數學畢業(yè)論文構造法在中學數學中的應用初探

1、構造法在中學數學中的應用初探 摘要 構造法是一種富有創(chuàng)新性的解題方法，它很好的體現了數學中的發(fā)現、猜想、試驗、探索、歸納等重要的數學方法，對學生的發(fā)展是極其有利的。構造法在解三角函數題中的運用是此文的關鍵之所在?？v觀人類歷史的發(fā)展，每一種理論的產生都有它的背景，并且這些理論的產生都是為實踐服務的，構造法也不例外。自從數學誕生的那一天開始，無數數學志士就對數學中的問題進行了無數次探索，不僅僅在理論上進行創(chuàng)新，而且在方法上大膽地進行創(chuàng)新。伴隨著數學的發(fā)展，數學也出現了未曾有過的難題，這不僅僅是數學理論趨向復雜所造成的，而且還是數學本身的結構所固有的特點。因此，需要無數熱愛數學的人對解題的方法進行大

2、膽的嘗試。俗話說的好：“數學歷史是一部充滿曲折的人類文明史，不僅僅是數學難題層出不窮，而且是數學家涌現出人類歷史上未曾有過的數量，但數學史仍然未鋪平道路”。我的這篇論文，從數學中最容易出現的問題著手，來初步探索中學數學問題中最容易出現的問題，這樣不但可以提高解決數學問題的能力，而且還可以提高數學休養(yǎng)，究竟什么是數學中的構造法呢？又該這樣去構造將是論文的難點所在，要讓我們在解決數學問題時不要拿到題就做的好習慣，要冷靜地去分析所給題的結構特點，認真分析，找到恰當的方法。不但可以順利地完成，而且達到簡便易懂的目的，達到一箭雙雕的作用。這里利用構造函數，方程，復數，數列，幾何圖形等諸多方面來充分地論述

3、構造法在中學數學中的應用。并且論述了構造法的產生背景，構造法在數學方面和非數學方面的區(qū)別。來充分地體現數學構造法的重要性，表現出非構造也能完成數學問題的解決，但也同時表現了數學構造法的獨特的優(yōu)點。因此，構造法有著重要的發(fā)展前景，更需要人們對她進行探索，來進一步拓寬她在數學方面的應用。Summary : Construction Law is a very innovative approach improves, it reflects well the mathematical discovery, guess, test, explore, and summarize important

4、mathematical methods for the development of students is extremely beneficial. Construction law in Xie trigonometrical function and the use of the article is critica Throughout human history, each generation has its theoretical background, and these theories are generated for the practice services, C

5、onstruction Law is no exception. Since the birth of mathematics that day onwards, numerous mathematical person of integrity on the issue of mathematics numerous exploration, innovation not only in theory but also in the methods boldly innovate. Accompanied by the development of mathematics, mathemat

6、ics has not had a problem, not only as a result of mathematics is complex, but also the structure of mathematics itself inherent characteristics. Therefore, the need to solve the numerous people who love mathematics methods bold attempt. Now the good : "Mathematics is a history full of ups and

7、downs in the history of human civilization, is not just math problems are, but mathematician emerged in the history of mankind has not had the number, but still did not pave the way mathematics history.I The paper, from the most easy math problems to, the initial exploration secondary math problems

8、to the most prone to problems, not just to enhance mathematical problem solving ability, but also can enhance the understanding of mathematics, what is mathematics, Construction Law? What this paper is to be constructed in the difficult, let us solve mathematical problems do not get you on the good

9、habit to analyse calmly to the structure and characteristics of serious analysis and find appropriate ways. Not only can successfully complete, but easy to understand the purpose to kill two birds with one role.Construction of a function here that equation, the number series, geometric figure, and m

10、any other aspects of construction law to adequately address the applications of mathematics in secondary schools. Construction on the law and have a background in mathematics and Construction Act, the distinction between non-mathematical.關鍵詞：多元化思維 互不相等 構造法 構造主義 構造性，一、緒論傳統(tǒng)的解題方法只是一味地機械式的練習，很少有創(chuàng)新的意識，不能

11、發(fā)揮學生的創(chuàng)造性，這對學生的發(fā)展是不利的，構造法是一種富有創(chuàng)新性的解題方法，它很好的體現了數學中的發(fā)現、猜想、試驗、探索、歸納等重要的數學方法，對學生的發(fā)展是極其有利的。在中學數學教學中加強構造法解題訓練，并將構造思維形成途徑展示給學生，增強學生應運構造法解題的意識，這對培養(yǎng)學生的多元化思維和創(chuàng)新精神，提高學生分析問題和解決問題的能力有所幫助。二.構造法的介紹1.構造法的簡述：所謂“構造法”就是依據題目自身的特點，通過構造輔助函數，基本不等式，數列，幾何圖形等輔助工具，鋪路架橋，促進轉化，從而達到解題的目的的一種方法。是以已知條件為載體，以所求結論為方向構造出一種新的數學形式使得問題在這種形式

12、下簡捷解決。能夠掌握一定的構造性的方法的解題技巧，不僅是問題簡單化，而且還可以解決難度比較高的問題，使問題迎刃而解，開闊思路?！耙裁?，求什么，給什么，用什么”是最基本的，最常規(guī)的解題思路。而應用“構造思想”解題則另辟蹊經。對于如何解題G.波利亞曾說明“解題的成功靠正確的選擇”用構造法也不例外。構造法是運用數學的基本思想經過認真的觀察，深入的思考，構造出解題的數學模型從而使問題得以解決。構造法的內涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體的問題的特點而采取相應的解決辦法，及基本的方法是：借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法。在解題

13、過程中，若按習慣定勢 思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發(fā)學生根據題目特點，展開豐富的聯想拓寬自己思維范圍，運用構造法來解題也是培養(yǎng)學生創(chuàng)造意識和創(chuàng)新思維的手段之一，同時對提高學生的解題能力也有所幫助，后面我們通過舉例來說明通過構造法解題訓練學生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思想的創(chuàng)新。2.構造法與構造主義：從數學產生那天起，數學中的構造性的方法也就伴隨著產生了。但是構造性方法這個術語的提出，以至把這個方法推向極端，并致力于這個方法的研究，是與數學基礎的直覺派有關。直黨派出于對數學的“可信性”的考慮，提出一個著名的口號：“存在必須是被構造”。這就是構造主義。近代對構造性方法的研究，大致經

14、歷了如下三個階段;1，直覺數學階段，2，算法數學階段，3，現代數學構造階段.3.構造性數學與非構造性數學的區(qū)別與聯系：為了充分認識構造性數學與非構造性數學之間的差別，數學的構造性方法的進展始終是直接因襲標準的非構造數學想法而得到的。因此人們往往產生一種錯覺，以為構造數學“寄生”于非構造數學而發(fā)展。其實不然，往往構造數學比非構造數學能為某些定理提供更加自然、更加簡單的證明，甚至可能得出一些新的非構造數學的定理。所以，這兩種類型的數學之間的關系是相輔相成的共生性關系。美籍中國數學家王浩認為“構造性數學是做的數學，非構造性數學是在的數學”。數學的在是信息模式和結構的在，數學的做是信息加工。我國數學家

15、胡世華先生認為構造性數學的傾向是用數學取得結果把結果構造出來，側重于思維的構造實踐，有限制地使用排中律；非構造性數學的傾向是數學地理解問題和規(guī)律，建立數學模型形成數學理論體系。追求科學理想，可以自由地使用排中律。構造性與非構造性數學既有區(qū)別，又有一定的聯系，它們是相輔相成的。數學的構造性方法的進展自覺不自覺地直接因襲非構造性數學想法而得到的；非構造性數學中又總包含有構造性數學的因素，純粹的非構造性數學是不存在的。三.數學構造法的應用大致說來，數學構造法有兩類用途：1用于對經典數學的概念、定理尋找構造性解釋。在大多數情況下，猜測經典定理。2用于開發(fā)構造性數學的新領域，組合數學、計算機科學中所涉及

16、的數學，都是構造性數學的新領域，尤其是圖論更是構造數學發(fā)展的典型領域之一。因為圖的定義就是構造性的，同時圖的許多應用問題，如計算機網絡，程序的框圖，分式的表達式等，也都是構造性很強的問題。對應的構造性內容，即使構造性內容確實存在的話也絕非易事。還是讓我們在后面舉例來說明。構造是一種重要的數學思想，它是創(chuàng)造能力較高的表現形式，沒有固定的模式可循。構造需要以足夠的知識經驗為基礎，較強的觀察能力、豐富的聯想，靈活的構思，綜合運用能力和創(chuàng)造能力為前提，根據題目的特征，對問題進行深入分析，找出“已知”與“所求（所證）”之間的聯系紐帶“構造法”作為一種重要的化歸手段，在數學中有著極為重要的作用，現舉例談談

17、其在數學解題中的運用。（一）構造函數：構造恰當的函數，以此作為映射關系，然后利用函數的性質，如奇偶性，單調性，周期性等性質使問題變得非常敏捷。函數在我們整個中學數學是占有相當重要的內容，學生對于函數的性質也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內容來解決棘手問題，同時也達到了訓練學生的思維，增強學生的思維的靈活性，開拓性和創(chuàng)造性。理解和掌握函數的思想方法有助于實現數學從常量到變量的這個認識上的飛躍。很多數學命題繁冗復雜，難尋入口，若巧妙運用函數思想，能使解答別具一格，耐人尋味。 構造法是運用數學的基本思想經過認真的觀察，深入的思考，構造出解題的數學模型從而使問題得以解決。構造法的內涵十分豐富，沒有完全固定的

18、模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體的問題的特點而采取相應的解決辦法?；镜姆椒ㄊ牵航栌靡活悊栴}的性質，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按習慣定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發(fā)學生根據題目特點，展開豐富的聯想拓寬自己思維范圍，運用構造法來解題也是培養(yǎng)學生創(chuàng)造意識和創(chuàng)新思維的手段之一，同時對提高學生的解題能力也有所幫助，下面我們通過舉例來說明通過構造法解題訓練學生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思想的創(chuàng)新。<例1>已知a， b， mR+，且a < b 求證：（高中代數第二冊P91）分析：由已知，若用 x代替m呢？可以得到

19、是關于x 的分式，若我們令F(x)=(a+x)÷(b+x) 是一個函數，且x R+聯想到這時，我們可以構造函數上述函數，而又可以化為判斷函數的單調性，而我們又知道 F(x)在0， 內是增函數，從而便可求解。證明：構造函數F(x)=(a+x)÷(b+x) 在0， 內是增函數， 即可得證。有些數學問題與函數毫不相干,但是根據題目的特點，巧妙地構造一個函數，利用函數的性質得到了簡捷的證明。解題過程中不斷挖掘學生的潛在意識而不讓學生的思維注意到某一點上，把自己的解題思路擱淺了。啟發(fā)學生思維多變，從而達到培養(yǎng)學生發(fā)散思維.<例2>已知x,y,z（0，1），求證：x(1-y

20、)+y(1-z)+z(1-x)1（第15屆俄羅斯數學競賽題）分析：此題條件、結論均具有一定的對稱性，然而難以直接證明，不妨用構造法一試。證：構造函數f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1) y,z(0,1),f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)0。f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz0。而f(x)是一次函數，其圖象是直線，由x(0,1)恒有f(x) 0 即(y+z-1)x+(yz-y-z+1) 0 整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) 1。這樣以地于解決問題是很簡捷的,通過這樣的知識轉移，使學生的思維不停留在原來的知識表面上，加深學生對知識的理解

21、，掌握知識更為牢固和知識的運用能力。有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。（二）構造方程方程是解數學題的一個重要工具，許多數學問題，根據其數量關系，在已知和未知之間搭上橋梁，構造出方程，使解答簡潔、合理。<例3>已知a,b,c為互不相等的實數，試證：bc(a-b)(a-c) +ac(b-a)(b-c) +ab(c-a)(c-b) =1 (1)證：構造方程(x-b)(x-c)(a-b)(a-c) +(x-a)(x-c)(b-a)(b-c) + =1 (2)。顯然a,b,c為方程的三個互不相等的實根。而對任意實數x均滿足（2）式。特別地，令x=0，即得（1）式。<例4>設x,y為實數，

22、且滿足關系式：(x-1)3+1997(x-1)=-1，(y-1)3+1997(y-1)=1則x+y= .（1997年全國高中數學聯賽試題）分析：此題用常規(guī)方法，分別求出x和y的值后再求x+y則既繁又難，三次方程畢竟不熟悉。若將兩方程聯立構造出方程(x-1)3+1997(x-1)= (1-y)3+1997(1-y)=1，利用函數f(t)=t3+1997t的單調性，易得x-1=1-y，自然、簡潔。通過上面的例子我們在解題的過程中要善于觀察，善于發(fā)現，在解題過程中不墨守成規(guī)。大膽去探求解題的最佳途徑，我們在口頭提到的創(chuàng)新思維，又怎樣去創(chuàng)新?創(chuàng)新思維是整個創(chuàng)新活動的關鍵，敏銳的觀察力，創(chuàng)造性的想象，獨

23、特的知識結構及活躍的靈感是其的基本特征。這種創(chuàng)新思維能保證學生順利解決問題，高水平地掌握知識并能把知識廣泛地運用到解決問題上來，而構造法正從這方面增訓練學生思維，使學生的思維由單一型轉變?yōu)槎嘟嵌?，顯得積極靈活從而培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維。 在解題的過程中，主要是把解題用到的數學思想和方法介紹給學生，而不是要教會學生會解某一道題，也不是為解題而解題，給他們學會一種解題的方法才是有效的"授之以魚，不如授之以漁"。在這我們所強調的發(fā)現知識的過程，創(chuàng)造性解決問題的方法而不是追求題目的結果。運用構造 方法解題也是這樣的，通過講解一些例題，運用構造法來解題的技巧，探求過程中培養(yǎng)學生的

24、創(chuàng)新能力。（三） 構造復數來解題：復數是實數的延伸，復數有其自身的優(yōu)越性，聯想到復數的概念和性質，構造復數模型，比直接法要簡便得多。一些難以解決的實數問題通過構造轉化為復數問題，雖然數的結構會變復雜，但常使問題簡明化，正所謂“退一步海闊一空”。由于復數是中學數學與其他內容聯系密切最為廣泛的一部分，因而對某些問題的特點，可以指導學生從復數的定義性質出發(fā)來解決一些數學難題。具有點,向量,代數,三角等多種形式.而且復數的意義又把數與形結合起來.因此,許多非復數的問題,如果能改變原題的結論或條件,變成一個與原命題相關的復數問題,利用復數良好的運算的性質和明晰的幾何意義來解,可以達到簡化,巧解的作用。&

25、lt;例4>證明：arctg1/2+arcctg1/3=3/4證明：設a=1+2i,b=1+3i.則arca=arctg1/2,arcb=arcctg1/3。Arctg1/2+arcctg1/3=arc(ab)因為ab=(1+2i)(1+3i)=-5+5i.所以arc(ab)=3/4例5若a,b,x,y正實數,且x2+y2=1,求證：a2x2+b2y2 +a2y2+b2x2 =a+b證：設z1=ax+byi， z2=bx+ayi，則a2x2+b2y2 +a2y2+b2x2 =Z1+Z2Z1+Z2=(a+b)x+(a+b)yi=(a+b) =a+b 不等式得證。（四）構造代數式：代數式是數

26、學的重要組成要素之一，有許多性質值得我們去發(fā)現和應用。<例6>證明：對于同樣的整數x和y，表達式2x+3y和9x+5y能同時被17整除。（首屆IMO試題）分析：構造代數式9（2x+3y）-2(9x+5y)，其值等于17y，能被17整除，結合2與9均與17互素，結論易證。（五）構造數列高中數學涉及到許多遞推數列都是以等差數列，等比數列這些基本數列為背景設計而成的。往往可以通過構造新數列，建立與等差，等比數列這些基本數列的聯系來實現問題的轉化而獲得解決的。相當多的數學問題，尤其是證明不等式，嘗試一下“構造數列”能產生意想不到的效果。<例7>證明：(n=1,2,3)分析:此命

27、題若直接證明，頗具難度，倘若構造數列x1=x2=xn=1+,xn+1=1利用平均值不等式 ，頓使命題明朗化。（六）構造幾何圖形一般來講，代數問題較為抽象，若能通過構造將之合理轉化為幾何問題，利用“數形結合”這一重要思想方法，對于一些題目，可借助幾何圖形的特點來達到解題目的，我們可以構造所需的圖形來解題。往往可增強問題的直觀性，使解答事半功倍或獨具匠心。數形結合的思想方法是數學中的主要思想方法之一，。在解題中充分應用這種思想方法。對提高解題能力，發(fā)展思維會有很大的幫助。構造立體幾何圖形是解決與邊角有關問題的常用方法，解決的常規(guī)思維是由條件到結論的定向思考，但有些問題按這些思維方式，尋求解題途徑比

28、較困難，甚至無從下手。在這種情況下，經常需要我們改變思維方向，換個角度思考，以找到一條饒過障礙的新的途徑。<例8>（見<例2>）證：構造邊長為1的正ABC，D，E，F為邊上三點 圖1:并設BD=x，CE=y， AF=z，如圖1顯然有SBDE+SCEF+SADF <SABC 兩邊乘于4，即得：這道競賽題能如此簡潔、直觀地證明，真是妙不可言。<例9>解不等式|x-5|-|x+3|<6 分析：對于這類題目的一般解法是分區(qū)間求解，這是比較繁雜的。觀察本題條件可構造雙曲線，求解更簡捷。解：設F(-3，0) F(5，0)則|F1F2|=8 ，F1F2的中點為

29、O(1，0)，又設點P(x，0)，當x的值滿足不等式條件時，P點在雙曲線的內部 1-3<x<1+3  即 -2<x<4  是不等式的解。運用構造法就可以避免了煩雜的分類討論是不是方便得多了，引導學生掌握相關知識運用到解決問題上來。利用定義的特點，把問題的難點轉化成簡單的問題，從而使問題得以解決。在不少的數學競賽題，運用構造來解題構造法真是可見一斑。（七） 利用構造函數圖象法巧解選擇題選擇題是我們常見的題型，有些題需要通過計算得出結果，但有些題不需要大量的計算，我們可以根據題意，構造出函數圖象，極其容易得出答案，方便我們的解題，為解題節(jié)省了時間。<

30、;例10>：若sinq cosq > 0, 則 q 在 （ B ）（A）第一、二象限 （B）第一、三象限（C）第一、四象限 （D）第二、四象限解：此題，我們可以根據題意構造圖象解決首先，我們在同一坐標系中作出 sinq 和 cosq 在 0 ，2p 的圖象 圖2: 在圖中，要使 則可以看出，在第一象限 ，所以，而在第三象限 ，所以，故選（B）（八） 構造函數解不等式<例11>：解不等式 解：構造函數 f（x）= 那么不等式即為：f（sinx）> f(cosx), 又知 f（x）在區(qū)間 R 上的增函數，故原不等式同解于不等式sinx > cosx ,解之，可得

31、原不等式的解集 x | ，kZ。<例12>：已知函數 y=sinx + ，求函數的最大值和最小值。分析：學生拿到此題最大的困惑是去根號，我們觀察 和 的關系，可發(fā)現 =2 ，則可令： , , 這樣 而 所以，函數的最大值為 2 ，最小值為 0 。<例13>：求函數 的最大值與最小值。解：易知x 的取值范圍是 ，構造參變量 于是根號被 所化解。，當 時，Ymax=2， 時，Ymin=1。（九） 構造圖形巧解證明題證明題對大多數學生來說是比較頭痛的事，大多數人看到題就會從已知出發(fā)，直接去找結果，習慣于從正面直接入手，但有些三角函數證明題，我們不妨改變思路，嘗試用構造法，也許會“柳暗花明”。<例14>：已知：、 是互不相等的銳角，且 求證： 證：