軸的交點依次為P、Q、R，在在 x 軸、軸、y 軸和軸和 z 軸上的坐標依次為軸上的坐標依次為x、y、z，我們稱這組數(shù)為點我們稱這組數(shù)為點M的坐標，的坐標，并把并把x、y、z分別稱為點分別稱為點M的橫坐標、的橫坐標、縱坐標、豎坐標縱坐標、豎坐標坐標為坐標為x、y、z 的點的點M 記為記為M(x，

5、y，z)14xyzo 1MPNQR 2M,222212NMPNPMd 三三、空間兩點間的距離空間兩點間的距離),(),(22221111zyxMzyxM設設為空間兩點為空間兩點,21NMM 在直角在直角PNM1及直角及直角 中中 ,由勾股定理有由勾股定理有: :求求21MM15,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M所以 之間的距離為21MM16 解解 由距離公式，得由距離公式，得 例

6、例1 1 求求 之間的距離之間的距離) 3 , 2 , 1(),0 , 1, 2(21PP22221)03()1(2()2) 1(PP2717向量向量：既有大小，又有方向的量叫做向量：既有大小，又有方向的量叫做向量 在數(shù)學上，用一條有方向的線段在數(shù)學上，用一條有方向的線段( (稱為有向線段稱為有向線段) )來表示來表示向量有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表向量有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向示向量的方向Fvvvvv 例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量三、向量的基本概念及其運算三、向量的基本概念及其運算1.1

7、.向量的基本概念向量的基本概念18 以以M1為起點、為起點、M 2為終點的有向線段所表示的向為終點的有向線段所表示的向量，記作量，記作向量的符號向量的符號： 向量可用粗體字母表示，也可用上加箭頭書寫體字向量可用粗體字母表示，也可用上加箭頭書寫體字母表示，母表示，例如，例如，b，i，j，k，F(xiàn)， Ox yzM1M 2n，i，j，k21MM19向量的模向量的模：單位向量單位向量： 模等于模等于0的向量叫做零向量，記作的向量叫做零向量，記作0 零向量的起點與終點重合，它的方向可以看作零向量的起點與終點重合，它的方向可以看作是任意的是任意的 模等于模等于1的向量叫做單位向量的向量叫做單位向量零向量零向

8、量： 向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的模模向量a 、 、 的模分別記為a21MM| a | 、| |、| | a21MM20 由于一切向量的共性是它們都有大小和方向，所由于一切向量的共性是它們都有大小和方向，所以在數(shù)學上我們只研究與起點無關的向量，并稱這種以在數(shù)學上我們只研究與起點無關的向量，并稱這種向量為自由向量，簡稱向量向量為自由向量，簡稱向量自由向量自由向量： 如果向量如果向量a和和b的模相等，又互相平行的模相等，又互相平行,且指向相且指向相同同,則說向量則說向量a和和b是相等的，記為是相等的，記為 a b相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合21向量平

9、行向量平行： 零向量認為是與任何向量都平行零向量認為是與任何向量都平行ab 兩個非零向量如果它們的方向相同或相反，就稱這兩個非零向量如果它們的方向相同或相反，就稱這兩兩個向量平行向量個向量平行向量a與與b平行，記作平行，記作a / b22222zyxOM2 2向量的運算向量的運算 ( (1).1).向量的長度向量的長度OM的長度為的長度為 已知已知 ,則向量則向量 ),(zyxM23再以再以B為為的和，的和，記作記作 a b ，即即 c a b 設有兩個向量設有兩個向量 a 與與 b ， 任取一點任取一點A，作作 a ，AB起點，作起點，作 b，BC那么向量那么向量 c 稱為向量稱為向量 a

10、與與 bAC連接連接AC，bacaABbC這種作出兩向量之和的方法叫三角形法則這種作出兩向量之和的方法叫三角形法則(2).(2).向量的加法向量的加法, ,減法和數(shù)與向量的乘法減法和數(shù)與向量的乘法24平行四邊形法則：平行四邊形法則：AD為邊作一平行四邊形為邊作一平行四邊形ABCD，以以AB、C 連接對角線連接對角線AC， 當向量當向量 a 與與 b 不平行時，不平行時，作作 a ， b，ABAD那么向量那么向量AC等于向量等于向量 a 與與 b 的和的和 a b bacaABbD25向量的加法符合下列運算規(guī)律：向量的加法符合下列運算規(guī)律： (2) )結(jié)合律結(jié)合律(a b) c a (b c)

11、(1)交換律交換律a b b a；由向量加法的交換律與結(jié)合律，可知任意多個向量由向量加法的交換律與結(jié)合律，可知任意多個向量加法的法則：加法的法則： 以前一向量的終點作為后一向量的起點，相繼作以前一向量的終點作為后一向量的起點，相繼作向量，再以第一向量的起點為起點，最后一向量的終向量，再以第一向量的起點為起點，最后一向量的終點為終點作一向量，點為終點作一向量， 26負向量：負向量：向量的減法：向量的減法： 設設 a 為一向量，與為一向量，與 a 的模相同而方向相反的向量叫的模相同而方向相反的向量叫做做 a 的曲面向量，記為的曲面向量，記為 a 我們規(guī)定兩個向量我們規(guī)定兩個向量 b 與與 a 的差

12、為的差為b a b ( a)即把向量即把向量 a 加到向量加到向量 b 上，便得上，便得 b 與與 a 的差的差 b aaaaababbabaa27它的方向當它的方向當 0時與時與 a 相同，相同，當當0時，時，| a| 0，即即 a為零向量，為零向量， 特別地，當特別地，當1時，有時，有1a a，( 1) a a當當 0時與時與 a 相反相反向量向量 a與實數(shù)與實數(shù) 的乘積記作的乘積記作 a ，向量與數(shù)的乘法：向量與數(shù)的乘法： 規(guī)定規(guī)定 a 是一個向量，它的是一個向量，它的模模| a| | | a |，28zyx,軸的正方向的單位向量，軸的正方向的單位向量，稱為基本單位向量稱為基本單位向量設

13、向量設向量 OM終點的坐標為終點的坐標為 的始點在原點的始點在原點,),(zyx(如圖如圖), 利用向量的加法可得利用向量的加法可得, MMMOOM在在MOP 中，中， MPOPMO而而 OQMP，又，又 ORMM所以得所以得 OROQOPOM(3)(3)向量的坐標表示及其加法向量的坐標表示及其加法基本單位向量：以基本單位向量：以 分別表示沿分別表示沿kji,OXZYPQRM(x,y,z)M29故故上式稱為向量上式稱為向量的坐標表示式的坐標表示式OM由數(shù)與向量的乘積定義由數(shù)與向量的乘積定義,得得 kzORjyOQixOP, kzjyixOM30利用向量的坐標進行向量的加減和數(shù)乘利用向量的坐標進

14、行向量的加減和數(shù)乘：則 a x b x ，a y b y ，a z b z a x b x ，a y b y ，a z b z a x ， a y ， a z設a a x，a y，a z ，b b x，b y，b z ，即a a xi a yj a zk，b b xi b yj b zk， 則ab ( a xi a yj a zk) ( b xi b yj b zk) ( a x b x)i ( a y b y)j (a z b z)kba a( a xi a yj a zk) ( a x)i (a y)j (a z)k31定義定義1 1(4)(4)向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積 cos|baba

15、數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積點積”. baba的數(shù)量積為的數(shù)量積為與與向量向量)(的夾角的夾角與與為為其中其中ba 32注注：0ba.ba , 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba ,ba , 0cos . 0cos| baba證證 ,2 ,2 )()(33數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律交換律：;abba （2 2）分配律分配律：;)(cbcacba （3 3）),()()(bababa 34(其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)定義定義注注: :. 0)1( aaba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積

16、sin|bac (5).(5).兩向量的向量積兩向量的向量積 bacba的的向向量量積積為為與與向向量量35向量積符合下列運算規(guī)律：向量積符合下列運算規(guī)律：（1）.abba （2 2）.)(cbcacba ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證:ba/ba/或或0 （3）36,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk 向量積的計算公式向量積的計算公式kba

17、bajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 37xyzo0MM 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于一平一平面面，這向量就叫做該平面的法這向量就叫做該平面的法向量向量法向量的特征：法向量的特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM設平面上的任一點為設平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM四四. . 平面與直線的方程平面與直線的方程 1.1.平面的方程平面的方程n38,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法式方程 平面上的點都滿足上面的方程，不在平

18、面上的平面上的點都滿足上面的方程，不在平面上的點點都不滿足上面的方程都不滿足上面的方程其中法向量其中法向量,CBAn 已知點已知點).,(000zyx上面的方程稱為平面的方程上面的方程稱為平面的方程,平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形39xyzo12定義定義: : 空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA此方程組空間直線的一般方程此方程組空間直線的一般方程L2.2.直線的方程直線的方程（1 1）空間直線的一般方程空間直線的一般方程40 xyzo方向向量的定義：方向向量的定

19、義：如果一非零向量平行于一條已知直線如果一非零向量平行于一條已知直線，sL),(0000zyxM0MM,LM ),(zyxM pnmS, ,0000zzyyxxMM 這個向量稱為這條直線的方向向量這個向量稱為這條直線的方向向量. .（2 2）空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程）空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程SMM/041pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程得得42解解所以交點為所以交點為取取 BAs,2, 0, 1所求直線方程所求直線方程.220311zyx求其方程求其方程),0, 3

20、, 0( B垂直相交，），且和，（一直線過點yA231例例1 1垂垂直直相相交交因因為為直直線線和和y43五五. .曲面方程的概念和常用曲面的方程曲面方程的概念和常用曲面的方程1,1,曲面方程的概念曲面方程的概念曲面方程的定義曲面方程的定義：(2)(2)不在曲面不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程上的點的坐標都不滿足方程；(1)(1)曲面曲面上任一點的坐標都滿足方程上任一點的坐標都滿足方程；那么，方程那么，方程就叫做曲面就叫做曲面的方程的方程，0),(zyxF而曲面而曲面就叫做方程的圖形就叫做方程的圖形有下述關系：有下述關系：與三元方程與三元方程如果曲面如果曲面0),( zyxFS442 2，常

21、用的曲面方程，常用的曲面方程1 1，坐標面的方程坐標面的方程坐標面是由坐標軸所確定的平面以坐標面為例坐標面是由坐標軸所確定的平面以坐標面為例 xOy在該平面上任取一點在該平面上任取一點,它的坐標為它的坐標為0,即；反過來即；反過來,z0z0z)0 ,(yxxOy滿足方程滿足方程 的任一組解所對應的點的任一組解所對應的點 在在坐標面上，坐標面上，xOy所以坐標面的方程為所以坐標面的方程為0 z面的方程為面的方程為同樣可以得到同樣可以得到: yOz坐標面的方程為坐標面的方程為zOxx, 0坐標坐標0y45方程方程)0( ccz是過點是過點), 0 , 0(c且平行于且平行于xOy坐標面的平面方程坐

22、標面的平面方程類似地，類似地，球心在點，球心在點),(0000zyx、半徑為、半徑為R的球面的方程的球面的方程 46解解RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 面方程面方程的球的球，半徑為，半徑為建立球心在點建立球心在點RzyxM),(0000例例1 1球面上任意一點，球面上任意一點，設是設是),(zyxM47定義定義: : 平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直移動的直 線線L所形成的曲面稱為柱面. .C定曲線叫柱面的定曲線叫柱面的準

23、線準線動直線叫柱面的動直線叫柱面的母線母線，柱面的方程，柱面的方程48柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面49柱面的特征柱面的特征：（其他類推）（其他類推）12222 czby12222 byaxpzx22 角坐標系中表示母線平行于角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面，軸的柱面，其準線為其準線為 xoy面上的曲線C橢圓柱面橢圓柱面雙曲柱面雙曲柱面拋物柱面拋物柱面在空間直在空間直的方程的方程而缺而缺只含只含, 0),(, yxfzyx50六六. .空間曲線及其在坐標面上的投影空間曲線及其在坐標面上的投影空間曲線C C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.

24、 0),(0),(zyxGzyxF-空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程特點：曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點特點：曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上都在曲線上,不在曲線上的點不能同時滿足兩個方不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程程1.1.空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程51例例1 1 方程組 表示怎樣的曲線樣的曲線? ? 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx表示橢圓表示橢圓. .所以所以52例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線表示怎樣的曲線? ? 4)2(222222ayaxyxaz解

25、解222yxaz 表示上半球面表示上半球面, ,4)2(222ayax表示圓柱面表示圓柱面,它們的交線如圖它們的交線如圖.53 )()()(tzztyytxx-空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程2.2.空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程個點個點時，就得到曲線上的一時，就得到曲線上的一當給定當給定1tt ),(111zyx曲線上的全部點。曲線上的全部點。隨著參數(shù)的變化可得到隨著參數(shù)的變化可得到54經(jīng)過經(jīng)過t t時間，運動到時間，運動到M點點 A MMtax cos tay sin vtz t螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時間取時間t t為參數(shù)為參數(shù)，動點從動點從A點出發(fā)，點出發(fā)，解解xyzo)0 ,(yxMxoyM 面上的投影面上的投影在在上以角速上以角速在圓柱面在圓柱面如果空間一點如果空間一點222ayxM 軸的正方向軸的正方向沿平行于沿平行于度度軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速繞繞度度zvz 構成的圖形叫做構成的圖形叫做都是常數(shù)），那么點都是常數(shù)），那么點、上升（其中上升（其中Mv 方程。方程。螺旋線。試建立其參數(shù)螺旋線。試建立其參數(shù) 例例55 0),(0),(zyxGzyxF設空間曲線的一般方程：設空間曲線的一般方程：空間曲線在空間曲線在 面上的投影曲線面上的投影曲線xoy 00