概率統(tǒng)計(jì)：第一章 隨機(jī)事件的概率(第二節(jié)續(xù))概率公理化定義

1、第一章 隨機(jī)事件的概率第二節(jié) 概率的定義及性質(zhì)四：概率的公理化定義統(tǒng)計(jì)概率克服了古典概率和幾何概率的局限性。然而統(tǒng)計(jì)概率在理論上卻是不嚴(yán)密的。因此，有必要建立概率的公理化定義。從概率的古典定義，幾何定義和統(tǒng)計(jì)定義可以看出：盡管它們的定義內(nèi)容不相同，但是概率都是隨機(jī)事件的實(shí)值函數(shù)，而且還具有共同的三條屬性。因此概率的公理化定義應(yīng)以這些共同的屬性為依據(jù)，使它既可概括前述三種概率定義，又具有更廣泛的一般性。據(jù)此我們得到概率的公理化定義如下：定義6 設(shè)是定義在由試驗(yàn)的一些事件（包含和）所組成的集合上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。如果滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：（1） 對(duì)每一個(gè),;（非負(fù)性）（2） ；（稱(chēng)為規(guī)范性）（3） 對(duì)互

2、不相容的, 成立 ,（稱(chēng)為可列可加性）則稱(chēng)為事件的概率。隨機(jī)試驗(yàn),樣本空間,（包含和）,即是一些（某些具有一定結(jié)構(gòu)關(guān)系的）隨機(jī)事件組成的集合,稱(chēng)為事件域.（事件域的通俗說(shuō)法：事媽?zhuān)缕?，戳事婁子。）定義6 設(shè)是定義在上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),；并且滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：(1) 對(duì)每一個(gè),;(2)；(3)對(duì)互不相容的, 成立 ,則稱(chēng)為上的概率測(cè)度函數(shù),稱(chēng)為事件的概率。這個(gè)定義稱(chēng)為概率的公理化定義. 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫于1933年提出了概率的公理化結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)綜合了前人的結(jié)果，明確定義了基本概念，使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，對(duì)近幾十年來(lái)概率論的迅速發(fā)展起了積極作用。科爾莫戈羅夫的這個(gè)理論已被普遍接受。概

3、率測(cè)度的存在性: 古典概率、幾何概率和統(tǒng)計(jì)概率自然是它的特例.稱(chēng)為概率空間.理論上在上可以定義許多種不同的概率測(cè)度.(設(shè)是上的非負(fù)可積函數(shù)，且，對(duì)任意可測(cè)集，定義 ，則容易驗(yàn)證就是一個(gè)概率測(cè)度。函數(shù)無(wú)窮多，概率測(cè)度亦無(wú)窮多。）驗(yàn)證給定的集函數(shù)是概率也是很困難的.人們通常在某一實(shí)用的概率空間中討論.不難驗(yàn)證，古典概率、幾何概率和統(tǒng)計(jì)概率都是公理化定義范圍內(nèi)的特殊情形。由定義可以推導(dǎo)出概率還具有下列幾個(gè)性質(zhì)：（4） 不可能事件的概率為0，即;證：因?yàn)?且,故由性質(zhì)（3）得,于是得;（5） 概率具有有限可加性。即若互不相容,則有 ;證 令,由性質(zhì)（3）得 ;（6） 對(duì)任意事件,有,;證：因?yàn)?，且，?/p>

4、，即;（7） 若，則，且;證：因?yàn)?，所以，且與互不相容，故由有限可加性得,即又因?yàn)?，?（8） 對(duì)任意事件有； ；證：因，故由性質(zhì)（5）得 ,又，故由性質(zhì)（7）得，,于是得 ;因?yàn)?，所?9)利用歸納法還可以證明：對(duì)任意個(gè)事件，有 ；當(dāng)時(shí)有.計(jì)算復(fù)雜事件的概率或理論推導(dǎo)時(shí)要用到概率的性質(zhì).例6 從佩戴號(hào)碼為1至10的10名乒乓球運(yùn)動(dòng)員中任意選出4人參加比賽。求比賽的4人中：（1）最大號(hào)碼為6的概率。（2）偶數(shù)號(hào)碼不少于3個(gè)的概率。（3）至少有一個(gè)號(hào)碼為奇數(shù)的概率。解：設(shè)“比賽的4人中最大號(hào)碼為6”,“比賽的4人中偶數(shù)號(hào)碼不少于3個(gè)”,“比賽的4人中至少有一號(hào)碼為奇數(shù)”,從10人中任選4人，每種

5、不同的選法即為一基本事件，故基本事件總數(shù)為 .（1） 事件發(fā)生意味著6號(hào)運(yùn)動(dòng)員被選出，而另外3名只能從號(hào)這5名運(yùn)動(dòng)員中任意選出。于是含基本事件數(shù)為。故;（2） 令 “比賽的4人中恰有個(gè)偶數(shù)號(hào)碼”，。由于事件發(fā)生意味著比賽的4人中有個(gè)是從佩戴偶數(shù)號(hào)碼的5名運(yùn)動(dòng)員選出，而其余個(gè)只能從佩戴奇數(shù)號(hào)碼的5名運(yùn)動(dòng)員中任意選。故事件所含基本事件數(shù)為，。,又因?yàn)?，且，故?（3） 因，于是， .(有人這樣做,至少有一號(hào)碼為奇數(shù),就任選出一個(gè)奇數(shù),其它三個(gè)從9個(gè)中任選,這顯然錯(cuò)了,錯(cuò)在哪里,錯(cuò)在這種計(jì)數(shù)有重復(fù)的,例如:先選出1,然后選3,2,4與先選出3,然后選出1,2,4，兩個(gè)是同樣的.)求時(shí)，也可將表成互不

6、相容的事件之和:；其中“比賽的4人中恰有個(gè)奇數(shù)號(hào)碼”。分別求出后再利用概率的有限可加性便得到。, 互不相容,.例7 將個(gè)有區(qū)別的球隨機(jī)地放入個(gè)不同的盒中（每個(gè)盒子容納球的個(gè)數(shù)不限），試求：（1） 某盒（指定的一個(gè)盒）不多于兩個(gè)球的概率；（2）至少有一盒多于一個(gè)球的概率；（3）恰有一盒多于一個(gè)球的概率。解：設(shè)“某盒不多于兩個(gè)球”,“某盒恰有個(gè)球”,;“至少有一盒多于一個(gè)球”,“恰有一盒多于一個(gè)球”,每個(gè)球有種放法,由乘法原理知，個(gè)球有種不同放法,基本事件總數(shù)為。（1） 含基本事件數(shù)為, ,由于，且互不相容。故依概率的有限可加性得;（2） “每盒最多有一個(gè)球”，所含基本事件數(shù)為，;所以由概率性質(zhì)得

7、;（3） 設(shè)“恰好第盒多于一個(gè)球”,(另外的盒每盒最多有一個(gè)球),由于,且互不相容,故依概率的有限可加性得.(“某盒至少有一球”,.)例8 袋中裝有2個(gè)伍分、3個(gè)貳分、5個(gè)壹分的硬幣.任取其中5個(gè),求(1)總值超過(guò)壹角的概率;(2) 總值不少于壹角的概率;(3) 總值等于壹角的概率.解 設(shè) 總值超過(guò)壹角;總值不少于壹角;總值等于壹角,(1),(2) ,(3) .例9 從這十個(gè)數(shù)碼中任意取出4個(gè)排成一行號(hào)碼,求(1)所排號(hào)碼恰排成四位偶數(shù)的概率;(2) 所排號(hào)碼恰排成四位奇數(shù)的概率;(3) 所排號(hào)碼沒(méi)排成四位數(shù)的概率.解(1) 設(shè)排成四位偶數(shù),(末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0), ;(2)

8、 設(shè)排成四位奇數(shù), ;(3)設(shè)沒(méi)排成四位數(shù), .(設(shè)能排成四位偶數(shù),有人這樣考慮,能排成四位偶數(shù),只要四個(gè)數(shù)中有一個(gè)偶數(shù)就可以了,于是,這顯然錯(cuò)誤,計(jì)數(shù)有重復(fù);有人考慮從所有組合中去掉全是奇數(shù)在一起的組合，,這也是錯(cuò)的，即作為組合問(wèn)題，如果把分子分母都乘以，顯然構(gòu)成樣本空間的每一種4個(gè)數(shù)的組合都可以給出個(gè)排列，但是構(gòu)成分子的組合中，例如1,3,5,2四個(gè)數(shù)一組，它們的所有排列中，既有奇數(shù)又有偶數(shù)。)例9 民航機(jī)場(chǎng)的一輛送客汽車(chē)載有5位旅客.設(shè)每位旅客在途中8個(gè)站的任何一站下車(chē)的可能性相同.試求:(1)至少兩位旅客在同一站下車(chē)的概率; (2)某站(指定的一站)恰有兩位旅客下車(chē)的概率;(3)僅有一