（精心整理）萬有引力與航天重點知識歸納及經(jīng)典例題練習(xí)

1、第五講 萬有引力定律重點歸納講練知識梳理考點一、萬有引力定律1. 開普勒行星運動定律（1） 第一定律（軌道定律）：所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。（2） 第二定律（面積定律）：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過相等的面積。（3） 第三定律（周期定律）：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期二次方的比值都相等，表達式：。其中k值與太陽有關(guān)，與行星無關(guān)。（4） 推廣：開普勒行星運動定律不僅適用于行星繞太陽運轉(zhuǎn)，也適用于衛(wèi)星繞地球運轉(zhuǎn)。當衛(wèi)星繞行星旋轉(zhuǎn)時，但k值不同，k與行星有關(guān)，與衛(wèi)星無關(guān)。（5） 中學(xué)階段對天體運動的處理辦法：把橢圓近似為園，太陽

2、在圓心；認為v與不變，行星或衛(wèi)星做勻速圓周運動；，R軌道半徑。2. 萬有引力定律（1） 內(nèi)容：萬有引力F與m1m2成正比，與r2成反比。（2） 公式：，G叫萬有引力常量，。（3） 適用條件：嚴格條件為兩個質(zhì)點；兩個質(zhì)量分布均勻的球體，r指兩球心間的距離；一個均勻球體和球外一個質(zhì)點，r指質(zhì)點到球心間的距離。（4） 兩個物體間的萬有引力也遵循牛頓第三定律。3. 萬有引力與重力的關(guān)系(1) 萬有引力對物體的作用效果可以等效為兩個力的作用，一個是重力mg，另一個是物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力f，如圖所示。在赤道上，F(xiàn)=F向+mg，即；在兩極F=mg，即；故緯度越大，重力加速度越大。由以上分析可知，重力和

3、重力加速度都隨緯度的增加而增大。(2) 物體受到的重力隨地面高度的變化而變化。在地面上，；在地球表面高度為h處：，所以，隨高度的增加，重力加速度減小?？键c二、萬有引力定律的應(yīng)用求天體質(zhì)量及密度1T、r法：，再根據(jù)，當r=R時，2g、R法：，再根據(jù)3v、r法：4v、T法：考點三、星體表面及某高度處的重力加速度1、 星球表面處的重力加速度：在忽略星球自轉(zhuǎn)時，萬有引力近似等于重力，則。注意：R指星球半徑。2、 距星球表面某高度處的重力加速度：，或。注意：衛(wèi)星繞星球做勻速圓周運動，此時的向心加速度，即向心加速度與重力加速度相等?？键c四、天體或衛(wèi)星的運動參數(shù)我們把衛(wèi)星（天體）繞同一中心天體所做的運動看成

4、勻速圓周運動，所需要的向心力由萬有引力提供，就可以求出衛(wèi)星（天體）圓周運動的有關(guān)參數(shù)：1、 線速度： 2、角速度：3周期： 4、向心加速度：規(guī)律：當r變大時，“三小”（v變小,變小,an變?。耙淮蟆保═變大）?？键c五、地球同步衛(wèi)星對于地球同步衛(wèi)星，要理解其特點，記住一些重要數(shù)據(jù)。總結(jié)同步衛(wèi)星的以下“七個一定”。1、 軌道平面一定：與赤道共面。2、 周期一定：T=24h，與地球自轉(zhuǎn)周期相同。3、 角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)角速度相同。4、 繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)方向一致。高度一定：由。5、 線速度大小一定：。6、 向心加速度一定：。考點六、宇宙速度1、 對三種宇宙速度的認識：第一宇宙速度人造衛(wèi)星

5、近地環(huán)繞速度。大小v1=7.9km/s。第一宇宙速度的算法：法一：由，r=R+h，而近地衛(wèi)星h=0，r=R，則，代入數(shù)據(jù)可算得：v1=7.9km/s。法二：忽略地球自轉(zhuǎn)時，萬有引力近似等于重力，則，同理r=R+h，而近地衛(wèi)星h=0，r=R，代入數(shù)據(jù)可算得：v1=7.9km/s。對于其他星球的第一宇宙速度可參照以上兩法計算。計算重力加速度時一般與以下運動結(jié)合：自由落體運動；豎直上拋運動；平拋運動；單擺（2）第二宇宙速度脫離速度。大小v2=11.2km/s，是使物體脫離地球吸引，成為繞太陽運行的行星的最小發(fā)射速度。（3）第三宇宙速度逃逸速度。大小v3=16.7km/s，是使物體脫離逃逸引力吸引束縛

6、的最小發(fā)射速度。2、 環(huán)繞（運行）速度與發(fā)射速度的區(qū)別：BA123三種宇宙速度都是發(fā)射速度，環(huán)繞速度是指衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時的線速度大小；軌道越高，環(huán)繞速度越小，所需的發(fā)射速度越大，所以第一宇宙速度時指最大環(huán)繞速度，最小發(fā)射速度?？键c七 衛(wèi)星變軌問題人造衛(wèi)星發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌，如圖所示，我們從以下幾個方面討論：一、變軌原理及過程1、為了節(jié)約能量，衛(wèi)星在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓形軌道1上。2、在A點點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供軌道上做圓周運動的向心力，衛(wèi)星做離心運動進入軌道2。3、在B點（遠地點）再次點火進入軌道3。二、一些物理量的定性分析1、速度：設(shè)衛(wèi)星在園軌

7、道1和3運行時速率為v1、v3，在A點、B點速率為vA、vB。在A點加速，則vAv1，在B點加速，則v3vB，又因v1v3，故有vAv1v3vB。2、加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道1還是軌道2經(jīng)過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B點加速度也相同。3、周期：設(shè)衛(wèi)星在1、2、3軌道上運行周期分別為T1、T2、T3。軌道半徑分別為r1、r2（半長軸）、r3，由開普勒第三定律可知，T1T2T3。三、從能量角度分析變軌問題的方法把橢圓軌道按平均半徑考慮，根據(jù)軌道半徑越大，衛(wèi)星的機械能越大，衛(wèi)星在各軌道之間變軌的話，若從低軌道進入高軌道，則能量增加，需要加速；若從高軌道進入低

8、軌道，則能量減少，需要減速。四、從向心力的角度分析變軌問題的方法當萬有引力恰好提供衛(wèi)星所需向心力時，即時，衛(wèi)星做勻速圓周運動。若速度突然增大時，萬有引力小于向心力，做離心運動，則衛(wèi)星軌道半徑變大。若速度突然減小時，萬有引力大于向心力，做近心運動，則衛(wèi)星軌道半徑變小?？键c八 雙星問題被相互引力系在一起，互相繞轉(zhuǎn)的兩顆星就叫物理雙星。雙星是繞公共重心轉(zhuǎn)動的一對恒星。如圖所示雙星系統(tǒng)具有以下三個特點：1、各自需要的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即：，；2、兩顆星的周期及角速度都相同，即：T1=T2，1=2；3、兩顆星的半徑與它們之間距離關(guān)系為：r1+r2=L。補充一些需要用到的知識：1、衛(wèi)星的分

9、類：衛(wèi)星根據(jù)軌道平面分類可分為：赤道平面軌道（軌道在赤道平面內(nèi)）；極地軌道（衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極）；任意軌道（與赤道平面的夾角在0º90º之間）。但軌道平面都經(jīng)過地心。衛(wèi)星根據(jù)離地高度分類可分為：近地衛(wèi)星（在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，可認為h=0，r=R）；任意高度衛(wèi)星（離開地面一定高度運行的衛(wèi)星，軌道半徑r=R+h，R指地球半徑，h指衛(wèi)星離地高度，其中同步衛(wèi)星是一個它的一個特例）。軌道平面都經(jīng)過地心。2、人造衛(wèi)星的機械能：E=EK+EP（機械能為動能和引力勢能之和），動能，由運行速度決定；引力勢能由軌道半徑（離地高度）決定，r增大，動能減小，引力勢能

10、增大，但，所以衛(wèi)星的機械能隨著軌道半徑（離地高度）增大而增大。3、人造衛(wèi)星的兩個速度：發(fā)射速度：在地球表面將人造衛(wèi)星送入預(yù)定軌道運行所必須具有的速度，發(fā)射時所具有的動能要包括送入預(yù)定軌道的動能和引力勢能之和，即機械能，所以r增大，發(fā)射速度增大；環(huán)繞（運行）速度：衛(wèi)星在軌道上繞地球做勻速圓周運動所具有的速度，r增大時，環(huán)繞速度減小。4、推導(dǎo)并記住近地衛(wèi)星的幾個物理量的公式和數(shù)值:近地衛(wèi)星指在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，可認為h=0，r=R。運行速度：，它是所有衛(wèi)星的最大運行速度（因為h=0，無需增大引力勢能，故發(fā)射速度等于運行速度，所以這個速度又是所有衛(wèi)星的最小發(fā)射速度）；角速度：

11、，r=R，r最小，它的角速度在所有衛(wèi)星中最大。（無需記數(shù)值）周期：，r=R，=5100s，r最小，它的周期在所有衛(wèi)星中最小。向心加速度：，r=R，r最小，它的向心加速度在所有衛(wèi)星中最大。5、衛(wèi)星的追擊問題：由知，同一軌道上的兩顆衛(wèi)星，周期T相同，后面的不可能追上前面的。衛(wèi)星繞中心天體的半徑越大，T越大。同一半徑方向不同軌道的兩顆衛(wèi)星（設(shè)周期分別為T1、T2 ，且T1T2）再次相遇的時間滿足，或。6、萬有引力與航天知識要注意模型：把天體都看成質(zhì)點；把天體的運動在沒有特殊說明時都看成勻速圓周運動；常見的勻速圓周運動模型分三種：核星模型（中心天體不動，行星或衛(wèi)星繞中心天體運動）；雙星模型（兩顆星繞連

12、線上某點做周期相同的勻速圓周運動）；三星模型（三顆星組成穩(wěn)定的系統(tǒng)，做勻速圓周運動，三顆星一般組成正三角形或在一條直線上）。7、估算問題的思維與解答方法：估算問題首先要找到依據(jù)的物理概念或物理規(guī)律（這是關(guān)鍵）；運用物理方法或近似計算方法，對物理量的數(shù)值或取值范圍進行大致的推算；估算題常常要利用一些隱含條件或生活中的常識。如：在地球表面受到的萬有引力等于重力；地球表面附近的重力加速度g=9.8m/s2；地球自轉(zhuǎn)周期T=24h，公轉(zhuǎn)周期T0=365天；月球繞地球公轉(zhuǎn)周期約為27天；近地衛(wèi)星周期為85分鐘；日地距離約1.5億千米；月地距離約38億千米；同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星的數(shù)據(jù)等。7、 物體隨地球自轉(zhuǎn)

13、的向心加速度與環(huán)繞地球運行的公轉(zhuǎn)向心加速度：物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度由地球?qū)ξ矬w的萬有引力的一個分力提供，計算公式為：，式中T為地球自轉(zhuǎn)周期，R0為地表物體到地軸的距離；衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的向心加速度所需的向心力由地球?qū)λ娜咳f有引力提供，計算公式為：，式中M為地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星與地心的距離。例題講解例1、兩顆人造衛(wèi)星A、B繞地球做圓周運動，周期之比為，則軌道半徑之比和運動速率之比分別為（ ）A. B. C. D. 解析由可得衛(wèi)星的運動周期與軌道半徑的立方的平方根成正比，由可得軌道半徑，然后再由得線速度。所以正確答案為C項例2、如圖1所示,a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星,它們距地

14、面的高度分別是R和2R(R為地球半 徑).下列說法中正確的是( ) A.a、b的線速度大小之比是 1 B.a、b的周期之比是12 C.a、b的角速度大小之比是3 4 D.a、b的向心加速度大小之比是94例3、發(fā)射人造衛(wèi)星是將衛(wèi)星以一定的速度送入預(yù)定軌道。發(fā)射場一般選擇在盡可能靠近赤道的地方，如圖這樣選址的優(yōu)點是，在赤道附近 （ B ）A地球的引力較大 B地球自轉(zhuǎn)線速度較大C重力加速度較大 D地球自轉(zhuǎn)角速度較大解析：由于發(fā)射衛(wèi)星需要將衛(wèi)星以一定的速度送入運動軌道，在靠進赤道處的地面上的物體的線速度最大，發(fā)射時較節(jié)能，因此B正確。Cd例3、關(guān)于“亞洲一號”地球同步通訊衛(wèi)星，下述說法正確的是（D ）

15、A.已知它的質(zhì)量是1.24 t，若將它的質(zhì)量增為2.84 t，其同步軌道半徑變?yōu)樵瓉淼?倍B.它的運行速度為7.9 km/sC.它可以繞過北京的正上方，所以我國能利用其進行電視轉(zhuǎn)播D.它距地面的高度約為地球半徑的5倍,所以衛(wèi)星的向心加速度約為其下方地面上物體的重力加速度的解析同步衛(wèi)星的軌道半徑是一定的，與其質(zhì)量的大小無關(guān)所以A項錯誤因為在地面附近繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的速度近似等于7.9 km/ s，而衛(wèi)星的線速度隨軌道半徑的增大而減小，所以同步衛(wèi)星的線速度一定小于7.9 km/s,實際計算表明它的線速度只有3.07 km/s。所以B項錯誤因同步衛(wèi)星的軌道在赤道的正上方，北京在赤道以北，所

16、以同步軌道不可能過北京的正上方所以C項錯誤同步衛(wèi)星的向心加速度，物體在地面上的重力加速度，依題意，所。四、求天體的第一宇宙速度問題在其他的星體上發(fā)射人造衛(wèi)星時，第一宇宙速度也可以用類似的方法計算，即，式中的M、R、g 分別表示某星體的質(zhì)量、半徑、星球表面的重力加速度例4、若取地球的第一宇宙速度為8 km/s，某行星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的6倍，半徑是地球的1.5倍，這順行星的第一宇宙速度約為（ ）A. 2 km/s B. 4 km/s C. 16 km/s D. 32 km/s解析由得8 m/s，某行星的第一宇宙速度為16 m/s例5、如圖是“嫦娥一號”奔月示意圖,衛(wèi)星發(fā)射后通過自帶的小型火箭多次變

17、軌,進入地月轉(zhuǎn)移軌道,最終被月球引力捕獲,成為繞月衛(wèi)星,并開展對月球的探測.下列說法正確的是( C ) A.發(fā)射“嫦娥一號”的速度必須達到第三宇宙速度B.在繞月圓軌道上,衛(wèi)星周期與衛(wèi)星質(zhì)量有關(guān)C.衛(wèi)星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比D.在繞月圓軌道上,衛(wèi)星受地球的引力大于受月球的引力解析 “嫦娥一號”要想脫離地球的束縛而成為月球的衛(wèi)星,其發(fā)射速度必須達到第二宇宙速度,若發(fā)射速度達到第三宇宙速度,“嫦娥一號”將脫離太陽系的束縛,故選項A錯誤;在繞月球運動時,月球?qū)πl(wèi)星的萬有引力完全提供向心力,則即衛(wèi)星周期與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān),故選項B錯誤;衛(wèi)星所受月球的引力,故選項C正確;在繞月圓軌道上,

18、衛(wèi)星受地球的引力小于受月球的引力,故選項D錯誤.例5、如圖所示，軌道A與軌道B相切于P點，軌道B與軌道C相切于Q點，以下說法正確的是（ ）A.衛(wèi)星在軌道B上由P向Q運動的過程中速率越來越小B.衛(wèi)星在軌道C上經(jīng)過Q點的速率大于在軌道A上經(jīng)過P點的速率C.衛(wèi)星在軌道B上經(jīng)過P時的向心加速度與在軌道A上經(jīng)過P點的向心加速度是相等D.衛(wèi)星在軌道B上經(jīng)過Q點時受到地球的引力小于經(jīng)過P點的時受到地球的引力解析衛(wèi)星在軌道B上由P到Q的過程中，遠離地心，克服地球的引力做功，所以要做減速運動，所以速率是逐漸減小的，A項正確衛(wèi)星在A、C軌道上運行時，軌道半徑不同，根據(jù)可知軌道半徑越大，線速度小，所以有,所以B項錯

19、誤衛(wèi)星在A、B兩軌道上經(jīng)過P點時，離地心的距離相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，C項正確、衛(wèi)星在軌道B上經(jīng)過Q點比經(jīng)過P點時離地心的距離要遠些，受地球的引力要小些，所以D項正確例6.探測器繞月球做勻速圓周運動，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運動，則變軌后與變軌前相比（ ）A.軌道半徑變小 B.向心加速度變小 C.線速度變小 D.角速度變小例7、關(guān)于航天飛機與空間站對接問題，下列說法正確的是（ ）A.先讓航天飛機與空間站在同一軌道上，然后讓航天飛機加速，即可實現(xiàn)對接B.先讓航天飛機與空間站在同一軌道上，然后讓航天飛機減速，即可實現(xiàn)對接C.先讓航天飛機進入較低的軌道，然后再對其進行

20、加速，即可實現(xiàn)對接D.先讓航天飛機進入較高的軌道，然后再對其進行加速，即可實現(xiàn)對接解析航天飛機在軌道運行時，若突然對其加速時，地球?qū)︼w機的萬有引力不足以提供航天飛機繞地球做圓周運動的向心力，航天飛機就會做離心運動，所以選項A、B、D不可能實現(xiàn)對接。正確答案為C項。例8、兩棵靠得很近的天體稱為雙星，它們都繞兩者連線上某點做勻速圓周運動，因而不至于由于萬有引力而吸引到一起，以下說法中正確的是（ ）A.它們做圓周運動的角速度之比與其質(zhì)量成反比B.它們做圓周運動的線速度之比與其質(zhì)量成反比C.它們做圓周運動的半徑與其質(zhì)量成正比 D.它們做圓周運動的半徑與其質(zhì)量成反比解析兩子星繞連線上的某點做圓周運動的周

21、期相等，角速度也相等由得線速度與兩子星圓周運動的半徑是成正比的因為兩子星圓周運動的向心力由兩子星間的萬有引力提供，向心力大小相等，由可知，所以它們的軌道半徑與它們的質(zhì)量是成反比的而線速度又與軌道半徑成正比，所以線速度與它們的質(zhì)量也是成反比的正確答案為B、D選項例9、地球赤道上的物體重力加速度為g,物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a,要使赤道上的物體“飄”起來,則地球轉(zhuǎn)動的角速度應(yīng)為原來的( ) A. B. C. D. 解析設(shè)地球原來自轉(zhuǎn)的角速度為，用F表示地球?qū)Τ嗟郎系奈矬w的萬有引力, N表示地面對物體的支持力，由牛頓第二定律得 而物體受到的支持力與物體的重力是一對平衡力,所以有 當當赤道

22、上的物體“飄”起來時,只有萬有引力提供向心力，設(shè)此時地球轉(zhuǎn)動的角速度為，有 聯(lián)立、三式可得，所以答案為B。例10一物體靜置在平均密度為的球形天體表面的赤道上。已知萬有引力常量，若由于天體自轉(zhuǎn)使物體對天體表面壓力恰好為零，則天體自轉(zhuǎn)周期為（ ）赤道表面的物體對天體表面的壓力為零，說明天體對物體的萬有引力恰好等于物體隨天體轉(zhuǎn)動所需要的向心力，有，化簡得甲、乙兩顆人造地球衛(wèi)星，質(zhì)量相等，它們的軌道都是圓，若甲的運動周期比乙小，則（ ）A甲距地面的高度比乙小 B甲的加速度一定比乙小C甲的加速度一定比乙大 D甲的速度一定比乙大A、B兩顆行星，質(zhì)量之比，半徑之比，則兩行星表面的重力加速度之比為（ ）A.

23、B. C. D.如圖1-4-1所示，在同一軌道平面上，有繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星A、B、C某時刻在同一條直線上，則（ ）A.經(jīng)過一段時間，它們將同時回到原位置B.衛(wèi)星C受到的向心力最小C.衛(wèi)星B的周期比C小 D.衛(wèi)星A的角速度最大人造衛(wèi)星離地球表面距離等于地球半徑R，衛(wèi)星以速度v沿圓軌道運動，設(shè)地面上的重力加速度為g，則（ ）A. B. C. D. 地球公轉(zhuǎn)的軌道半徑是R1，周期是T1，月球繞地球運轉(zhuǎn)的軌道半徑是R2，周期是T2，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比是 （ ）A. B. C. D. 土星外層上有一個環(huán)。為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度a與該l層到土星中心的距離R之間的關(guān)系來判斷： ( )A若vR，則該層是土星的一部分；B若v2R，則該層是土星的衛(wèi)星群C若vR，則該層是土星的一部分D若v2R，該層是土星的衛(wèi)星群火星與地球的質(zhì)量之比為P，半徑之比為q，則火星表面的重力加速度和地球表面的重力加速度之比為（）A. B. C. D.地球表面處的重力加速度為g，則在距地面高度等于地球半徑處的重力加速度為（）A. g B. g/2 C. g/4 D. 2g人造地球衛(wèi)星繞地心為圓心，做勻速圓周運動，下列說法正確的是（）A. 半徑越大，速度越小，周期越小B. 半徑越大，速度越小，周期越大C. 所有衛(wèi)星的