高階導(dǎo)數(shù)的運算法則

1、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二章 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：變速直線運動機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義. 若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo),或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導(dǎo)數(shù)

2、二階導(dǎo)數(shù) , 記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為依次類推 ,分別記作則稱機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè),2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例1.思考思考: 設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nx)1 ( ,3xaeay 例例2. 設(shè)求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3

3、. 設(shè), )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè),sinxy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 . 設(shè)bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxba

4、exa求為常數(shù) , ),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè),3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206l

5、im0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x階數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)vunn) 1(推導(dǎo) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vu 3)(vuvuvu)(

6、 vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式萊布尼茲公式成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. ,22xexy 求.)20(y解解: 設(shè),22xveux則xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0!2) 1() 1(nynn)(nyn例例8. 設(shè),arctanxy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1 (2yx用萊布尼茲公式

7、求 n 階導(dǎo)數(shù))1 (2xx22令,0 x得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2() 1(ymm0)0()2(my ) 1(ny12, ! )2() 1(2,0)0()(mnmmnymn即), 2, 1 , 0(m由, 1)0( y得)0(! )2() 1()0() 12(ymymm機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4) 利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法)

8、(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2312xxy1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xBxAxx提示提示: 令)2(xA原式2x) 1(xB原式1x11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxy66cossin)4(3232)(cos

9、)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)( !nxfn2. (填空題) (1) 設(shè),cos)23()(1622xnxxxf則)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:各項均含因子 ( x 2 )nx)2( ! n22!n(2) 已知)(xf任意階可導(dǎo), 且2n時)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf則當(dāng) )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 試從 yyx1dd導(dǎo)出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同樣可求33ddyx(見 P101 題4 ) 作業(yè)作業(yè)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ; 9 (2) , (3)解解: 設(shè))(sin2xfxy 求,y 其中 f 二階可導(dǎo). y yxxfxcos)(sin2)(sin2xf備用題備用題