高等數學d8-2偏導數上課講義

1、高等數學D8-2偏導數定義定義1.),(yxfz 在點), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對在點),(),(00的偏導數，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內;),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數極限設函數)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:0),(dd0yyyxfy同樣可定義對 y 的偏導數 lim0y),(00yxfy

2、若函數 z = f ( x , y ) 在域 D 內每一點 ( x , y ) 處對 x,xzxfxz則該偏導數稱為偏導函數, 也簡稱為偏導數偏導數 ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 或 y 偏導數存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, 三元函數 u = f (x , y , z) 在點 (x , y , z) 處對 x 的偏導數的概念可以推廣到二元以上的函數 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx機動 目錄 上頁 下頁 返回

3、 結束 偏導數定義為(請自己寫出)二元函數偏導數的幾何意義二元函數偏導數的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點 M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點M0 處的切線斜率.是曲線yxz0 xyToxT0y0M機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對 y 軸的函數在某點各偏導數都存在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在該點不一定連續(xù)不一定連續(xù).上

4、節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1 . 求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在點(1 , 2) 處的偏導數.) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 設，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏導數 . 解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry機動 目錄 上頁 下頁

5、返回 結束 偏導數記號是一個例例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說明說明:(R 為常數) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例表明,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 整體記號,二、高階偏導數二、高階偏導數設 z = f (x , y)在域 D 內存在連續(xù)的偏導數),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個偏導數仍存在偏導數，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導數 . 按求導順序不同, 有下列四個

6、二階偏導22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 數:類似可以定義更高階的偏導數.例如，例如，z = f (x , y) 關于 x 的三階偏導數為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關于 x 的 n 1 階偏導數 , 再關于 y 的一階) (yyxznn1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 偏導數為11nnxzyxe22例例5. 求函數yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結論并不總成立.yxe2yxe2

7、2yxe2yxe22yxe22yxe24機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的二階偏導數及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 證明函數222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證

8、：證：xu22xu利用對稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,),()()(00連續(xù)都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則證明 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理.例如例如, 對三元函數 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對 n 元函數的高階混合導數也成立.函數在其定義區(qū)域內是連續(xù)的 , 故求

9、初等函數的高階導數可以選擇方便的求導順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因為初等函數的偏導數仍為初等函數 ,當三階混合偏導數在點 (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時, 有而初等(證明略) 證證: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx則),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續(xù)都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(00

10、00yxfyxfxyyx則)()(00 xxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理.令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同樣)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在點)(00yx ，連續(xù),得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0y內容小結內容小結1. 偏導數的概念及有關結論 定義; 記號; 幾何意義 函數在一點偏導數存在函數在此點連續(xù) 混合偏導數連續(xù)與求導順序無關2. 偏導數的計算方法 求一點處偏導數的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導數的方法逐次求導法(與求導順序無關時, 應選擇方便的求導順序)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,)(xuuf備用題備用題 設, )(ufz 方程)(uuxytdtp )(確定 u 是 x , y 的函數 ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp連續(xù), 且, 1)( u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyu