在經(jīng)典力學中借助守恒量可以使運動方程的求解大為簡化ppt課件

1、量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系 在經(jīng)典力學中在經(jīng)典力學中, 借助守恒量借助守恒量, 可以使運動方可以使運動方程的求解大為簡化程的求解大為簡化.前言前言經(jīng)典力學中的守恒量與對稱性：經(jīng)典力學中的守恒量與對稱性：1空間平移不變性空間平移不變性 動量守恒動量守恒.2空間轉(zhuǎn)動不變性空間轉(zhuǎn)動不變性 角動量守恒角動量守恒.3時間平移不變性時間平移不變性 能量守恒能量守恒.4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱

2、 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系 與經(jīng)典力學相比與經(jīng)典力學相比, 量子力學關(guān)于對稱性的量子力學關(guān)于對稱性的研討研討, 大大豐富了對體系的認識大大豐富了對體系的認識.思索某種線性變換思索某種線性變換 Q存在逆變換存在逆變換 Q-1,不依賴不依賴于時間于時間 設(shè)體系的形狀用設(shè)體系的形狀用 描畫描畫. 的演化遵守的演化遵守Schrdinger方程方程iHt 1Q 2量子力學中的守恒量與對稱性量子力學中的守恒量與對稱性量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系 體系對于變換的不變性表現(xiàn)為體系對于變換的不變性表現(xiàn)為 與與 遵守一遵守一樣方式

3、的運動方程，即要求樣方式的運動方程，即要求 也遵守也遵守Schrdinger方程方程.與方程與方程 比較，要求比較，要求 ，或表示成，或表示成 11Q HQH這就是體系在變換這就是體系在變換Q下的不變性的數(shù)學表達下的不變性的數(shù)學表達.1iQ HQt 3,0Q H 4用用 Q-1 運算，得運算，得量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系 凡滿足式凡滿足式(4)的變換的變換,稱為體系的對稱性變換稱為體系的對稱性變換.物物理學中的體系的對稱性變換，總構(gòu)成一個群，稱為理學中的體系的對稱性變換，總構(gòu)成一個群，稱為體系的對稱性群體系

4、的對稱性群symmetry group.Q那么那么 應(yīng)為幺正算符，即應(yīng)為幺正算符，即,QQQ Q 5QQQ QI 6思索到概率守恒，要求思索到概率守恒，要求量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系對于延續(xù)變換對于延續(xù)變換, 可以思索無窮小變換可以思索無窮小變換, 令令iQIFiiQ QIFIF2iIFFOIFF0 , 是描寫無窮小變換的實參量是描寫無窮小變換的實參量.并要求并要求量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系 在上式中在上式中, F 為厄

5、米算符為厄米算符, 稱為變換稱為變換 Q 的無窮的無窮小算符小算符 (infinitesimal operator) . 按式按式 (4) 要求要求,體系在體系在 Q 變換下的不變性變換下的不變性 , 即即 運用到無窮小變換運用到無窮小變換, 就導致就導致,0,Q H ,0F H F 就是體系的一個守恒量.可以用可以用F 來定義與來定義與 Q 變換相聯(lián)絡(luò)的一個可觀丈量變換相聯(lián)絡(luò)的一個可觀丈量.量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系平移不變性與動量守恒平移不變性與動量守恒顯然顯然即即 Dxxx 9D 7 xx 8 思索體

6、系沿思索體系沿x方向的無窮小平移，方向的無窮小平移，描畫體系形狀的波函數(shù)描畫體系形狀的波函數(shù) ，變化如下：，變化如下： ,xxxx量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系在上式中，把在上式中，把 換為換為 ，那么有，那么有xxxx Dxxxxxx所以體系平移所以體系平移 的算符可表示為的算符可表示為x式中式中expexpi/xDxxx px11ixpx12就是相應(yīng)的無窮小算符就是相應(yīng)的無窮小算符,也就是動量算符的也就是動量算符的x分量分量.10 expxxx量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒

7、恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系 對于三維空間的無窮小平移對于三維空間的無窮小平移 那么那么 ,rrrr式中式中i p14expDrir p13,0H p15即動量算符即動量算符.此即動量守恒的條件此即動量守恒的條件.設(shè)體系對于平移具有不變性，設(shè)體系對于平移具有不變性， 運用到運用到無窮小平移無窮小平移, 那么有那么有 ,0,D H 1 i,D r p量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒三維空間中繞某方向三維空間中繞某方向 單位矢的無窮小旋轉(zhuǎn)單位矢的無窮小旋轉(zhuǎn)n在此變換下，標量波函數(shù)變化如下：在此變換下，標量波函數(shù)變化如下：即即rrrrr rn r1716 Rrrr19 ,R rr18量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的的 關(guān)關(guān) 系系所以所以 Rrrrrn rexpexpR nn rn rp21expexpinrnn l無窮小旋轉(zhuǎn)無窮小旋轉(zhuǎn) 的變換表示為的變換表示為 n rn rr20 expn rr量子力學教程量子力學教程(第二版第二版)4.4 4.4 守守 恒恒 量量 與與 對對 稱稱 性性 的