2022年青海省高考數(shù)學總復習：立體幾何（附答案解析）

1、2022年青海省高考數(shù)學總復習：立體幾何1 .如圖，EA_L平面ABC,AB1.BC,AB=4,BC=BD=3,AC=AD,CD=3>/2.(1)證明：BO平面4CE.(2)若幾何體EABC。的體積為10,求三棱錐E-ABC的側面積.2 .如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面A8CD為矩形，SAD為等腰直角三角形，SA=SO=2近，AB=2,F是BC的中點，二面角S-AD-8的大小等于120。.(1)在AZ)匕是否存在點E,使得平面SEFL平面ABCD,若存在，求出點E的位置:若不存在，請說明理由；(2)求直線SA與平面SBC所成角的正弦值.3 .如圖，三棱錐E-BC。中，EC。為正二角形

2、，平面£。_1_平面8CO,BC=DC=*BD=2,M,N分別是線段和8。的中點.(I)求點C到平面BDE的距離；(II)求直線EN與平面MCE所成角的正弦值.4 .如圖，在三棱柱48C-4BC1中，平面AMCC，平面ABC,ABC和AiAC都是正三角形，。是A8的中點(1)求證：BCi平面4CC：(2)求直線AB與平面。CG所成角的正切值.5 .如圖，在等腰直角三角形AOP中，已知A=*,AD=3,B,C分別是AP,OP上的點,E是CO的中點，且BCAD現(xiàn)將尸8c沿8C折起，使得點尸在平面ABC。上的射影為點4.(1)若B,C分別是AP、OP的中點，求證：平面以C_L平面PCD(2

3、)請判斷是否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCO所成角的余弦值是直線PB與平面見E所成角的正弦值的等倍？若存在，求出48的長；若不存在，請說明理由.6 .在直三棱柱ABC-481cl中，ZBAC=90°,AC=4B=A4=2,設點M,N,P分別是AB,BC,BiCi的中點.(I)證明：AAi平面PMN；(ID若。為AAi上的動點，試判斷三棱錐P-QMN的體積是否為定值？并說明理由.A M B一17 .在多面體ABCCM向中，四邊形ABB14為菱形，BC/BC,BC=BC,AiCi=AA,ABLBiC,ZBiBA=60°,平面A8B14_L平面ABC.(1)在棱AB上是否

4、存在點O,使得AB_L平面BiOC?若存在，請給予證明；若不存在,請說明理由.(2)求二面角C-AC-B的正弦值.瓦/7AC8 .在四棱錐P-ABC。中，側面用O_L底面A8CD,PA=AD=DC=6,AC=6近,AB=3,CD平面B4B,ZB4D=6O°.(I)求證：平面PCC平面PBC；(II)求二面角P-BC-D的余弦值.9 .如圖，己知四棱錐5-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面SAOL平面ABCD,M,N分別為棱A。，BC的中點，SA=SD,SA±SD,P,Q為側棱SD上的三等分點(點P靠近點S).(1)求證：PN平面MQC；(2)求多面體MPQCN的體積.

5、10 .如圖，四邊形M48c中，ABC是等腰直角三角形，AC1BC,4c是邊長為2的正三角形，以AC為折痕，將4c向上折疊到QAC的位置，使點。在平面ABC內(nèi)的射影在AB上，再將MAC向下折疊到EAC的位置，使平面平面A8C,形成幾何體DABCE.(1)點尸在BC上，若。尸平面E4C,求點尸的位置;(2)求宜線A8與平面EBC所成角的余弦值.11 .如圖，直三棱柱BC尸中，。為EH的中點，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=2.(I)求證：AFLBH；(II)求平面ADC與平面ABC所成角的余弦值.12 .在如圖所示的幾何體中，四邊形A8CO是菱形，N8A£>=120&#

6、176;,平面A8C£),AE/CF.(1)求證：OF平面ABE；(2)若AO=AE=2C尸=2,求該幾何體的表面積.13 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，必。是等邊三角形，平面平面ABCD,底面ABCQ是直角梯形，AD/BC,已知AO=28C=4,ZBAD=60°.(I)若E為以的中點，求證：BE平面PCQ；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.14 .已知在平行四邊形ABCC中，AO=2,AB=V3,ZADC=如圖，DE/CF,且。EO=3.CF=4,ZDCF=且平面A8CQ_L平面CQEF.(I)求證：AC,平面CDEF；(II)求二面角D-AE-C的余弦值.15 .

7、如圖，已知四棱錐P-4BCD中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=®ZADC=60°.(1)求證：BPLCD-,(2)若8P=&,求直線PC與平面RIC所成角的正弦值.16 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，用。是等邊三角形，平面出。_L平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，AD/BC,已知AD=2BC=4,ZBAD=60°.(I)若E為抬的中點，求證：BE平面PCD；(II)求四棱錐P-ABCD的體積.17 .如圖，在直三棱柱ABC-4iBiCi中，AB=BC=AAi,AB1.BC,。為A8的中點，E為BC上一點，滿足CE=2EB.(

8、1)求證：AiC平面BiDE；(2)求二面角Bi-AtC-Ci的余弦值.18 .已知在平行四邊形ABCC中，AO=2,AB=V3,ZADC=如圖，DE/CF,且。EO=3,CF=4,ZDCF=且平面48CQ_L平面CQEF.(I)求證：ACJ_平面CDEF；(Il)求四棱錐F-ABC。的體積.19 .如圖所示，在四棱錐E-ABCC中，四邊形4BCC是直角梯形，AB=4E=BC=%£)=1,BC/AD,AEJ_平面ABC。，NBAD=90°,N為。E的中點.(1)求證：NC平面EAB；(2)求二面角A-CN-D的余弦值.20 .如圖，在多面體48coEF中，四邊形ABC。、四

9、邊形4CFE均為菱形，ZBAD=ZEAC=120°.(1)求證：平面平面ACFEx(2)若8E=DE,求二面角C-8F-E的余弦值.21 .如圖所示，在三棱錐ABCC中，AB=BC=BD=2,AD=23,NCBA=NCBD=多點E,尸分別為AC,8。的中點.(1)求證：平面4C£)_L平面BCE；(II)求四面體CCEF的體積.22 .如圖，在棱長為3的正方體中，過頂點功作平面a交A4i于E點，交BBi于F點,使得A1E=1,BF=1.(1)求證：AC平面a；(II)求點。到平面a的距離.23 .己知ABC,AB=BC,NC8A=60°,沿著邊C8把AABC進行翻

10、折，使平面ABC與平面DBC垂直，Q8C可由aABC翻折得到.回答下列問題.(I)直線AC與平面A8D所成角的余弦值；(II)二面角A-80-C的余弦值.24 .如圖，四棱錐P-A8C。，底面四邊形ABC。為梯形，且滿足AO=1,AB=CO=3,BC=4且AOBC,設平面陽£與平面P8C的交線為/.(I)求/與平面PDC所成的角；(II)已知9=1,求平面朋5與平面PDC所成的銳二面角的余弦值.25 .如圖，在三棱臺ABC-A'B'C'中，已知平面ABB'A'，平面ABC,AC±BC,ZCBA=£四邊形AM'4

11、9;是等腰梯形，AB=2A'B'=2BB',E,尸分別為AB,A'6C'的中點.(1)求證：£F±AC；(2)求直線E尸與平面ACC'A'所成角的正弦值.26 .如圖，A8C為正三角形，半圓。以線段8c為直徑，。是船上的動點(不包括點8,C),平面ABC1平面BCD(1)是否存在點£>,使得BO_LAC?若存在，求出點。的位置；若不存在，請說明理由.(2)若NC8O=30°,求二面角O-A。-C的余弦值.27 .如圖，ZXA8C是正三角形，D,E,F分別是線段A8,BC,AC的中點，現(xiàn)將AOF

12、和CEF分別沿著OF,EF折起，使得A,C兩點在尸點重合，得到四棱錐尸-8EFD.(1)證明：平面PBF_L平面BEFDx(2)設正三角形ABC的邊長為4,求三棱錐尸-尸8E的體積.28 .如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面ABC。為正方形，以。為等邊三角形，平面理。_L平面PCD.(I)證明：直線CD,平面公。；(H)若48=2,。為線段P8的中點，求三棱錐Q-FCD的體積.29 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD/BC,ADLAB,并且8c=2AD=24B=2,PM=號,點P在平面ABCD內(nèi)的投影恰為BD的中點M.(1)證明：8尸，平面PCD；(II)求點A到平面PCD的距離.30 .如

13、圖，在四棱錐產(chǎn)T8C。中，已知附_L平面A8CD,且四邊形ABC。為直角梯形，ZTTABC=ZBAD=,AD=2,AB=BC=.(1)當四棱錐P-ABCD的體積為1時，求異面直線AC與PD所成角的大??；(2)求證：C£>_L平面用C.ZCBD=,31 .如圖所不，在三棱錐A-BCD中，AB=BC=BD=2,4。=26，ZCBA點，產(chǎn)分別為AD,8。的中點.(I)求證：EF平面A8C；(II)求平面3CE與平面ACF所成銳二面角的余弦值.32 .如圖，在四棱錐P-ABC。中，AD/BC,ADLAB,并且8c=2AO=2A8,點P在平面ABCD內(nèi)的投影恰為BD的中點M.(I)證明：

14、。上平面/。；(II)若PM=AD,求直線用與8所成角的余弦值.33 .如圖，在三棱錐尸-4BC中，肉，底面4?C,A8C是邊長為2的正三角形，側棱PB7T與底面所成的角為4(1)求三棱錐P-ABC的體積V；(2)若。為PB的中點，求異面直線以與CQ所成角的大小.34 .如圖I,在三棱柱48C-4B1G中，已知AB_LAC,AB=AC=,AAi=2,且411_1平面ABC,過4,。，B三點作平面截此三棱柱，截得一個三棱錐和一個四棱錐（如圖2）.（1）求異面直線8。與A41所成角的大小（結果用反三角函數(shù)表示）；（2）求四棱錐8-ACG4的體積和表面積.35.如圖，在矩形A8CO中，將AC3沿對角

15、線AC折起，使點。到達點E的位置，且AE±BE.(1)求證：平面A8EJ_平面ABC；(2)若8c=3,三棱錐8-AEC的體積為4R求點E到平面ABC的距離.36 .如圖，在直三棱柱ABC-AiBCi中，ABC是正三角形，點。在棱8囪上，且3叢3B1D,點E為31C的中點.(1)證明：平面4QE_L平面8CG81；(2)若B8i=3&,A8=2,求點C到平面AiDE的距離.37 .如圖所示，在宜三棱柱ABC-AiB。中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,CA=CB=CCj=2.點D,功分別是棱AC,Ai。的中點.(1)求證：D,B,Bi，Di四點共面；(2)求

16、直線BC與平面DBBD所成用的大小.38 .如圖，在四棱錐5-A8CD中，底面ABCD是等腰梯形,A8CD,CD=2AB=4,AD=事),SCD是等腰直角三角形，SC=SD,&4=3.(I)證明：平面SC£>J_平面4BCQ；(II)若平面SAD與平面SCB的交線為I,求二面角C7-D的余弦值.39 .如圖，在矩形A8cD中，將AC。沿對角線AC折起，使點。到達點E的位置，且AE±BE.(1)求證：平面ABEL平面ABC；(2)若E8=，三棱錐8-AEC的體積為學，求二面角E-AC-8的余弦值.40 .如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，P,Q分別是A4i，

17、CB上一點，且4P=2以i，CQ=2QB.(1)證明：AQ平面CPB；(2)若三棱柱ABC-481cl為直三棱柱，且A4=3,BC=BA=V15,AC=2V3,求點B到平面CPB的距離.41 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2,PDL平面ABC。，PB與底面A8C。所成的角為45°,過AQ的平面分別與PB,PC交于點E，F(xiàn).(I)求證：EFLDCx2a/2PE(II)若二面角P-AD-E所成角的余弦值為二一，求的值.3EB42 .在四棱柱ABCD-4B1CQ1中，四邊形ABCD是平行四邊形，AAi=AC=l,ZABC=30°,BC=2,平面A83

18、1Al，平面A3CD,M,N分別為AC，A3的中點.(I)求證：MN平面AiBCi；(II)若cos/AiC8=求二面角C-MN-D的余弦值.華43 .如圖所示，三棱柱ABC-4出1。中，平面ACCMi，平面ABC,AAilAC,AAi=AB=BC=2,D,Di分別為AC,4。的中點，且/8AC=30°.(I)求證：DDilBC；(JI)求二面角Bi-DA-Ci的余弦值.44 .如圖，四棱錐P-A8CO的底面為正方形，PC=PA=-PD=V5AD.E,尸分別是外,尸。的中點.(1)證明：EEL平面PCD；(II)求二面角A-CE-F的余弦值.45 .如圖，在四棱錐P-A8CO中，等邊

19、三角形以。所在平面與梯形ABC。所在平面垂直,且CD/AB,AD=BD=2,DC=AB=VL點G為叢PAD的重心，AC與BD交于點M.(1)求證：GM平面(2)求點C到平面PBD的距離.46 .如圖，直三棱柱AiBCi-ABC中，A8=AC=1,/.BAC=A|A=4,點M為線段A|A的中點.<1）求直三棱柱AiBCi-4BC的體積：（2）求異面直線8M與81cl所成的角的大小.（結果用反三角表示）47.如圖，已知直角梯形ABCD,BC/AD,BC=CD=2,AD-4,NBCD=90°,點E為AD的中點，現(xiàn)將三角形ABE沿BE折疊，得到四棱錐A：BCDE,其中ZA'ED

20、=120°,點M為AZ)的中點.(1)求證：47J平面EMC；(2)若點/V為8c的中點，求四面體A7WNB的體積.48.如圖，在三棱錐P-ABC中，A8C為正三角形，點D,E分別為AC,附的中點，其中PA=PB=4y/2,PC=AC=4.(1)證明：平面B£)E_L平面A8C；V6(2)若點F是線段AC上異于點D的一點，直線AE與平面BEF所成角的正弦值為:4求空的值.49.如圖，在四棱錐P-488中，四邊形ABCO是梯形，AB/CD,ABLBC,且以=P£>=BC=CD=1,AB=2,PC=V3.(1)證明：平面用。；(2)求直線AD與平面BBC所成角的

21、正弦值.50.在四棱錐P-ABC。中，PA=PC=2,底面A8C£>是菱形，AB=2y3,NA8C=60°.(I)求證：AC±PB；(II)求四棱錐P-ABCD的體積.2022年青海省高考數(shù)學總復習：立體幾何參考答案與試題解析1.如圖，EA_L平面ABC,ABLBC,AB=4,BC=BD=3,AC=AD,CD=372.(1)證明：8。平面ACE.(2)若幾何體EA8CC的體積為10,求三棱錐E-ABC的側面積.【解答】解：(1)證明：<BC=BD,AC=AD,AB=AB,：./ABC/ABD,'JABLBC,C.AB1.BD,'：AB=

22、4,BC=BD=3,AC=AD,CD=3五.：.BIJ+BC2=CD2,:.BD1BC."：ABDBC=B,二8。_1平面ABC,：EA_L平面ABC,J.EA/BD,平面ACE,AEu平面ACE,.BD平面ACE.(2)解：.ABC的面積S=/x3x4=6,幾何體E48CO的體積為10,，幾何體EABCD的體積為：1 1 =S(EA+8。)=1x6x(E4+3)=10,解得EA=2, £4_L平面ABC,：.BCA.AE,又45_L5C,AEHAB=A9 8C_L平面A8E,LBCLBE, 三棱錐E-ABC的側面積為：S=Saabe+S八bc什Smec111=2x48x4

23、E+2xBExBC+2xACx4E=2X4x2+aX>J22+42x3+之xV424-32x2第51頁共115頁=4+3V5+5=9+3V5.D2 .如圖，在四棱錐S-A8CD中，底面ABC。為矩形，SAO為等腰直角三角形，SA=SD=2V2,AB=2,尸是BC的中點，二面角S-A3-8的大小等于120°.(1)在AO上是否存在點E,使得平面SERL平面A8CQ,若存在，求出點E的位置；若不存在，請說明理由；(2)求直線SA與平面SBC所成角的正弦值.【解答】解：(1)在線段4。上存在點E滿足題意，且E為A3的中點.如圖，連接EF,SE,SF,/四邊形ABCD是矩形，：.ABL

24、AD,又E、尸分別是40、8C的中點，J.EF/AB,ADLEF,；SAO為等腰直角三角形，SA=SD,E為AO的中點，C.SEVAD,；SECEF=E,SE、EFu平面SEF,；.AO_L平面SEF,：A£)u平面A8CO,二平面SEr_1_平面ABCD,故AD上存在中點E,使得平面SEFL平面ABCD.(2)由(1)知，SEYAD,EF±AD,./5即為二面角5-4。-8的平面角，即NSEF=12(T.以E為原點，EA.EF所在的直線分別為x、y軸，作EzJ_平面ABCD,建立如圖所示的空間直角坐標系，在等腰RtASAO中，SA=SD=2V2,；.AO=4,SE=2,：

25、.S(0,-1,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),TTT：.SA=(2,1,-V3),SB=(2,3,-V3),SC=(-2,3,-V3),設平面SBC的法向量為蔡=(x,y,z),貝明，“二。，即2"+3y一絲=0,令y=l,則x=0,z=V3.,.n=(0,1,V3).設直線SA與平面SBC所成角為e,T_.tSA-n13y2貝Isin9=|cos<SA,n>=|=|,-1=丁，SAnV4+1+3X24bVz故直線SA與平面SBC所成角的正弦值為二.43 .如圖，三棱錐E-BCD中，EC£>為正三角形，平面ECD_L平面B

26、CD,BC=DC=BD=2,M,N分別是線段EC和8。的中點.(I)求點C到平面BOE的距離；(11)求直線EN與平面MCB所成角的正弦值.【解答】解：()：平面ECC_L平面8CC,且ECC為正三角形，8=2,二點E到平面BCD的距離為百，：BC=DC=辱BD=2,：ABCD是等腰直角三角形,1Sxbcd-DC=2.在BOE中，BE=BD=2V2,DE=2,SBDE=2X2Xy/7=V7.設C到平面BDE的距離為d,*：Ve-BCD=Vc-BDE，x3x2=/xdxV7.解得d=2y,.2V21故點C到平面BDE的距離為.(II)以C為原點，CD、CB所在的直線分別為x、y軸，作Cz_L平面

27、88,建立如圖所示的空間直角坐標系，3V3-則8(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,),E(1,0,b)，N(1,221, 0),>t3,31：.EN=(0,1,-V3),CM=(-,0,),CB=(0,2,0),22T31.?=0,即尹+丁2=0,n-CB=0(2y=0令x=l,則y=0,z=-V3,：.n=(1,0,-V3),設直線EN與平面MBC所成角為。，-»EN-n2a則sinB=|cosVEN,n>|=|=5-5=7,EN-n'故直線EN與平面MBC所成角的正弦值為2.44.如圖，在三棱柱A8C-Ai8i。中，平面A1ACC

28、，平面ABC,ABC和AiAC都是正三角形，。是AB的中點(1)求證：8。平面AiOC；(2)求宜線48與平面QCCi所成角的正切值.【解答】(1)證明：連接ACi，交4C于E,連接。E,四邊形AiACCi是平行四邊形，是AG的中點，是A8的中點，：.DE/BC,'：QEu平面A1DC,8。平面AiDC,.BCi平面4£)C.(2)解：取AC的中點O,連接40,BO,'.,ABC和AiAC都是正三角形，.'.AiO±AC,BO±AC,平面4AC。J_平面ABC,平面AiACCiO平面ABC=AC,.401.平面ABC,：.AOLBO,以O為

29、原點，OB、OC.OA所在宜線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設AC=2,則A(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(,0),Ci(0,2,V3),i、V33、-J35廣.'.AB=(V3.1.0),CD=(,2»0),DC1=(V3).設平面DCCi的法向量為7 = (x, y,),則匕。=。.71 1 = 0fx-|y = O一當x + |y + V3z = 0令x=3,則y=V5,z=-1,：.n=(3,V3,-1),_ttAB,71設直線48與平面DCC所成的角為仇則sinO=|cos<AB,n>=1=|=1=MB|-|

30、n|2x79+3+125/3再，/.tan0=25/3,故直線AB與平面OCCi所成角的正切值為2V15.如圖，在等腰直角三角形AOP中，已知AD=3,B,C分別是AP,DP上的點,E是CO的中點，且8CAD現(xiàn)將P8C沿BC折起，使得點P在平面ABCC上的射影為點、A.P(1)若B,C分別是AP、OP的中點，求證：平面力CJ_平面尸CD(2)請判斷是否存在一種折法，使得宜線PB與平面ABCO所成角的余弦值是直線PB與平面B4E所成角的正弦值的等倍？若存在，求出A8的長；若不存在，請說明理由.【解答】(1)證明：點P在平面48CC上的射影為點A,二布_£平面48。，；CCu平面ABC。

31、，J.PAA.CD,：等腰RtAADP,且C為OP的中點，：.ACA.CD,'：PAHAC=A,PA,ACu平面HC,.,.CO_L平面PAC,又CDu平面PC。，平面B4C_L平面PCDD(2)解：平面 ABC3,ZABP為直線PB與平面ABCD所成的角，設其大小為a,則cosa=麗,過點8作8M_LAE,交4E于點M,連接尸M,出J_平面ABC。，.".PA1.BM,又AEC必=A,AE,B4u平面B4E,平面PAE,.NBPM為直線尸8與平面所成的角，設其大小為0,則sin0=器,.直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB與平面以E所成角的正弦值的七倍,.*.co

32、sa=-|sinp.BPAB=,設A8=f(0<r<3),則BM=三/,DE=cD=PD=43V26，bZ設/A8M=NOAE=e,在AAOE中，由正弦定理知,DEADsinLDAE sinAED區(qū) c2sindt(6-t)5' / = fV2t2-12t+36V26337r，sin(學6)7TVsin2e+cos20=l,.ft06(0,-),2AfAcos0=.=,J2t2-i2t+36DK4t(6-t).BM=7'J2t2-i2t+36又BM=彘，化簡整理得，2尸+，-3=0,解得r=l或一|(舍負),故當AB=l時，直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線

33、PB與平面PAE所成角的正弦值的七倍.6.在直三棱柱ABC-481cl中，ZBAC=90°,AC=AB=AA=2,設點M,N,P分別是AB,BC,BiCi的中點.(I)證明：AAi平面PMN；(H)若。為A4上的動點，試判斷三棱錐P-QMN的體積是否為定值？并說明理由.【解答】(I)證明：點M,N,P分別是48,BC,81。的中點，PNCCi，又,.A4CG，：.AA/PN,41c平面PMN,PNu平面PMN,平面PMN；(II)解：如圖，連接AN,AP,根據(jù)等體積法可知，Vp-qmn=Yq-pmn,由(I)可知，A4i平面PMM又Q為AAi上的動點，Vq-pmn=Va-pmn=Vp

34、-amn>S&AMN=X1X1=2,111即Vp-QMN=Vq-PMN=Va-PMN=Vp-AMN=2x2X2=3.若。為A4上的動點，則三棱錐P-QMN的體積定值點17.在多面體4BCCM向中，四邊形AB814為菱形，BC/BC,BC=BC,AC=AA,AB1.BC,ZBiBA=60°,平面48B141平面ABC.(1)在棱A8上是否存在點O,使得AS,平面8iOC?若存在，請給予證明；若不存在,第58頁共115頁請說明理由.(2)求二面角Ci-AC-B的正弦值.C【解答】解：(1)在棱A8上存在點O(O為棱AB的中點)，使得ABJ平面BiOC.理由如下：連接481，

35、.,四邊形AB81Al為菱形，且NBiBA=60°,是等邊三角形，又。為AB的中點，：.BiOLAB,'：ABLBC,BO(BC=B,8|。匚平面8|。(7,BiCu平面8|OC,平面BiOC.(2)由(I)知，AB_L平面BiOC,J.AB1OC,又平面A8B14_L平面ABC,平面ABBAQ平面ABC=AB,.00_平面433|4,OClBiO,以O為坐標原點，OB,OC,OBi所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，取81cl的中點E,連接4E.CE,由題意知幾何體A8C-4B1E是三棱柱，取AB中點D,連接DE,則豺C，設A4i=2,則O(0,0,0),A(-1,

36、0,0),C(0,1,0),B(0,0,V3),Ai(-2,0,V3),>»TT.OG=0B1+B14+A1G=OBX+2OA+2OC=(0,0,V3)+2(-1,0,0)+2(0,1, 0)=(-2,2,V3),Cl(-2.2,V3),AC=(1,1,0),4G=(-1,2,V3),設平面AC。的法向量”=(x,y,z),則佇.號=x+y=o，取e,褊=(i,-i,遮)，(m4cl=t+2y+V3z=0平面ABC的一個法向量£=(0,0,1),設二面角。-AC-8的平面角為3則cos0=呼叫=sin0=J1一(烏2=|m|-|n|V51店5/10二面角。-人(7-8

37、的正弦值為不一.8.在四棱錐P-ABC。中，側面以O_L底面4BCZ),PA=AD=DC=6,AC=6近，AB=3,CQ平面以8,ZB4D=60°.(I)求證：平面PCCJ平面PBC；(II)求二面角P-BC-D的余弦值.【解答】解：(I)證明："：AD=DC=6,AC=6V2,：.AD2+DC2=AC2,：.AD±DC,側面布3"L底面ABC。，側面以OC底面ABCD=AD,.C£)_L平面以。，TPOu平面以。，:.CDLPD,取PC和QC的中點分別為M和M連接MN,BM,則MNP。，:.CD工MN,'：CD/平面PAB,CD/平面

38、A8CO,平面PABn平面ABCD=AB,J.CD/AB,:AB=ND=3,：.四邊形ABND為平行四邊形,：.BN/AD,：.CD±BN,:BNCMN=N,:.CD_L平面BMN,：BMu平面BMN,：.CDLBM,.C£)_L平面B4。，且辦u平面以£),：.ABrPA,即以8為直角三角形，PB=依+32=3遍,:PB=BC,且M是PC的中點，PCIBM,'：PCHCD=C,平面PC。，BMu平面PBC,平面PCD_L平面PBC.(II)在心。中，'：PA=AD=6,/必0=60°,，以。為等邊三角形，尸。=6,取4。的中點O,連接P

39、O,：.PO±AD,且PO=V62-32=373,:平面以£)1.平面ABC。，平面用OCI平面A8C£)=A£>,，POJ_平面A8CC,過點P作尸”LBC,交BC于點、H,連接O”,則NPbO即為三面角尸-BC-O的平面角,:PD=CD=6,CDLPD,PDC為等腰直角三角形,PC=!CD2+PD2=V62+62=6V2,2 - (3V2)2 =3>/3,由(I)11PB=BC=3y5,M為PC的中點，：.BMLPC,在RtABA/C中，BM=y/BC2-MC2=11在PBC中，S&pbc=2xBMxPC=PH-BC,解得PH=m

40、,./D"PO373/10則sm/PHO=丁,：Rt尸HO中，NPHO為銳角,.*.cos/PHO=乎,V6二面角p-bc-d的余弦值為p9.如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面平面ABCD,M,N分別為棱A。，8C的中點，SA=SD,SAA.SD,P,。為側棱SO上的三等分點(點P靠近點S).(1)求證：尸N平面MQC；(2)求多面體MPQCN的體積.BNC【解答】證明：(1)如圖，連接N。交CM于點R,連接QR,在正方形ABCC中，-：M,N分別為AO,8c的中點，.四邊形MNC。為矩形,得R為NQ的中點，又Q為PD的中點、，：.PNQR,.PN平面MQC

41、-,解：（2）連接SM,為AO的中點，SA=SD,SA1.SD,J.SMYAD,且SAf=±AO=l,又平面SAOJ_平面ABCD,平面SAQC平面ABCD=AD,；.SM_L平面A8CD. P-MNC-9 =1X-3XZ- XIX 一2 X -3 -M J -3 X -3 平血SADL平面ABCD,平面SADQ平面ABCD=AD,CD1AD, CO_L平面SAD又在RtZSMQ中，SD=y12SM=V2,SP=PQ=QD,:.S'PQM=Sasmd，Vpqm=3apqmxCD=可xSasmdxCD=3X3X2XXX .多面體MPQCN的體積V=Vp_MNC+Vc-PQM=i

42、+J=1.10 .如圖，四邊形MABC中，ZVIBC是等腰宜角三角形，ACLBC,ZM4c是邊長為2的正三角形，以AC為折痕，將MAC向上折疊到O4C的位置，使點。在平面48c內(nèi)的射影在AB上，再將M4C向下折疊到E4C的位置，使平面EAC1平面ABC,形成幾何體DABCE.(1)點尸在BC上，若OF平面E4C,求點尸的位置；(2)求宜線48與平面EBC所成角的余弦值.【解答】解：(1)點尸為8C的中點,理由如下：設點O在平面A8C內(nèi)的射影為0,連接0£>,OC,；AD=CD,：.OA=OC,.在RtZXABC中，。為48的中點,取AC的中點，連接EH,由題意知E”_L4C,又

43、平面E4C_L平面ABC,平面E4CC平面48C=AC,平面ABC,由題意知CO_L平面A8C,：.DO/EH,二。平面E4C,取BC的中點凡連接。凡則。尸AC,又。咋平面E4C,ACu平面E4C,平面E4C,'.'DOOOFO,平面OO/平面£AC,:。尸u平面DOF,：.DF/平面EAC.(2)連接。，由(1)可知。凡0H,。兩兩垂直,以O為坐標原點，OF,OH,OO所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系,則B(1,-1,0),A(-1,1,0),E(0,1,-V3),C(1,1,0),>»»：.AB=(2,-2,0),B

44、C=(0,2,0),BE=(-1,2,一百),設平面EBC的法向量蔡=(a,b,c),'T>BCn=2b=0，取a=百，則£=(百，0,-1),BE-n=-a+2bV3c=0設直線與平面EBC所成的角為0,則向。=磊=恚邛直線AB與平面EBC所成角的余弦值為cos0=J1一（乎下=學.11 .如圖，直三棱柱BCF-AHE中，。為£7/的中點，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=2.（I）求證：AFLBH-,（II）求平面4OC與平面48c所成角的余弦值.【解答】解：(I)證明：由三棱柱BCF-A/7E是直三棱柱，得CFLEF,'：BFLCF,BF

45、HEF=F,CF_L平面AB尸E,'：CF/HE,/.HflYffiABFE,：.HE±AF,'：AB=BF,AB_LBF,平行四邊形A8FE是正方形，：.AF±BE,又HERBE=E,，4尸,平面/平面HEB,：.AF±BH.(II)以E為坐標原點，EA,EF,E4為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,在RtZO”C中，為的中點，11:.DE=EH=CF=1,則A(2,0,0),C(0,2,2),D(0,0,1),B(2,2,0),：.AC=(-2,2,0),/ID=(-2,0,1),AB=(0,2,0),設平面48c的法向量益=(x,y,z),L

46、T則竺=-2x+2y=0,取尸,得就=(1,0,1),m-AB=2y=0設平面ADC的法向量n=(mb,c),(TT則？”=_2a+2b+2c=0,取c=2,得建(1,-1,2),UiAD=-2a+c=0>>».t、m-n3V3cos<m，n>=-；=7=-5-,|m|n|v2x/62由圖知平面ADC和平面ABC所成角為鈍角，平面40c與平面ABC所成角的余弦值為一空.x,ABCD, AE12.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCC是菱形，ZBAD=120°/CF.(1)求證：。尸平面ABE；(2)若4O=4E=2CF=2,求該幾何體的表面積.E【解答

47、】解：(1)證明：因為AECF,CFC平面4BE,所以CF平面ABE,因為四邊形A8CC是菱形，所以CD/AB,由于CDC平面A8E,所以CO平面A8E,又CFCCD=C,所以平面CDF平面ABE,又OFu平面CDF,所以CF平面ABE.(2)由AECF,知A,C,F,E四點共面，連接AC,于是該幾何體是由兩個相同的四棱錐8-AC尸E,O-ACFE構成的，11-1由題意知，Saabe=2x2x2=2,Saabc=x2x2xsin60°=v3,Sabcf=)x2x1=1,在8EF中，EF=V5,BE=2y/2,BF=V5,Sme尸|X272xV3=V6,所以該幾何體的表面積為2X(Sa

48、be+Sabc+Sbcf+S/bef=6+2V3+2>/6.13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，XPAD是等邊三角形，平面力。，平面ABCD,底面第67頁共115頁ABC。是直角梯形，AD/BC,已知AO=2BC=4,ZBAD=60°.(I)若E為限的中點，求證：8E平面PC。：(II)求二面角B-PC-D的正弦值.A【解答】解：(I)證明：如圖，取PD的中點F,連接EF,CF,則EF/AD,且EF=AD,由條件可知，BC/AD,且8。=基。，J.EF/BC,MEF=BC,二四邊形BCEF為平行四邊形，J.BE/CF,又BEC平面尸CC,CFu平面PCD,.8E平面PCD；(I

49、I)如圖，取AO的中點。，連接。8,0P,則OB=0P=2V3,由條件可得OA,0B,0P三條宜線兩兩垂直，故以點O為坐標原點，分別以OA,OB,OP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則B(0,2V3,0),P(0,0,2V3),C(-2,2V3,0),D(-2,0,0),：.PC=(-2,2百，-2V3),BC=(-2,0,0),CD=(0,-273,0),設平面P8C的一個法向量為rA=(a,b,c),則弓,呼=-2。+2c=0,則-BC=-2a=0可取m=(0,1,1),同理可得平面PCO的一個法向量為7=(遮，0,1),r設二面角3-PC-。的大小為。，則cosOn,n&

50、gt;=，=，=|m|n|V2x2/14 .已知在平行四邊形ABCQ中，AD=2,AB=V3,ZADC=如圖，DE/CF,且。Eo=3,CF=4,ZDCF=且平面48col.平面CQEF.(I)求證：AC_L平面CDEF；(11)求二面角D-AE-C的余弦值.【解答】解：(I)證明：在平行四邊形ABCO中，CD=AB=6AD=2,AADC=,o/n由余弦定理可得AC2=AO，C-2ADCD-cosZADC=4+3-2x2xV3x=1,：.AC2+CD2=AD2,.".ACA.CD,又：平面ABC。_L平面CDEF,平面ABCDd平面CDEF=CD,ACu平面A8C£),平面

51、CDEF；(11)如圖以點C為坐標原點，CD,CF,C4所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則點C(0,0,0),4(0,0,1),D(V3,0,0),E(遮，3,0),TT設平面4OE的一個法向量為m=(a,b,c),DE=(0,3,0),DA=(-V3,0,1),則c=O'則可取薪=(1，。，V3),TTT設平面ACE的一個法向量為n=(x,y,z),AC=(0,0,-1),CE=(V3,3,0),則信：+°3b=。，則可取i。)，設平面ADE與平面ACE所成的二面角為0,貝iJcosS=孚之=/=卓，|m|n|2x24.二面角。-心C的余弦值為不x15 .

52、如圖，已知四棱錐P-ABC。中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=V3,ZADC=60°.(1)求證：BPLCD-,(2)若BP=a，求直線PC與平面外。所成角的正弦值.【解答】(1)證明：取8尸的中點E,連接CE、DE、BD,BC,:BC=PC,：.CELBP,'：AD=2BC=2,ZADC=60°,：.CD=,BD=V3,又ADEIBP,:CECDE=E,CE、OEu平面CQE,.8P_L平面CQE,：COu平面CDE,：.BPLCD.(2)解：過C作enLAO于凡連接尸凡'AD/BC,：.CFLBC,:BP=a,BC=PC=1,：

53、.BC2+PC2=BP2,HPBCYPC,又CFCPC=C,CF,尸Cu平面PC/,.8CJL平面PCF,平面PCF,.人。<=平面外。，平面D_L平面PC/,過點C作CGLP尸于點G,平面布0n平面PCF=PF,；.CG_L平面以£>,ZCPF即為直線PC與平面PAD所成的角,在RtZC£尸中，ZCDF=60°,CD=,：.CF=,DF=,在RtAPC尸中，PD=V3,DF=1,：.PF=22r>2zxixn 5，在PCF中，由余弦定理知，cos/CPF=0C.提樂.：.sinZCPF=V1-cos2/.CPF=等a/22故直線PC與平面PAD

54、所成的角的正弦值為不-.16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，雨。是等邊三角形，平面aZXL平面ABCD,底面ABC。是直角梯形，AD/BC,已知AO=2BC=4,ZBAD=60°.(I)若E為外的中點，求證：BE平面尸CZ)；(II)求四棱錐P-ABCD的體積.【解答】證明：(I)如圖，取的中點F,連接E凡CF,貝IJE/AO,且所=4£>,由已知可得BCAO,且BC=%。，尸8c且EF=BC,得四邊形8CEF為平行四邊形，WOBE/CF,又BEC平面PC。，CFu平面PCD,二8£；平面PCD；解：(H)如圖，取A£)的中點。，連接PO,OB,O

55、C,平面以O_L平面ABC。，出。是等邊三角形，./>。_1平面486'。，得尸0=2百，08=2百，又；底面ABCC是直角梯形，AD/BC,AD=2BC=4,'-Sabcd=1X(2+4)X2V3=6V3,11:.V四棱錐p-ABCD=qS梯形abcdXP°=4X6V3x2V3=12.17.如圖，在直三棱柱ABC-Ai81cl中，AB=BC=AAi，ABLBC,。為AB的中點，E為8c上一點，滿足CE=2EB.(1)求證：AiC平面BiDE；(2)求二面角B-AC-C的余弦值.【解答】解：(1)連接4B交810于點F,連接EF,'：AB/AB,：.AAiFBisABFD,又。為48的中點，.BFBD1AF2°：CE=2EB,.空_BE市一0：.AC/EF,.'AiCC平面BiDE,EFu平面BDE,，A1C平面BiDE；(2)由題可知，BA,BC,B81兩兩互相垂宜，以8為坐標原點，BA,BC,BBi所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直