數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)-課程教學大綱

1、課程教學大綱（第二版）課程教學大綱（第二版）惠州學院數(shù)學系惠州學院數(shù)學系20092009 年年 1010 月月目目 錄錄高等代數(shù)高等代數(shù)教學大綱教學大綱.2數(shù)學分析數(shù)學分析課程教學大綱課程教學大綱.8解析幾何解析幾何課程教學大綱課程教學大綱.12近世代數(shù)近世代數(shù)課程教學大綱課程教學大綱.15常微分方程常微分方程課程教學大綱課程教學大綱.18復變函數(shù)復變函數(shù)課程教學大綱課程教學大綱.22組合數(shù)學組合數(shù)學課程教學課程教學大大綱綱.26初等數(shù)論初等數(shù)論課程教學大綱課程教學大綱.29實變函數(shù)實變函數(shù)課程教學大綱課程教學大綱.32競賽數(shù)學競賽數(shù)學課程教學大綱課程教學大綱.35數(shù)學教育學數(shù)學教育學課程教學

2、大綱課程教學大綱.37高等幾何高等幾何課程教學大綱課程教學大綱.40數(shù)學分析選講數(shù)學分析選講課程教學大綱課程教學大綱.48高等代數(shù)選講高等代數(shù)選講課程教學大綱課程教學大綱.51數(shù)學建模數(shù)學建模課程教學大綱課程教學大綱.57泛函分析泛函分析課程教學大綱課程教學大綱.64拓撲學拓撲學課程教學大綱課程教學大綱.67高等代數(shù)高等代數(shù)教學大綱教學大綱HIGHER ALGEBRA（2009 年年 10 月修訂，李桂貞執(zhí)筆）月修訂，李桂貞執(zhí)筆）一、一、 課程的適用專業(yè)、學時及學分課程的適用專業(yè)、學時及學分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)，192 學時，11 學分。二、課程的性質、目的和任務二、課程的性

3、質、目的和任務高等代數(shù)是高等學校數(shù)學專業(yè)的一門必修的專業(yè)基礎課程。通過學習本課程，使學生掌握一元多項式及線性代數(shù)的基本知識和基礎理論，熟悉和掌握抽象的、嚴格的代數(shù)方法，理解具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辨證關系，提高抽象思維、邏輯推理及運算能力。三、與其它課程的聯(lián)系三、與其它課程的聯(lián)系高等代數(shù)是數(shù)學專業(yè)必修的代數(shù)類基礎課，是中學代數(shù)的繼續(xù)和提高，是后續(xù)的專業(yè)課如常微分方程、近世代數(shù)、泛函分析等課程的先修課。四、課程的基本內容、重點及難點四、課程的基本內容、重點及難點（一）基本概念（一）基本概念本章主要介紹了集合、映射、數(shù)環(huán)、數(shù)域等基本概念，這些概念是學習本課程及其它數(shù)學分支的基礎知識。1

4、、集合子集 集的相等 集合的交與并及其運算律 笛卡兒積2、映射映射 滿射 單射 雙射 映射的相等 映射的合成 可逆映射 映射可逆的充要條件3、數(shù)學歸納法自然數(shù)的最小數(shù)原理 第一數(shù)學歸納法 第二數(shù)學歸納法、整數(shù)的一些整除性質45、數(shù)環(huán)和數(shù)域重點及難點：重點及難點：映射 可逆映射 數(shù)域。（二）多項式（二）多項式本章主要介紹數(shù)域上一元多項式的概念及其運算、整除性、因式分解和有理系數(shù)多項式有理根的求法，簡單介紹了多元多項式及對稱多項式。多項式理論是高等代數(shù)的重要內容，是中學數(shù)學有關知識的加深和擴充，是學習其它數(shù)學分支的必要基礎。1、一元多項式的定義和運算2、多項式的整除性整除的基本性質 帶余除法定理3

5、、多項式的最大公因式最大公因式概念、性質 輾轉相除法 多項式互素概念、性質4、多項式的唯一因式分解定理不可約多項式概念 唯一因式分解定理 典型分解式5、多項式的重因式多項式的重因式概念 多項式有重因式的充要條件6、多項式函數(shù)與多項式的根多項式函數(shù)的概念 余式定理 綜合除法 多項式的根的概念 根與一次因式的關系 多項式根的個數(shù)7、復數(shù)域和實數(shù)域上多項式的因式分解（代數(shù)基本定理不證明）8、有理數(shù)域上多項式的可約性及有理根本原多項式的定義 Gauss 引理 整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上的可約性問題 Eisenstein判別法 有理數(shù)域上多頂式的有理根9、多元多項式 多元多項式的概念 字典排列法 多元多項

6、式的和與積的次數(shù)10、對稱多項式對稱多項式的概念 初等對稱多項式 對稱多項式基本定理重點及難點：重點及難點：整除，最大公因式，互素，唯一分解定理，代數(shù)基本定理，Eisenstein 判別法。（三）行列式（三）行列式行列式是線性方程組理論的一個重要組成部分，是中學數(shù)學有關內容的提高和推廣，也是一種重要的數(shù)學工具。1、二階和三階行列式的結構2、排列排列的概念 反序數(shù)及排列的奇偶性 對換及其對排列奇偶性的影響3、n 階行列式的定義和性質4、行列式依行依列展開余子式與代數(shù)余子式的概念 行列式依行依列展開 Vandermonde 行列式5、Cramer 規(guī)則6、Laplace 定理重點及難點：重點及難點

7、：n 階行列式的計算，Vandermonde 行列式的計算及應用。（四）線性方程組本章在理論上解決了線性方程組有解的判定，解的個數(shù)及求法，對中學數(shù)學有直接的指導意義。此外，它在本課程及數(shù)學的其它分支、生產實踐及其它學科都有廣泛應用。1、線線方程組的消元法線性方程組的初等變換 方程組的一般解和自由未知量 系數(shù)矩陣和增廣矩陣2、矩陣的秩k 階子式 矩陣秩的定義 初等變換不改變矩陣的秩 用初等變換求矩陣的秩3、線性方程組有解的判別法線性方程組有解判別定理及解的個數(shù)定理4、線性方程組的公式解線性方程組的公式解 齊次線性方程組及其非零解的概念 齊次線性方程組有非零解的充要條件、結式和判別式5結式判別式二

8、元高次方程組的解法重點及難點：重點及難點：矩陣的秩的概念及求法 線性方程組有解的判別及求解（五）矩陣（五）矩陣矩陣是線性代數(shù)的一個主要研究對象，它是數(shù)學及其它學科的一個重要工具。本章主要介紹矩陣的運算及其基本性質。1、矩陣的運算矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉置 單位矩陣2、逆矩陣可逆矩陣及逆矩陣的概念 可逆矩陣的性質 求逆矩陣的公式3、初等矩陣初等矩陣與初等變換的關系 可逆矩陣的判定 用初等變換求逆矩陣4、矩陣乘積的行列式與秩5、矩陣的分塊矩陣的分塊分塊矩陣的加法、數(shù)乘及乘法 對角線分塊矩陣重點及難點：重點及難點：逆矩陣的求法，初等矩陣與初等變換的關系。（六）向量空間（六）向量空間向量空間的理論是

9、線性代數(shù)的主要內容，它在自然科學和工程技術的許多領域中有著廣泛的應用。本章主要介紹向量空間的概念與性質。1、向量空間的定義、例子及簡單性質。2、子空間子空間的定義及充要條件 子空間的交與和3、向量組的線性相關性線性相關 線性無關 替換定理及其推論 等價的向量組及其性質 極大無關組及其性質4、基和維數(shù)生成子空間 基和維數(shù)的定義 基的性質 維數(shù)公式5、子空間的直和直和的定義及充要條件。6、坐標坐標的定義 過渡矩陣 基變換公式 坐標變換公式7、向量空間的同構同構映射的定義與性質 向量空間同構的定義與充要條件8、齊次線性方程組的解空間矩陣的行（列）空間齊次線性方程組的基礎解系9、非齊次線性方程組解的結

10、構。重點及難點：重點及難點：向量的線性相關性，基與維數(shù)的求法，過渡矩陣，直和的充要條件，齊次線性方程組的基礎解系，線性方程組解的結構。（七）線性變換（七）線性變換線性變換是向量空間中最簡單而又最基本的變換。它是線性代數(shù)的主要研究對象之一，對于研討向量空間中向量之間的內在聯(lián)系及向量空間的結構起著重要的作用。本章主要介紹線性變換的運算、性質、線性變換與矩陣的關系及矩陣的相似與化簡。1、線性變換的定義及其簡單性質2、線性變換的象與核線性變換的象與核的定義及其基與維數(shù)的求法3、線性變換的運算線性變換的加法、數(shù)乘與乘法 可逆線性變換及其逆變換4、線性變換和矩陣線性變換的矩陣 向量的象的坐標公式 線性變換

11、與矩陣的同構對應5、矩陣的相似矩陣相似的定義 同一線性變換關于不同基的矩陣之間的關系6、不變子空間7、特征根、特征向量、特征多項式特征根、特征向量及特征子空間的定義、求法 矩陣的跡和行列式同特征根的關系 相似矩陣的特征多項式8、可對角化的矩陣屬于不同特征根的特征向量的線性無關性 特征子空間的維數(shù)與所屬特征根的重數(shù)關系線性變換和矩陣可對角化的條件重點及難點重點及難點：線性變換與矩陣的同構對應，特征根，特征向量，矩陣的相似，線性變換的象與核。（八）歐氏空間（八）歐氏空間歐氏空間是實數(shù)域上帶有一個內積的向量空間，是通常幾何空間的推廣。本章主要介紹歐氏空間的概念，標準正交基和正交變換。1、歐氏空間的定

12、義及基本性質2、CauchySchwarz 不等式 向量的長度及兩個向量的夾角3、正交基標準正交基和正交化方法4、向量與子空間的正交 正交補向量到子空間的距離5、同構的定義和同構的充要條件6、正交變換與正交矩陣正交變換與正交矩陣的關系 一個線性變換是正交變換的充要條件7、對稱變換與實對稱矩陣對稱變換的定義 對稱變換與實對稱矩陣的關系 對稱矩陣的標準形、酉空間8、酉變換和對稱變換9重點及難點重點及難點：Cauahy-Schwarz 不等式，正交基與正交化方法，正交補，正交變換，對稱矩陣的標準形。（九）二次型（九）二次型二次型的理論起源于解析幾何中二次曲線和二次曲面的分類，是中學有關內容的深入和提

13、高，也是線性代數(shù)的一個主要研究對象。本章主要介紹化二次型為標準形和正定二次型的判別。1、二次型的矩陣表示二次型的定義 變量的非退化線性變換 二次型的秩 二次型的化簡與對稱矩陣的合同2、標準形3、復數(shù)域和實數(shù)域上二次型的標準形的唯一性 慣性定理4、正定二次型的定義及充要條件正定二次型的定義正定矩陣正定二次型的充要條件重點及難點重點及難點：矩陣的合同，求二次型的標準形和典范形，正定二次型的判別。五、學時分配表各教學環(huán)節(jié)學時分配表章 節(jié)主要內容講授實驗討論習題課外其它小計備 注一基本概念628二多項式242632三行列式14418四線性方程組12214五矩陣122418六向量空間242632七線性變

14、換24630八歐氏空間和酉空間18624九二次型14216合 計148638192六、教材與參考書1 張禾瑞，郝鈵新編， 高等代數(shù)（第四版） ，高等教育出版社，2001 年（選用教材）2 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編， 高等代數(shù) ，高等教育出版社，20003 錢芳華，黎有高等編， 高等代數(shù)習題課教材 ，廣西師范大學出版社，2001.4 王品超編， 高等代數(shù)新方法 ，山東教育出版社，1989 5 楊子胥編， 高等代數(shù)習題解 ，山東科學技術出版社 返回目錄數(shù)學分析數(shù)學分析課程教學大綱課程教學大綱MATHEMATICAL ANALYSIS（2009 年年 10 修訂，許金泉執(zhí)筆）修訂，許

15、金泉執(zhí)筆）一、選用專業(yè)，學時及學分一、選用專業(yè)，學時及學分本課程適用專業(yè)為：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)；學時：264，學分:15 學分，分三學期授課（第一、二、三學期 ） 。二、課程的性質、目的和任務二、課程的性質、目的和任務本課程是高等師范院校數(shù)學教育專業(yè)的一門最重要的基礎課，授課時間最長。通過本課程的學習使學生掌握極限論，一元函數(shù)微積分學，無窮級數(shù)及多元函數(shù)微積分學方面的系統(tǒng)知識，為進一步學習復變函數(shù)論，微分方程，微分幾何，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，實變函數(shù)，數(shù)學模型等后續(xù)課程，也是為深入理解初等數(shù)學及從事中學數(shù)學工作打下堅實的基礎。三、課程的基本內容、重點及難點三、課程的基本內容、重點及難點（一）函數(shù)函

16、數(shù)概念，函數(shù)的四則運算、圖象、數(shù)列、函數(shù)的有界性、單調性，奇偶性、周期性，復合函數(shù)，反函數(shù)，初等函數(shù)。重點和難點：函數(shù)的概念與表示，函數(shù)的復合運算。（二）數(shù)列極限極限思想、數(shù)列極限概念、收斂數(shù)列的性質：唯一性、有界性、單調性，保號性、迫斂性；收斂數(shù)列的四則運算，數(shù)列收斂的判別法；單調有界定理，柯西收斂準則；子數(shù)列及其收斂性。重點和難點：數(shù)列極限概念，N 方法的運用，數(shù)列收斂的判別。（三）函數(shù)極限x時函數(shù) f（X）的極限，xa 時函數(shù) f（X）的極限 ，單側極限，函數(shù)極限的性質，函數(shù)極限 與數(shù)列極限的關系，函數(shù)極限存在判別法，無窮小，無窮大，無窮小的比較。重點和難點：函數(shù)極限概念，- 方法的運用

17、，函數(shù)極限存在判別法。（四）連續(xù)函數(shù)函數(shù)在一點的連續(xù)性，函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性，單側連續(xù)性，間斷點及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質：有界性，最值性，介值性，一致連續(xù)性；連續(xù)函數(shù)的四則運算，反函數(shù)，復合函數(shù)及初等函數(shù)的連續(xù)性。重點和難點：連續(xù)函數(shù)的概念，連續(xù)函數(shù)的性質，一致連續(xù)性。（五）實數(shù)的連續(xù)性實數(shù)連續(xù)性的基本定理：閉區(qū)間套定理，確界定理，有限復蓋定理，聚點定理 ，致密性定理，柯西收斂準則；閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質的證明。重點及難點：柯西收斂準則，實數(shù)完備性定理的等價性。（六）導數(shù)與微分引出導數(shù)概念的實例，導數(shù)概念；求導法則與導數(shù)公式;隱函數(shù)與參數(shù)方程求導法則；微分概念及運算，近似

18、計算；高階導數(shù)與高階微分。重點和難點：導數(shù)概念及其計算，復合函數(shù)微分法。（七）微分學基本定理及其應用微分中值定理；待定型計算的洛必達法則；泰勒公式；導數(shù)在研究函數(shù)上的應用：單調性的判定，極限與最值，曲線凹凸性，拐點，漸進線；函數(shù)圖象的描繪。重點與難點：拉格朗日中值定理及其證明方法，極值的判定。（八）不定積分原函數(shù)與不定積分的概念，基本初等函數(shù)的積分公式；換元積分法與分部積分法；有理函數(shù)的積分法，三角函數(shù)及簡單無理函數(shù)的不定積分。重點與難點：不定積分的概念與計算，第一類換元積分法。（九）定積分引出定積分概念的實例，定積分概念；可積準則：可積必要條件，小和與大和，可積充要條件，三類可積函數(shù)；定積分

19、性質；定積分的計算：積分上限函數(shù)，定積分基本公式，換元積分與分部積分法；定積分的應用：微元法，平面面積，體積，弧長，旋轉曲面面積的計算，定積分在物理上的應用。重點與難點：定積分概念，定積分性質，積分上限函數(shù)，定積分的應用。(十)無窮級數(shù)1數(shù)值級數(shù)：級數(shù)收斂與發(fā)散的概念，收斂級數(shù)的性質，正項級數(shù)及其斂散性的判定；交錯級數(shù)，任意項級數(shù)，絕對收斂，條件收斂。2函數(shù)項級數(shù)：函數(shù)級數(shù)的收斂域，一致收斂的概念與判定；函數(shù)列的一致收斂，和函數(shù)的分析性質。3冪級數(shù)：冪級數(shù)的收斂域，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質，泰勒級數(shù)，基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開，冪級數(shù)的應用。4付立葉級數(shù)。重點與難點：正項級數(shù)審斂法，函數(shù)級數(shù)一致收

20、斂的概念與判定，冪級數(shù)收斂區(qū)間及和函數(shù)求法，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開。（十一）多元函數(shù)微分學1. 多元函數(shù)：平面點集，坐標平面的連續(xù)性，多元函數(shù)的概念。2. 二元函數(shù)的極限與連續(xù)。3. 多元函數(shù)微分法：偏導數(shù)，全微分定義及幾何意義，復合函數(shù)微分法，方向導數(shù)。4. 高階導數(shù)與二元函數(shù)的泰勒公式重點與難點：二重極限，累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性，多元復合函數(shù)的微分法（十二）隱函數(shù)存在性定理及其應用1隱函數(shù)概念，隱函數(shù)存在性定理，隱函數(shù)求導法則；隱函數(shù)組，隱函數(shù)組的存在性定理及求導法則。2函數(shù)行列式及其性質。3幾何應用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；條件極值。重點與難點

21、：隱函數(shù)存在性定理及求導法則。（十三）廣義積分與含參變量的積分1. 無窮積分：無窮積分收斂與發(fā)散的概念，無窮積分的性質，無窮積分斂散性的判定。2. 瑕積分：瑕積分收斂與發(fā)散的概念，瑕積分斂散性的判定。3. 含參變量的有限積分，含參變量的無窮積分，函數(shù)與函數(shù)。重點與難點：無窮積分、瑕積分收斂與發(fā)散的概念，判定，含參變量的無窮積分的一致收斂性。（十四）重積分1. 二重積分：引出二重積分定義的實例，二重積分的概念，性質，二重積分的計算，二重積分的換元，曲面面積。2.三重積分：三重積分的定義，計算，換元及簡單應用。重點與難點：二重積分的概念與計算，三重積分的換元。（十五）曲線積分與曲面積分1曲線積分：

22、第一、二型曲線積分的概念與計算；格林公式，曲線積分與路徑無關的條件。2曲面積分：第一、二型曲面積分概念與計算，奧高公式，斯托克斯公式。3場論初步：梯度，散度，旋度。重點和難點：兩類曲線積分的概念及計算，格林公式及曲線積分與路徑無關的條件。四、學時分配表四、學時分配表各教學環(huán)節(jié)學時分配表章節(jié)主要內容講授實驗討論習題課外其它小計備注一函數(shù)628二數(shù)列極限8412三函數(shù)極限12416四連續(xù)函數(shù)8210五實數(shù)連續(xù)性628六導數(shù)與微分10414七中值定理及導數(shù)應用16622八不定積分10414九定積分18826十無窮級數(shù)28836十一多元函數(shù)微分學20626十二隱函數(shù)10414十三廣義積分與參量積分86

23、14十四重積分16622十五線面積分16622合 計19272264五、教材與教學參考書五、教材與教學參考書1 數(shù)學分析講義上下冊，劉玉璉編，高等教育出版社。2 數(shù)學分析 （第二版）華東師范大學編,高教出版社。3 數(shù)學分析上下冊，江澤堅、吳智全、周光亞編,人民教育出版社。4 數(shù)學分析原理第一、二卷 菲赫金哥爾茨著,人民教育出版社。5 數(shù)學分析習題集吉米多維奇著。 返回目錄解析幾何解析幾何課程教學大綱課程教學大綱ANALYTIC GEOMETRY（2009 年修訂，王小梅執(zhí)筆）年修訂，王小梅執(zhí)筆）一、課程的適用專業(yè)、學時及學分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)，60 學時，4 學分。二、課程

24、的性質、目的和任務解析幾何是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的一門專業(yè)必修課。通過學習本課程，使學生系統(tǒng)掌握向量代數(shù)、平面與空間直線，二次曲面以及常用的一些特殊曲線和曲面等空間解析幾何的基本知識，掌握以向量為工具運用代數(shù)知識解決幾何問題的基本思想方法，提高運用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，提高空間想象能力，為進一步學習后繼課程和從事中學數(shù)學教育打下基礎。三、與其他課程的聯(lián)系本課程是數(shù)形結合的典型學科，是從學習初等數(shù)學進入學習高等數(shù)學的轉折點，是進一步學習數(shù)學專業(yè)其他課程的基礎，也是學習物理及工程技術的基礎。四、課程的基本內容、重點及難點（一）向量與坐標（一）向量與坐標（2020 學時）學時）1.向量的概念；2

25、.向量的加法；3.數(shù)量乘向量；4.向量的線性關系與向量的分解；5.標架與坐標；6.向量在軸上的射影；7.兩向量的數(shù)量積；8.兩向量的向量積；9.三向量的混合積；重點及難點重點及難點向量的各種運算及運算律，尤其要注意的是向量的數(shù)量積和向量的向量積運算不滿足結合律；兩向量的向量積不滿足交換律等。向量在軸上的射影的概念，向量的線性關系與向量的分解的有關結論。（二（二）軌跡與方程）軌跡與方程 （8 8 學時）學時）1.平面曲線的方程；2.曲面的方程；3.空間曲線的方程。重點及難點：曲面和空間曲線方程的建立；對于缺少某一坐標的方程所代表的軌跡，必須首先明確它所討論的范圍。（三）平面與空間直線（三）平面與

26、空間直線（1818 學時）學時）1.平面方程；2.平面與點的相關位置；3.兩平面的相關位置；4.空間直線的方程；5.直線與平面的相關位置；6. 空間直線與點的相關位置；7. 空間兩直線的相關位置；8.平面束。重點及難點：平面和空間直線各種方程的求法；各種方程中系數(shù)的幾何意義；點、直線與平面的各種相關位置。（四）柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面（四）柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面（1414 學時）學時）1.柱面；2.錐面；3.旋轉曲面；4.橢球面；5.雙曲面；6.拋物面；7.單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。重點及難點：柱面、錐面、旋轉與二次曲面的定義及方程；特殊二次曲面方程所表示的圖形。從橢球面、

27、拋物面、雙曲面的方程出發(fā)，利用平行截割法討論曲面的形狀及性質；單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線方程。五、學時分配表各教學環(huán)節(jié)學時分配章節(jié)主 要 內 容講授實驗討論習題課外其他小計備注一向量與坐標16420二軌跡與方程628三平面與空間直線14418四柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面12214合 計481260六、教材與教學參考書教材教材解析幾何 （第四版）呂林根、許子道編 高等教育出版社參考書參考書1、 解析幾何學習指導書呂林根、張紫霞、孫存金編 高等教育出版社2、 解析幾何講義華南師范大學數(shù)學系幾何教研室編 廣東高教出版社3、 空間解析幾何引論南開大學數(shù)學系編 人民教育出版社4、 空間解析幾何及

28、其應用蔣大為編著 科學出版社 返回目錄近世代數(shù)近世代數(shù)課程教學大綱課程教學大綱MODERN ALGEBRA（2009 年年 10 修訂，潘慶年執(zhí)筆）修訂，潘慶年執(zhí)筆）一、課程的適用專業(yè)、學時及學分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)，68 學時，4 學分。二、課程的性質、目的和任務近世代數(shù)是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)一門必修的專業(yè)基礎課，是現(xiàn)代數(shù)學的重要基礎之一。通過本課的學習，能夠使學生掌握群、環(huán)、域的基礎知識，深刻理解和體會公化這一現(xiàn)代數(shù)學的思想方法，同時掌握代數(shù)的一些基本方法：集合、運算、運算性質，特殊元素，特殊子對象，商對象，同態(tài)同構，為學生的進一步學習提供理論基礎和方法保證，加深對中等數(shù)學

29、中代數(shù)體系的理解。三、與其它課程的聯(lián)系本課程的學習需要一定集合論和高等代數(shù)的基礎，對數(shù)論、組合論、離散數(shù)學的學習有一定的幫助。四、課程的基本內容、重點及難點（一）基本概念 1、集合及其運算。2、映射，映射的合成，一一映射，可逆映射擊，一一映射與可逆映射的關系。 3、代數(shù)運算及其運算律。 4、同態(tài)，同構，自同態(tài)，自同構。 5、等價關系，集合元素的分類，二者的關系。重點及難點：同態(tài)、同構等價關系與集合元素的分類（二）群1、群的定義及其等價條件。2、群的同態(tài)及其性質。3、變換群，Cayley 定理。4、置換群，置換的循環(huán)表方法，交代群。5、循環(huán)群，整數(shù)加群 Z 和模 n 剩余類加群 Zn，結構定理。

30、6、子群及子群的陪集，Lagrange 定理。7、不變子群，商群，同態(tài)基本定理。重點及難點：群的定義，循環(huán)群與置換群，不變子群與商群，同態(tài)基本定理。（三）環(huán)與域1、環(huán)的定義及簡單性質，幾類常用的環(huán)的實例。2、交換律，單位元，可逆元，零因子，正則元，整環(huán)。3、除環(huán)和域，四元數(shù)除環(huán)，域中元的運算。4、無零因子環(huán)的特征。5、子環(huán)，環(huán)的同態(tài)及同態(tài)映射的性質。6、多項式環(huán)，同態(tài)及代入法，未定元的存在性。7、理想，剩余類（商）環(huán)，同態(tài)基本定理。8、極大理想，域的構作。9、分式域的存在條件及其構作方法重點與難點：環(huán)（域）的概念，幾類常用環(huán)的性質，理想與商環(huán)，同態(tài)及同態(tài)基本定理。（四）整環(huán)的因子分解理論1、整

31、除，因子與平幾因子，相伴元，素元，唯一分解。2、唯一分解環(huán)及其等價條件，最大公因子，互素。3、主理想環(huán)，升鏈條件，極大理想與素元的關系。4、歐氏環(huán)、唯一分解環(huán)、主理想環(huán)及其之間的關系。5、多項式環(huán)的因子分解，根。重點與難點：素元，唯一分解問題。（五）擴域1、擴域，素域，最小擴域 F（S）的構造及其性質。2、代數(shù)元與超越元，單代數(shù)擴域的同構定理，單超越擴域的同構定理。3、代數(shù)擴域，有限擴域，二者的關系4、多項式的分裂域，存在及其唯一性。5、有限域，有限域的階，多項式 xq-x 的分裂域。重點與難點：單擴 F（）的同構定理，代數(shù)擴域，分裂域的存在及唯一，有限域的性質。五、學時分配表 各教學環(huán)節(jié)學時

32、分配表章節(jié)主要內容講授實驗討論習題課外其它小計備注一基本概念8210二群論17320三環(huán)與域17320四整環(huán)里的因子分解10212五擴域（選講）66 合 計581068六、教材與教學參考書 1張禾瑞. 近世代數(shù)基礎. 北京:高教出版社, 2000 年（選用教材）（選用教材） and Company ， 198510Joseph. J. Rotman. 抽象代數(shù)基礎教程 ( 英文版). 第 2 版. 北京:機械工業(yè)出版社 ,2004 年11Joseph A Gallian Contemporary abstract algebra Boston :New York Houghton Miffli

33、n Company ， 1998 返回目錄常微分方程常微分方程課程教學大綱課程教學大綱ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS (2009 年修訂年修訂 王宗毅執(zhí)筆王宗毅執(zhí)筆)一、課程的適用專業(yè)、學時及學分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)，68 學時，4 學分。二、課程的性質、目的和任務微分方程是高等師范院校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的基礎課程之一，通過該課程的學習，使學生正確理解微分方程的基本概念，掌握基本理論和主要方法，具有一定的解題能力，為學習本學科的近代內容和后繼課程打下基礎，同時使學生認識到微分方程在解決實際問題的重要性，以及數(shù)學來源于實踐，又服務于實踐，從而有助

34、于樹立辨證唯物主義觀點。實施本大綱請注意：.貫徹理論聯(lián)系實際的原則，力求反映微分方程的實際背景及其應用，各章安排適當?shù)膽美}。.要抓住基本內容，重點放在系統(tǒng)地介紹線性方程(組)的基本理論與主要方法上。.注意通過典型例題的介紹，使學生理解與掌握基本概念領會基本理論的作用與意義。.注意基本技能的訓練，安排一定數(shù)量的練習題，以及難度適宜的證明題。.加強與有關課程的聯(lián)系與配合，通過對數(shù)學分析、高等代數(shù)、普通物理等課程中已學得的知識的應用，使學習得到鞏固和深化。.適當注意內容現(xiàn)代化，如列入有關穩(wěn)定性理論的基本概念和問題，講授微分方程組的理論時，要注意多用矩陣工具。三、與其它課程的聯(lián)系本課程的先修課是數(shù)

35、學分析、線性代數(shù)等課程。數(shù)學分析、線性代數(shù)為本課程打下基礎；后續(xù)課程，如數(shù)學模型、控制論、偏微分方程數(shù)等課程為其提供應用和發(fā)展。故本課程應安排在第三學期講授。四、課程的基本內容、重點及難點(一)緒論內容：內容：某些物理過程的數(shù)學模型。基本概念：(常微分方程和偏微分方程，線性和非線性， 通解和特解，解和隱式解，積分曲線和方向場。)基本要求：基本要求：要求掌握微分方程的一些物理背景和方程的建立問題，正確理解微分方程的最基本的概念。重點與難點：重點與難點： 教學重點為基本概念；教學難點是積分曲線和方向場。教學重點為基本概念；教學難點是積分曲線和方向場。 (二)一階微分方程的初等解法 內容：內容：分離

36、方程與變量變換；線性方程與常數(shù)變易法；恰當方程與積分因子；一階隱方程與參數(shù)表示?；疽螅夯疽螅赫莆瘴宸N類型的方程的初等解法；理解和掌握變量分離方程和恰當方程的聯(lián)系，對其它類型的方程要求掌握借助變量變換或積分因子化為變量分離方程或恰當方程。重點與難點：教學重點為解一階微分方程的幾個直接方法；教學難點是恰當方程與重點與難點：教學重點為解一階微分方程的幾個直接方法；教學難點是恰當方程與積分因子積分因子,一階隱方程與參數(shù)表示。一階隱方程與參數(shù)表示。(三)一階微分方程的解的存在定理內容：內容：解的存在唯一性定理與逐步逼近法; 解的延拓; 解對初值的連續(xù)性和可微性定理?；疽螅夯疽螅菏炀毢驼莆?/p>

37、用逐次逼近法證明解的存在唯一性定理；熟練掌握用逐次逼近法求方程的近似解和誤差的估計；掌握解的一般性質。重點與難點：教學重點為重點與難點：教學重點為 Picard 逼近方法，解的延拓、連續(xù)性和可微性、唯一性和逼近方法，解的延拓、連續(xù)性和可微性、唯一性和奇性；教學難點是解的存在唯一性定理的證明。奇性；教學難點是解的存在唯一性定理的證明。(四)高階方程(講授 12 學時，習題 2 課學時)內容：內容：線性微分方程的一般理論; 常系數(shù)線性方程的解法;高階方程的降階和冪級數(shù)的解法?；疽螅夯疽螅赫_理解線性方程的基本理論；熟練掌握求常系數(shù)齊線性方程的基本解組的特征根法，常系數(shù)非齊線性方程的特解的待

38、定系數(shù)法，一般非線性方程的常數(shù)變易法，求一般二階齊線性方程特解的冪級數(shù)解法和高階方程可降階的一些方程類型的解法。重點與難點：教學重點為齊次和非齊次方程解之間的關系，解的結構和形式，求解重點與難點：教學重點為齊次和非齊次方程解之間的關系，解的結構和形式，求解方法；教學難點是求常系數(shù)非齊線性方程的特解的待定系數(shù)法，求一般非線性方程的常數(shù)方法；教學難點是求常系數(shù)非齊線性方程的特解的待定系數(shù)法，求一般非線性方程的常數(shù)變易法。變易法。 (五)線性微分方程組(講授 16 學時，習題課 2 學時)內容：內容：存在唯一性定理;線性微分方程組的一般理論; 常系數(shù)線性微分方程組; 利用首次積分求解常微分方程?；?/p>

39、要求：基本要求：理解線性方程組解的存在唯一性定理；熟悉和掌握逐步逼近法；熟悉向量與矩陣的表述方法；正確理解線性方程組的一般理論熟練掌握常系數(shù)線性方程組的基解矩陣的求法和應用常數(shù)變易公式求非齊次線性方程組的解法；掌握高階線性微分方程與線性微分方程組的關系；熟練掌握利用首次積分求解常微分方程。重點與難點：重點與難點：教學重點為基解矩陣，Picard 逼近方法，求解公式，級數(shù)解；教學難點是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣的求法;利用首次積分求解常微分方程。(六)非線性微分方程和穩(wěn)定性（講授 12 學時，習題 2 課學時） 內容：內容：本章介紹相平面；介紹按線性近似決定微分方程組的穩(wěn)定性; 李雅普諾夫第二方

40、法；周期解和極限圈；二次型 V 函數(shù)的構造與控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性?；疽螅夯疽螅赫莆辗€(wěn)定性理論要求掌握特殊或一般的非線性徽分方程組的解的穩(wěn)定性態(tài)，包括局部或全局的穩(wěn)定性。重點與難點：重點與難點：教學重點為線性和非線性的本質區(qū)別，穩(wěn)定性的基本概念和方法；教學難點是周期解和極限圈；二次型 V 函數(shù)的構造與控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。五、學時分配表各教學環(huán)節(jié)學時分配章節(jié)主要內容講授實驗討論習題課外其它小計備注一緒論4116二一階微分方程的初等解法82212三一階微分方程解的存在定理82212四高階方程102214五線性微分方程組82212六非線性微分方程和穩(wěn)定性82212合 計46111168六、考

41、核方式 筆試(閉卷) 各教學環(huán)節(jié)占總分的比例:作業(yè)及平時測驗:30%,期末考試:70%七、建議教材和教學參考書1.常微分方程 第三版 王高雄等編 人民教育出版社2.常微分方程講義 葉彥謙 編 人民教育出版社3. 常微分方程解題方法 ，錢詳征， 湖南科學技術出版社， 19844. 常微分方程 ， M.羅梭著、葉彥謙譯 ，上?？茖W技術出版社 ， 1984 返回目錄復變函數(shù)復變函數(shù)課程教學大綱課程教學大綱COMPLEX VARIABLE FUNCTION(2009 年修訂年修訂 王宗毅執(zhí)筆王宗毅執(zhí)筆)一、課程的適用專業(yè)、學時及學分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)，68 學時，4 學分。二、課程

42、的性質、目的和任務復變函數(shù)是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)一門必修的專業(yè)基礎課，是數(shù)學分析的后繼課程。復變函數(shù)的主要研究對象是復變解析函數(shù)，其理論與方法在自然科學和工程技術中有著廣泛的應用。通過本課程的教學，使學生正確理解和掌握復變函數(shù)的基本概念、基本理論，掌握復變函數(shù)論中的論證方法和基本演算方法，為進一步學習數(shù)學專業(yè)課程打下必要的基礎。在教學中，要使學生理解本課程與數(shù)學分析有關內容的聯(lián)系與區(qū)別，同時使學生認識復變函數(shù)在解決實際問題的重要性，并深刻理解本課程與中學數(shù)學有關內容的內在聯(lián)系，以指導中學數(shù)學教學。三、與其它課程的聯(lián)系本課程的學習需要數(shù)學分析基礎，對微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論的學習有一定的幫

43、助。四、課程的基本內容、重點及難點（一）復數(shù)及復變函數(shù)1、復數(shù)，復數(shù)的四則運算；復平面，復數(shù)的模與輻角，復數(shù)的幾何表示、三角表示，復數(shù)加、減法的幾何意義；復數(shù)積的幾何意義；復數(shù)的乘冪與方根，共軛復數(shù)；曲線的復數(shù)方程。2、復平面上的點集，點 Z0的 鄰域；聚點、內點、邊界點；開集、閉集、區(qū)域；簡單曲線，光滑曲線。3、復變函數(shù)、單值函數(shù)、多值函數(shù)，反函數(shù)；復變函數(shù)的極限，復變函數(shù)極限 與其實部與虛部極限的關系；復變函數(shù)的連續(xù)性，復變函數(shù)在點 Z0連續(xù)的等價條件；連續(xù)函數(shù)的性質。4、復球面、擴充復球面的幾個概念。重點和難點：復數(shù)的模與輻角，復數(shù)的乘冪與方根，共軛復數(shù)。（二）解析函數(shù)1、復變函數(shù)的導數(shù)

44、與微分，解析函數(shù)及其簡單性質，柯西黎曼條件，函數(shù)解析的第一個等價定理。2、指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)與雙曲函數(shù)。3、根式函數(shù)、冪函數(shù)的變換性質及其單葉性區(qū)域、根式函數(shù)的單值解析分支，函數(shù)的支點與割線；對數(shù)函數(shù)，復對數(shù)函數(shù)的定義，對數(shù)函數(shù)的基本性質，指數(shù)函數(shù)的變換性質及其單葉性區(qū)域，對數(shù)函數(shù)的單值解析分支，一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)；具有多個有限支點的函數(shù)，反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)。重點與難點：復變函數(shù)的導數(shù)與微分，解析函數(shù)及其簡單性質，柯西黎曼條件，具有多個有限支點的函數(shù)。（三）復變函數(shù)的積分1、復變函數(shù)積分的定義，復變函數(shù)積分的計算方法，復變函數(shù)積分的基本性質。2、柯西積分定理，柯西積分定理的古莎證明，

45、不定積分，柯西積分定理的推廣。3、柯西積分公式，解析函數(shù)平均值定理，解析函數(shù)的無窮可微性，柯西不等式與劉維爾定理，解析函數(shù)的第二個等價定理，摩勒拉定理。解析函數(shù)第三個等價定理。4、解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系。5、流量與環(huán)量，無源、漏的無旋流動，復勢。重點與難點：柯西積分定理，柯西積分定理的古莎證明，柯西積分公式。（四）解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法1、復數(shù)項級數(shù)，一致收斂的復函數(shù)項級數(shù)，解析函數(shù)項級數(shù)。2、冪級數(shù)的斂散性，收斂半徑的求法?？挛靼⑦_瑪公式，冪級數(shù)的解析性。3、泰勒定理，解析函數(shù)的第四個等價定理，冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況，一些初等函數(shù)的泰勒展式。4、解析函數(shù)零點孤立性及唯一性定理，

46、最大模原理。重點和難點：冪級數(shù)的斂散性，收斂半徑，泰勒定理，冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況，解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理，最大模原理。（五）解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點1、雙邊冪級數(shù)，解析函數(shù)的羅朗展式，羅朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關系，解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內的羅朗展式。2、孤立奇點的三種類型，可去奇點，席瓦爾莎引理，極點，本性奇點，畢卡定理。3、解析函數(shù)在無窮遠點的性質。4、整函數(shù)，亞純函數(shù)。5、奇點的流體力學意義，在電場中的應用。重點與難點：解析函數(shù)的孤立奇點，整函數(shù)，亞純函數(shù)。（六）殘數(shù)理論及其應用1、殘數(shù)的定義及殘數(shù)定理，殘數(shù)的求法，函數(shù)在無窮遠點的殘數(shù)。2、用殘數(shù)定理計算實積分，計

47、算02R(cos,sin)d 型積分，計算p(x)/dx型積分，計算P（X）/dx 型積分，計算積分路徑上有奇點的積分，應用)(xQ)(xQ多值函數(shù)的積分。3、對數(shù)殘數(shù)，輻角原理，儒歇定理重點與難點：殘數(shù)定理及殘數(shù)定理的應用，輻角原理及其推論。（七）保形變換1、解析函數(shù)的保域性，解析函數(shù)的保角性導數(shù)的幾何意義，單葉解析變換的保形性。2、線性變換及其分解，線性變換的保形性，線性變換的保交比性，線性變換的保圓周（圓）性，線性變換的保對稱點性，線性變換的應用。3、冪級數(shù)與根式函數(shù)，指數(shù)與對數(shù)函數(shù)，由圓弧構成的兩角形區(qū)域的保形變換，儒可夫斯基函數(shù)的單葉性區(qū)域。4、黎曼存在定理，邊界對應定理。重點與難點

48、：解析變換的特性，線性變換及其分解，線性變換的保形性、保交比性，保圓周性、保對稱性（八）解析開拓1、解析開拓的概念，解析開拓的冪級數(shù)方法。2、透弧直接解析開拓，黎曼度瓦爾茲對稱原理。3、完全解析函數(shù)及黎曼面的概念，單值性定理。重點與難點：解析開拓的冪級數(shù)方法，透弧直接解析開拓及對稱原理，完全解析函數(shù)，單值性定理，黎曼面的概念。（九）調和函數(shù)1、平均值定理，極值原理。2、波阿松積分公式，狄利克萊問題，單位圓內狄利克萊問題的解，上半平面內狄利克雷問題的解。重點與難點：平均值定理，極值定理，波阿松積分公式，狄利克萊問題的解。五學時分配表各教學環(huán)節(jié)學時分配章節(jié)主要內容講授實驗討論習題課外其它小計備注一

49、復數(shù)與復變函數(shù)628二解析函數(shù)8210三復變函數(shù)的積分628四解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法628五解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點628六殘數(shù)理論及其應用8210七保形變換8210八解析開拓426九調和函數(shù)*不講合 計521668六教材與教學參考書1 復變函數(shù)論 （第三版）：鐘玉泉編，高等教育出版社（選用教材）2 復變函數(shù)論：余家榮編，高等教育出版社。3 復變函數(shù)學習指導書：鐘玉泉編，高等教育出版社。 返回目錄組合數(shù)學組合數(shù)學課程教學大綱課程教學大綱combinatoral mathmatics（2009 年修訂，仇鵬翔執(zhí)筆）年修訂，仇鵬翔執(zhí)筆）一、課程的適用專業(yè)、學時及學分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學與應

50、用數(shù)學專業(yè)，50 學時，3 學分。二、課程的性質、目的和任務組合數(shù)學是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)一門專業(yè)課,內容豐富,應用廣泛,生命力強.通過本課的學習,它的巧妙的解法,靈活的思路能督促學生勤于思考,努力發(fā)揮自己的聰明才智,有利于增強學生的邏輯思維能力,提高他們的智力和分析問題,解決問題的能力.同時加深對中等數(shù)學中排列、組合、恒等式、分配問題的理解與解題能力.三、課程教學的基本要求(一)排列和組合1.熟悉計數(shù)的基本原理,組合數(shù)的基本性質。2.掌握幾種排列和組合的計數(shù)方法與公式。3.掌握多項式定理及其在恒等證明中的應用。4.掌握二項式反演公式及應用。(二)容斥原理及其應用1.掌握容斥原理的幾種表達形式及

51、其應用。2.掌握容斥原理在幾個典型的問題中的應用。(三)遞推關系1.熟悉差分的概念。2.掌握各種遞推關系式的解法、牛頓公式。3.掌握 s1(n,k)和 s2(n,k)計數(shù)及組合定義。(四)生成函數(shù)1.掌握常生成函數(shù)和指數(shù)生成函數(shù)及其應用。2.理解車問題及其運算。(五)整數(shù)的分拆掌握各種分拆的計數(shù)公式。(六)鴿籠原理和 Ramsey 定理1.掌握鴿籠原理的幾種表達形式及其運用。2.掌握 Ramsey 定理及其計數(shù)原理。四、課程的教學內容、重點和難點(一)排列和組合主要內容：1.計數(shù)的基本原理2.排列3.組合4.T 路的計數(shù)5.二項式反演公式重點:計數(shù)的基本原理;排列、組合的計數(shù)方法,組合數(shù)的基本

52、性質。難點:T 路的計算。(二)容斥原理及應用主要內容：1.容斥原理。2.容斥原理的應用。重點:容斥原理及其應用。難點:容斥原理的應用。(三)遞推關系主要內容：1.差分2.遞推關系3.Fibonacci 數(shù)4.兩類 Stirling 數(shù)重點：遞推關系式的解法,兩類 Stirling 數(shù)及組合定義。難點: Fibonacc 數(shù)；遞推關系式的解法。(四)生成函數(shù)主要內容：1.常生成函數(shù)及其應用。2 車問題。3.指數(shù)生成函數(shù)及其應用。重點:常(指數(shù))生成函數(shù)及其應用。難點:常(指數(shù))生成函數(shù)的應用原理。(五)整數(shù)的分折主要內容：1.分折的計數(shù)2.完備分折重點:Pr(n)的計數(shù)公式,生成函數(shù)在分折計數(shù)

53、中的應用.難點:Pr(n)的計數(shù)公式；完備分折.(六)鴿籠原理和 Ramsey 定理主要內容1.鴿籠原理的三種表達方式。2. Ramsey 定理及其運用, Ramsey 數(shù)重點:(難點)鴿籠原理; Ramsey 定理； Ramsey 數(shù)。五、學時分配表各教學環(huán)節(jié)學時分配表章節(jié)主要內容講授實驗討論習題課外其它小計備注一排列和組合8210二容斥原理及應用516三遞推關系12214四生成函數(shù)819五套數(shù)的分拆415六鴿籠原理和 Ramsey 定理516合 計42850六、教材與教學參考書1.組合數(shù)學曹汝成編 ， 華南理工大學出版社， 2000（選用教材）2.組合數(shù)學(第二版)盧開澄編， 清華大學出版

54、社 1998 返回目錄初等數(shù)論初等數(shù)論課程教學大綱課程教學大綱ELEMENTARY NUMBER THEORY（2009 年修訂，鐘甲祥執(zhí)筆）年修訂，鐘甲祥執(zhí)筆）一、課程適用的專業(yè)、學時及學分一、課程適用的專業(yè)、學時及學分本課程適用的專業(yè)為：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)，50 學時，3 學分。二、課程的性質、目的和任務二、課程的性質、目的和任務初等數(shù)論是以整數(shù)為主要研究對象的一個數(shù)學分支。近代，隨著科學技術的發(fā)展，初等數(shù)論已成為離散數(shù)學的重要內容, 在許多數(shù)學分支以及科學領域，如計算數(shù)學，編碼學，計算機科學，通訊技術等等，都有重要的應用。初等數(shù)論也是與中學數(shù)學聯(lián)系最密切的課程之一。本課程的內容主要包含三

55、部分：（1）整除理論；（2）同余理論；（3）二次剩余理論。本課程的主要目的是：學習初等數(shù)論的基本概念，基本性質，基本理論和技巧，加深對整數(shù)性質的理解，提高數(shù)學修養(yǎng); 為學習其它數(shù)學課程打下必要的基礎。三、與其它課程的聯(lián)系三、與其它課程的聯(lián)系本課程與近世代數(shù)，組合數(shù)學，高等代數(shù)有著緊密的聯(lián)系，近世代數(shù)的一些內容源于初等數(shù)論，本課程將為學習近世代數(shù)提供一些直觀背景和具體實例。四、課程的基本內容、重點及難點四、課程的基本內容、重點及難點本課程的基本內容包含四個部分：（一）整除理論(1)整除，因數(shù)，倍數(shù)，最大公因數(shù)，最小公倍數(shù)，互素，兩兩互素; 帶余除法，輾轉相除法;(2)素數(shù)，合數(shù)，正整數(shù)的標準素數(shù)

56、分解式與素數(shù)分解式; 算術基本定理; 的標準素! n數(shù)分解式;(3)正整數(shù)的正因數(shù)的個數(shù)（除數(shù)函數(shù)） 、正整數(shù)的正因數(shù)的和及函數(shù); n nn nS n(4)與素數(shù)有關的若干數(shù)論問題; Eratosthenes 篩法與素數(shù)無窮; 實數(shù)的整數(shù)部分x和小數(shù)部分; xx(5)二元線性不定方程與元線性不定方程的求解; nbyaxkkjjjknxa13(6)勾股數(shù)與 Fermat 大定理。（二）同余理論(1)同余，同余類，與?；ニ氐耐囝? (2)完全剩余系，簡化剩余系; Euler 函數(shù); Euler 定理與 Fermat 小定理; n(3)同余方程及其解數(shù); 線性同余方程的求解; 中國剩余定理; 一元

57、高mbaxmod次同余方程的求解原理; (4)Lagrange 定理，Wilson 定理; 指數(shù)，原根，指標; Gauss 原根存在定理。（三）二次剩余理論(1)二次剩余與二次非剩余; Legendre 符號和 Jacobi 符號; pama(2)Euler 判別準則; Gauss 二次互反律; (3)二次同余方程的求解; 將奇素數(shù)表示為兩個整數(shù)平方之和。mcbxaxmod02（四）數(shù)論函數(shù)(1)數(shù)論函數(shù)，可乘函數(shù)，完全可乘函數(shù); Mobius 函數(shù); n(2) 數(shù)論函數(shù)的 Dirichlet 乘積; Mobius 反演公式。重點與難點：重點與難點：整除理論部分：整除理論部分：(1)帶余除法的

58、兩種形式及其應用；算術基本定理；互素的基本性質及其應用求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法；(2)證明整除的基本方法；二元線性不定方程的求解；nbyax(3)將有關實際問題轉化為二元線性不定方程問題并加以求解；的本原解222zyx公式。同余理論部分：同余理論部分：(1)簡化剩余系；Euler 函數(shù)的計算；Euler 定理與 Fermat 小定理及其應用；線 n性同余方程的求解；中國剩余定理。mbaxmod(2)素數(shù)模的一元高次同余方程的求解；Gauss 原根存在定理；求原根的方法。二次剩余理論部分：二次剩余理論部分：(1)二次剩余，Legendre 符號和 Jacobi 符號的定義及其基本性質；Eu

59、ler 判pama別準則及其應用；Gauss 二次互反律及其應用；(2)Legendre 符號和 Jacobi 符號的計算；二次同余方程pama的求解。1,mod2ammax數(shù)論函數(shù)部分：數(shù)論函數(shù)部分：(1)數(shù)論函數(shù)，可乘函數(shù)，完全可乘函數(shù)的定義；(2)Mobius 函數(shù)的定義及性質。 n五、學時分配表五、學時分配表各教學環(huán)節(jié)學時分配章節(jié)主 要 內 容講授實驗討論習題課外其它小計備 注一整除理論16218二同余理論16218三二次剩余理論8210四數(shù)論函數(shù)44合 計44650六、教材與教學參考書六、教材與教學參考書選用教材：選用教材：初等數(shù)論 （第三版） ，閔嗣鶴，嚴士健，高等教育出版社，20

60、03 年。參考教材：參考教材：1 簡明數(shù)論 ，潘承洞，潘承彪，北京大學出版社，1998 年。2 初等數(shù)論 ，潘承洞，潘承彪，北京大學出版社，1992 年。3 初等數(shù)論柯召，孫琦，高等教育出版社，1986 年。返回目錄實變函數(shù)實變函數(shù)課程教學大綱課程教學大綱REAL VARIABLE FUNCTION(2009 修訂，劉玉彬執(zhí)筆修訂，劉玉彬執(zhí)筆)一、課程的適用專業(yè)、學時及學分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)，60 學時，4 學分。二、課程的性質、目的和任務實變函數(shù)是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的一門專業(yè)選修課，是現(xiàn)代分數(shù)學的重要基礎之一。實變函數(shù)的中心內容是 Lebesgue 積分，這是數(shù)學分析課程