離心率的五種求法

1、離心率的五種求法離心率是圓錐曲線中的一個(gè)重要的幾何性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)橢圓的離心率0e1,雙曲線的離心率e1,拋物線的離心率e1.一、直接求出a,c,求解e已知標(biāo)準(zhǔn)方程或ac易求時(shí)，可利用離心率公式c來(lái)求解。e-a2例1.過(guò)雙曲線C:x2y21（b0）的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l,若l與雙曲線M的b2兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是（）A.,10B.,5C.-1D.分析：這里的a1,cJb21,故關(guān)鍵是求出b2,即可利用定義求解。解：易知A（-1,0）,則直線l的方程為yx1。直線與兩條漸近線ybx和ybx的交點(diǎn)分別為B（,-b-）、C（,b-）,又|

2、AB|=|BC|,可解得b29,則b1b1b1b1c,110故有e-d0,從而選A。、變用公式p ce aa13（雙曲線），e1-22（橢圓），整體求出eaa，a例2.已知雙曲線的離心率為（2xa)b21（a 0 b 0）的一條漸近線方程為 y , x，則雙曲線，3A.B.C.D.分析：本題已知b4,不能直接求出a、c,可用整體代入套用公式。a3解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y1(4)25,從而選Aoa331 .設(shè)雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線yx21相切，則該雙曲線的離心率等于A.C.D.解：由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得，因漸近線與拋物線相切,所以，即b2a2

3、.過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為.若AB1bc,則雙曲線的離心率是（）2A.B.C.D答案：Cuur因止匕2AB【解析】對(duì)于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B,G,uur22b2BC,4a2b2,即b24,a3.過(guò)橢圓（）的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【解析】因?yàn)?，再由有即bi2從而可得e1bi72Y3,故選ba3a33三、構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助a、b、c之間的關(guān)系，構(gòu)造a、c的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解得離心率eo例3.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)

4、為，點(diǎn)在橢圓上，且軸，直線交軸于點(diǎn).若uuruurAP2PB,則橢圓的離心率是（）A.B.C.D.uuruur【解析】對(duì)于橢圓，因?yàn)锳P2PB,則1 .設(shè)和為雙曲線（）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D,3【解析】由有，則，故選B.2 .雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,F1MF21200,則雙曲線的離心率為（）A .3、33解：如圖所示,不妨設(shè)M 0,b , F1c,0F2 c,0 ，MF1 MF在F1MF2中,b2cc2b2 ,又 F1F2由余弦定理，得cos2222c b c b2 c2b24c23 .設(shè)是等腰三角形,A.B.2c,F

5、1MF2|MFi|2MF2F1F22MF1 MF22ac 222c a3a22c2,則以為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的離心率為（C.D.4 .設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,設(shè)其方程為：，則一個(gè)焦點(diǎn)為一條漸近線斜率為：，直線的斜率為：，5.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F F2,過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ D ）A B. ； C. 22D.P,若F1PF2. 2 1解:b2,PF22c2 a化為齊次式e222a c 2ac2e 1 0 e 2 1

6、6.雙曲線（a 0,b 0）的左、右焦點(diǎn)分別是，過(guò)作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ B ）22A.B.C.D.7.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（A.B.C.D.行AFAF2= 2AF2 = 2a解？ _ 2_ 2_ 2 ? a?(AF1)2+(AF2)2= (2c)22c ?10 _J0228 .如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線與與 a b（a 0,b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以。為圓心，以O(shè)F1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且F2 AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（A .3B .5、526.解析：連接 AF, /

7、 AF2Fi=30 ,|AFi|二c|AF2|二c,二,雙曲線的離心率為，選 D229.設(shè)E、F2分別是橢圓 二與1 （ a a bb 0）的左、右焦點(diǎn),P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為 3c（c為半焦距）的點(diǎn)，且F2 P ,則橢圓的離心率是（）A；.5 122 X10.設(shè)雙曲線與a2 y b21 (0a b）的半焦距為a,00, b兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線的距離為. 3c4則雙曲線的離心率為A. 22,33B.3C.D.解：由已知，直線L的方程為bx ay ab0,由點(diǎn)到直線的距離公式,ab .a2b2又c23e4a2 16e2b2,16 4ab J3c2,兩邊平方,0,得 16a2 c2 a3c4,整理

8、得得e242一，又 0 a b , ： e322a b2ab222 , a e 4 , aF1F2為邊作正三）11.知F1、F2是雙曲線:與1（a0，b0）的兩焦點(diǎn)，以線段ab角形MFiF2,若邊MFi的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（A.42.3B.31C.-2_JD.312解：如圖，設(shè)MF1的中點(diǎn)為P,_0c、3cic3cQOF1P60,PF1c,Xp,yp，即P(,)2222222把P點(diǎn)坐標(biāo)代人雙曲線方程，有J二=1，4a24b2化簡(jiǎn)得e48e240解得e1君或e1-向舍），故選D四、第二定義法由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱第二定義）知離心率e是動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與相應(yīng)準(zhǔn)線的距離比，特別適

9、用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問(wèn)題。22例4：設(shè)橢圓x-y-1（a0,b0）的右焦點(diǎn)為F1,右準(zhǔn)線為l1,若過(guò)F1且垂直a2b2于X軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)Fi到1i的距離，則橢圓的離心率是V AD義，e解：如圖所示，AB是過(guò)F1且垂直于X軸的弦,1i于D,AD為Fi到準(zhǔn)線1i的距離，根據(jù)橢圓的第二定AFi|2AB1ad|ad|21.在給定橢圓中, 橢圓的離心率為（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為J2，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該解：eAD).222 21.242.在給定雙曲線中，過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為1焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為-2則該雙曲線的離心率為（22五、構(gòu)建關(guān)于e的不等式，求e的取值范圍221.已知雙曲線x2冬1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為600ab的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是()A1,2B1,2C2,D2,222.橢圓x211(ab0)的焦點(diǎn)為E、F2,兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為a2b2M、N,若MN2F1F2,則該橢圓離心率的取值范圍是()1 .21、.2A.0,-B.0,C.-,1D.,12 2221 .雙曲線的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸