初中數(shù)學奧林匹克訓練題

1、智浪教育普惠英才文庫初中數(shù)學奧林匹克訓練題第一試一、選擇題(每小題7分，共42分)1.已知m、n是兩個連續(xù)正整數(shù)，mADCE(C)SBC，且A=2B.若三角形的三邊長為整數(shù)，面積也為整數(shù)，求ABC面積的最小值.二、(25分)已知G是ABC內任一點，BG、CG分別交AC、AB于點E、F.求使不等式SBGFSCGEkS2ABC恒成立的k的最小值.三、(25分)已知(x+)(y+)=1.求證:x+y=0.初中數(shù)學奧林匹克訓練題參考答案第一試 一、1.C.x=n+m=m+m+1=2m+1，y=n-m=1.所以，x、y都是奇數(shù).2.B.因為=(b2+c2-a2)2-4b2c2=(b2+c2-a2+2bc

2、)(b2+c2-a2-2bc)=(b+c)2-a2(b-c)2-a2=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a).記p= (a+b+c)，所以，=2p2(p-a)2(p-c)-2(p-b)=-16p(p-a)(p-b)(p-c).由海倫公式知S2=p(p-a)(p-b)(p-c).故=-16S2.3.B. 4.A.設BC=a，CA=b，AB=c.由題意知AD+AC=BC+CE= (a+b+c).故AD= (a+c-b)，CE= (b+c-a).則ADCE= (a+c-b)(b+c-a)= c2-(a-b)2=(c2-a2-b2)+12ab.由ACB=90，知a2+b2=c2，S=

3、ab.于是，ADCE=S.5.C.由題意知只能是PABPCA.則有PA/PC=PB/PA=AB/AC=8/6=4/3.故PB=PA，PB=PC+BC=PC+7，PA=PC.又PA2=PBPC PC=9.6.D. 輔助線如圖.由題意知OA2=OE2+AE2.設AB=2x，則AE=x. 于是，R2=2x-(R-2r)2+x2.化簡得5x2-4(R-2r)x+4(r2-Rr)=0.要使AB為有理數(shù)，只要x為有理數(shù)，也即方程的=-4(R-2r)2-454(r2-Rr)=16(R2+Rr-r2)為完全平方式，也即只需R2+Rr-r2為完全平方式.經(jīng)驗證知，只有選項(D)符合題意.二、1.-7.令A=，B

4、=2+2.由已知有+=-1，=-1.故B=(+)2-2=1+2=3. A+B=)=(3+3)(1/+1/)=-4.由式、得A=-4-3=-7.2.1 009 020.注意到aibi=(ai+bi)2-(ai-bi)2，ai+bi=(1+2 008)1 004/1 004=2 009.要使aibi的值最大，須ai-bi的值最小，而ai-bi的最小值為1，此時ai+bi=2 009，ai-bi=1.于是，ai=1 005，bi=1 004，此時，aibi的最大值為1 0051 004=1 009 020.3.60.記BC=a，CA=b，AB=c.由內角平分線定理知BD= ，CD=，BF=，CE=.

5、由BD+BF=CD+CE，.去分母并化簡得a2c+2ac2+2bc2+c3=a2b+2ab2+2b2c+b3，即 (c-b)(a2+2ac+2ab+b2+c2+3bc)=0.顯然a2+2ac+2ab+2bc+b2+c2+bc=(a+b+c)2+bc0.于是，c-b=0，即b=c. 同理，當CD+CE=AE+AF時，有c=a.所以，a=b=c，ABC為等邊三角形.故BAC=60.4.命題、可分別給出如下反例:命題:如圖5(a)中的四邊形ABCD，其中，ABDCDE.命題:如圖5(b)，作等腰ADE，延長底邊ED到任意點O，以O為對角線的交點可作出 ABCE，而此時四邊形ABCD滿足條件AD=(A

6、E=)BC，且AO=CO，但不是平行四邊形.命題:如圖5(c)中的四邊形ABCD，其中，A、C是BD垂直平分線上的任意兩點.圖5以下證明命題是正確的.如圖5(d)，已知BAD=DCB，且OB=OD.以點O為中心，將ABD逆時針旋轉180.因為OB=OD，所以，點D與B重合， 點B與D重合，點A與射線OC上某點A1重合.如果A1不是C，則BA1DBCD(A1在線段OC內部)或BA1DBC，知abc，即mnm2n2-m2.故mn1，即m +1.設ABC的面積為S，由海倫公式知S=n(n+m)(n-m).由式知m3.又由式容易驗證:當3m7時，只有m=5時，n=6， =8(有理數(shù))，此時，S=146

7、1118=132.下證當m8，n9時，S162.由式、知(2m+n)(2m-n)3m(2m- m)=(6-3)m2(6-4)m2=(2-)2m2，n(n+m)(n-m)n(1+n)1= (2+ )n2.由式知 S1412(2+ 2)n2(2- 2)m=14n2則當m8，n9時，有S162.故S的最小值為132，此時，m=5，n=6.所以，a=30，b=25，c=11時，ABC面積最小，最小值為132.二、如圖，設AF/AB=x，AE/AC=y.則0x、y0.則(x+)(y+)= (y+1)1，與已知矛盾.當x=0，y0時，又有(x+)(y+)= (y+1) (1+y)=(1-y)(1+y)=1-y21，與已知矛盾.故x=0時，y=0. 同理，y=0時，x=0.(2)再證x0，y0時，x+y=0.為此先證xy0，y0或x0，y0，y0時，(x+)(y+)1，與已知矛盾.當x0，y1，-y1，則1，與已知矛盾.從而，xy0，由于原式關于x、y對稱，不妨