魯教八年級上冊數(shù)學(xué)知識點

1、魯教版八年級上冊數(shù)學(xué)知識點第一章 分式一、分式1分式的概念：如果整式A除以整式B, 可以表示成的形式,且除式B中含有字母，那么稱式子為分式。其中, A叫分式的分子, B叫分式的分母。注意：判斷一個代數(shù)式是否為分式,不能將它變形,不能約分后去判斷,即使它約分后是整式也不能說它就是整式,約分之前是分式這個式子就是分式。如:x2x是分式,雖然約分之后等于x是整式,但約分前是分式。是常數(shù),所以a/不是分式而是整式。2有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。(整式的分母中不含有字母)3關(guān)于分式的幾點說明:(1)分式的分母中必須含有未知數(shù)；(2)分式是兩個整式相除的商式,對任意一個分式，分母都不為零；(3)分數(shù)線有

2、除號和括號的作用,如：表示（ab）÷(cd)；(4)“分式的值為零”包含兩層意思：一是分式有意義(分母0)，二是分子的值為零，不要誤解為“只要分子的值為零，分式的值就是零”。4一般的，對分式AB都有：分式有意義 B0；分式無意義 B=0；分式的值為0A=0且B0；分式的值大于0分子分母同號；分式的值小于0分子分母異號。5基本性質(zhì)：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式值不變。二、分式的乘除法1.分式的乘除法則:分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再

3、把所得的冪相除。2.約分:把一個分式的分子和分母的公因式(不為1的數(shù)）約去，這種變形稱為約分。注意:當(dāng)分式的分子分母都是單項式或者是幾個因式乘積的形式時,直接約分； 分式的分子和分母都是多項式時，將分子和分母分解因式再約分。3.最簡分式: 一個分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡分式。約分時，一般要將一個分式化為最簡分式。三、分式的加減法1.通分:利用分式的基本性質(zhì) ,把異分母的分式化為同分分母的過程。通分原則:異分母通分時, 通常取各分母的最簡公分母作為它們的共同分母。通分步驟:先求出所有分式分母的最簡公分母，再將所有分式的分母變?yōu)樽詈喒帜?，同時各分式按照分母所擴大的倍數(shù),相應(yīng)擴

4、大各自的分子。最簡公分母的確定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同字母的最高次冪及單獨字母的冪的乘積。2. 法則:同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減,先通分,化 為同分母的分式,再按同分母分式的加減法法則進行計算。四、分式方程1.概念:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法:去分母(方程兩邊同乘以最簡公分母，將分式方程化為整式程若遇到互為相反數(shù)時，不要忘了改變符號)；按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值；驗根。3.分式方程的增根:在方程變形時，有時會產(chǎn)生不適合原方程的根即代入方程后分母的值為的根，叫做原方程的增根。例題：取 時，方程會產(chǎn)生增根(或說無解

5、)。(思路)在這里增根就是x=3,但不能直接帶入方程求m,所以要先去分母再將x=3帶入求m第二章 相似圖形一、線段的比1.概念:在同一單位長度下,兩條線段的長度的比叫這兩條線段的比。在a:b或中,a叫比例的前項,b叫比例的后項。2.注意:若a:b=k,說明a是b的k倍；兩條線段的比與所采用的長度單位無關(guān),但求比時兩條線段的長度單位必須一致；兩條線段的比值是一個沒有單位的正數(shù)；除a=b外,a:bb:a, a/b與b/a互為倒數(shù)。二、比例線段1.概念:四條線段a,b,c,d中,如果 a與b的比等于c與d的比, 即a:b=c:d (或a/b=c/d), 那么這四條線段 a,b,c,d 叫做成比例線段

6、,簡稱比例線段。a、b、c、d叫比例的項,其中,a、d叫外項,b、c叫內(nèi)項。2.比例中項:當(dāng)a:b=b:c時,稱b為a與c的比例中項。(b2=ac)3.性質(zhì):內(nèi)項之積等于外項之積 若 a/b=c/d 則 ad=bc 合比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 (a+b)/b=(c+d)/d 分比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 (a-b)/b=(c-d)/d 等比性質(zhì) 若 a/b=c/d=m/n(b+d+n0)，則 (a+c+m)(b+d+n)=a/b合分比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) 更比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 c/a=d/b(當(dāng)然也就有a/c=b/d

7、)反比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 b/a=d/c 三、形狀相同的圖形例如:兩個半徑不相等的圓；所有的等邊三角形；所有的正方形；所有的正六邊形。一個圖形各點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘以或除以同一個數(shù)，則連接所得到點的圖形與原圖形形狀相同。四、相似三角形1.概念:對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形,叫做相似三角形(相似符號為“”)。平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。ABCDEDEOBC相似比：相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。2.全等一定相似,相似不一定全等(全等是相似中相似比為1時的特殊情況)五、探索三角形相似的條件1定義判定：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成

8、比例2判定1：兩個角對應(yīng)相等判定2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等判定3：三邊對應(yīng)成比例Rt相似的判定:(除上述三個外)斜邊與一直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。3.三角形相似的判定定理推論 推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。 推論二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。 推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。 推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。 推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似。 推論六：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似。4

9、.(補充)射影定理: 在RtABC中，ACB=900，CD是斜邊AB上的高,則AC2=AD·AB BC2=BD·AB CD2=AD·BD5.(補充)三角形的重心概念:三角形三條中線的交點叫做三角形的重心；三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍。六、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的三個對應(yīng)角相等，三邊對應(yīng)成比例；2相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比，3相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方。 七、測量旗桿的高度(略)八、相似多邊形1.概念:對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。2.性質(zhì)

10、:性質(zhì)1：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；性質(zhì)2：相似多邊形的周長之比等于相似比;面積之比等于相似比的平方。九、位似圖形1.概念:如果兩圖形不僅相似,而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點,像這樣的兩個圖形叫做位似圖形, 這個點叫做位似中心, 這時的相似比又稱為位似比。2.性質(zhì):位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比。 3.探索:利用位似可以把一個圖形放大或縮小；對應(yīng)點連線都交于位似中心,對應(yīng)線段平行或在一條直線上；在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k.。第三章 證明(一)一、定義與命題1.定義的概念:能清楚地規(guī)

11、定某一名稱或術(shù)語的句子叫做該名稱或術(shù)語的定義。2.命題的概念:一般地,判斷一件事情的句子，叫做命題(命題必須是對某事作出判斷)。3.命題的特征:每個命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項。一般地,命題都可以寫成“如果，那么”的形式其中,“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論。4.真假命題:如果條件成立，那么結(jié)論成立(正確的命題),像這樣的命題叫做真命題；條件成立時，不能保證結(jié)論總是正確的，也就是說結(jié)論不成立(錯誤的命題)，這樣的命題叫做假命題。二、證明的必要性三、公理與定理1.公理:通過長期實踐總結(jié)出來，并且被人們公認的真命題叫做公理。2.定

12、理:通過推理得到證實的真命題叫做定理,可以作為判斷其它命題真假的依據(jù)。本教科書選用如下命題作為公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。也可以簡單說成：同位角相等，兩直線平行。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。也可以簡單說成：兩直線平行，同位角相等。兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。此外，等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一個量可以用它的等量來代替”，簡稱為“等量代換”。4、 平行線的判定定理五、平行線的性質(zhì)定理把一個

13、命題的條件和結(jié)論交換后,就構(gòu)成了一個新的命題。如果把原來的命題叫做原命題,那么這個新的命題就叫做原命題的逆命題。一個命題是真命題,它的逆命題不一定是真命題。六、三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角之和為1800 ； 直角三角形的兩個銳角互余。關(guān)于輔助線：輔助線是為了證明需要在原圖上添畫的線(輔助線通常畫成虛線)；它的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來，起到牽線搭橋的作用；添加輔助線，可構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，找到聯(lián)系已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化，但輔助線的添法沒有一定的規(guī)律，要根據(jù)需要而定,平時做題時要注意總結(jié)。第四章 數(shù)據(jù)的收集與處理一、普查和抽樣調(diào)查1.普查:為了一定的目的而考察對象進

14、行的全面調(diào)查,稱為普查。其中,所要考察的對象的全體稱為總體,而組成總體的每一個考察對象稱為個體。普查的優(yōu)點及缺陷:可以直接獲得總體情況,但總體中個體數(shù)目很多時,工作量大,無法一一考察；有時受客觀條件的限制,無法對個體一一考查；有時調(diào)查具有破壞性,不允許對個體一一考查。2.抽樣調(diào)查:從總體中抽取部分個體進行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查,其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本,樣本中的個體的數(shù)目稱為樣本容量。二、數(shù)據(jù)的收集議一議: 抽樣調(diào)查時應(yīng)注意什么?答:抽樣調(diào)查時要注意樣本的代表性、廣泛性和真實性:即被調(diào)查的對象不得太少，被調(diào)查對象應(yīng)是隨意抽取的，調(diào)查數(shù)據(jù)應(yīng)是真實的。抽樣調(diào)查的可行性：1

15、.抽樣調(diào)查只考查總體的一部分，因此其優(yōu)點是調(diào)查范圍小，節(jié)省時間、人力、物力和財力；2.但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準確。三、數(shù)據(jù)的整理對數(shù)據(jù)進行分組整理,就是將收集到的所有數(shù)據(jù)按照一定的標(biāo)準劃分為若干組。通過分組整理,可比較清晰地掌握數(shù)據(jù)的整體分布情況。四、頻數(shù)和頻率我們稱每個考查對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù),而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。公式:頻率=頻數(shù)總次數(shù)頻數(shù)=總次數(shù)×頻率；總次數(shù)=頻數(shù)頻率頻數(shù)之和=總次數(shù)； 頻率之和=1頻數(shù)、頻率、頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)分布折線圖都反映了一組數(shù)據(jù)的分布情況。五、數(shù)據(jù)的波動1.極差的概念:刻畫數(shù)據(jù)離散程度(即相對于“平均水平

16、”的偏離情況)的一個統(tǒng)計量,是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差(極差=最大值-最小值)。極差的意義:極差是最簡單的一種度量數(shù)據(jù)波動情況的量(一般而言,極差小,各個數(shù)據(jù)的波動也就小,它們的平均數(shù)對這組數(shù)據(jù)一般水平的代表性也就大；極差大,平均數(shù)的代表性也就小),但只能反映數(shù)據(jù)的波動范圍,不能衡量每個數(shù)據(jù)的變化情況,而且受極端值的影響較大(當(dāng)個別極端值遠離其它數(shù)據(jù)時,極差往往不能充分反映全體數(shù)據(jù)的實際離散程度)。2.方差的概念:各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)。方差越小，波動越小；方差越大，波動越大。公式:標(biāo)準差：就是方差的算術(shù)平方根規(guī)律：有兩組數(shù)據(jù)，設(shè)其平均數(shù)分別為 、 方差分別為 、 (1)

17、 當(dāng)?shù)诙M每個數(shù)據(jù)比第一組每個數(shù)據(jù)增加m個單位時,則有 = +m， =(2) 當(dāng)?shù)诙M每個數(shù)據(jù)是的第一組每個數(shù)據(jù) n 倍時, 則有=n ， =(3)當(dāng)?shù)诙M每個數(shù)據(jù)是的第一組每個數(shù)據(jù) n 倍加 m 時，則有=n +m， = 第五章 二次根式一、二次根式1.概念:形如0)這樣的式子叫做二次根式(a也是二次根式)。其中a可以是數(shù),也可是單項式和多項式。2.求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開方數(shù)不小于零；分母中有字母時，要保證分母不為零。二、二次根式的性質(zhì)基本性質(zhì)一：=(0)基本性質(zhì)二：積的性質(zhì)：=·(0,b0)商的性質(zhì)： = (0,b0)注：一般地，二次根式化簡的結(jié)果中分母中不含根號，而且根號內(nèi)的數(shù)就是一個自然數(shù)，且自然數(shù)的因數(shù)中，不含有除1以外的自然數(shù)的平方數(shù)，被開方數(shù)為帶分數(shù)時，還要先化為假分數(shù)再利用性質(zhì)化簡。三、二次根式的加減法1.最簡二次根式的兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母(即因數(shù)是整數(shù)，因式是整式) ；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。2.