數(shù)學(xué)建模算法 C語言示例

1、【分享】常用算法設(shè)計(jì)方法常用算法設(shè)計(jì)方法在網(wǎng)上找到這篇常用算法設(shè)計(jì)方法，雖然代碼是C的，但是算法的原理都一樣吧。常用算法設(shè)計(jì)方法要使計(jì)算機(jī)能完成人們預(yù)定的工作，首先必須為如何完成預(yù)定的工作設(shè)計(jì)一個(gè)算法，然后再根據(jù)算法編寫程序。計(jì)算機(jī)程序要對(duì)問題的每個(gè)對(duì)象和處理規(guī)則給出正確詳盡的描述，其中程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量用來描述問題的對(duì)象，程序結(jié)構(gòu)、函數(shù)和語句用來描述問題的算法。算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是程序的兩個(gè)重要方面。算法是問題求解過程的精確描述，一個(gè)算法由有限條可完全機(jī)械地執(zhí)行的、有確定結(jié)果的指令組成。指令正確地描述了要完成的任務(wù)和它們被執(zhí)行的順序。計(jì)算機(jī)按算法指令所描述的順序執(zhí)行算法的指令能在有限的步驟內(nèi)終止

2、，或終止于給出問題的解，或終止于指出問題對(duì)此輸入數(shù)據(jù)無解。通常求解一個(gè)問題可能會(huì)有多種算法可供選擇，選擇的主要標(biāo)準(zhǔn)是算法的正確性和可靠性，簡(jiǎn)單性和易理解性。其次是算法所需要的存儲(chǔ)空間少和執(zhí)行更快等。算法設(shè)計(jì)是一件非常困難的工作，經(jīng)常采用的算法設(shè)計(jì)技術(shù)主要有迭代法、窮舉搜索法、遞推法、貪婪法、回溯法、分治法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等等。另外，為了更簡(jiǎn)潔的形式設(shè)計(jì)和藐視算法，在算法設(shè)計(jì)時(shí)又常常采用遞歸技術(shù)，用遞歸描述算法。一、迭代法迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計(jì)方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價(jià)的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：（1） 選一個(gè)方程的近似根，賦給變量x

3、0；（2） 將x0的值保存于變量x1，然后計(jì)算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0；（3） 當(dāng)x0與x1的差的絕對(duì)值還小于指定的精度要求時(shí)，重復(fù)步驟（2）的計(jì)算。若方程有根，并且用上述方法計(jì)算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：【算法】迭代法求方程的根 x0=初始近似根；do x1=x0；x0=g(x1)； /*按特定的方程計(jì)算新的近似根*/ while ( fabs(x0-x1)Epsilon)；printf(“方程的近似根是%fn”，x0)；迭代算法也常用于求方程組的根，令X=（x0，x1，xn-1）設(shè)方程組為：xi=gi(X) (I=0

4、，1，n-1)則求方程組根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程組的根 for (i=0;ix=初始近似根;do for (i=0;iy=x;for (i=0;ix=gi(X);for (delta=0.0,i=0;iif (fabs(y-x)delta) delta=fabs(y-x)； while (deltaEpsilon)；for (i=0;iprintf(“變量x%d的近似根是 %f”，I，x)；printf(“n”)；具體使用迭代法求根時(shí)應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：（1） 如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會(huì)收斂，迭代過程會(huì)變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否

5、有解，并在程序中對(duì)迭代的次數(shù)給予限制；（2） 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會(huì)導(dǎo)致迭代失敗。二、窮舉搜索法窮舉搜索法是對(duì)可能是解的眾多候選解按某種順序進(jìn)行逐一枚舉和檢驗(yàn)，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解?！締栴}】 將A、B、C、D、E、F這六個(gè)變量排成如圖所示的三角形，這六個(gè)變量分別取1，6上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個(gè)解。程序引入變量a、b、c、d、e、f，并讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不相同的條件下，測(cè)試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，

6、把它們輸出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細(xì)節(jié)見下面的程序。【程序1】# includevoid main() int a,b,c,d,e,f;for (a=1;a=6;a+)for (b=1;b=6;b+) if (b=a) continue;for (c=1;c=6;c+) if (c=a)|(c=b) continue;for (d=1;d=6;d+) if (d=a)|(d=b)|(d=c) continue;for (e=1;e0;j-)if (*ptj*ptj-1) break;if (j=0) break;for (i=VARIABLES-1;i=j;i-

7、)if (*pt*pti-1) break;t=*ptj-1;* ptj-1 =* pt; *pt=t;for (i=VARIABLES-1;ij;i-,j+) t=*ptj; *ptj =* pt; *pt=t; 從上述問題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來確定所有的候選解。下面再用一個(gè)示例來加以說明?！締栴}】 背包問題問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。設(shè)n 個(gè)物品的重量和價(jià)值分別存儲(chǔ)于數(shù)組w 和v 中，限制重量為tw?？紤]一個(gè)n元組（x0，x1，xn-1），其中xi

8、=0 表示第i個(gè)物品沒有選取，而xi=1則表示第i個(gè)物品被選取。顯然這個(gè)n元組等價(jià)于一個(gè)選擇方案。用枚舉法解決背包問題，需要枚舉所有的選取方案，而根據(jù)上述方法，我們只要枚舉所有的n元組，就可以得到問題的解。顯然，每個(gè)分量取值為0或1的n元組的個(gè)數(shù)共為2n個(gè)。而每個(gè)n元組其實(shí)對(duì)應(yīng)了一個(gè)長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制數(shù)，且這些二進(jìn)制數(shù)的取值范圍為02n-1。因此，如果把02n-1分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，則可以得到我們所需要的2n個(gè)n元組?！舅惴ā縨axv=0;for (i=0;i2n;i+) B0.n-1=0;把i轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，存儲(chǔ)于數(shù)組B中;temp_w=0;temp_v=0;for (j=0;j if

9、(Bj=1) temp_w=temp_w+wj;temp_v=temp_v+vj;if (temp_wmaxv) maxv=temp_v;保存該B數(shù)組； -三、遞推法遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求問題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時(shí)，解或?yàn)橐阎蚰芊浅７奖愕氐玫浇?。能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，i-1的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為 I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解?！締栴}】 階乘計(jì)算問題描

10、述：編寫程序，對(duì)給定的n（n100），計(jì)算并輸出k的階乘k！（k=1，2，n）的全部有效數(shù)字。由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)，存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)數(shù)組的每個(gè)元素只存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a 存儲(chǔ)：N=am10m-1+am-110m-2+ +a2101+a1100并用a0存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)N的位數(shù)m，即a0=m。按上述約定，數(shù)組的每個(gè)元素存儲(chǔ)k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個(gè)元素、第三個(gè)元素。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲(chǔ)形式為：3 0 2 1 首元素3表示長(zhǎng)整數(shù)是一個(gè)3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。計(jì)

11、算階乘k！可采用對(duì)已求得的階乘(k-1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計(jì)算5！，可對(duì)原來的24累加4次24后得到120。細(xì)節(jié)見以下程序。# include# include# define MAXN 1000void pnext(int a ,int k) int *b,m=a0,i,j,r,carry;b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1);for ( i=1;i=m;i+) b=a;for ( j=1;j=k;j+) for ( carry=0,i=1;i0;i-)printf(“%d”,a);printf(“nn”);void main

12、() int aMAXN,n,k;printf(“Enter the number n: “);scanf(“%d”,&n);a0=1;a1=1;write(a,1);for (k=2;k1時(shí)）。寫成遞歸函數(shù)有：int fib(int n) if (n=0) return 0;if (n=1) return 1;if (n1) return fib(n-1)+fib(n-2);遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個(gè)階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡(jiǎn)單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，

13、為計(jì)算fib(n)，必須先計(jì)算fib(n-1)和fib(n- 2)，而計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計(jì)算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計(jì)算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。在回歸階段，當(dāng)獲得最簡(jiǎn)單情況的解后，逐級(jí)返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。在編寫遞歸函數(shù)時(shí)要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識(shí)局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入

14、“簡(jiǎn)單問題”層時(shí)，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡(jiǎn)單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會(huì)有一系列的重復(fù)計(jì)算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對(duì)較低。當(dāng)某個(gè)遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時(shí)，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計(jì)算斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)出發(fā)，逐次由前兩項(xiàng)計(jì)算出下一項(xiàng)，直至計(jì)算出要求的第n項(xiàng)。【問題】 組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1（4）5、3、2 （5）5、

15、3、1 （6）5、2、1（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1（10）3、2、1分析所列的10個(gè)組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、m中任取k個(gè)數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個(gè)數(shù)字選定時(shí)，其后的數(shù)字是從余下的m-1個(gè)數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m 個(gè)數(shù)中取k個(gè)數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個(gè)數(shù)中取k-1個(gè)數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a 存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個(gè)數(shù)字組合的第一個(gè)數(shù)字放在ak中，當(dāng)一個(gè)組合求出后，才將a 中的一個(gè)組合輸出。第一個(gè)數(shù)可以是m、m-1、k，函數(shù)將確定組

16、合的第一個(gè)數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個(gè)組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb。【程序】# include# define MAXN 100int aMAXN;void comb(int m,int k) int i,j;for (i=m;i=k;i-) ak=i;if (k1)comb(i-1,k-1);else for (j=a0;j0;j-)printf(“%4d”,aj);printf(“n”);void main() a0=3;comb(5,3);【問題】 背包問題問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件

17、，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。設(shè)n 件物品的重量分別為w0、w1、wn-1，物品的價(jià)值分別為v0、v1、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價(jià)值最大的方案于數(shù)組option ，該方案的總價(jià)值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop 。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)到的總價(jià)值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價(jià)值的期望值也小

18、于前面方案的總價(jià)值maxv時(shí)，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個(gè)方案。因?yàn)楫?dāng)方案的總價(jià)值不比maxv大時(shí)，該方案不會(huì)被再考察，這同時(shí)保證函數(shù)后找到的方案一定會(huì)比前面的方案更好。對(duì)于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：（1） 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會(huì)超過方案總重量限制時(shí)才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。（2） 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會(huì)找到價(jià)值更大的方案的情況。按以上思想寫出遞歸算法如下：try(物品i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價(jià)值tv) /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if(

19、包含物品i是可以接受的) 將物品i包含在當(dāng)前方案中；if (itry(i+1,tw+物品i的重量,tv);else/*又一個(gè)完整方案，因?yàn)樗惹懊娴姆桨负茫运鳛樽罴逊桨?/以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if (不包含物品i僅是可男考慮的)if (itry(i+1,tw,tv-物品i的價(jià)值)；else/*又一個(gè)完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;為了理解上述算法，特舉以下實(shí)例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價(jià)值見表：物品 0 1 2 3重量 5 3 2 1價(jià)值 4 4 3 1并設(shè)限制

20、重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個(gè)解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個(gè)查找分支不會(huì)找到更好的解，算法不會(huì)在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個(gè)分支。按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：【程序】# include# define N 100double limitW,totV,maxV;int optionN,copN;struct double weight;double value;aN;int n;void find(int i,double tw,double tv) int k;/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if (tw+a.weig

21、htmaxV)if (ielse for (k=0;koptionk=copk;maxv=tv-a.value;void main() int k;double w,v;printf(“輸入物品種數(shù)n”);scanf(“%d”,&n);printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值n”);for (totv=0.0,k=0;k scanf(“%1f%1f”,&w,&v);ak.weight=w;ak.value=v;totV+=V;printf(“輸入限制重量n”);scanf(“%1f”,&limitV);maxv=0.0;for (k=0;k find(0,0.0,totV);for (k=0;k

22、if (optionk) printf(“%4d”,k+1);printf(“n總價(jià)值為%.2fn”,maxv);作為對(duì)比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡(jiǎn)單地逐一生成所有候選解，而是從每個(gè)物品對(duì)候選解的影響來形成值得進(jìn)一步考慮的候選解，一個(gè)候選解是通過依次考察每個(gè)物品形成的。對(duì)物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時(shí)最佳解更好的候選解時(shí)，才去考慮該物品不被包括在候選解中；

23、反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對(duì)于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)一步考慮下一個(gè)物品。【程序】# include# define N 100double limitW;int copN;struct ele double weight;double value; aN;int k,n;struct int ;double tw;double tv;twvN;void next(int i,double tw,double tv) twv.=1;twv.tw=tw;twv.tv=tv;double find(struct ele *a,int n) int i,k,f;

24、double maxv,tw,tv,totv;maxv=0;for (totv=0.0,k=0;ktotv+=ak.value;next(0,0.0,totv);i=0;While (i=0) f=twv.;tw=twv.tw;tv=twv.tv;switch(f) case 1: twv.+;if (tw+a.weightmaxv)if (i next(i+1,tw,tv-a.value);i+;else maxv=tv-a.value;for (k=0;kcopk=twvk.!=0;break;return maxv;void main() double maxv;printf(“輸入物品

25、種數(shù)n”);scanf(“%d”,&n);printf(“輸入限制重量n”);scanf(“%1f”,&limitW);printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值n”);for (k=0;kscanf(“%1f%1f”,&ak.weight,&ak.value);maxv=find(a,n);printf(“n選中的物品為n”);for (k=0;kif (optionk) printf(“%4d”,k+1);printf(“n總價(jià)值為%.2fn”,maxv); -五、回溯法回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可

26、能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)，該候選解就是問題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問題P，通常要能表達(dá)為：對(duì)于已知的由n元組（x1，x2，xn）組成的一個(gè)狀態(tài)空間 E=（x1，x2，xn）xiSi ，i=1，2，n，給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且

27、 |Si| 有限，i=1，2，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個(gè)解。解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E中的所有n元組逐一地檢測(cè)其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，xi的所有約束意味著j （jj。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的問題P，一旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（x1，x2，xj）違反D中僅涉及x1，x2，xj的一個(gè)約束，就可以肯定，以（x1，x2，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，xj，xj+1，xn）都不會(huì)是問題

28、P的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們?；厮莘ㄕ轻槍?duì)這類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法?；厮莘ㄊ紫葘栴}P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T，把在E中求問題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造：設(shè)Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，n。從根開始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1 (1) ，xi+1(2) ，xi+1(mi) ，i=0，1，2，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元

29、組（x1，x2，xn）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，xn，反之亦然。另外，對(duì)于任意的0in-1，E中n元組（x1，x2，xn）的一個(gè)前綴I元組（x1， x2，xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1，x2，xi，反之亦然。特別，E中的任意一個(gè)n元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。因而，在E中尋找問題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)x1，x2，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按

30、深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元組（x1，x2）、，前綴I元組（x1，x2，xi），直到i=n為止。在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問題P的一個(gè)解?！締栴}】 組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5（4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4

31、、5（7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5（10）3、4、5則該問題的狀態(tài)空間為：E=（x1，x2，x3）xiS ，i=1，2，3 其中：S=1，2，3，4，5約束集為： x1顯然該約束集具有完備性。2、回溯法的方法對(duì)于具有完備約束集D的一般問題P及其相應(yīng)的狀態(tài)空間樹T，利用T的層次結(jié)構(gòu)和D的完備性，在T中搜索問題P的所有解的回溯法可以形象地描述為：從T的根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略，系統(tǒng)地搜索以其為根的子樹中可能包含著回答結(jié)點(diǎn)的所有狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，而跳過對(duì)肯定不含回答結(jié)點(diǎn)的所有子樹的搜索，以提高搜索效率。具體地說，當(dāng)搜索按深度優(yōu)先策略到達(dá)一個(gè)滿足D中所有有關(guān)約束的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)時(shí)，即“激活”該

32、狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，以便繼續(xù)往深層搜索；否則跳過對(duì)以該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)為根的子樹的搜索，而一邊逐層地向該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)的祖先結(jié)點(diǎn)回溯，一邊“殺死”其兒子結(jié)點(diǎn)已被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，直到遇到其兒子結(jié)點(diǎn)未被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，即轉(zhuǎn)向其未被搜索的一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)繼續(xù)搜索。在搜索過程中，只要所激活的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)又滿足終結(jié)條件，那么它就是回答結(jié)點(diǎn)，應(yīng)該把它輸出或保存。由于在回溯法求解問題時(shí)，一般要求出問題的所有解，因此在得到回答結(jié)點(diǎn)后，同時(shí)也要進(jìn)行回溯，以便得到問題的其他解，直至回溯到T的根且根的所有兒子結(jié)點(diǎn)均已被搜索過為止。例如在組合問題中，從T的根出發(fā)深度優(yōu)先遍歷該樹。當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，2）時(shí)，雖然它滿足約束條件，但還不是回答結(jié)點(diǎn)，則

33、應(yīng)繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到葉子結(jié)點(diǎn)（1，2，5）時(shí)，由于它已是一個(gè)回答結(jié)點(diǎn)，則保存（或輸出）該結(jié)點(diǎn)，并回溯到其雙親結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，5）時(shí)，由于它已是葉子結(jié)點(diǎn)，但不滿足約束條件，故也需回溯。3、回溯法的一般流程和技術(shù)在用回溯法求解有關(guān)問題的過程中，一般是一邊建樹，一邊遍歷該樹。在回溯法中我們一般采用非遞歸方法。下面，我們給出回溯法的非遞歸算法的一般流程：在用回溯法求解問題，也即在遍歷狀態(tài)空間樹的過程中，如果采用非遞歸方法，則我們一般要用到棧的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這時(shí)，不僅可以用棧來表示正在遍歷的樹的結(jié)點(diǎn)，而且可以很方便地表示建立孩子結(jié)點(diǎn)和回溯過程。例如在組合問題中，我們用一個(gè)一維數(shù)組S

34、tack 表示棧。開始棧空，則表示了樹的根結(jié)點(diǎn)。如果元素1進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1）結(jié)點(diǎn)；這時(shí)如果元素2進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2）結(jié)點(diǎn)；元素3再進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2，3）結(jié)點(diǎn)。這時(shí)可以判斷它滿足所有約束條件，是問題的一個(gè)解，輸出（或保存）。這時(shí)只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結(jié)點(diǎn)（1，2，3）回溯到結(jié)點(diǎn)（1，2）?！締栴}】 組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1，2，n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。采用回溯法找問題的解，將找到的組合以從小到大順序存于a0，a1，ar-1中，組合的元素滿足以下性質(zhì)：（1） ai+1a，后一個(gè)數(shù)字比前一個(gè)大；（2） a-i=n-r+1。按回溯法的思想，找解過

35、程可以敘述如下：首先放棄組合數(shù)個(gè)數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個(gè)數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴(kuò)大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個(gè)解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個(gè)候選解，因a 2上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對(duì)5不能再作調(diào)整，就要從a2回溯到a1，這時(shí)，a1=2，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a0再回溯時(shí)，說明已經(jīng)找完問題的全部解。按上述思想寫成程序如下：【程序

36、】# define MAXN 100int aMAXN;void comb(int m,int r) int i,j;i=0;a=1;do if (a-i=m-r+1 if (i=r-1) for (j=0;jprintf(“%4d”,aj);printf(“n”);a+;continue;else if (i=0)return;a-i+; while (1)main() comb(5,3); 【問題】 填字游戲問題描述：在33個(gè)方格的方陣中要填入數(shù)字1到N（N10）內(nèi)的某9個(gè)數(shù)字，每個(gè)方格填一個(gè)整數(shù)，似的所有相鄰兩個(gè)方格內(nèi)的兩個(gè)整數(shù)之和為質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足這個(gè)要求的各種數(shù)字填法?？捎迷囂桨l(fā)

37、找到問題的解，即從第一個(gè)方格開始，為當(dāng)前方格尋找一個(gè)合理的整數(shù)填入，并在當(dāng)前位置正確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當(dāng)前方格找到一個(gè)合理的可填證書，就要回退到前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù)。當(dāng)?shù)诰艂€(gè)方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個(gè)解，將該解輸出，并調(diào)整第九個(gè)的填入的整數(shù)，尋找下一個(gè)解。為找到一個(gè)滿足要求的9個(gè)數(shù)的填法，從還未填一個(gè)數(shù)開始，按某種順序（如從小到大的順序）每次在當(dāng)前位置填入一個(gè)整數(shù)，然后檢查當(dāng)前填入的整數(shù)是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續(xù)用同樣的方法為下一方格填入整數(shù)。如果最近填入的整數(shù)不能滿足要求，就改變填入的整數(shù)。如對(duì)當(dāng)前方格試盡所有可能的整數(shù)，都不能

38、滿足要求，就得回退到前一方格，并調(diào)整前一方格填入的整數(shù)。如此重復(fù)執(zhí)行擴(kuò)展、檢查或調(diào)整、檢查，直到找到一個(gè)滿足問題要求的解，將解輸出?；厮莘ㄕ乙粋€(gè)解的算法： int m=0,ok=1;int n=8;doif (ok) 擴(kuò)展;else 調(diào)整;ok=檢查前m個(gè)整數(shù)填放的合理性; while (!ok|m!=n)&(m!=0)if (m!=0) 輸出解;else 輸出無解報(bào)告；如果程序要找全部解，則在將找到的解輸出后，應(yīng)繼續(xù)調(diào)整最后位置上填放的整數(shù)，試圖去找下一個(gè)解。相應(yīng)的算法如下：回溯法找全部解的算法： int m=0,ok=1;int n=8;doif (ok) if (m=n) 輸出解；調(diào)整；

39、else 擴(kuò)展;else 調(diào)整;ok=檢查前m個(gè)整數(shù)填放的合理性; while (m!=0);為了確保程序能夠終止，調(diào)整時(shí)必須保證曾被放棄過的填數(shù)序列不會(huì)再次實(shí)驗(yàn)，即要求按某種有許模型生成填數(shù)序列。給解的候選者設(shè)定一個(gè)被檢驗(yàn)的順序，按這個(gè)順序逐一形成候選者并檢驗(yàn)。從小到大或從大到小，都是可以采用的方法。如擴(kuò)展時(shí)，先在新位置填入整數(shù)1，調(diào)整時(shí)，找當(dāng)前候選解中下一個(gè)還未被使用過的整數(shù)。將上述擴(kuò)展、調(diào)整、檢驗(yàn)都編寫成程序，細(xì)節(jié)見以下找全部解的程序?！境绦颉? include# define N 12void write(int a ) int i,j;for (i=0;i3;i+) for (j=0

40、;j0;i+)if (m=primes) return 1;for (i=3;i*i=m;) if (m%i=0) return 0;i+=2;return 1;int checkmatrix 3= -1,0,-1,1,-1,0,-1,1,3,-1,2,4,-1,3,-1,4,6,-1,5,7,-1;int selectnum(int start) int j;for (j=start;j=N;j+)if (bj) return jreturn 0;int check(int pos) int i,j;if (pos=0;i+)if (!isprime(apos+aj)return 0;ret

41、urn 1;int extend(int pos) a+pos=selectnum(1);bapos=0;return pos;int change(int pos) int j;while (pos=0&(j=selectnum(apos+1)=0)bapos-=1;if (pos=0)void main() int i;for (i=1;i=N;i+)b=1;find();【問題】 n皇后問題問題描述：求出在一個(gè)nn的棋盤上，放置n個(gè)不能互相捕捉的國(guó)際象棋“皇后”的所有布局。這是來源于國(guó)際象棋的一個(gè)問題?；屎罂梢匝刂v橫和兩條斜線4個(gè)方向相互捕捉。如圖所示，一個(gè)皇后放在棋盤的第4行第3列位

42、置上，則棋盤上凡打“”的位置上的皇后就能與這個(gè)皇后相互捕捉。1 2 3 4 5 6 7 8 Q 從圖中可以得到以下啟示：一個(gè)合適的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個(gè)皇后，且一條斜線上也只有一個(gè)皇后。求解過程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理時(shí)，就找到了一個(gè)解。接著改變第n列配置，希望獲得下一個(gè)解。另外，在任一列上，可能有n種配置。開始時(shí)配置在第1行，以后改變時(shí)，順次選擇第2行、第3行、直到第n行。當(dāng)?shù)趎行配置也找不到一個(gè)合理的配置時(shí)，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問題的算法如下： 輸入棋盤大小值n；m=0;good=1;do if

43、(good)if (m=n) 輸出解；改變之，形成下一個(gè)候選解;else 擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列；else 改變之，形成下一個(gè)候選解；good=檢查當(dāng)前候選解的合理性； while (m!=0);在編寫程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用一個(gè)二維數(shù)組，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性帶來困難。更好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對(duì)于本題來說，“常用信息”并不是皇后的具體位置，而是“一個(gè)皇后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一個(gè)皇后，引入一個(gè)一維數(shù)組（col ），值col表示在棋盤第i列、col行有一個(gè)皇后。例如：c

44、ol3=4，就表示在棋盤的第3列、第4行上有一個(gè)皇后。另外，為了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，設(shè)定col0的初值為0當(dāng)回溯到第0列時(shí)，說明程序已求得全部解，結(jié)束程序運(yùn)行。為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡(jiǎn)易方便，引入以下三個(gè)工作數(shù)組：（1） 數(shù)組a ，ak表示第k行上還沒有皇后；（2） 數(shù)組b ，bk表示第k列右高左低斜線上沒有皇后；（3） 數(shù)組 c ，ck表示第k列左高右低斜線上沒有皇后；棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之和相同；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之差均相同。初始時(shí)，所有行和斜線上均沒有皇后，從第1列的第1行配置第一個(gè)皇后開始，在第m列col

45、m行放置了一個(gè)合理的皇后后，準(zhǔn)備考察第m+1列時(shí)，在數(shù)組 a 、b 和c 中為第m列，colm行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第m列回溯到第m-1列，并準(zhǔn)備調(diào)整第m-1列的皇后配置時(shí)，清除在數(shù)組a 、b 和c 中設(shè)置的關(guān)于第m-1列，colm-1行有皇后的標(biāo)志。一個(gè)皇后在m列，colm行方格內(nèi)配置是合理的，由數(shù)組a 、b 和c 對(duì)應(yīng)位置的值都為1來確定。細(xì)節(jié)見以下程序：【程序】# include# include# define MAXN 20int n,m,good;int colMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1;void main() int j;char awn;printf(“Enter n: “); scanf(“%