多元函數(shù)微積分

1、1第第6 6章章 多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分6.16.1空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介. .6.26.2多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué). .6.36.3多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué). .2主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一一. .空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系. .二二. .向量的基本概念及其運(yùn)算向量的基本概念及其運(yùn)算. .三三. .平面與直線的方程平面與直線的方程. .四四. .曲面方程的概念和常用曲面的方程曲面方程的概念和常用曲面的方程. .五五. .空間曲線及其在坐標(biāo)面上的投影空間曲線及其在坐標(biāo)面上的投影. .6.1 6.1 空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介3O 過(guò)空間一個(gè)定點(diǎn)過(guò)空間一個(gè)定點(diǎn)O， y

2、軸(縱軸) z軸(豎軸)(坐標(biāo))原點(diǎn) x軸(橫軸) x 1 y 1 z 1拇指方向四指轉(zhuǎn)向右手規(guī)則作三條互相垂直的軸，作三條互相垂直的軸，它們都以它們都以O(shè)為原點(diǎn)且為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度一般具有相同的長(zhǎng)度單位單位它們的正向通常符合右手它們的正向通常符合右手規(guī)則.這樣的三條坐標(biāo)軸就組成這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系4 三條坐標(biāo)軸中的任意兩三條坐標(biāo)軸中的任意兩條都可以確定一個(gè)平面，條都可以確定一個(gè)平面，坐標(biāo)面：坐標(biāo)面：這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面x軸及軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫做軸所確定的坐標(biāo)面叫

3、做 xOy面，面，另兩個(gè)坐標(biāo)面是另兩個(gè)坐標(biāo)面是 yOz 面、面、zOx面面.xyozxoy面面yoz面面zox面面5O z y x 第一卦限第一卦限卦卦 限：限： 三個(gè)坐標(biāo)面把三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，空間分成八個(gè)部分，每一部分叫做每一部分叫做一個(gè)卦限一個(gè)卦限6O z y x 第二卦限第二卦限卦卦 限：限：7第三卦限第三卦限O z y x 卦卦 限：限：8O z y x 第四卦限第四卦限卦卦 限：限：9O z y x 第五卦限第五卦限卦卦 限：限：10O z y x 第六卦限第六卦限卦卦 限：限：11O z y x 第七卦限第七卦限卦卦 限：限：12O z y x 第八卦限第八卦限卦卦 限

4、限：13二、空間一點(diǎn)的坐標(biāo)：二、空間一點(diǎn)的坐標(biāo)： 設(shè)設(shè) M 為 空 間 一 已 知 點(diǎn) 為 空 間 一 已 知 點(diǎn) O x y z PRx z yMQ過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) M 作三個(gè)平面分別垂直于作三個(gè)平面分別垂直于 x軸軸y 軸和軸和 z 軸，軸， 三個(gè)平面在三個(gè)平面在 x 軸、軸、y軸軸和和 z 軸的交點(diǎn)依次為軸的交點(diǎn)依次為P、Q、R，在在 x 軸、軸、y 軸和軸和 z 軸上的坐標(biāo)依次為軸上的坐標(biāo)依次為x、y、z，我們稱這組數(shù)為點(diǎn)我們稱這組數(shù)為點(diǎn)M的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，并把并把x、y、z分別稱為點(diǎn)分別稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)坐標(biāo)為坐標(biāo)為x、y、z 的點(diǎn)的點(diǎn)M 記為記為M(x，

5、y，z)14xyzo 1MPNQR 2M,222212NMPNPMd 三三、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離),(),(22221111zyxMzyxM設(shè)設(shè)為空間兩點(diǎn)為空間兩點(diǎn),21NMM 在直角在直角PNM1及直角及直角 中中 ,由勾股定理有由勾股定理有: :求求21MM15,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M所以 之間的距離為21MM16 解解 由距離公式，得由距離公式，得 例

6、例1 1 求求 之間的距離之間的距離) 3 , 2 , 1(),0 , 1, 2(21PP22221)03()1(2()2) 1(PP2717向量向量：既有大小，又有方向的量叫做向量：既有大小，又有方向的量叫做向量 在數(shù)學(xué)上，用一條有方向的線段在數(shù)學(xué)上，用一條有方向的線段( (稱為有向線段稱為有向線段) )來(lái)表示來(lái)表示向量有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表向量有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向示向量的方向Fvvvvv 例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量三、向量的基本概念及其運(yùn)算三、向量的基本概念及其運(yùn)算1.1

7、.向量的基本概念向量的基本概念18 以以M1為起點(diǎn)、為起點(diǎn)、M 2為終點(diǎn)的有向線段所表示的向?yàn)榻K點(diǎn)的有向線段所表示的向量，記作量，記作向量的符號(hào)向量的符號(hào)： 向量可用粗體字母表示，也可用上加箭頭書寫體字向量可用粗體字母表示，也可用上加箭頭書寫體字母表示，母表示，例如，例如，b，i，j，k，F(xiàn)， Ox yzM1M 2n，i，j，k21MM19向量的模向量的模：?jiǎn)挝幌蛄繂挝幌蛄浚?模等于模等于0的向量叫做零向量，記作的向量叫做零向量，記作0 零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，它的方向可以看作零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，它的方向可以看作是任意的是任意的 模等于模等于1的向量叫做單位向量的向量叫做單位向量零向量零向

8、量： 向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的模模向量a 、 、 的模分別記為a21MM| a | 、| |、| | a21MM20 由于一切向量的共性是它們都有大小和方向，所由于一切向量的共性是它們都有大小和方向，所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量，并稱這種以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量，并稱這種向量為自由向量，簡(jiǎn)稱向量向量為自由向量，簡(jiǎn)稱向量自由向量自由向量： 如果向量如果向量a和和b的模相等，又互相平行的模相等，又互相平行,且指向相且指向相同同,則說(shuō)向量則說(shuō)向量a和和b是相等的，記為是相等的，記為 a b相等的向量經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合相等的向量經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合21向量平

9、行向量平行： 零向量認(rèn)為是與任何向量都平行零向量認(rèn)為是與任何向量都平行ab 兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反，就稱這兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反，就稱這兩兩個(gè)向量平行向量個(gè)向量平行向量a與與b平行，記作平行，記作a / b22222zyxOM2 2向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算 ( (1).1).向量的長(zhǎng)度向量的長(zhǎng)度OM的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為 已知已知 ,則向量則向量 ),(zyxM23再以再以B為為的和，的和，記作記作 a b ，即即 c a b 設(shè)有兩個(gè)向量設(shè)有兩個(gè)向量 a 與與 b ， 任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)A，作作 a ，AB起點(diǎn)，作起點(diǎn)，作 b，BC那么向量那么向量 c 稱為向量稱為向量 a

10、與與 bAC連接連接AC，bacaABbC這種作出兩向量之和的方法叫三角形法則這種作出兩向量之和的方法叫三角形法則(2).(2).向量的加法向量的加法, ,減法和數(shù)與向量的乘法減法和數(shù)與向量的乘法24平行四邊形法則：平行四邊形法則：AD為邊作一平行四邊形為邊作一平行四邊形ABCD，以以AB、C 連接對(duì)角線連接對(duì)角線AC， 當(dāng)向量當(dāng)向量 a 與與 b 不平行時(shí)，不平行時(shí)，作作 a ， b，ABAD那么向量那么向量AC等于向量等于向量 a 與與 b 的和的和 a b bacaABbD25向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律： (2) )結(jié)合律結(jié)合律(a b) c a (b c)

11、(1)交換律交換律a b b a；由向量加法的交換律與結(jié)合律，可知任意多個(gè)向量由向量加法的交換律與結(jié)合律，可知任意多個(gè)向量加法的法則：加法的法則： 以前一向量的終點(diǎn)作為后一向量的起點(diǎn)，相繼作以前一向量的終點(diǎn)作為后一向量的起點(diǎn)，相繼作向量，再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一向量的終向量，再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量，點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量， 26負(fù)向量：負(fù)向量：向量的減法：向量的減法： 設(shè)設(shè) a 為一向量，與為一向量，與 a 的模相同而方向相反的向量叫的模相同而方向相反的向量叫做做 a 的曲面向量，記為的曲面向量，記為 a 我們規(guī)定兩個(gè)向量我們規(guī)定兩個(gè)向量 b 與與 a 的差

12、為的差為b a b ( a)即把向量即把向量 a 加到向量加到向量 b 上，便得上，便得 b 與與 a 的差的差 b aaaaababbabaa27它的方向當(dāng)它的方向當(dāng) 0時(shí)與時(shí)與 a 相同，相同，當(dāng)當(dāng)0時(shí)，時(shí)，| a| 0，即即 a為零向量，為零向量， 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)1時(shí)，有時(shí)，有1a a，( 1) a a當(dāng)當(dāng) 0時(shí)與時(shí)與 a 相反相反向量向量 a與實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù) 的乘積記作的乘積記作 a ，向量與數(shù)的乘法：向量與數(shù)的乘法： 規(guī)定規(guī)定 a 是一個(gè)向量，它的是一個(gè)向量，它的模模| a| | | a |，28zyx,軸的正方向的單位向量，軸的正方向的單位向量，稱為基本單位向量稱為基本單位向量設(shè)

13、向量設(shè)向量 OM終點(diǎn)的坐標(biāo)為終點(diǎn)的坐標(biāo)為 的始點(diǎn)在原點(diǎn)的始點(diǎn)在原點(diǎn),),(zyx(如圖如圖), 利用向量的加法可得利用向量的加法可得, MMMOOM在在MOP 中，中， MPOPMO而而 OQMP，又，又 ORMM所以得所以得 OROQOPOM(3)(3)向量的坐標(biāo)表示及其加法向量的坐標(biāo)表示及其加法基本單位向量：以基本單位向量：以 分別表示沿分別表示沿kji,OXZYPQRM(x,y,z)M29故故上式稱為向量上式稱為向量的坐標(biāo)表示式的坐標(biāo)表示式OM由數(shù)與向量的乘積定義由數(shù)與向量的乘積定義,得得 kzORjyOQixOP, kzjyixOM30利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行向量的加減和數(shù)乘利用向量的坐標(biāo)進(jìn)

14、行向量的加減和數(shù)乘：則 a x b x ，a y b y ，a z b z a x b x ，a y b y ，a z b z a x ， a y ， a z設(shè)a a x，a y，a z ，b b x，b y，b z ，即a a xi a yj a zk，b b xi b yj b zk， 則ab ( a xi a yj a zk) ( b xi b yj b zk) ( a x b x)i ( a y b y)j (a z b z)kba a( a xi a yj a zk) ( a x)i (a y)j (a z)k31定義定義1 1(4)(4)向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積 cos|baba

15、數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”. baba的數(shù)量積為的數(shù)量積為與與向量向量)(的夾角的夾角與與為為其中其中ba 32注注：0ba.ba , 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba ,ba , 0cos . 0cos| baba證證 ,2 ,2 )()(33數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律交換律：;abba （2 2）分配律分配律：;)(cbcacba （3 3）),()()(bababa 34(其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)定義定義注注: :. 0)1( aaba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積

16、sin|bac (5).(5).兩向量的向量積兩向量的向量積 bacba的的向向量量積積為為與與向向量量35向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）.abba （2 2）.)(cbcacba ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證:ba/ba/或或0 （3）36,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk 向量積的計(jì)算公式向量積的計(jì)算公式kba

17、bajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 37xyzo0MM 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于一平一平面面，這向量就叫做該平面的法這向量就叫做該平面的法向量向量法向量的特征：法向量的特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM四四. . 平面與直線的方程平面與直線的方程 1.1.平面的方程平面的方程n38,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿足上面的方程，不在平

18、面上的平面上的點(diǎn)都滿足上面的方程，不在平面上的點(diǎn)點(diǎn)都不滿足上面的方程都不滿足上面的方程其中法向量其中法向量,CBAn 已知點(diǎn)已知點(diǎn)).,(000zyx上面的方程稱為平面的方程上面的方程稱為平面的方程,平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形39xyzo12定義定義: : 空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA此方程組空間直線的一般方程此方程組空間直線的一般方程L2.2.直線的方程直線的方程（1 1）空間直線的一般方程空間直線的一般方程40 xyzo方向向量的定義：方向向量的定

19、義：如果一非零向量平行于一條已知直線如果一非零向量平行于一條已知直線，sL),(0000zyxM0MM,LM ),(zyxM pnmS, ,0000zzyyxxMM 這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量. .（2 2）空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程）空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程SMM/041pzznyymxx000 直線的對(duì)稱式方程直線的對(duì)稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程得得42解解所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為取取 BAs,2, 0, 1所求直線方程所求直線方程.220311zyx求其方程求其方程),0, 3

20、, 0( B垂直相交，），且和，（一直線過(guò)點(diǎn)yA231例例1 1垂垂直直相相交交因因?yàn)闉橹敝本€線和和y43五五. .曲面方程的概念和常用曲面的方程曲面方程的概念和常用曲面的方程1,1,曲面方程的概念曲面方程的概念曲面方程的定義曲面方程的定義：(2)(2)不在曲面不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程；(1)(1)曲面曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；那么，方程那么，方程就叫做曲面就叫做曲面的方程的方程，0),(zyxF而曲面而曲面就叫做方程的圖形就叫做方程的圖形有下述關(guān)系：有下述關(guān)系：與三元方程與三元方程如果曲面如果曲面0),( zyxFS442 2，常

21、用的曲面方程，常用的曲面方程1 1，坐標(biāo)面的方程坐標(biāo)面的方程坐標(biāo)面是由坐標(biāo)軸所確定的平面以坐標(biāo)面為例坐標(biāo)面是由坐標(biāo)軸所確定的平面以坐標(biāo)面為例 xOy在該平面上任取一點(diǎn)在該平面上任取一點(diǎn),它的坐標(biāo)為它的坐標(biāo)為0,即；反過(guò)來(lái)即；反過(guò)來(lái),z0z0z)0 ,(yxxOy滿足方程滿足方程 的任一組解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的任一組解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 在在坐標(biāo)面上，坐標(biāo)面上，xOy所以坐標(biāo)面的方程為所以坐標(biāo)面的方程為0 z面的方程為面的方程為同樣可以得到同樣可以得到: yOz坐標(biāo)面的方程為坐標(biāo)面的方程為zOxx, 0坐標(biāo)坐標(biāo)0y45方程方程)0( ccz是過(guò)點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)), 0 , 0(c且平行于且平行于xOy坐標(biāo)面的平面方程坐

22、標(biāo)面的平面方程類似地，類似地，球心在點(diǎn)，球心在點(diǎn)),(0000zyx、半徑為、半徑為R的球面的方程的球面的方程 46解解RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222Rzyx 面方程面方程的球的球，半徑為，半徑為建立球心在點(diǎn)建立球心在點(diǎn)RzyxM),(0000例例1 1球面上任意一點(diǎn)，球面上任意一點(diǎn)，設(shè)是設(shè)是),(zyxM47定義定義: : 平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直移動(dòng)的直 線線L所形成的曲面稱為柱面. .C定曲線叫柱面的定曲線叫柱面的準(zhǔn)

23、線準(zhǔn)線動(dòng)直線叫柱面的動(dòng)直線叫柱面的母線母線，柱面的方程，柱面的方程48柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面49柱面的特征柱面的特征：（其他類推）（其他類推）12222 czby12222 byaxpzx22 角坐標(biāo)系中表示母線平行于角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面，軸的柱面，其準(zhǔn)線為其準(zhǔn)線為 xoy面上的曲線C橢圓柱面橢圓柱面雙曲柱面雙曲柱面拋物柱面拋物柱面在空間直在空間直的方程的方程而缺而缺只含只含, 0),(, yxfzyx50六六. .空間曲線及其在坐標(biāo)面上的投影空間曲線及其在坐標(biāo)面上的投影空間曲線C C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.

24、 0),(0),(zyxGzyxF-空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程特點(diǎn)：曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)特點(diǎn)：曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上都在曲線上,不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程程1.1.空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程51例例1 1 方程組 表示怎樣的曲線樣的曲線? ? 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx表示橢圓表示橢圓. .所以所以52例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線表示怎樣的曲線? ? 4)2(222222ayaxyxaz解

25、解222yxaz 表示上半球面表示上半球面, ,4)2(222ayax表示圓柱面表示圓柱面,它們的交線如圖它們的交線如圖.53 )()()(tzztyytxx-空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程2.2.空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)時(shí)，就得到曲線上的一時(shí)，就得到曲線上的一當(dāng)給定當(dāng)給定1tt ),(111zyx曲線上的全部點(diǎn)。曲線上的全部點(diǎn)。隨著參數(shù)的變化可得到隨著參數(shù)的變化可得到54經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)t t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)點(diǎn) A MMtax cos tay sin vtz t螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間取時(shí)間t t為參數(shù)為參數(shù)，動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)出發(fā)，解解xyzo)0 ,(yxMxoyM 面上的投影面上的投影在在上以角速上以角速在圓柱面在圓柱面如果空間一點(diǎn)如果空間一點(diǎn)222ayxM 軸的正方向軸的正方向沿平行于沿平行于度度軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速繞繞度度zvz 構(gòu)成的圖形叫做構(gòu)成的圖形叫做都是常數(shù)），那么點(diǎn)都是常數(shù)），那么點(diǎn)、上升（其中上升（其中Mv 方程。方程。螺旋線。試建立其參數(shù)螺旋線。試建立其參數(shù) 例例55 0),(0),(zyxGzyxF設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：空間曲線在空間曲線在 面上的投影曲線面上的投影曲線xoy 00