二次型的性質(zhì)及應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上唐山師范學(xué)院本科畢業(yè)論文題 目 二次型的正定性及其應(yīng)用 學(xué) 生 王倩柳 指導(dǎo)教師 張王軍 講師年 級 2012級數(shù)學(xué)專接本專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2014 年5月鄭重聲明 本人的畢業(yè)論文（設(shè)計）是在指導(dǎo)教師張王軍的指導(dǎo)下獨立撰寫完成的。如有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)的行為，本人愿意承擔(dān)由此產(chǎn)生的各種后果，直至法律責(zé)任，并愿意通過網(wǎng)絡(luò)接受公眾的監(jiān)督。特此鄭重聲明。畢業(yè)論文（設(shè)計）作者（簽名）： 2014 年 月 日目 錄)）1.1二次型的歷史（2）)2) )3.4 二次曲線(13)參考文獻(xiàn))致謝)專心

2、-專注-專業(yè) 二次型的正定性及其應(yīng)用 學(xué)生：王倩柳指導(dǎo)老師：張王軍摘 要：二次型是高等代數(shù)中的主要內(nèi)容之一, 其理論的應(yīng)用非常廣泛。在中學(xué)數(shù)學(xué)的不等式的證明、求極值及因式分解等問題中, 用初等數(shù)學(xué)方法處理會相當(dāng)麻煩, 而如果利用高等代數(shù)中二次型的性質(zhì)去解決, 就會使很多問題化繁為簡, 由難轉(zhuǎn)易。因此, 討論二次型理論在證明不等式、多項式的因式分解、求極值、計算橢圓面積、判斷二次曲線的形狀等實際例題中的應(yīng)用, 是很有意義的。關(guān)鍵詞：二次型；矩陣；正定性；應(yīng)用The second type of positive definite matrix and its applications Stude

3、nt: Wang qianliu Instructor: Zhang wangjunAbstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization p

4、roblem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics

5、 to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual ex

6、amples of application.Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation,Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation,Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型是高等代數(shù)中的主要內(nèi)容之一, 其理論的應(yīng)用非常廣泛。在中學(xué)數(shù)學(xué)的不等式的證明、求極值及因式分解等問題中, 用初等數(shù)學(xué)方法處理會相當(dāng)麻煩, 而如果利用高等代數(shù)中二次型的性質(zhì)去解決,

7、 就會使很多問題化繁為簡, 由難轉(zhuǎn)易。因此, 討論二次型理論在證明不等式、多項式的因式分解、求極值、計算橢圓面積、判斷二次曲線的形狀等實際例題中的應(yīng)用, 是很有意義的。其中實二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性與其矩陣的有定性之間具有一一對應(yīng)關(guān)系.因此,二次型的正定性判別可轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的正定性判別，因此，對正定矩陣的討論有重要的意義.1 二次型的歷史及概念1.1二次型的歷史 二次型的系統(tǒng)是從18世紀(jì)開始的，它起源于對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論，將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡化方程的形狀，這個問題是在18世紀(jì)引進(jìn)的。柯西在其著作中給出結(jié)論

8、：當(dāng)方程式標(biāo)準(zhǔn)型時，二次曲面用二次型的符號來進(jìn)行分類。然而，那并不太清楚，在化簡成標(biāo)準(zhǔn)型時，為何總是得到同樣數(shù)目的正項和負(fù)項。西爾維斯特回答了這個問題，他給出了n個變數(shù)的二次型的慣性定律，但沒有證明。這個定律后被雅克比重新發(fā)現(xiàn)和證明。1801年，高斯在算數(shù)研究中引進(jìn)了二次型的正定，負(fù)定，半正定和半負(fù)定等術(shù)語。二次型化簡的進(jìn)一步研究設(shè)計二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隱含地出現(xiàn)在歐拉的著作中，拉格朗日在其關(guān)于線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個概念。而三個變數(shù)的二次型的特征值的實性則由阿歇特、蒙日和泊松建立的。二次型常常出現(xiàn)在許多實際應(yīng)用和理論研究中，有很大的實際使用價值。它

9、不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中用到，而且在物理學(xué)中也會經(jīng)常用到，其中實二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性與其矩陣的有定性之間具有一一對應(yīng)關(guān)系.因此,二次型的正定性判別可轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的正定性判別，并將其實現(xiàn)應(yīng)用價值.1.2 二次型的矩陣形式 定義1.1 設(shè)P是一個數(shù)域，p,n個文字, 的二次齊次多項式 其中稱為數(shù)域p上的一個n元二次型，簡稱二次型.當(dāng)為實數(shù)時，f稱為實二次型.當(dāng) 為復(fù)數(shù)時,稱 f為復(fù)二次型.如果二次型中只含有文字的平方項，即=稱f為標(biāo)準(zhǔn)型. 二次型可唯一表示成=，其中，為對稱矩陣，稱上式為二次型的矩陣形式，稱A為二次型的矩陣（必是對稱矩陣），稱A的秩為二次型f的秩.1

10、.3 正定二次型與正定矩陣的概念 定義1.2 設(shè)=是n元實二次型（A為實對稱矩陣），如果對任意不全為零的實數(shù)都有，則稱f為正定二次型,稱A為正定矩陣；如果，則稱f為半正定二次型，稱A為半正定矩陣;如果，則稱f為負(fù)定二次型，稱A為負(fù)定矩陣;如果，稱f 為半負(fù)定二次型，稱A為半負(fù)定矩陣；既不是正定又不是負(fù)定的實二次型稱為不定的二次型，稱A為不定矩陣. 定義1.2 另一種定義 具有對稱矩陣的二次型(1) 如果對任何非零向量, 都有 （或）成立，則稱為正定（負(fù)定）二次型，矩陣稱為正定矩陣（負(fù)定矩陣）.(2) 如果對任何非零向量, 都有 （或）成立，且有非零向量，使，則稱為半正定（半負(fù)定）二次型，矩陣稱

11、為半正定矩陣（半負(fù)定矩陣）. 注:二次型的正定(負(fù)定)、半正定(半負(fù)定)統(tǒng)稱為二次型及其矩陣的有定性.不具備有定性的二次型及其矩陣稱為不定的.二次型的有定性與其矩陣的有定性之間具有一一對應(yīng)關(guān)系.因此,二次型的正定性判別可轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的正定性判別.2 二次型的正定性的判別方法及其性質(zhì)定理2.1實二次型=為正定的充要條件為（若是負(fù)定矩陣，則為正定矩陣）：1） 矩陣A的各階順序主子式都大于零；2） 矩陣A與單位矩陣合同；3） A的全部特征值是正的。4） n 級實對稱矩陣A 是正定的充分必要條件是, 存在n 級實可逆矩陣C,使A = CC .定理2.2實二次型=為半正定（半負(fù)定）的充要條件為：1）

12、的所有主子式大于（小于）或等于零；2） 的全部特征值大于（小于）或等于零.3） A與矩陣合同，這里r是矩陣A的秩4） n 級實對稱矩陣A 是半正定的充分必要條件是, 存在n 級實矩陣C使A = CC （A = CC ）.推論2.1 若為正定矩陣,則.定理2.2 秩為的元實二次型, 設(shè)其規(guī)范形為則：(1)負(fù)定的充分必要條件是且(即負(fù)定二次型,其規(guī)范形為)(2)半正定的充分必要條件是(即半正定二次型的規(guī)范形為)(3)半負(fù)定的充分必要條件是 (即)(4)不定的充分必要條件是 (即) 定義2.1 階矩陣的個行標(biāo)和列標(biāo)相同的子式 稱為的一個階主子式.而子式 稱為的階順序主子式.定理2.3證明階矩陣為正定

13、矩陣的充分必要條件是的所有順序主子式 . 例2.1 設(shè)A B分別是m級、n級正定矩陣，證明 正定矩陣。證明： 法1 設(shè)為m+n維向量，其中x，y分別是m維和n維列向量. 當(dāng)z不=0時，x，y不同時為零向量，于是故C為正定矩陣。 法2 設(shè)A的各階順序主子式為 而B的順序主子式為。由A,B正定知，由于C的各階順序主子式（i=1，2，.,m+n）滿足故C為正定矩陣。 例 2.2 考慮二次型,問為何值時，f為正定二次型.解:利用順序主子式來判別,二次型f的矩陣為，A的順序主子式為 ； ；. 于是，二次型f正定的充要條件是：，有，可知，；由 , 可得, 所以，當(dāng)時,f正定. 例2.3 設(shè)是n級正定矩陣，

14、是n級實反對稱矩陣，證明為正定矩陣。分析：只要證明的特征值全大于零即可證明:由正定知是實對稱矩陣，,.從而， 即也是實對稱矩陣. 對任意有， 即，的特征值全大于零，故，為正定矩陣.（注： 正定矩陣必須是實對稱矩陣，因此在論證之前應(yīng)注意A是否為實對稱矩陣，若不是實對稱矩陣，根本談不上正定性）3 二次型的應(yīng)用3.1 多元函數(shù)極值 在實際問題中經(jīng)常要遇到求三元以上函數(shù)的極值問題，對此可由二次型的正定性加以解決 定義3.1.1 設(shè)元函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).記, 稱為函數(shù)在點處的梯度. 定義3.1.2 滿足的點稱為函數(shù)的駐點. 定義3.1.3 稱為函數(shù)在點處的黑塞矩陣.顯然是由的個二階

15、偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的階實對稱矩陣. 定理3.1.1 (極值存在的必要條件) 設(shè)函數(shù)在點處存在一階偏導(dǎo)數(shù)，且為該函數(shù)的極值點，則. 定理3.1.2 (極值的充分條件) 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)具有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則:(1) 當(dāng)為正定矩陣時，為的極小值; (2) 當(dāng)為負(fù)定矩陣時，為的極大值; (3) 當(dāng)為不定矩陣時，不是的極值.應(yīng)注意的問題： 利用二次型的正定性來判斷多元函數(shù)的極值雖然是一個很好的方法,但也有一定的局限性,因為充分條件對正定和負(fù)定的要求是很嚴(yán)格的,若條件不滿足,那結(jié)論就不一定成立. 例3.1.1 求三元函數(shù)的極值.解:先求駐點，由 得所以駐點為.再求(Hessian)黑塞矩陣因為,所

16、以，可知是正定的，所以在點取得極小值：.當(dāng)然，此題也可用初等方法求得極小值，結(jié)果一樣. 定理3.1.3 設(shè)n元實函數(shù)在點P0的一個鄰域中連續(xù)，且有足夠高階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在點P0近旁有性質(zhì)：1）若正定，則P0為極小點；2）若負(fù)定，則P0為極大點；3）若不定，則P0非極大點或極小點；4）其余情形時，在點P0性質(zhì)有待研究余項R的性質(zhì)來確定.特別當(dāng)是二次函數(shù)時，R=0，只要半正（負(fù)）定，則P0為極?。ù螅c. 例3.1.2 求函數(shù)的極值.解：解方程組，易得，于是，經(jīng)計算得 正定； 負(fù)定；不定.故在點，點，Z不取極值；在點，Z取極小值，；在點，Z取極大值，. 下面利用二次型的矩陣的特征值求多元函數(shù)

17、的最值.設(shè)元二次型 ，則在條件下的最大（?。┲登榫仃嚨淖畲螅ㄐ。┨卣髦? 例3.1.3 求函數(shù)在的最小值. 解：先對二次型將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式,然后在條件下討論函數(shù)的最小值.該二次型的實對稱矩陣為，它的特征多項式.對于特征值，求得兩個線性無關(guān)的特征向量；再用正交化方法，得兩個單位正交的特征向量取正交矩陣 則有.對二次型做正交變換，得 相應(yīng)地，條件化為. 于是原題意化為對式的三元二次其次函數(shù)在滿足條件時求其最小值.此時，顯然有又當(dāng)時，所以滿足條件的最小值，而且它僅在和處取得最小值.回到變元，則在和處取得最小值. 最后再介紹一個有用的定理： 定理3.1.3 設(shè)A為n階正定矩陣與實向量，為實數(shù)，則實函

18、數(shù)當(dāng)時取得最小值.證明:，由A正定，存在（對稱）而，其中，正定，故，所以取得最小值. 例3.1.4 已知實數(shù)滿足，求 的最大值和最小值. 解的矩陣，。因此，特征值于是得在下的最大值是 最小值是 。 3.2 證明不等式其證明思路是: 首先構(gòu)造二次型, 然后利用二次型半正定性的定義或等價條件, 判斷該二次型（矩陣）為半正定, 從而得到不等式.例3.2.1（不等式）設(shè)為任意實數(shù), 則.證明 記因為對于任意, 都有, 故關(guān)于的二次型是半正定的.因而定理1知, 該二次型矩陣的行列式大于或等于0, 即. 故得.例3.2.2 證明 證明 記, 其中將矩陣的第2,3,列分別加到第一列,再將第2,3, 行減去第

19、1行,得, 于是的特征值為0, 由定理可知, 為半正定矩陣, 即二次型是半正定的, 從而得, 即結(jié)論得證.例3.2.3 設(shè)是一個三角形的三個內(nèi)角, 證明對任意實數(shù),都有.證明 記，其中對做初等行變換得: , 于是的特征值為0, 1, , 從而得二次型是半正定的, 即對于任意實數(shù), 得證.例3.2.4 設(shè)為階半正定矩陣, 且, 證明.證明 設(shè)的全部特征值為, 則的全部特征值為. 因為為實對稱矩陣, 所以存在正交矩陣, 使得 由于為半正定矩陣, 且, 則是半正定的, 且其中至少有一個, 同時至少有一個等于零. 故, 結(jié)論得證. 以上是根據(jù)不等式的要求證明該二次型為半正定二次型, 從而證明不等式.

20、使用這種方法簡單, 方便.3.3 因式分解定理 一個實二次型可以分解成兩個實系數(shù)的一次齊次多項式乘積的充分必要條件是: 它的秩為2和符號差為0, 或秩等于1. 例3.3.1 多因式在上能否分解, 若能, 將其分解. 解 考慮二次型, 則的矩陣為,對施行合同變換, 求得可逆矩陣, 且.顯然, 的秩為2且符號差為0, 由定理2.6知, 可以分解.經(jīng)非退化線性替換, 化為. 由, 得, . 于是.故.例3.3.2 多項式在上能否分解? 如果能,將其分解解 考慮二次型, 其矩陣為則秩, 所以能在上分解, 則也能在上分解. 易得.3.4 二次曲線事實上，化簡二次曲線并判斷曲線的類型所用的坐標(biāo)變換就是二次型中的非退化線性替換，因此可以利用二次型判斷二次曲線的形狀.例3.5.1 判斷二次曲線的形狀.解：設(shè)，令，則.對實施非退化線性替換：,即則，從而.即，故曲線表示橢圓. .結(jié)論 二次型的研究起源于解析幾何中二次曲線和二次曲面的理論，二次型的理論在數(shù)學(xué)和物理的許多分支都有著廣泛的應(yīng)用。用二次型來解決初等數(shù)學(xué)、微積分中的一些問題，有時會起到意想不到的效果。本文通過研究二次型的性質(zhì)，借助例子說明二次型在求多元函數(shù)的的極值、最值、證明不等式、及判斷二次曲線的形狀等方面的應(yīng)用。將多元元函數(shù)求極值問題化為一個二次型問題。在三元及三元以上多元函數(shù)求極