數(shù)學(xué)建模傳染病模型

1、WORD格式數(shù)學(xué)建模傳染病的傳播摘要：本文先根據(jù)材料提供的數(shù)據(jù)建立了指數(shù)模型，并且全面地評價了該模型的合理性與實用性。而后對模型與數(shù)據(jù)做了較為扼要地分析了指數(shù)模型的不妥之處。并在對問題進展較為全面評價的根底上引入更為全面合理的假設(shè)和建立系統(tǒng)分析模型。運用聯(lián)立微分方程組表達疫情開展過程中各類人的內(nèi)在因果聯(lián)系，并在此根底上建立方程求解算法結(jié)合專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式X明：傳染病的傳播問題MATLAB編程 ( 程序在附件二 ) 擬合出與實際較為符合的曲線并進展了疫情預(yù)測。 同時運用雙線性函數(shù)模型對衛(wèi)生部的措施進展了評價并給出建議以及指出建立一個真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制

2、提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難本文的最后，通過本次建模過程中的切身體會，說明建立如 SARS預(yù)測模型之類的傳染病預(yù)測模型的重要意義。關(guān)鍵詞：微分方程SARS數(shù)學(xué)模型感染率1 問題的重述SARS Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥 , 俗稱：非典型肺炎是 21 世紀(jì)第一個在世界X圍內(nèi)傳播的傳染病。 SARS 的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟開展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)歷和教訓(xùn)，認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請你們對 SARS的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：1) 建立傳

3、染病傳播的指數(shù)模型，評價其合理性和實用性。2) 建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于指數(shù)模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后 5 天采取嚴(yán)格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。附件 1 提供的數(shù)據(jù)供參考。3) 說明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。2 定義與符號說明N,表示為SARS病人的總數(shù)；K感染率 ,表示為平均每天每人的傳染他人的人數(shù)；L,表示為每個病人可能傳染他人的天數(shù)；ddt N(t) ,表示為每天單位時間發(fā)病人數(shù)；N(t)-N(t-L) , 表示可傳染他人的病人

4、的總數(shù)減去失去傳染能力的病人數(shù)；t,表示時間；2R ,表示擬合的均方差；3 建立傳染病傳播的指數(shù)模型3.1 模型假設(shè)1) 該疫情有很強的傳播性，病人帶菌者通過接觸空氣，食物，, 將病菌傳播給*者。單位時間一天內(nèi)一個病人能傳播的人數(shù)是常數(shù)k；2) 在 所傳染的人當(dāng)中不考慮已治愈的人是否被再次被傳播，治愈的人數(shù)占該地區(qū)的總?cè)藬?shù)是絕對的少數(shù)，治愈者不會再被傳播并不影響疫情在該時間內(nèi)的感染率常數(shù)k; 3) 病者在潛伏期傳播可能性很小， 仍按*人處理；4) SARS 對不同的年齡組的感染率略有不同 相差不大，但我們只考慮它*人的感染率是一樣的；專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式數(shù)學(xué)建模5

5、) 我們所采取的隔離是非常嚴(yán)格的，被隔離的病人不會再感染其他人；3.2 模型的分析和建立求解全國疫情從出現(xiàn)第一例病人起， 到 4 月 20 日前后從起點起 45 天左右是疫情頂峰，在此之前 k 值我們?nèi)?k=0.16204，在此后的時間里我們?nèi)?k=0.0273 來計算。根據(jù)提供的數(shù)據(jù)可以建立指數(shù)模型： N(t)=n 0 (1+K) t。在前 45 天我們?nèi)?k=0.16204 來代入，分別算出 45 天的病人累計數(shù)，根據(jù) 45 天中天病人的數(shù)量來畫出圖 1，并與附件中所提供的數(shù)據(jù)中的日累計數(shù)來進展了比較。如圖 3-1 所示：圖 3-1根據(jù)指數(shù)模型建立的圖形專業(yè)資料整理WORD格式3專業(yè)資料整

6、理WORD格式X明：傳染病的傳播問題圖 3-2 根據(jù)附件1 所建立的圖形從兩個圖形中，我們可以看出，從4 月 20 日開場計算，前45 天的病人累計數(shù)和我們用 k 的值來代入模型畫出的病人計算數(shù)根本上是吻合的。圖形1 中的橫坐標(biāo)數(shù)字表示時間的天數(shù)，如 15 即 4 月 20 日之后的第 15 天， 40 即 4 月 20 日之后的第 40 天。在 45 天之后的時間里，模型對k 的值進展了調(diào)整， k=0.0273 ，我們再將 k=0.0273 代入模型 N(t)= n 0 (1+K) t，在 45 天之后的時間里，我們?nèi)×?0 天的時間，分別算出每天的病人累計數(shù)，如圖3-3 所示：全國人數(shù)變化

7、350030002500國 2000全數(shù) 1500累計人數(shù)人天數(shù)100050001357911131517192123252729天數(shù)圖 3-3專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式數(shù)學(xué)建模3.3 對指數(shù)模型的驗證和評價在圖形 3-3 中的橫坐標(biāo)的數(shù)值表示圖形1 中所表示的天數(shù)之后的天數(shù)，如1 即表示 4月 15 日之后的 45 天之后的有第六天，也就是4 月 15 日之后的第 51 天，即表示 4 月 15日之后的第 67 天。首先在圖形 3-3 結(jié)合圖形 3-1 可以看出，圖形 3-1 中的第 45 天與圖形 2 中的第一天相隔一天的人數(shù)統(tǒng)計是相差比較大的，存在這種情況的原因是

8、在我們在計算第61 天，數(shù)據(jù)值發(fā)生了改變， 從 0.16204 到 0.0273 是一個很大的變化， 而在實際的生活中的情況是k值每天都在進展數(shù)值在減小的改變，但改變的沒有這么大，也正是因為k 有了跳躍， N(t)的值才會發(fā)生這么大的變化，這是可以理解的。我們對圖形2 的整個曲線來與附件1 中的圖形 1 進展比較，可以發(fā)現(xiàn)，在整個階段的數(shù)值曲線圖形都是很接近的。我們在對全國在前期和后期 k 分別取 k=0.16204 和 k=0.0273 的值來代入所給的模型來計算并畫出的圖形 , 與實際的數(shù)據(jù)和圖形進展了比較，是有著很好的吻合，同樣我們也可以對 k 取值一個定值來對全國進展計算和畫圖，同樣也

9、是合理的。因此我們就認為題目中給我們的那個模型N(t)=n 0 (1+K) t是合理的。通過這個模型我們可以根據(jù)某一地區(qū)的疫情從爆發(fā)到高潮或某一階段的時間的長短來擬合得到一個與該地區(qū)這種疫情的感染率，就可以用該模型來計算或預(yù)測該地區(qū)現(xiàn)在及以后的病人的累計數(shù)， 這也就是該模型的實用性所在。4 建立新模型4.1 模型假設(shè)模型假設(shè)與指數(shù)模型假設(shè)一致不在贅述。4.2 模型分析與建立4.2.1 模型分析初期由于疫情初期政府控制力度不夠，群眾的對 SARS的防X意識不強，造成病情迅速蔓延。而當(dāng)政府采取有力措施，人們的防患意識增強，疫情那么趨于緩和，病患者人數(shù)迅速下降。所以 SARS傳播大體上可分為兩個階段

10、：1) 控制前期：即認為病毒傳播方式是自然傳播。2) 控制后期：政府強力介入之后的病毒傳播模型。4.2.2模型建立根據(jù)對指數(shù)模型的分析和4.2 的分析疫情走勢的微分方程如下；d N(t) = K N(t) N(t L) .1dt4.3 模型的求解如果假定有一個初始爆發(fā)時間，最初有 N0 個病人突然出現(xiàn)，在 L 天之內(nèi) (t < L) 那么 N(t-L)=0 。在這個初發(fā)期間內(nèi)，方程 (1) 給出的發(fā)病人數(shù)呈指數(shù)增長專業(yè)資料整理WORD格式5專業(yè)資料整理WORD格式X明：傳染病的傳播問題N(t)=N 0 (1+K) t0<t L(2)當(dāng) L<t 2L 的時候， N(t-L) 這

11、局部人就已經(jīng)沒有傳播能力了，因此我們推算出了以下模型N(t)= N(1+K) t(t-L)K(1+K)(t L 1) L<t 2L30當(dāng) 2L<t 3L 的時候又有以下模型N(t)= N0 (1+K)tN(t-L)(2L< t 3L)4L 可理解為平均每個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限，在此期限后他失去傳染作用，可能的原因是被嚴(yán)格隔離、病愈不再傳染或死去等。在不同的時期 L 的取值X圍也是不一樣的，我們所得到的資料中總結(jié)出不管對于疫情的爆發(fā)階段，還是疫情的控制階段，這個參數(shù)都不能用得太小，否那么無法描寫好各階段的數(shù)據(jù)。該參數(shù)放在15-25 之間比較好，現(xiàn)在醫(yī)學(xué)界還沒有

12、確定出L 的值，我們想象可能有的人抵抗能力強，有的人抵抗能力差，因此我們把它固定在 20天上這個值有一定統(tǒng)計上的意義 .我們把 L 的值定在了 20 天 , 是合理的，當(dāng) t 的取值比較大時，該模型又有指數(shù)關(guān)系， N(t) 前后之間的差距比較大，然而當(dāng) t>60 時，在這之前失去傳播能力的只占了少局部，因此規(guī)定當(dāng) t>60 時也可用 N(t)= N 0 (1+K) tN(t-L) 的模型。K的值其實是一個變量，它每天的值都在發(fā)生變化。疫情剛開場的時候，K 的值大，原因可能有剛可能是政府部門還沒有足夠重視起來，人們也還沒有重視，醫(yī)療部門也還沒有比較好的設(shè)備，醫(yī)生們對病情也還沒有很了解

13、，技術(shù)上可能也還有缺乏。但隨著病情的日益加重，來自各個方面的重視程度都有很大的提高，這是K 的值就比較小了。在此模型中，我們認為 感染率 (K) 在 數(shù)值上與病例的增長率是相等的， 疫情患者他傳播在傳播給*人的時候，*人他可能是帶病毒了，但*熱處于潛伏期狀態(tài)，據(jù)“全國“非典 科技攻關(guān)組公布七大科研進展與于 2003-06-03 日報道中指出潛伏期患者傳染的可能很小。有關(guān)部門對非典爆發(fā)過程中兩例傳播鏈進展了細致的調(diào)查和分析，這兩個案例中共追查到潛伏期密切接觸者158 人，無一人死亡。因此我們在模型中說的感染率只為疫情患者傳染給他人，而且他人發(fā)病，假設(shè)他人不發(fā)病那么不為感染率。增長率在數(shù)值上即為感

14、染率。我們對全國所提供的所有數(shù)據(jù)中的已確診病例累計進展了分析計算，得出感染率 K 的變化數(shù)據(jù)并畫出了曲線圖。如圖 4-1 所示：專業(yè)資料整理WORD格式6專業(yè)資料整理WORD格式數(shù)學(xué)建模傳播率的變化0.50.4K = 7E-13t 6 - 4E-10t 5 + 8E-08t4 - 1E-05t 3 +0.30.0006t 2 - 0.0191t + 0.23252率R = 0.6988播 0.2傳多項式0.10050100150200-0.1日期圖 4-1K感染率是一條跟 t 的值有關(guān)的曲線，我們通過回歸法K 的公式為：K = 7E-13t 6- 4E-10t5 + 8E-08t4 - 1E-

15、05t3+ 0.0006t2 - 0.0191t +0.2325 5圖4-1 中R2=0.6988 為曲線回歸的均方差，可見存在的誤差并不大。 t為疫情流行的天數(shù)。4.4 模型檢驗通過該公式可預(yù)測疫情開場時或以后的累計病人總數(shù)。例如 要預(yù)測某一天病人的累計總數(shù)，將時間 t 的天數(shù)代入方程 5即可求得 K感染率的大小，因為 L 的值定在 20 天，所以當(dāng) 0<t 20 時，將 K 代入 2；當(dāng) 20<t 40 時，將 K 代入 3；當(dāng) 40<t 60 時，將 K 代入 4。當(dāng) t=10 時，我們根據(jù)方程 5，可求得 K=0.0923, 我們再將 K=0.0923 代入 2得到

16、N8。當(dāng) t=50 時，我們根據(jù)方程 5，可求得 K=0.0614, 我們再將 K=0.0614 代入 2得到 N 308。這與實際給出的數(shù)據(jù)非常接近?？梢哉f明我們的模型是一個比較能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供信息的模型。4.5 模型的應(yīng)用與推廣此模型可以作為預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型。4.6 與指數(shù)模型的比較1我們對不同階段的疫情的計算和預(yù)測建立了不同的模型，這樣來分析比附件1 所提供的早期模型更加的準(zhǔn)確。2對感染率 K 求出了方程，可以知道每一天的疫情感染率，可以更加有效的計算與預(yù)測有關(guān)數(shù)據(jù)。3該模型實用性更強，能更加準(zhǔn)確的反映實情。5 建立模型的關(guān)鍵和困難專業(yè)資料整

17、理WORD格式7專業(yè)資料整理WORD格式X明：傳染病的傳播問題建立模型的關(guān)鍵在于對模型進展動態(tài)的分析，當(dāng)傳染病開展到一定階段在政府的控傳染率下降。此時還用之前的誤差會很大。在建立模型過程中有以下幾個方面的困難：1對不同地區(qū) SARS 的衛(wèi)生知識的宣傳的多少的不同， K 的值就不一樣； 2對某一地區(qū)的不同地方的強化管理也不一樣如公交、商場、餐廳、娛樂場所等 ，K 的值也就不一樣； 3還有保護工具的使用、建筑物的通風(fēng)條件、居住的衛(wèi)生條件等等的不同，都會有有不同的K 的取值。6 對于衛(wèi)生部門采取的措施的評價對于衛(wèi)生部門提前或延后 5 天采取嚴(yán)格的隔離措施的影響，我們可以建立下面的模型進展輔助分析估計

18、：1) 模型參數(shù)定義：S(t) t 時刻易感人群總數(shù)I(t) t 時刻出現(xiàn)的新增患者( ) 患者從患病起經(jīng)過時間，仍為患者的概率( ) 患者距發(fā)病時間，具有傳染性的概率患者與易感人群接觸率近斷時間的醫(yī)學(xué)研究說明，從正式發(fā)病到治愈一般需 7 14 天或更長時間，假定平均治愈時間為 12 天。2) 根本條件假設(shè)：新患者出現(xiàn)的數(shù)量與現(xiàn)有患者的數(shù)量成正比，也與現(xiàn)有易感者的數(shù)量成正比，即發(fā)病率是患者人數(shù)和易感者人數(shù)的雙線性函數(shù)。由根本假設(shè)條件可得：St+1 =S(t)-I(t+1)1tI(t+1)=S(t)I (t ) ( )20經(jīng)整理后得：S(t+1)=S(t)-t3S(t)I (t)()0S(t+1

19、)=S(t)(1-t 4I (t)()0S(t+1)/S(t)=(1-tI (t)() 50雖然不能具體知道的數(shù)值，那么我可以根據(jù)較為理想的均勻平均遞減概率參數(shù)，可得下表：0123456789101112111/1210/129/128/127/126/125/124/123/122/121/120專業(yè)資料整理WORD格式8專業(yè)資料整理WORD格式數(shù)學(xué)建模表 6-1如果病人發(fā)病后5 天才開場隔離，并且的值在疫情初期又較大的話，那么由上表可知病人已經(jīng)分別以11/12 、10/12 、9/12 、8/12 、 7/12的大概率在社會上與易感人群接觸和傳染。由 5式得 :S(t+1)/S(t)=(1

20、-t( )<16I (t )0也就是S(t+1)<S(t)，易感人群總數(shù)將會一以較大的數(shù)值遞減，給疫情的控制帶來更大的困難。而且在現(xiàn)實生活中在第 5 天的5> 7/12 。當(dāng)處于潛伏期時，傳染性幾乎為0，因而同理我們有理由相信：S(t+1)/S(t)=(1-I (t) ( )17t0即 S(t+1) 近似于 S(t) 。所以，如果在病人發(fā)病前提前 5 天隔離的話，新增病人數(shù)將變得很小。7 建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷開展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染病已經(jīng)得到有效的控制，但是在世界的某些地區(qū)，特別是貧窮的開展中國家，還不

21、時出現(xiàn)傳染病流行的情況，與次同時，一些鮮為人知的險惡傳染病那么跨國越界在既包括興旺國家也包括開展中國家的更大X圍內(nèi)蔓延。一直以來，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程， 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律， 預(yù)報傳染病高潮的到來等等，有著重要的作用。以最近突發(fā)性的險惡傳染病SARS為例。從 2002 年 11 月 16 日在中國*市首例發(fā)生家族聚集性發(fā)病至2003 年 5 月，疾病呈迅速蔓延趨勢。目前全世界30 多個國家和 地區(qū)有病例報告。中國大陸、*和*發(fā)病人數(shù)占全球的90%以上。世界衛(wèi)生組織 WHO總干事 Brundtlard博士指出， SARS已威脅到全球人類的*。由于目前對SARS尚無可靠

22、的病理學(xué)診斷，所以只能根據(jù)醫(yī)療衛(wèi)生部門提供的可靠數(shù)據(jù)統(tǒng)計資料，建立模型來描述 SARS病毒的宏觀傳播過程，有助于從量的方面來分析受感染人數(shù)的變化趨勢，掌握 SARS的流行規(guī)律，從而及時對疫情進展控制，提供科學(xué)的數(shù)據(jù)，認清傳染的根本要素，為防病提供必要的依據(jù) 。例如， 5 月 8 日，*交通大學(xué)醫(yī)學(xué)院緊急啟動“建立非典流行趨勢預(yù)測與控制策略數(shù)學(xué)模型研究工程。于5 月 19 日初步完成了第一批成果，這一數(shù)學(xué)模型利用實際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，并對全國和、*等地的疫情進展了計算仿真。結(jié)果指出，將患者及時隔離對于抗擊非典至關(guān)重要。分析報告說，就全國而論，假設(shè)非典病人延遲隔離1 天，就醫(yī)人數(shù)將增加 1000 人左

23、右，推遲兩天約增加2100 人左右；假設(shè)外界輸入1000 人中包含一個病人和一個潛伏病人，將增加患病人數(shù)100 人左右；假設(shè) 4 月 21 日以后，政府未采取隔離措施，那么頂峰期病人人數(shù)將達60 萬人。同時美國"科學(xué)"雜志5 月 23 日發(fā)表的兩份最新研究報告顯示，如果對非典采取嚴(yán)密的公共衛(wèi)生防治措施，這種新型疾病是能夠得到控制的。而采取這種措施需要有一個預(yù)見性，這就需要人們通過模型的建立對SARS的發(fā)病周期、發(fā)病人數(shù)的變化趨勢、疑似人數(shù)的變化趨勢等來分析和預(yù)測。并為政府和醫(yī)療衛(wèi)生部門進展決策和資料調(diào)配提供直專業(yè)資料整理WORD格式9專業(yè)資料整理WORD格式X明：傳染病的傳

24、播問題接的效勞，為相關(guān)的研究部門提供科學(xué)的數(shù)據(jù)。SARS作為新發(fā)傳染病之一，雖有著其特殊性，但也符合一般傳染病的傳播規(guī)律。從 SARS 對人民身體*造成嚴(yán)重危害可以看出及時對傳染病建立模型并進展分析和預(yù)測對人類的生命*有著至關(guān)重要的作用。8 參考文獻1姜啟源數(shù)學(xué)模型 高等教育1993.82云舟工作室數(shù)學(xué)建模根底教程人民郵電2001.73X雙等SARS 臨床病例及影像學(xué)分析中國醫(yī)藥科技2003.5附錄 A疫情的數(shù)據(jù)表日期已確診病例累現(xiàn)有疑似病例死亡累計治愈出院累計計4月20日33940218334月21日48261025434月22日58866628464月23日69378235554月24日7

25、7486339644月25日87795442734月26日988109348764月27日1114125556784月28日1199127559784月29日1347135866834月30日1440140875905月 1日1553141582100專業(yè)資料整理WORD格式10專業(yè)資料整理WORD格式數(shù)學(xué)建模5月 2日16361468911095月 3日17411493961155月 4日180315371001185月 5日189715101031215月 6日196015231071345月 7日204915141101415月 8日213614861121525月 9日21771425

26、1141685月10日222713971161755月 11日226514111201865月12日230413781292085月13日234713381342445月14日237013081392525月15日238813171402575月16日240512651412735月17日242012501453075月18日243412501473325月19日243712491503495月20日244412251543955月21日244412211564475月22日245612051585285月23日246511791605825月24日249011341636675月25日249

27、911051677045月26日250410691687475月27日251210051728285月28日25149411758665月29日25178031769285月30日252076017710065月31日252174718110876月16日2521319020536月17日2521519021206月18日2521419121546月19日2521319121716月20日2521319121896月21日2521219122316月22日2521219122576月23日2521219122776月 1日252273918111246月 2日252273418111576月

28、3日252272418111896月 4日252271818112636月 5日25227161811321專業(yè)資料整理WORD格式11專業(yè)資料整理WORD格式X明：傳染病的傳播問題6月 6日252271318314036月 8日252255018415436月 9日252245118416536月10日252235118617476月 13日25227118719446月 14日2522418919946月 15日252231892021 6月 7日252366818314466月 11日252325718618216月12日25231551871876附錄 Bfunction E=BJ(theta)format long;x= ;C= % 出院人數(shù) ;A= % 累計個案 ;B= ;死亡人數(shù)