第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

1、14.1 穩(wěn)定性基本概念穩(wěn)定性基本概念4.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義 4.3 李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法4.4 李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法4.5 線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法第四章第四章 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論李雅普諾夫穩(wěn)定性理論4.6構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一些方法構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一些方法21.正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普諾夫意義穩(wěn)正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普諾夫意義穩(wěn)定性概念。定性概念。2.熟練掌握李氏第一法熟練掌握李氏第一法,李氏第二法。李氏第二法。3.掌握線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析和離散系統(tǒng)漸近掌握線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析和離散

2、系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析方法。穩(wěn)定性分析方法。重點(diǎn)內(nèi)容：重點(diǎn)內(nèi)容： 李雅普諾夫第一、第二法的主要定義與定理，李雅普諾夫第一、第二法的主要定義與定理，李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造。李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造。線性定常系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理與判別線性定常系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理與判別李雅普諾夫方程，漸近穩(wěn)定性的分析與判別。李雅普諾夫方程，漸近穩(wěn)定性的分析與判別。3v研究的目的和意義研究的目的和意義:穩(wěn)定性是自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性是自動(dòng)控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是一個(gè)重要特征。正常工作的必要條件，是一個(gè)重要特征。v要求：要求：在受到外界擾動(dòng)后，雖然其原平衡在受到外界擾動(dòng)后，雖然其原平衡狀態(tài)被打破，但在擾動(dòng)消失后，仍

3、然能恢狀態(tài)被打破，但在擾動(dòng)消失后，仍然能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡狀態(tài)繼續(xù)工作。狀態(tài)繼續(xù)工作。v穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：系統(tǒng)在受到小的外界擾動(dòng)后，系系統(tǒng)在受到小的外界擾動(dòng)后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用無(wú)統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用無(wú)關(guān)。關(guān)。4v經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數(shù)判據(jù)，代數(shù)判據(jù)，奈魁斯特判據(jù)，對(duì)數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù)奈魁斯特判據(jù)，對(duì)數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù)v非線性系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)：相平面法相平面法(適用于一，二階非線適用于一，二階非線性系統(tǒng)性系統(tǒng))5v1892年，俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)年，俄國(guó)學(xué)者李雅普諾

4、夫提出的穩(wěn)定性定理采用了狀態(tài)向量來(lái)描述，適用定性定理采用了狀態(tài)向量來(lái)描述，適用于單變量，線性，非線性，定常，時(shí)變，于單變量，線性，非線性，定常，時(shí)變，多變量等系統(tǒng)。多變量等系統(tǒng)。v應(yīng)用：自適應(yīng)控制，最優(yōu)控制，非線性應(yīng)用：自適應(yīng)控制，最優(yōu)控制，非線性控制等。控制等。6主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：v李氏第一法（間接法）：李氏第一法（間接法）：求解特征方程求解特征方程 的特征值的特征值v李氏第二法（直接法）：李氏第二法（直接法）：利用經(jīng)驗(yàn)和技利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來(lái)構(gòu)造李氏函數(shù)巧來(lái)構(gòu)造李氏函數(shù)74.1 穩(wěn)定性基本概念穩(wěn)定性基本概念 1.自治系統(tǒng)：自治系統(tǒng)：輸入為輸入為0的系統(tǒng)的系統(tǒng) =Ax+Bu(u=0) 2.初態(tài)

5、初態(tài) =f(x,t)的解為的解為 初態(tài)初態(tài) 3.平衡狀態(tài)：平衡狀態(tài)： 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)系統(tǒng)的平衡狀態(tài) a.線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) A非奇異：非奇異： A奇異：奇異： 有無(wú)窮多個(gè)有無(wú)窮多個(gè)x x 00( ;, )x t x t0000),(xtxtx0),(txfxeeexAxx nRx00eexAx 0eAxex8b.非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 可能有多個(gè)可能有多個(gè) 例例4-1: 令令 0),(txfxeex3221211xxxxxx01x 02x 001ex102ex103ex94.孤立的平衡狀態(tài)：孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分在某一平衡狀態(tài)的充分小的鄰域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。小的鄰域內(nèi)不存在別的平

6、衡狀態(tài)。 對(duì)于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)膶?duì)于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，把它變換到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。坐標(biāo)變換，把它變換到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。104.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義 1.李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定如果對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)如果對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù) 都對(duì)應(yīng)存在另一都對(duì)應(yīng)存在另一個(gè)實(shí)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù) 滿足滿足00),(0t),(00txxe的任意初始態(tài)的任意初始態(tài) 出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡0 x00( ;, )x t x t，在，在 都滿足：都滿足：t11000( ;, ) , ex t x txtt則稱則稱 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的

7、。時(shí)變：時(shí)變： 與與 有關(guān)有關(guān) 定常系統(tǒng)：定常系統(tǒng)： 與與 無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)， 是一致穩(wěn)定的。是一致穩(wěn)定的。注意：注意： 向量范數(shù)向量范數(shù)(表示空間距離表示空間距離) 歐幾里得范數(shù)。歐幾里得范數(shù)。exex0t0t 212021100)()(neneexxxxxx122.漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定1）是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定）是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定2） 一致漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定3.大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定性大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定性對(duì)對(duì) 都有都有00lim( ;, )0etx t x tx無(wú)關(guān)與0t)(0sx 00lim( ;, )0etx t x tx13x ( ),s 大范圍穩(wěn)定exex初始條件擴(kuò)展到整個(gè)空間，且是漸近穩(wěn)

8、定性。初始條件擴(kuò)展到整個(gè)空間，且是漸近穩(wěn)定性。v線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)(嚴(yán)格嚴(yán)格)：如果它是漸近穩(wěn)定的，必如果它是漸近穩(wěn)定的，必 是有大范圍漸近穩(wěn)定性是有大范圍漸近穩(wěn)定性(線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初 始條件的大小無(wú)關(guān)始條件的大小無(wú)關(guān))。v非線性系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)：只能在小范圍一致穩(wěn)定，由狀只能在小范圍一致穩(wěn)定，由狀 態(tài)空間出發(fā)的軌跡都收斂態(tài)空間出發(fā)的軌跡都收斂 或其附近?；蚱涓浇?4v當(dāng)當(dāng) 與與 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) 大范圍一致漸近穩(wěn)定。大范圍一致漸近穩(wěn)定。v必要條件：必要條件：在整個(gè)狀態(tài)空間中只有一個(gè)平在整個(gè)狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡狀態(tài)衡狀態(tài) 4. 不穩(wěn)定性：不穩(wěn)定性：不管不管 ， 有多小，只要有多小

9、，只要 內(nèi)由內(nèi)由 出發(fā)的軌跡超出出發(fā)的軌跡超出 以外，則稱此以外，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。0tex)(s0 x)(s15 線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定 表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。 非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定 只說(shuō)明軌跡離只說(shuō)明軌跡離開(kāi)了開(kāi)了S( ），這說(shuō)明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。然而），這說(shuō)明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。然而卻不能說(shuō)明軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，這是因?yàn)檐墔s不能說(shuō)明軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，這是因?yàn)檐壽E還可能趨于在跡還可能趨于在S( ）外的某個(gè)極限環(huán)）外的某個(gè)極限環(huán),若存在若存在極限環(huán)，則系統(tǒng)仍是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。極限環(huán)，則

10、系統(tǒng)仍是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。16圖圖4.1（a）穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡）穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡（b）漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡）漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡（c）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡174.3 李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法（間接法）（間接法） 利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。1. 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)：1）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定的充要條件：）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定的充要條件： 2）漸近穩(wěn)定的充要條件：）漸近穩(wěn)定的充要條件：Axx 0)0(xx0tRe

11、()0ini, 2 , 10)Re(i ni, 2 , 13）不穩(wěn)定的充要條件：）不穩(wěn)定的充要條件：0)Re(i 182.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展開(kāi)成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，可用線性化系統(tǒng)的特征值開(kāi)成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，可用線性化系統(tǒng)的特征值判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。性。 設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程：設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程： 在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 附近存在各階偏導(dǎo)附近存在各階偏導(dǎo)數(shù)，于是：數(shù)，于是： )(xfx )(xf-非線性函數(shù)非線性函數(shù)0ex19()()( )eeeTx xfxf xx

12、xg xx其中：其中：)(xg-級(jí)數(shù)展開(kāi)式中二階以上各項(xiàng)之和級(jí)數(shù)展開(kāi)式中二階以上各項(xiàng)之和nnnnnTxfxfxfxfxfxfxf211211120v上式為向量函數(shù)的上式為向量函數(shù)的雅可比矩陣雅可比矩陣。 令令 則線性化系統(tǒng)方程為：則線性化系統(tǒng)方程為： Tnffff21Tnxxxx21()exxf x exxxexxTxfAxA x 21結(jié)論：結(jié)論：1) 若若 ，則非線性系，則非線性系統(tǒng)在統(tǒng)在 處是處是漸近穩(wěn)定的漸近穩(wěn)定的，與，與 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。2) 若若 , 則非線性系統(tǒng)則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定不穩(wěn)定。3) 若若 ，穩(wěn)定性與穩(wěn)定性與 有關(guān)，有關(guān)， 則是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。則是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定

13、。 Re()0ini, 2 , 1ex)(xgRe()0iRe()0jnji, 1,Re()0i)(xg0)(xg22例例4-2：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：2111xxxx2122xxxx試分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。試分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。解：解：令令0021xxTeTexx1100212111xxxf2122xxxf23121211,1xxfxxf1222121,xxfxxfTex00110010, 02212211121xxxfxfxfxfA241,10) 1)(1(100121AI可見(jiàn)非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)可見(jiàn)非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe1處不穩(wěn)定。處

14、不穩(wěn)定。0110112AxTejAI120111不能確定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)不能確定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe2處穩(wěn)定性。處穩(wěn)定性。254.4 李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法(直接法直接法)v4.4.1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)26 27 28 5.V(x)不定不定: v(x) 0或或V(x)0 則則 V(x) 是不定的。是不定的。12( )V xx x如：如：29302.如果如果P是奇異矩陣，且它的所有主子行列式均非負(fù)，則是奇異矩陣，且它的所有主子行列式均非負(fù)，則PxxxVT)(是正半定的。是正半定的。3.如果如果矩陣矩陣P的的奇數(shù)階奇數(shù)階主子行列式為主子行列式為負(fù)負(fù)值，值，偶數(shù)階偶數(shù)階主子行列式為

15、正值，則主子行列式為正值，則是是負(fù)負(fù)定的。定的。 PxxxVT)(0) 1( , 0) 1(, 0) 1(21222211121122211211211nnnnnnnpppppppppppppp即即: 3132v4.4.2 幾個(gè)穩(wěn)定性定理幾個(gè)穩(wěn)定性定理 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程： 其平衡狀態(tài)滿足其平衡狀態(tài)滿足 ，假定狀假定狀態(tài)空間原點(diǎn)態(tài)空間原點(diǎn)作為平衡狀態(tài)作為平衡狀態(tài)( )，并設(shè)在原，并設(shè)在原點(diǎn)鄰域存在點(diǎn)鄰域存在 對(duì)對(duì) x 的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。),(txfx 0), 0(tf0ex),(txV33v定理定理1：若若(1) 正定；正定； (2) 負(fù)定；負(fù)定； 則原點(diǎn)是漸

16、近穩(wěn)定的。則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。 說(shuō)明：說(shuō)明： 負(fù)定負(fù)定 能量隨時(shí)間連續(xù)單調(diào)能量隨時(shí)間連續(xù)單調(diào)衰減。衰減。定理定理2：若若(1) 正定；正定； (2) 負(fù)半定；負(fù)半定； (3) 在非零狀態(tài)不在非零狀態(tài)不恒為零，恒為零，則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。),(txV),(.txV),(.txV),(txV),(.txV.0 ( ;, ), V x t x t t34說(shuō)明：不存在說(shuō)明：不存在 ， 經(jīng)歷能量等于恒定，但不維持在該狀態(tài)。經(jīng)歷能量等于恒定，但不維持在該狀態(tài)。 v定理定理3：若若(1) 正定；正定； (2) 負(fù)半定；負(fù)半定； (3) 在非零狀態(tài)在非零狀態(tài) 恒為零；恒為零；則原點(diǎn)是李雅普

17、諾夫意義下穩(wěn)定則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。的。 0),(.txV00( ;, )0 x t x t),(txV),(.txV.0 ( ;, ), V x t x t t35說(shuō)明：說(shuō)明： 系統(tǒng)維持等系統(tǒng)維持等能量水平運(yùn)動(dòng)，使能量水平運(yùn)動(dòng)，使 維持在非零維持在非零狀態(tài)而不運(yùn)行至原點(diǎn)。狀態(tài)而不運(yùn)行至原點(diǎn)。v定理定理4：若若(1) 正定；正定； (2) 正定正定 則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。說(shuō)明：說(shuō)明： 正定正定 能量函數(shù)隨時(shí)間增能量函數(shù)隨時(shí)間增大，大， 在在 處發(fā)散。處發(fā)散。0),(txV0 x00( ;, )x t x t),(txV),(txV),(txV00( ;, )x t x

18、tex36v推論推論1：當(dāng)當(dāng) 正定，正定， 正半定，正半定，且且 在非零狀態(tài)不恒為零時(shí)在非零狀態(tài)不恒為零時(shí),則原點(diǎn)不穩(wěn)定。則原點(diǎn)不穩(wěn)定。v推論推論2： 正定，正定， 負(fù)半定，若負(fù)半定，若 ， ，則原點(diǎn)是李雅普諾夫，則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定意義下穩(wěn)定(同定理同定理3)。),(txV),(txV.0 ( ;, ), V x t x t t),(txV),(txV0 x0),(txV37幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：1) 選取不唯一，但沒(méi)有通用辦法，選取不唯一，但沒(méi)有通用辦法， 選取不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致選取不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致 不定的結(jié)果。不定的結(jié)果。2) 這僅僅是充分條件。這僅僅是充分條件。 -單調(diào)衰減單調(diào)衰減(實(shí)際上

19、是衰減振蕩實(shí)際上是衰減振蕩),(txV),(txV),(txV),(txV38選取李雅普諾夫函數(shù)的方法選取李雅普諾夫函數(shù)的方法:構(gòu)造一個(gè)構(gòu)造一個(gè) 二次型函數(shù)；二次型函數(shù)；1)求求 ，并代入狀態(tài)方程；，并代入狀態(tài)方程；2)判斷判斷 的定號(hào)性；的定號(hào)性；3)判斷非零情況下，判斷非零情況下， 是否為零。是否為零。),(txV),(txV),(txV.0 ( ;, ), V x t x t t漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定李氏穩(wěn)定李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定PxxxVT)(39v令令 若若 成立成立 李氏意義下穩(wěn)定李氏意義下穩(wěn)定 若僅若僅 成立成立 漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定 0),(txV0),(txV0),(txV0,x 0,x

20、 若若 負(fù)半定負(fù)半定V40例例4-3：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。解：解：)(2221121xxxxx)(2221212xxxxx令令01x 02x 01x02x原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)41 設(shè)設(shè)則則2221)(xxxV221122)(xxxxxV22221)(2)(xxxV0)( 0.xVx)(.xV負(fù)定負(fù)定1)原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的；原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的；2)只有一個(gè)平衡狀態(tài)，該系統(tǒng)是大范圍漸只有一個(gè)平衡狀態(tài)，該系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定；近穩(wěn)定；3)由于由于V(x)與與t無(wú)關(guān)，又是大范圍一致漸近無(wú)關(guān)

21、，又是大范圍一致漸近穩(wěn)定。穩(wěn)定。定理定理1x2)(xxV0)(0 xVx42v幾何意義：幾何意義：)()(22212221ccxxxV等能量軌跡等能量軌跡(整個(gè)平面整個(gè)平面)1c2c),(2010 xx2x1x)(xV表示狀態(tài)表示狀態(tài)x到狀態(tài)空間原點(diǎn)距離的一種度量。到狀態(tài)空間原點(diǎn)距離的一種度量。 0)(txV0)( tx如果原點(diǎn)與瞬時(shí)狀態(tài)如果原點(diǎn)與瞬時(shí)狀態(tài)x(t)之間的距離隨之間的距離隨t的增加而連續(xù)的增加而連續(xù)地減?。吹販p?。矗瑒t），則最終最終 。 43例例4-4：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定

22、性。解：解：21xx 22212)1 (xxxx令令01x 02x 01x02x原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)44 設(shè)設(shè)則則2221)(xxxV22222211)1 (222)(xxxxxxxV)(xV負(fù)半定負(fù)半定0)(00)(0 xVxxVx反設(shè)反設(shè)0)(xV0, 0000) 1 (212212xxxxxx代入狀態(tài)方程任意及 只有平衡狀態(tài)只有平衡狀態(tài) 滿足滿足021 xx0)(xV451, 0011)2(112212xxxxxx代入狀態(tài)方程任意及這個(gè)結(jié)果是相矛盾的。所以這種情況不會(huì)這個(gè)結(jié)果是相矛盾的。所以這種情況不會(huì)發(fā)生在狀態(tài)方程的解運(yùn)動(dòng)軌跡上。發(fā)生在狀態(tài)方程的解運(yùn)動(dòng)軌跡上。綜合以上分析可

23、知綜合以上分析可知,0)( xVx2)(xxV系統(tǒng)在平衡狀態(tài)系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe=0處是大范圍漸近穩(wěn)定的。處是大范圍漸近穩(wěn)定的。46例例4-5：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。性。解：解：1) 21xx 212xxx令令02x 01x02x01x 即原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。即原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。2221)(xxxV222)(xxV設(shè)設(shè)47則：則：0)( 0 , 0.21xVxx0)( .xV)(.xV其它其它負(fù)半定負(fù)半定令令0)(.xV01x02x只有全零解只有全零解0 x非零狀態(tài)時(shí)非零狀態(tài)時(shí)0)(.xV原點(diǎn)原點(diǎn) 是漸近穩(wěn)定，且是大范圍是漸近穩(wěn)定，且是大范圍一致漸近穩(wěn)定

24、。一致漸近穩(wěn)定。0ex定理定理248例例4-6：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。性。解：解：設(shè)設(shè) 則則 故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。 )0( 21kkxx 12xx 021 xx 021 xx原點(diǎn)是平衡狀態(tài)原點(diǎn)是平衡狀態(tài)2221)(kxxxV定理3022)(2121xkxxkxxV49例例4-7：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解解: 即即 設(shè)設(shè) 則則 可見(jiàn)可見(jiàn) 與與 無(wú)關(guān)，故非零狀態(tài)無(wú)關(guān)，故非零狀態(tài)(如如 )有有 ，而對(duì)其余任意狀態(tài)，而對(duì)其余任意狀態(tài) 有有21221 xxxxx

25、0 21 xx0 21 xx0ex2221)(xxxV222)(xxV)(xV1x01x02x0)(xV0)(xV50 故故 正半定。正半定。 令令 即非零狀態(tài)時(shí)，即非零狀態(tài)時(shí)， 不恒為零，則原點(diǎn)不穩(wěn)定不恒為零，則原點(diǎn)不穩(wěn)定即即系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。)(.xV0, 00)(12.xxxV)(.xV推論推論1514.5 線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法1. 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 為唯一平衡狀態(tài)。為唯一平衡狀態(tài)。 設(shè)選取如下的正定二次型函數(shù)設(shè)選取如下的正定二次型函數(shù) 為李氏函數(shù)為李氏函數(shù) 則：則：Axx A-非奇異矩陣非奇異矩陣0ex)(xV( )TV x

26、x Px將將 代入：代入：Axx xPAPAxxPxPxxxVTTTT)()(線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別52 令令 由漸近穩(wěn)定性定理由漸近穩(wěn)定性定理1，只要，只要Q正定正定(即即 負(fù)負(fù)定定)，則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定。，則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定。定理：定理：系統(tǒng)系統(tǒng) 大范圍漸近穩(wěn)定的充要條大范圍漸近穩(wěn)定的充要條 件為件為: 給定一正定實(shí)對(duì)稱矩陣給定一正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，存在唯一，存在唯一的正定實(shí)對(duì)稱矩陣的正定實(shí)對(duì)稱矩陣P使使 成立，成立，則則 為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。數(shù)。 TA PPAQ QxxxVT)()(xVAxx TA PP

27、AQ ( )Tx PxV x53方法方法1： 給定正定給定正定Q P的定號(hào)性的定號(hào)性 Q單位陣單位陣 P的定號(hào)性的定號(hào)性方法方法2：Q取正半定取正半定(定理定理2)允許單位矩陣主對(duì)允許單位矩陣主對(duì) 角線上部分元素為零。角線上部分元素為零。 54例例4-8：解：選取解：選取xx11100ex( )TV xx PxTA PPAQ 1001111011102212121122121211PPPPPPPP551212 p0221211ppp1222212 pp121212322121211pppp2311p2112p122p5602311p0121212322121211ppppP正定正定 是大范圍一

28、致漸近穩(wěn)定是大范圍一致漸近穩(wěn)定ex)()(2221xxxV)223(21)(222121xxxxPxxxVT李雅普諾夫函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)為 :且且573x2x1xu1sK21ss1例例4-9: 試用李雅普諾夫方程確定下圖所示系統(tǒng)試用李雅普諾夫方程確定下圖所示系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的漸近穩(wěn)定的K值范圍。值范圍。58解解 容易推得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為容易推得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:uKxxxKxxx0010120010321321 在確定在確定K的穩(wěn)定范圍時(shí)，假設(shè)輸入的穩(wěn)定范圍時(shí)，假設(shè)輸入u為零。為零。 于是上式可寫(xiě)為于是上式可寫(xiě)為:)1 .4(21xx ) 2 . 4(2322xxx)3 . 4(313xKxx由

29、式由式(4.1）到（）到（4.3）可知，原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。）可知，原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。假設(shè)取正半定的實(shí)對(duì)稱矩陣假設(shè)取正半定的實(shí)對(duì)稱矩陣Q為為:59100000000Q由于除原點(diǎn)外由于除原點(diǎn)外( )V xx QxT 不恒等于零，不恒等于零，因此可選上式的因此可選上式的Q。為了證實(shí)這一點(diǎn)，注意為了證實(shí)這一點(diǎn)，注意)(,)(23xVxQxxxVT0000)(213xxxxV取取于是于是( )V x只在原點(diǎn)處才恒等于零。只在原點(diǎn)處才恒等于零。 為負(fù)半定。為負(fù)半定。因此可選擇正半定因此可選擇正半定Q用于用于Lyapunov方程。方程。 60現(xiàn)在求解如下現(xiàn)在求解如下Lyapunov方程方程:QPAPAT1000

30、000001012001011002100332313232212131211332313232212131211KppppppppppppppppppK 對(duì)對(duì)P的各元素求解，可得的各元素求解，可得: 61KKKKKKKKKKKKKKKP212621202122123212602126212122為使為使P成為正定矩陣，其充要條件為成為正定矩陣，其充要條件為:0212K0K和和即即 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。也就是說(shuō)，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。也就是說(shuō)，原點(diǎn)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。原點(diǎn)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 60 K622. 線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方

31、程： 其中其中 -非奇異陣，非奇異陣， 是平衡狀態(tài)。是平衡狀態(tài)。 設(shè)設(shè))() 1(kxkx0ex ( )( )( )TV x kxk Px k63 ( ) (1) ( )(1)(1)( )( )( )( )( )( )( ) ( )TTTTTTV x kV x kV x kxkPx kxk Px kx kPx kxk Px kxkPP x k 令令TPPQ 李氏代數(shù)方程李氏代數(shù)方程)()()(kQxkxkxVT64定理：定理：系統(tǒng)系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的漸近穩(wěn)定的 充要條件為：充要條件為： 給定任一正定實(shí)對(duì)稱矩陣給定任一正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，存在一個(gè)正定實(shí)對(duì)，存在一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣稱矩陣P，使式，使式 成立，成立， 則則 是系統(tǒng)的一個(gè)李氏函數(shù)。是系統(tǒng)的一個(gè)李氏函數(shù)。 可取可取i. Q=Iii.如果如果 且且 可取可取Q為正半定陣。為正半定陣。)() 1(kxkxTPPQ ( )( )Txk Px k0V00 xV654.6構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一些方法構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一些方法克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法給出了非線性系統(tǒng)給出了非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充分條件充分條件。 克拉索夫斯基定理克拉索夫斯基定理: 考慮如下非