第1講第章第,節(jié)子環(huán),環(huán)同態(tài)和理想ppt課件

1、主講教師主講教師 ： 蔡蔡 炳炳 苓苓 河北師范大學數(shù)學與信息科學學院河北師范大學數(shù)學與信息科學學院)第7-9節(jié) 理想 最大理想 同態(tài) 第三章 環(huán)與域 RS.SR SR ,a bS 定義定義 假設環(huán)假設環(huán)的非空子集的非空子集關于環(huán)關于環(huán)的加法與乘法也做成環(huán)，稱的加法與乘法也做成環(huán)，稱為為的子環(huán)，的子環(huán)，斷定斷定 RSR記作記作,有abS abS 例例(1)2 |(2)03,( )|,；任意環(huán) ，都有兩個子環(huán) 和，叫平凡子環(huán)；（ ）任意環(huán)Ra aZZRRR C RxR xaaxaRR RI(1),有（子加群）a bIabI定義定義 設設為環(huán)為環(huán), ,為為的非空子集的非空子集. .滿足滿足: :

2、那么稱那么稱的一個理想的一個理想. .R假設假設I(2),有（吸收律）aI xRax xaI I為為R由定義可知由定義可知,理想一定是子環(huán)理想一定是子環(huán). .0R與與本身都是本身都是理想稱為平凡理想零理想與單位理想理想稱為平凡理想零理想與單位理想. .R的理想的理想. .這兩個這兩個0,0,IaI R的不等于它本身的理想的不等于它本身的理想( (假設有的話假設有的話) )的真理想的真理想. . 除環(huán)只需零理想與單位理想除環(huán)只需零理想與單位理想.定理定理,bR 11,a aI IR 1,bbI稱為稱為R 普通的，一個環(huán)除平凡理想外還會有其他理想，例如例例 Z( )|,0ddZda aZ dZ d

3、 ,dadZ zZ 有有dZ,0dZ dZ d 試求試求的一切理想的一切理想. .的全部子群為：的全部子群為：為為的理想的理想. . 的全部理想為的全部理想為解解Z()da zz dad azdZ Z由此知由此知, , Z可見：可見：Z的子加群，子環(huán)與理想是一致的的子加群，子環(huán)與理想是一致的.同樣地，模同樣地，模n的剩余類加群也是如此的剩余類加群也是如此.R12,II12121122|,IIaaaI aI 12,II定義定義 設設為環(huán)為環(huán), ,為為的理想的理想. .分別稱為理想分別稱為理想的和與交的和與交. .R集合集合1212 |IIa aIaI 且且R12,II12II 12II 定理定理

4、6 (1)6 (1)環(huán)環(huán)的兩個理想的兩個理想的和的和與交與交都是都是的理想的理想; ;RR(2)(2)環(huán)環(huán)的恣意有限多個理想的和的恣意有限多個理想的和還是理想還是理想. .R的恣意多個理想的交還是理想的恣意多個理想的交還是理想.環(huán)環(huán)證明證明 (1) (1) 111222,a bI a bI ，112122() ()abar sIbI 112212,()xRxx aaxaxIarI 121212()aa xa x a xrxII 12II是是的理想的理想. .R2 21212, , ,r sII r sI r sI 1212,r sIr sIr sII 且且1212,x R xr rxIxr r

5、xIxr rxII 且且12II 是是的理想的理想. .R112122,aabrsIbI 定義定義RaR a( )a( ).IRa IaI 設設為環(huán)為環(huán), , , 稱環(huán)稱環(huán)中一切中一切的理想的交為由的理想的交為由生成的主理想生成的主理想, , , ,即即R包含包含a記作記作( )a1|( ), ,niiiiix ayxaaymaaxy x yR nZmZ 是是中包含中包含Ra的最小理想的最小理想.R( )|.aaRar rR 為有單位元的交換環(huán)時為有單位元的交換環(huán)時因此因此 整數(shù)環(huán)整數(shù)環(huán)Z的每個理想都是主理想的每個理想都是主理想. .R( )|,iiiiax ayxyR 為有單位元的環(huán)時為有單

6、位元的環(huán)時R( )|,arama rR mZ為交換環(huán)時為交換環(huán)時定義定義 R12,na aaR 12()()()naaa 12,na aa1212(,)()()()nna aaaaa 設設為環(huán)為環(huán), , ,那么那么為為的理想的理想, ,稱為稱為生成的理想生成的理想, , 記作記作R由由例例 假設假設Zx是整數(shù)環(huán)上一元多項式環(huán)，那是整數(shù)環(huán)上一元多項式環(huán)，那么么 2,x不是一個主理想不是一個主理想. (見教材見教材112頁頁)RIaI aIbIabI/|R IaI aR 設設為環(huán)，為環(huán)，為為的理想的理想. .那么那么是是的加群意義下的不變子群的加群意義下的不變子群: :2 23 3R1 1IR為為

7、I在在R中的一個陪集中的一個陪集: :/R I()()()aIbIabI 4 4的加法的加法: : 那么那么關于如上所定義的運算構成加群關于如上所定義的運算構成加群. ./R I/|R IaI aR 對加群對加群()()aIbIabI 再規(guī)定乘法再規(guī)定乘法: : 那么那么關于如上所定義的運算構成環(huán)關于如上所定義的運算構成環(huán). ./R I定義：稱環(huán)定義：稱環(huán)為商環(huán)，也稱為環(huán)為商環(huán)，也稱為環(huán)的模理想的模理想的剩余類環(huán)的剩余類環(huán). ./R IRI()()()aIbIabI ()()aIbIabI I()()aIaI ，負元：，負元：零元：零元：/11R IRI 為交換環(huán)為交換環(huán), ,那么那么也是交換

8、環(huán)也是交換環(huán). . 有單位元有單位元, ,那么那么也有單位元也有單位元, ,且且假設假設R/R I假設假設R/R I注：注：例例1 1()()()|ambmabmm ab m()mmZ Z()|0,1,2,1()mZamamZm ( )Zm設設為大于為大于1 1的正整數(shù)的正整數(shù), ,那么那么為為的理想的理想, ,從而思索商環(huán)從而思索商環(huán)即商環(huán)即商環(huán)就是模就是模的剩余類環(huán)的剩余類環(huán). .m( )Zm/RR I:aaI RR到到|( )0KeraRa 定理定理1 1 定義定義2 2 設設為環(huán)為環(huán)的同態(tài)的同態(tài), ,稱集合稱集合為同態(tài)為同態(tài)的核的核. . RR到到RKerRRKer/)(;)(21的理

9、想為(:ker( ) )aa 定理定理2 2環(huán)同態(tài)根本定理設環(huán)同態(tài)根本定理設為環(huán)為環(huán)的同態(tài)滿射的同態(tài)滿射, ,那么那么 定理定理3 子環(huán)與理想在同態(tài)滿射之下的象是子環(huán)與理想在同態(tài)滿射之下的象是子環(huán)與理想；子環(huán)與理想； 子環(huán)與理想在同態(tài)滿射之下的逆象子環(huán)與理想在同態(tài)滿射之下的逆象是子環(huán)與理想是子環(huán)與理想一個環(huán)一個環(huán)R R 的一個不等于的一個不等于R R的理想的理想 I I 除了除了R R 同同I I本人以外，本人以外，沒有包含沒有包含 I I 的理想的理想. .定義：定義：叫做叫做 一個最大理想，假設一個最大理想，假設例：例： 求整數(shù)環(huán)的一切最大理想求整數(shù)環(huán)的一切最大理想.一切理想：一切理想：(

10、 ),0ddZ d ( )d是最大理想是最大理想d是素數(shù)是素數(shù).,( )( , )1,11( )( )(1,)( )( ),.dpIpIZaIapp as tZ psatpIIIIZpddddsts tddsZ 事實上 若 是素數(shù) ，設 是Z的理想且（ ）則但由（ ）及 是理想最大反之，設是最大理想，則 必為素數(shù)，否則 為合數(shù)矛盾引理引理1 1：假定：假定 IR IR 是環(huán)是環(huán) R R 的理想，剩余的理想，剩余類類I是最大理想是最大理想.環(huán)環(huán)R/I只需平凡理想只需平凡理想引理引理2 2：假設一個有單位元的交換環(huán)：假設一個有單位元的交換環(huán)R R只需平凡理想，只需平凡理想， 那么那么R R一定是一個域一定是一個域. .教材117頁定理定理4 4：假定：假定R R是一個有單位元的交換環(huán)，是一個有單位元的交換環(huán)，I I是最大理想。是最大理想。I是是R的一個理想，那么的一個理想，那么R/I是一個域是一個域/( )Zpp定理定理5 5：是域是域是素數(shù)是素數(shù). .例例Z, a bZ ( , )a b在在中中, ,假設假設, ,那么那么是怎樣是怎樣, a b( , )(0)0a b 都是零都是零, ,那么那么解解 (1) (1) 假設假設的主理想的主理想? ?, a bd, s tZ asbtd