數(shù)學建模算法 C語言示例

1、【分享】常用算法設計方法常用算法設計方法在網上找到這篇常用算法設計方法，雖然代碼是C的，但是算法的原理都一樣吧。常用算法設計方法要使計算機能完成人們預定的工作，首先必須為如何完成預定的工作設計一個算法，然后再根據算法編寫程序。計算機程序要對問題的每個對象和處理規(guī)則給出正確詳盡的描述，其中程序的數(shù)據結構和變量用來描述問題的對象，程序結構、函數(shù)和語句用來描述問題的算法。算法數(shù)據結構是程序的兩個重要方面。算法是問題求解過程的精確描述，一個算法由有限條可完全機械地執(zhí)行的、有確定結果的指令組成。指令正確地描述了要完成的任務和它們被執(zhí)行的順序。計算機按算法指令所描述的順序執(zhí)行算法的指令能在有限的步驟內終止

2、，或終止于給出問題的解，或終止于指出問題對此輸入數(shù)據無解。通常求解一個問題可能會有多種算法可供選擇，選擇的主要標準是算法的正確性和可靠性，簡單性和易理解性。其次是算法所需要的存儲空間少和執(zhí)行更快等。算法設計是一件非常困難的工作，經常采用的算法設計技術主要有迭代法、窮舉搜索法、遞推法、貪婪法、回溯法、分治法、動態(tài)規(guī)劃法等等。另外，為了更簡潔的形式設計和藐視算法，在算法設計時又常常采用遞歸技術，用遞歸描述算法。一、迭代法迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數(shù)學方法導出等價的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：（1） 選一個方程的近似根，賦給變量x

3、0；（2） 將x0的值保存于變量x1，然后計算g(x1)，并將結果存于變量x0；（3） 當x0與x1的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復步驟（2）的計算。若方程有根，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：【算法】迭代法求方程的根 x0=初始近似根；do x1=x0；x0=g(x1)； /*按特定的方程計算新的近似根*/ while ( fabs(x0-x1)Epsilon)；printf(“方程的近似根是%fn”，x0)；迭代算法也常用于求方程組的根，令X=（x0，x1，xn-1）設方程組為：xi=gi(X) (I=0

4、，1，n-1)則求方程組根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程組的根 for (i=0;ix=初始近似根;do for (i=0;iy=x;for (i=0;ix=gi(X);for (delta=0.0,i=0;iif (fabs(y-x)delta) delta=fabs(y-x)； while (deltaEpsilon)；for (i=0;iprintf(“變量x%d的近似根是 %f”，I，x)；printf(“n”)；具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發(fā)生的情況：（1） 如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應先考察方程是否

5、有解，并在程序中對迭代的次數(shù)給予限制；（2） 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。二、窮舉搜索法窮舉搜索法是對可能是解的眾多候選解按某種順序進行逐一枚舉和檢驗，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解?！締栴}】 將A、B、C、D、E、F這六個變量排成如圖所示的三角形，這六個變量分別取1，6上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個解。程序引入變量a、b、c、d、e、f，并讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不相同的條件下，測試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，

6、把它們輸出。當這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細節(jié)見下面的程序。【程序1】# includevoid main() int a,b,c,d,e,f;for (a=1;a=6;a+)for (b=1;b=6;b+) if (b=a) continue;for (c=1;c=6;c+) if (c=a)|(c=b) continue;for (d=1;d=6;d+) if (d=a)|(d=b)|(d=c) continue;for (e=1;e0;j-)if (*ptj*ptj-1) break;if (j=0) break;for (i=VARIABLES-1;i=j;i-

7、)if (*pt*pti-1) break;t=*ptj-1;* ptj-1 =* pt; *pt=t;for (i=VARIABLES-1;ij;i-,j+) t=*ptj; *ptj =* pt; *pt=t; 從上述問題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來確定所有的候選解。下面再用一個示例來加以說明。【問題】 背包問題問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。設n 個物品的重量和價值分別存儲于數(shù)組w 和v 中，限制重量為tw?？紤]一個n元組（x0，x1，xn-1），其中xi

8、=0 表示第i個物品沒有選取，而xi=1則表示第i個物品被選取。顯然這個n元組等價于一個選擇方案。用枚舉法解決背包問題，需要枚舉所有的選取方案，而根據上述方法，我們只要枚舉所有的n元組，就可以得到問題的解。顯然，每個分量取值為0或1的n元組的個數(shù)共為2n個。而每個n元組其實對應了一個長度為n的二進制數(shù)，且這些二進制數(shù)的取值范圍為02n-1。因此，如果把02n-1分別轉化為相應的二進制數(shù)，則可以得到我們所需要的2n個n元組?！舅惴ā縨axv=0;for (i=0;i2n;i+) B0.n-1=0;把i轉化為二進制數(shù)，存儲于數(shù)組B中;temp_w=0;temp_v=0;for (j=0;j if

9、(Bj=1) temp_w=temp_w+wj;temp_v=temp_v+vj;if (temp_wmaxv) maxv=temp_v;保存該B數(shù)組； -三、遞推法遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關系求問題解的一種方法。設要求問題規(guī)模為N的解，當N=1時，解或為已知，或能非常方便地得到解。能采用遞推法構造算法的問題有重要的遞推性質，即當?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問題的遞推性質，能從已求得的規(guī)模為1，2，i-1的一系列解，構造出問題規(guī)模為 I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解?！締栴}】 階乘計算問題描

10、述：編寫程序，對給定的n（n100），計算并輸出k的階乘k?。╧=1，2，n）的全部有效數(shù)字。由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲長整數(shù)，存儲長整數(shù)數(shù)組的每個元素只存儲長整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a 存儲：N=am10m-1+am-110m-2+ +a2101+a1100并用a0存儲長整數(shù)N的位數(shù)m，即a0=m。按上述約定，數(shù)組的每個元素存儲k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個元素、第三個元素。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲形式為：3 0 2 1 首元素3表示長整數(shù)是一個3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。計

11、算階乘k！可采用對已求得的階乘(k-1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計算5！，可對原來的24累加4次24后得到120。細節(jié)見以下程序。# include# include# define MAXN 1000void pnext(int a ,int k) int *b,m=a0,i,j,r,carry;b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1);for ( i=1;i=m;i+) b=a;for ( j=1;j=k;j+) for ( carry=0,i=1;i0;i-)printf(“%d”,a);printf(“nn”);void main

12、() int aMAXN,n,k;printf(“Enter the number n: “);scanf(“%d”,&n);a0=1;a1=1;write(a,1);for (k=2;k1時）。寫成遞歸函數(shù)有：int fib(int n) if (n=0) return 0;if (n=1) return 1;if (n1) return fib(n-1)+fib(n-2);遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，

13、為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n- 2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當n為1和0的情況。在回歸階段，當獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結果后，返回得到fib(n)的結果。在編寫遞歸函數(shù)時要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當前調用層，當遞推進入

14、“簡單問題”層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。由于遞歸引起一系列的函數(shù)調用，并且可能會有一系列的重復計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當某個遞歸算法能較方便地轉換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第n項的函數(shù)fib(n)應采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項出發(fā)，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項?！締栴}】 組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1（4）5、3、2 （5）5、

15、3、1 （6）5、2、1（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1（10）3、2、1分析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設函數(shù)為void comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、m中任取k個數(shù)的所有組合。當組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的m-1個數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m 個數(shù)中取k個數(shù)的組合問題轉化成求m-1個數(shù)中取k-1個數(shù)的組合問題。設函數(shù)引入工作數(shù)組a 存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個數(shù)字組合的第一個數(shù)字放在ak中，當一個組合求出后，才將a 中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m-1、k，函數(shù)將確定組

16、合的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb?！境绦颉? include# define MAXN 100int aMAXN;void comb(int m,int k) int i,j;for (i=m;i=k;i-) ak=i;if (k1)comb(i-1,k-1);else for (j=a0;j0;j-)printf(“%4d”,aj);printf(“n”);void main() a0=3;comb(5,3);【問題】 背包問題問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件

17、，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。設n 件物品的重量分別為w0、w1、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價值最大的方案于數(shù)組option ，該方案的總價值存于變量maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop 。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小

18、于前面方案的總價值maxv時，繼續(xù)考察當前方案變成無意義的工作，應終止當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數(shù)后找到的方案一定會比前面的方案更好。對于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：（1） 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。（2） 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。按以上思想寫出遞歸算法如下：try(物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv) /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/if(

19、包含物品i是可以接受的) 將物品i包含在當前方案中；if (itry(i+1,tw+物品i的重量,tv);else/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/以當前方案作為臨時最佳方案保存;恢復物品i不包含狀態(tài)；/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/if (不包含物品i僅是可男考慮的)if (itry(i+1,tw,tv-物品i的價值)；else/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/以當前方案作為臨時最佳方案保存;為了理解上述算法，特舉以下實例。設有4件物品，它們的重量和價值見表：物品 0 1 2 3重量 5 3 2 1價值 4 4 3 1并設限制

20、重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，算法不會在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個分支。按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：【程序】# include# define N 100double limitW,totV,maxV;int optionN,copN;struct double weight;double value;aN;int n;void find(int i,double tw,double tv) int k;/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/if (tw+a.weig

21、htmaxV)if (ielse for (k=0;koptionk=copk;maxv=tv-a.value;void main() int k;double w,v;printf(“輸入物品種數(shù)n”);scanf(“%d”,&n);printf(“輸入各物品的重量和價值n”);for (totv=0.0,k=0;k scanf(“%1f%1f”,&w,&v);ak.weight=w;ak.value=v;totV+=V;printf(“輸入限制重量n”);scanf(“%1f”,&limitV);maxv=0.0;for (k=0;k find(0,0.0,totV);for (k=0;k

22、if (optionk) printf(“%4d”,k+1);printf(“n總價值為%.2fn”,maxv);作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；

23、反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續(xù)考慮。對于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品。【程序】# include# define N 100double limitW;int copN;struct ele double weight;double value; aN;int k,n;struct int ;double tw;double tv;twvN;void next(int i,double tw,double tv) twv.=1;twv.tw=tw;twv.tv=tv;double find(struct ele *a,int n) int i,k,f;

24、double maxv,tw,tv,totv;maxv=0;for (totv=0.0,k=0;ktotv+=ak.value;next(0,0.0,totv);i=0;While (i=0) f=twv.;tw=twv.tw;tv=twv.tv;switch(f) case 1: twv.+;if (tw+a.weightmaxv)if (i next(i+1,tw,tv-a.value);i+;else maxv=tv-a.value;for (k=0;kcopk=twvk.!=0;break;return maxv;void main() double maxv;printf(“輸入物品

25、種數(shù)n”);scanf(“%d”,&n);printf(“輸入限制重量n”);scanf(“%1f”,&limitW);printf(“輸入各物品的重量和價值n”);for (k=0;kscanf(“%1f%1f”,&ak.weight,&ak.value);maxv=find(a,n);printf(“n選中的物品為n”);for (k=0;kif (optionk) printf(“%4d”,k+1);printf(“n總價值為%.2fn”,maxv); -五、回溯法回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時放棄關于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗。當發(fā)現(xiàn)當前候選解不可

26、能是解時，就選擇下一個候選解；倘若當前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時，繼續(xù)擴大當前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當前候選解滿足包括問題規(guī)模在內的所有要求時，該候選解就是問題的一個解。在回溯法中，放棄當前候選解，尋找下一個候選解的過程稱為回溯。擴大當前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問題P，通常要能表達為：對于已知的由n元組（x1，x2，xn）組成的一個狀態(tài)空間 E=（x1，x2，xn）xiSi ，i=1，2，n，給定關于n元組中的一個分量的一個約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且

27、 |Si| 有限，i=1，2，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個解。解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對E中的所有n元組逐一地檢測其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個解。但顯然，其計算量是相當大的。我們發(fā)現(xiàn)，對于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，xi的所有約束意味著j （jj。因此，對于約束集D具有完備性的問題P，一旦檢測斷定某個j元組（x1，x2，xj）違反D中僅涉及x1，x2，xj的一個約束，就可以肯定，以（x1，x2，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，xj，xj+1，xn）都不會是問題

28、P的解，因而就不必去搜索它們、檢測它們。回溯法正是針對這類問題，利用這類問題的上述性質而提出來的比枚舉法效率更高的算法?；厮莘ㄊ紫葘栴}P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權有序樹T，把在E中求問題P的所有解轉化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構造：設Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，n。從根開始，讓T的第I層的每一個結點都有mi個兒子。這mi個兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權xi+1 (1) ，xi+1(2) ，xi+1(mi) ，i=0，1，2，n-1。照這種構造方式，E中的一個n元

29、組（x1，x2，xn）對應于T中的一個葉子結點，T的根到這個葉子結點的路徑上依次的n條邊的權分別為x1，x2，xn，反之亦然。另外，對于任意的0in-1，E中n元組（x1，x2，xn）的一個前綴I元組（x1， x2，xi）對應于T中的一個非葉子結點，T的根到這個非葉子結點的路徑上依次的I條邊的權分別為x1，x2，xi，反之亦然。特別，E中的任意一個n元組的空前綴（），對應于T的根。因而，在E中尋找問題P的一個解等價于在T中搜索一個葉子結點，要求從T的根到該葉子結點的路徑上依次的n條邊相應帶的n個權x1，x2，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結點，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按

30、深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元組（x1，x2）、，前綴I元組（x1，x2，xi），直到i=n為止。在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個結點被稱為問題P的狀態(tài)結點；樹T上的任意一個葉子結點被稱為問題P的一個解狀態(tài)結點；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個葉子結點被稱為問題P的一個回答狀態(tài)結點，它對應于問題P的一個解?！締栴}】 組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5（4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4

31、、5（7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5（10）3、4、5則該問題的狀態(tài)空間為：E=（x1，x2，x3）xiS ，i=1，2，3 其中：S=1，2，3，4，5約束集為： x1顯然該約束集具有完備性。2、回溯法的方法對于具有完備約束集D的一般問題P及其相應的狀態(tài)空間樹T，利用T的層次結構和D的完備性，在T中搜索問題P的所有解的回溯法可以形象地描述為：從T的根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略，系統(tǒng)地搜索以其為根的子樹中可能包含著回答結點的所有狀態(tài)結點，而跳過對肯定不含回答結點的所有子樹的搜索，以提高搜索效率。具體地說，當搜索按深度優(yōu)先策略到達一個滿足D中所有有關約束的狀態(tài)結點時，即“激活”該

32、狀態(tài)結點，以便繼續(xù)往深層搜索；否則跳過對以該狀態(tài)結點為根的子樹的搜索，而一邊逐層地向該狀態(tài)結點的祖先結點回溯，一邊“殺死”其兒子結點已被搜索遍的祖先結點，直到遇到其兒子結點未被搜索遍的祖先結點，即轉向其未被搜索的一個兒子結點繼續(xù)搜索。在搜索過程中，只要所激活的狀態(tài)結點又滿足終結條件，那么它就是回答結點，應該把它輸出或保存。由于在回溯法求解問題時，一般要求出問題的所有解，因此在得到回答結點后，同時也要進行回溯，以便得到問題的其他解，直至回溯到T的根且根的所有兒子結點均已被搜索過為止。例如在組合問題中，從T的根出發(fā)深度優(yōu)先遍歷該樹。當遍歷到結點（1，2）時，雖然它滿足約束條件，但還不是回答結點，則

33、應繼續(xù)深度遍歷；當遍歷到葉子結點（1，2，5）時，由于它已是一個回答結點，則保存（或輸出）該結點，并回溯到其雙親結點，繼續(xù)深度遍歷；當遍歷到結點（1，5）時，由于它已是葉子結點，但不滿足約束條件，故也需回溯。3、回溯法的一般流程和技術在用回溯法求解有關問題的過程中，一般是一邊建樹，一邊遍歷該樹。在回溯法中我們一般采用非遞歸方法。下面，我們給出回溯法的非遞歸算法的一般流程：在用回溯法求解問題，也即在遍歷狀態(tài)空間樹的過程中，如果采用非遞歸方法，則我們一般要用到棧的數(shù)據結構。這時，不僅可以用棧來表示正在遍歷的樹的結點，而且可以很方便地表示建立孩子結點和回溯過程。例如在組合問題中，我們用一個一維數(shù)組S

34、tack 表示棧。開始?？眨瑒t表示了樹的根結點。如果元素1進棧，則表示建立并遍歷（1）結點；這時如果元素2進棧，則表示建立并遍歷（1，2）結點；元素3再進棧，則表示建立并遍歷（1，2，3）結點。這時可以判斷它滿足所有約束條件，是問題的一個解，輸出（或保存）。這時只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結點（1，2，3）回溯到結點（1，2）。【問題】 組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1，2，n中任取r個數(shù)的所有組合。采用回溯法找問題的解，將找到的組合以從小到大順序存于a0，a1，ar-1中，組合的元素滿足以下性質：（1） ai+1a，后一個數(shù)字比前一個大；（2） a-i=n-r+1。按回溯法的思想，找解過

35、程可以敘述如下：首先放棄組合數(shù)個數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內的全部條件，因而是一個解。在該解的基礎上，選下一個候選解，因a 2上的3調整為4，以及以后調整為5都滿足問題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對5不能再作調整，就要從a2回溯到a1，這時，a1=2，可以調整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復上述向前試探和向后回溯，直至要從a0再回溯時，說明已經找完問題的全部解。按上述思想寫成程序如下：【程序

36、】# define MAXN 100int aMAXN;void comb(int m,int r) int i,j;i=0;a=1;do if (a-i=m-r+1 if (i=r-1) for (j=0;jprintf(“%4d”,aj);printf(“n”);a+;continue;else if (i=0)return;a-i+; while (1)main() comb(5,3); 【問題】 填字游戲問題描述：在33個方格的方陣中要填入數(shù)字1到N（N10）內的某9個數(shù)字，每個方格填一個整數(shù)，似的所有相鄰兩個方格內的兩個整數(shù)之和為質數(shù)。試求出所有滿足這個要求的各種數(shù)字填法?？捎迷囂桨l(fā)

37、找到問題的解，即從第一個方格開始，為當前方格尋找一個合理的整數(shù)填入，并在當前位置正確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當前方格找到一個合理的可填證書，就要回退到前一方格，調整前一方格的填入數(shù)。當?shù)诰艂€方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個解，將該解輸出，并調整第九個的填入的整數(shù)，尋找下一個解。為找到一個滿足要求的9個數(shù)的填法，從還未填一個數(shù)開始，按某種順序（如從小到大的順序）每次在當前位置填入一個整數(shù)，然后檢查當前填入的整數(shù)是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續(xù)用同樣的方法為下一方格填入整數(shù)。如果最近填入的整數(shù)不能滿足要求，就改變填入的整數(shù)。如對當前方格試盡所有可能的整數(shù)，都不能

38、滿足要求，就得回退到前一方格，并調整前一方格填入的整數(shù)。如此重復執(zhí)行擴展、檢查或調整、檢查，直到找到一個滿足問題要求的解，將解輸出?；厮莘ㄕ乙粋€解的算法： int m=0,ok=1;int n=8;doif (ok) 擴展;else 調整;ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性; while (!ok|m!=n)&(m!=0)if (m!=0) 輸出解;else 輸出無解報告；如果程序要找全部解，則在將找到的解輸出后，應繼續(xù)調整最后位置上填放的整數(shù)，試圖去找下一個解。相應的算法如下：回溯法找全部解的算法： int m=0,ok=1;int n=8;doif (ok) if (m=n) 輸出解；調整；

39、else 擴展;else 調整;ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性; while (m!=0);為了確保程序能夠終止，調整時必須保證曾被放棄過的填數(shù)序列不會再次實驗，即要求按某種有許模型生成填數(shù)序列。給解的候選者設定一個被檢驗的順序，按這個順序逐一形成候選者并檢驗。從小到大或從大到小，都是可以采用的方法。如擴展時，先在新位置填入整數(shù)1，調整時，找當前候選解中下一個還未被使用過的整數(shù)。將上述擴展、調整、檢驗都編寫成程序，細節(jié)見以下找全部解的程序?！境绦颉? include# define N 12void write(int a ) int i,j;for (i=0;i3;i+) for (j=0

40、;j0;i+)if (m=primes) return 1;for (i=3;i*i=m;) if (m%i=0) return 0;i+=2;return 1;int checkmatrix 3= -1,0,-1,1,-1,0,-1,1,3,-1,2,4,-1,3,-1,4,6,-1,5,7,-1;int selectnum(int start) int j;for (j=start;j=N;j+)if (bj) return jreturn 0;int check(int pos) int i,j;if (pos=0;i+)if (!isprime(apos+aj)return 0;ret

41、urn 1;int extend(int pos) a+pos=selectnum(1);bapos=0;return pos;int change(int pos) int j;while (pos=0&(j=selectnum(apos+1)=0)bapos-=1;if (pos=0)void main() int i;for (i=1;i=N;i+)b=1;find();【問題】 n皇后問題問題描述：求出在一個nn的棋盤上，放置n個不能互相捕捉的國際象棋“皇后”的所有布局。這是來源于國際象棋的一個問題?；屎罂梢匝刂v橫和兩條斜線4個方向相互捕捉。如圖所示，一個皇后放在棋盤的第4行第3列位

42、置上，則棋盤上凡打“”的位置上的皇后就能與這個皇后相互捕捉。1 2 3 4 5 6 7 8 Q 從圖中可以得到以下啟示：一個合適的解應是在每列、每行上只有一個皇后，且一條斜線上也只有一個皇后。求解過程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理時，就找到了一個解。接著改變第n列配置，希望獲得下一個解。另外，在任一列上，可能有n種配置。開始時配置在第1行，以后改變時，順次選擇第2行、第3行、直到第n行。當?shù)趎行配置也找不到一個合理的配置時，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問題的算法如下： 輸入棋盤大小值n；m=0;good=1;do if

43、(good)if (m=n) 輸出解；改變之，形成下一個候選解;else 擴展當前候選接至下一列；else 改變之，形成下一個候選解；good=檢查當前候選解的合理性； while (m!=0);在編寫程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據結構。比較直觀的方法是采用一個二維數(shù)組，但仔細觀察就會發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調整候選解及檢查其合理性帶來困難。更好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對于本題來說，“常用信息”并不是皇后的具體位置，而是“一個皇后是否已經在某行和某條斜線合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一個皇后，引入一個一維數(shù)組（col ），值col表示在棋盤第i列、col行有一個皇后。例如：c

44、ol3=4，就表示在棋盤的第3列、第4行上有一個皇后。另外，為了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，設定col0的初值為0當回溯到第0列時，說明程序已求得全部解，結束程序運行。為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡易方便，引入以下三個工作數(shù)組：（1） 數(shù)組a ，ak表示第k行上還沒有皇后；（2） 數(shù)組b ，bk表示第k列右高左低斜線上沒有皇后；（3） 數(shù)組 c ，ck表示第k列左高右低斜線上沒有皇后；棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號與列號之和相同；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號與列號之差均相同。初始時，所有行和斜線上均沒有皇后，從第1列的第1行配置第一個皇后開始，在第m列col

45、m行放置了一個合理的皇后后，準備考察第m+1列時，在數(shù)組 a 、b 和c 中為第m列，colm行的位置設定有皇后標志；當從第m列回溯到第m-1列，并準備調整第m-1列的皇后配置時，清除在數(shù)組a 、b 和c 中設置的關于第m-1列，colm-1行有皇后的標志。一個皇后在m列，colm行方格內配置是合理的，由數(shù)組a 、b 和c 對應位置的值都為1來確定。細節(jié)見以下程序：【程序】# include# include# define MAXN 20int n,m,good;int colMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1;void main() int j;char awn;printf(“Enter n: “); scanf(“%