空間角的求法(教案)

1、教育資源教育資源空間角，能比較集中反映空間想象能力的要求，歷來為高考命題者垂青，幾乎年年必考。空間角是異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角總稱?？臻g角的計(jì)算思想主要是轉(zhuǎn)化：即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，把角的計(jì)算轉(zhuǎn)化到三角形邊角關(guān)系或是轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解?？臻g角的求法一般是：一找、二證、三計(jì)算。一、異面直線所成角的求法一異面直線所成的角的范圍：0：-_90：|（一）平移法【例1】已知四邊形ABCD為直角梯形，ADBC,/ABC=90，,PA_L平面AC,且BC=2,PA=AD=AB=1,求異面直線pc與BD所成角的余弦值的大小?！窘狻窟^點(diǎn)C作CE/BD交AD的延長線于E,連結(jié)PE,

2、則PC與BD所成的角為/PCE或它的補(bǔ)角。CE=BD=2,且PE=PA2AE2=.10PC2CE2-PE232PC CE二由余弦定理得coSPCE=-J,PC與BD所成角的余弦值為（二）補(bǔ)形法【變式練習(xí)】已知正三棱柱ABC-ABiCi的底面邊長為8,側(cè)棱長為6,D為AC中點(diǎn)。求異面直線ABi與BCi所成角的余弦值。25二、直線與平面所成角D直線與平面所成角的范圍：0一90：1方法：射影轉(zhuǎn)化法（關(guān)鍵是作垂線，找射影）【例2】如圖，在三麴iPABC中，/APB=90，,/PAB=60,，AB=BC=CA,點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影O在AB上，求直線PC與平面ABC所成的角的大小?！窘狻窟B接OC,由已

3、知，/OCP為直線PC與平面ABC所成角設(shè)AB的中點(diǎn)為D,連接PD,CD。AB=BC=CA,所以CD1AB；/APB=90，,/PAB=601所以APAD為等邊三角形。不妨設(shè)PA=2,則OD=1,OP=J3,AB=4在RtAOCP中，tan/OCP=OP=43=叵OC1313【變式練習(xí)1】如圖，四棱錐SABCD中，AB/CD,BC_LCD,側(cè)面SAB為等邊三角形。AB=BC=2,CD=SD=1,求AB與平面SBC所成的角的大小。【解】由AB_L平面SDE知，平面ABCD_L平面SDE作SF_LDE,垂足為F,則SF_L平面ABCD,SF=DDSEE=31DE2作FG_LBC,垂足為G,則FG=

4、DC=1梃SSG,則SG_LBC,又BC_LFG,SGQFG=G故BC_L平面SFG,平面SBC_L平面SFG作FH1SG,H為垂足，則FH_L平面SBCSFFG.21.21FH=一，即F到平面SBC的距離為-一SG7721由于ED/BC,所以ED平面SBC,故E到平面SBC的距離d也為三17d、一21.21設(shè)AB與平面SBC所成的角為u則sina=，則a=arcsinAD _L PD , BC = 1 , PC =2返,EB77【變式練習(xí)2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PD=CD=2,求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。【解】過點(diǎn)P作PE_LCD于點(diǎn)E,連接BE；A

5、D_LPDADDCU平面PDC_L平面ABCD,PE_L面ABCD,則/PBE是直線PB與平面ABCD所成角在RtABCE中，BE=JBC2+CE2=而=PB=JbE2+PE2=VT3在RgBPE中, PE sin -PBE =PB_ .3913面角的求法面角的范圍：0二180；求二面角的大小，關(guān)鍵在于找出或作出二面角的平面角。從找平面角的角度出發(fā)，有以下幾種方法:（一）定義法：在棱上選一恰當(dāng)?shù)摹包c(diǎn)”（一般是選一個(gè)特殊的點(diǎn)，如：垂足、中點(diǎn)等），過這一“點(diǎn)”在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）【例3】在三棱錐PABC中，NAPB=/BPC

6、=NAPC=60、求二面角APBC的余弦值。【解】在PB上取PQ=1,作MQ_LPB交PA于M,作QN_LPB交PC于N【變式練習(xí)】如圖，點(diǎn)A在銳二面角a-MN-P的棱MN上，在面a內(nèi)引射線AP,使AP與MN所成角NPAM=45，,與面P所成角的大小為30,求二面角a-MN-P的大小?！窘狻吭谏渚€AP上取一點(diǎn)B,作BH_LP于點(diǎn)H,作HQ_LMN于Qsi吆BQH=e,則口一MNP為45'2（二）利用三垂線三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這

7、條斜線在平面內(nèi)的射影。從半平面a內(nèi)的任一點(diǎn)A出發(fā)向另一個(gè)半平面P引一條直線AH,過H作棱l的垂線HG,垂足為G,連AG,則由三垂線定理可證l_LAG,故/AGH就是二面角a-1-P的平面角。三垂線定理是求解二面角問題的最常用的方法，其關(guān)鍵是尋找或求作一條垂線，即從第一個(gè)半平面內(nèi)的某一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，且垂直于另一個(gè)半平面?！纠?】如圖，在三麴隹P-ABC中，/APB=90,/PAB=60，,AB=BC=CA,點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影O在AB上，求二面角BAPC的大小。【解】過AB中點(diǎn)D作DE_LAP于E,連接CE,由已知可得，CD，平面PAB據(jù)三垂線定理可知，CE_PA則/CED為BAPC的平面角易知

8、，若AB=1,則DE=百，CD=2j3在RtACDE中，tan/CED=膽=醇=2DE3【變式練習(xí)】在直三棱柱ABCAB1c1中，/BAC=90,AB=BB1=1,直線B,C與平面ABC成30角，求二面角B-BC-A的正弦值?！窘狻坑芍比庵再|(zhì)得平面ABC_L平面BCCiBi,過A作AN_L平面BCCiBi,垂足為N,則AN_L平面BCCiBi（AN即為我們要找的垂線）在平面BCBi內(nèi)過N作NQ，棱BiC,垂足為Q,連QA則/NQA即為二面角的平面角。AABI在平面ABC內(nèi)的射影為AB,CA_LAB二CAIBiA,又AB=BBi=i,得AB=亞;直線BIC與平面ABC成30角二/BiCB=3

9、0，,又BC=2,則RtABiAC中，由勾股定理得AC=J2二AQ=i,在RtABAC中，AB=I,AC=&，得AN=-36即一面角B-BIC-A的正弦值為3從不直接找出平面角的角度出發(fā)，主要有兩種方法：面積法（面積射影法），向量法。（三）面積法（面積射影法）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cose=&）求出二面角的大小e。Sn_S射求證：coso=S【例5】如圖，E為正方體ABCDABiC1D1的棱CC1的中點(diǎn)，求平面ABE和底面ABQ）所成銳角的余弦值。，一一一一，、一，2【答案】所求二面角的余弦值為-3【變式

10、練習(xí)】如圖，S是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且SD_L面ABCD,AB=1,SB=J3。求面ASD與面BSC所成二面角的大小?！敬鸢浮?5：1.（山東）已知三棱柱 ABC - ABCi的側(cè)棱與底面垂直,體積為9 ,底面是邊長為33的正三角形，若P4四、真題演練為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為（）2 .（大綱）已知正四棱柱ABCAABGD,中，AA=2AB,則CD與平面BDCi所成角的正弦值等于（）3 .（山東）如圖所示，在三棱錐PABQ中，PB_L平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn)，AQ=2BD,PD與EQ交于點(diǎn)G,PC與

11、FQ交于點(diǎn)H,連接GH。（1）證明：AB/GH；（2）求二面角DGHE的余弦值。4 .（陜西）如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，AQ_L平面ABCD,AB=AA1=<2。（1）證明：A1C，平面BB1D1D；（2）求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角日的大小。5 .（湖南理）如圖在直棱柱ABCD一A1B1C1D1中，AD/BC,/BAD=900,AC_LBD,BC=1,AD=AA1=3（1）證明：AC_LBD；（2）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值。6 .（四川理）如圖，在三柱ABC-A1B1C中，側(cè)棱AA1_L底面ABC,AB=AC=

12、2AA,/BAC=120,D,D1分別是線段BC,B1c1的中點(diǎn)，P是線段AD的中點(diǎn).（1）在平面ABC內(nèi)，試作出過點(diǎn)P與平面ABC平行的直線l,說明理由，并證明直線l_L平面ADDA；（2）設(shè)（1）中的直線l交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,求二面角AAM-N的余弦值.7 .如圖，在四棱錐SABCD中，ADiZBC且AD_LCD；平面CSD_L平面ABCD,CS-LDS,CS=2AD=2；E為BS的中點(diǎn)，CE=J2,AS=J3.求：(1)點(diǎn)A到平面BCS的距離；(2)二面角ECDA的大小?！窘狻?1)；ADBC,且BC二平面BCS二AD平面BCS則A點(diǎn)到平面BCS的距離等于點(diǎn)到平面BCS的距離平面CSD_L平面ABCD,AD_LCD故ADJ_¥面CSD,從而AD_LSD由AD/BC，得BC_LDS又由CS_LDS知DS_L平面BCS從而DS為點(diǎn)A到平面BCS的距離,RtMDS中DS=a/AS2-AD2=序1=V2(2)如圖，過E作EG_LCD,交CD于點(diǎn)G,又過G點(diǎn)作GH_LCD交AB于H故/EGH為二面角ECDA的平面角，記為8,過E作EFBC，交CS于點(diǎn)F，連結(jié)GF平面ABCD_L平面CSD,GH.LCD易知GHIGF,故6=3NE