高中數(shù)學競賽專題---代數(shù)極值

1、代數(shù)極值很長時間以來，代數(shù)極值問題一直是國內(nèi)外數(shù)學競賽中的熱點問題，以下我們就來討論這類問題的解法.一、條件極值問題例+111+ ai a3 | an1 a1 | an解：給所求式中的每一個分式分配一個常數(shù)1,通分后，再將a1 +a2 +| + an用常數(shù)1代換, ,同理，a2+1 =二一設(shè)非負實數(shù)a1, a2111a滿足闞+a2+an =1,求ai1 - a2 - HI- an的最小值.a2, dan9ad 1 (a a? Ill - an)十1 二1 - a2 , I IT an2 - a1an2 人 Jai麗22_2+1 =, 令 y = £ n，則 y + n =+111 +

2、 1a1 , I H . an J. - a11 , a1 , a3 , | If 'an 2 - a2 - ani 42 - a12 - a22 - an - aiajj 1nnn1nn1為了利用柯西不等式，注意到£(2ai)=2n£ ai=2n 1,則(2n 1)£ =L(2-ai)E i 1i 1i=1 2 -a, ii 2 aic 2c 222n2n.當且僅當2n -1=n . y + n ，即 y n2n -1 2n -11 . na = a2 = I" = an =一時，上式等號成立.從而，y有最小值.n2n 7評注：通過添加常數(shù)1,

3、再代換常數(shù)1使原本復(fù)雜的式子簡單化，為運用柯西不等式創(chuàng)造了條件2 .2例2 設(shè)xy=1,且xAyA0.求的最小值. x -y解：由于 x > y >0 ,可設(shè) x = y + &y(Ay a0),則 x- 二 (x一y)2xy = -y)2 272 .x - y x - yy2662x2 y2當且僅當Ay = J2,即x =, y =時等號成立.因此的取小值為2 J2 .2 2x- y評注：引進增量起到了降元的作用.、一.， 一.111例3 設(shè)a, b,c為正數(shù)，且abc = 1,求+的取小值.2a 1 2b 1 2c 1加、幾x , y z111 y z x斛：設(shè) a =

4、 1 ,b=上，c= (x, y, z= R )，則+=1+y z x2a 12b 1 2c 1 y 2x z 2y x 2z由柯西不等式得,y(y 2x) z(z 2y) x(x 2z)y + 2x z +2y x + 2z /2(x y z).y z x從而，-一 - -,、2(x y z)y 2x z 2y x 2z y(y 2x) z(z 2y) x(x 2z)=1,即1.+1.2a 1 2b 1 2c 1當且僅當a = b = c = 1時去等號.故所求最小值為1.評注：本題直接運用柯西不等式有困難，通過分時代換后則顯得比較容易.當然也可先證明22a 1a22而得到最小值 .a3 b

5、3 1二、多元函數(shù)極值問題例 4 設(shè) x, ywR,求函數(shù) f (x, y) = x2+6y2 _2xy_14x6y+72 的最小值.解：“*")=(* 丫7)2+5(丫2)2+3,故* = 9,丫=2時，3所=3.評注：配方法是解與二次函數(shù)有關(guān)最值問題的常用方法n1n例5已知非負實數(shù)、*2,|,人滿足EX,求£函？2，川，*0)=口 (1 - x )的最小值.y2y解：當 x1,x2,H|,xn2xn+xn 都為定值時，由于(1 一 *n _1)(1 *n) = 1 - 函,+ *n) + *口 5,可見，xnA -xn越大，上式的值越小.為此，令x=X(i =1,2,|

6、,n 2),xn' = xn+xn,xn' = 0,則 xn；+xn =乂m+乂口,； %'=0 <xnxn. . (1-')(1一乂2) 111(1 - x。)(1 一 X)(1 一 x2')川(1 一 乂口;)1其中x1 +x2 + I +xn =x+x2+ +xn, .再進行形如的變換 n2次，即可得21 1(1 -x)(1 -x2) 111(1 -xn) >1 -(x1 +x2 +HI +xn),其中等號當 ' =一，x? = *3 = 111 = % = 0 時取得2 2所求最小值為 1.2評注：解多元函數(shù)最值問題常用逐步調(diào)

7、整法.先將函數(shù)看作關(guān)于其中一個變量的函數(shù)，將其它變量看作常數(shù)，再對其它變量用同樣方法，最終轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).再看一個逐步調(diào)整法的例子.55例6給定實數(shù)a >25.對于滿足條件Z x Z 工=2的所有正實數(shù)組(x1,x2,x3,x4,x5),試求i 1i 1 ximax(,x2,x3,x4,x5/j 723 4中的最值.min Ix1,x2,x3,x4,x5,'解：由對稱性，設(shè)x1蒯x2x3蒯x4x5 ,由齊次性，設(shè)X =1,x5 =U,x2,x3, x4 W 1,u,a = f (x2,x3, x4) =(1 +x2 +x3 +x4 +u)(- + + + +1)+1 +1 + 1

8、 + 7u ,u x2 x3 x4(JuJ,a-3 a 5-6.a一 1 一. 一ju+丁蒯ja_3,u (ja 3)ju+i o,從而疝,另一方面,將 X3,X4 看作常數(shù)，a = f(X2,X3, X4) =« X + 艮 +了(口，Pj A 0) . X2 A 0 時，f 為凸函數(shù),X2在X2 =1或X2 = u時取得最大值.同理，f在X3, X4 = 1或u時取得最大值設(shè)f取得最大值時，X2,X3,X4中有k個為u , 3k個為1,k = 0,1,2 .22此時，f =(ku 3 - k 1 u)( 3 - k 1 -) - -(u - ) k2 (u 一 ) k (u)(u

9、-) . f 為開口3向下的拋物線，對稱軸為k=,故k=1或2時，f取得最大值.2一.2 1 一 一1 )2 1, 、u2/6maX卜yja -1 + Ja 25min 1X1，X2,X3,X4,X5)2、6.a = f (x2, x3, x4) , (2u 3)( 3) = 6(u)13 = 6( . u三、無理函數(shù)極值問題例 7 求函數(shù) f (x) = Jx4 -3x2 -6x + 13 -Vx4 -x2+1 的最大值.解：由于 f (x) = Vx4 -3x2 -6x +13-Jx4 -x2 +1 =J(x-3)2+(x2-2)2Jx2+(x2-1)2 .令A(yù)(3,2),B(0,1),

10、P(x,x2)，則f(x)=|PA PB .于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線y = X2上求一點 P,使PA PB最大.2y = X因點A在拋物線下方，點B在拋物線上方，故直線AB和拋物線必相交，交電由方程組 y 1 2 1.X-0- 3-02確定，消去y ,得3x -x-3 = 0.由于關(guān)于x的二次方程的常數(shù)項為負，則方程必有負根.又三角形兩邊之差小于第三邊，所以，當P點位于負根所對應(yīng)的交點位置時，f(x)有最大值 AB= J10.評注：本題不必求出交點坐標，從圖中也可以看到 PA - PB的最大值為 尺.例8求函數(shù)f (x) = 2x + J1 +x-x2的最值.251 2175，：，：斛：由于

11、f (x) =2x + Ji+x-x =2x + J(x_)，可令 x_- =sin 日，日 w -一，一,42222 2-1.5.-. 5.5 1則 x = 十 sin 6 ,于是 f (x) = g(e)=1 + J5sin9 + cos6 =1 + sin(6 +中)，其中中=arcsin.222251 二1 二.2因為日 s_,，故 8 +邛 w arcsin -= - ,arcsin -= +一,從而 sin(9 +中)w -= ,1, 2 2、,5 25 2.5即 g(8)W1店 7，故 f(x)min =1 f(x)max=7. 22評注：三角換元也是解無理函數(shù)最值的好方法，常借

12、助于輔助角公式例9求函數(shù)y =j2x2 - 3x+1 +Jx2 -2x的最小值.解：先求定義域(-嗎0 =2, +B),注意到兩個根號內(nèi)的函數(shù)在(-g,0上都遞減，在2,依)上都遞增，故原函數(shù)亦如此.故 ymin =min f(0), f(2) =1 .當x = 0時取到最小值.評注：運用單調(diào)性，簡單巧妙.例10 求函數(shù)y = &2 +2x+2+Vx2-2x+2的最小值.解：(構(gòu)造法)：y =J(x+1)2 +12 +J(x1)2 +12 ,表示動點 P(x,1)到定點 A(1,0), B(1,0)的距離 之和，故 ymin =2,2.解法二：y = Jx2 +2x+2 +Jx2 -2

13、x+2 之 24/(x2 +2x +2)(x2 -2x+2) = 24/x4 +4 占 2J2 ,當x =0時，兩等號同時成立，故ymin =2亞.例11 對實數(shù)x ,求函數(shù)f (x) =48x -x2 -<14x -x2 -48的最大值.解：f (x)的定義域為6 , 8 , u(x) =%；8x x2 =16 - (x 一4)2 ,當 x = 6 時，Umax =U12 ;v(x) = -v14x -x2 -48 = -y 1 -(x 一7)2 ,當 x =6 時，vmax =。，從而當 x =6 時 f (x)有最大值 JT2 = 2j3 .解法二：f(x)定義域為6, 8,令 u

14、(x) = W8x x2 , v(x)=V14x-x2 -48 , u2v2=486x.22vx6,8,.'.0 <48-6x <12,，0 Mu2 -v2 <12 (1). y =u v ,，u = y + v代入(1)得：y2 +2vyE12,易知 y 至0 , v=,1 -(x-7)2 >0(2 , y2 <y2 +2vyE12,y < 2< 3 ,當 x = 6 時(1)、(2)同時取等號.故 f (x)有最大值TT2=2J3.f解法三：f (x)的定義域為6,8, f(x) =48 -xb；x -v'x-6) =*8x=，丁

15、,8 x , 1= x+dx-6Mx+Zx在6, 8上是減函數(shù)，從而當 x=6時f(x)有最大值 «2=2j3.評注：聯(lián)想思維是數(shù)學問題解決的重要思維方式，解法一運用知識點：“若f (x) =u(x) +v(x) , u(x),v(x)同時在x =x0處取得最大值，則f(x)在x=x0處取得最大值；解法二運用不等式的放縮法求解；解法三運用知識點“若f(x)在閉區(qū)間a,b上為單調(diào)函數(shù)，則 f(x)在端點處取得最值” 四、分式函數(shù)極值問題例12設(shè)x,y, z是不全為零的實數(shù)，求2xy42 yz 2的最大值.x y z解：xy 2yz =2a 212x - y2 2a I by2 z2b1

16、a .x2,21 2+ +b ly + z .12a ) b2a1+ b = 1,解得a =后 b = 25-.所以 xy + 2 yz,5222. 一 .x + y +z ).當且僅當10* = 2，5丫=52時等號成立.包 xy 2 yz5故 一222的取大值為 ，引入?yún)?shù)a,b作為待定系數(shù)進行代x y z2評注：本題對分子或分母直接運用均值不等式顯然達不到目標例13對所有a,b,cw R*,求換，再運用均值不等式進行處理，表面上好象增加了變量，實際上卻使本來較難解決的問題得以順利解決+的最小值.a2 8bcb2 8ac 、, c2 8ab解:作代換x =-j, y = , z 中,a2

17、8bc b2 8ac 、. c2 8ab,貝U x, y, zw (0, +=c).從而,x2aa2 8bc即 =萼.同理，2 -x -1 ay, 8ac 1/ 8ab “、 ”工1 =-, = 1 =1-.將以上三式相乘，b2 z2c2得工-1 I- 22lx2八y2八 z21 =512.若 x+y + z<1,則 0<x<1,0<y<1,0<z<1.故工1x222(1-x2)(1-y2)(1-z2)x)2-x22 2、x y z -【(y z)(2x y z)口(2、yz 44 x2yz) ” (84 x23 3、 y z )2 2 2x y z當

18、a = b = c時,所求最小值為1.= 512.矛盾.所以x + y+z1.從而，評注：通過整體代換將問題轉(zhuǎn)化為條件最值問題,即在 口 -1 | 2-11 )= 512成立的條件下lx人y八z)求x + y + z的最小值.可先從極端情況探求最小值 ，再運用反證法進行證明.例14 已知a,b,cw R+求a十一b一十 9c 的最小值.'b 3c 8c 4a 3a 2b解：對分母進行代換，令b +3c = x,8c +4a = y,3a +2b = z,門"111,131111則 a =- x y z, b= x yz,c= - x y - - z .38621646 1612a b+b 3c 8c 4a9c3a 2b'y 4x ' 1 Fz 9x 1一 + + + I + 、x y , 6 1x z