熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理試題及答案VIP

1、中國(guó)海洋大學(xué)試題答案學(xué)年第 2 學(xué)期試題名稱 ：熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理（A）共 2 頁(yè)第 1 頁(yè)專業(yè)年級(jí) :學(xué)號(hào)姓名授課教師名楊愛(ài)玲分?jǐn)?shù)填空題（共 40 分）1 .N 個(gè)全同近獨(dú)立粒子構(gòu)成的熱力學(xué)系統(tǒng)，如果每個(gè)粒子的自由度為 的一 r, 系統(tǒng)的自由度為（ Nr ）。系統(tǒng)的狀態(tài)可以用（ 2Nr ）維 r 空間中個(gè)代表點(diǎn)表示。2 對(duì)于處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，如果系統(tǒng)所有可能的微觀狀態(tài)數(shù)Q,則每一微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率為（1/? ），系統(tǒng)的熵為為kin ?玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的區(qū)別在于系統(tǒng)中的粒子是否遵從（泡利不相容原理）原理，其中（費(fèi)米）系統(tǒng)的分布必須滿足0 <玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)在滿足（經(jīng)典極限條件 （或

2、 e a <<1 ）或 e a>>1 ）條件時(shí)，可以使用玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)。dU - 7 a d * _ 二 da ll1給出內(nèi)能變化的兩個(gè)原因，其中（、；|dai ）項(xiàng)描述傳熱， （ a aid ；i ）項(xiàng)描述做功。l|6 . 對(duì)粒子數(shù)守恒的玻色系統(tǒng)，溫度下降會(huì)使粒子的化學(xué)勢(shì)（升高） ; 如果溫度足夠低，則會(huì)發(fā)生（玻色一一愛(ài)因斯坦凝聚）。這時(shí)系統(tǒng)的能量 U0=（ 0）, 壓強(qiáng) p0=（ 0）, 熵 S0=（ 0）。1 2( Px2 2 2ax bx2m-P Pyz )已知粒子遵從經(jīng)典玻爾茲曼分布，其能量表達(dá)式為，粒子的平均能量為 ( 2kT b2/4a當(dāng)溫度（很低）或粒子數(shù)

3、密度（很大）時(shí)，玻色系統(tǒng)與費(fèi)米系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)效應(yīng)會(huì)很強(qiáng)。如果系統(tǒng)的分布函數(shù)為P s，系統(tǒng)在量子態(tài)s 的能量為Es, 用 p s 和 Es 表示：系統(tǒng)的平均能量為（能量漲落為(d(E s -E) 2 )( 如寫(xiě)成E2 -(E) 2 也得分 ) 。10 . 與宏觀平衡態(tài)對(duì)應(yīng)的是穩(wěn)定系綜，穩(wěn)定系綜的分布函數(shù)歸一P s 具有特點(diǎn)（ d P s / dt=0 或與時(shí)間無(wú)關(guān)等同樣的意思也得分），同時(shí) P s 也滿足化條件。二. 計(jì)算證明題（每題10 分，共 60 分）1 ?假定某種類型分子（設(shè)粒子可以分辨）的許可能及為0,3,23,3Q OOO而且都是非簡(jiǎn)并的，如果系統(tǒng)含有6個(gè)分子，問(wèn):, ,（1）與總能

4、量3 3 相聯(lián)系的分布是什么樣的分布？分布需要滿足的條件是什么?（2）根據(jù)公式 0 aj = -n 蛍引計(jì)算每種分布的微觀態(tài)數(shù)!''ai1|（3）確定各種分布的概率。解：能級(jí)：2,2,4,能量值：0,3,23, 33,簡(jiǎn)并度：1,1,1,1,分布數(shù)：a1,a2 ,a3,a4.分布 $ J 要滿足的條件為：一 ai = N = 6i' a i = E = 3 'i滿足上述條件的分布有：A： aj _ 5,0, 0,1,0, ？B：佝J = I4,1,1, 0, 0,. /C： C - 3,3, 0,0,0 ，？6!1 A1 =6；5!匯 1!各分布對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)為

5、 :6 !1二 30;4! 1! 1!6!1二 203!3!R R1C =23456- 30?20 = 56所有分布總的微觀態(tài)數(shù)為 :PA - 門(mén) A/'J= 6/56 = 0.107;各分布對(duì)應(yīng)的概率為：p B= 30 /56 = 0.536;P C=20 / 56 =0.357;2 ?表面活性物質(zhì)的分子在液面( 面積為A) 上做二維自由運(yùn)動(dòng),可以看作二維理想氣體，設(shè)粒子的質(zhì)量為m, 總粒子數(shù)為N。(1)求單粒子的配分函數(shù)Z1；(2)在平衡態(tài)，按玻爾茲曼分布率，寫(xiě)出位置在x 到 x+ dx,y 到 y+ dy 內(nèi)，動(dòng)量在px 到px+ dp x,py 到 py+ dp y 內(nèi)的分子數(shù)

6、dN ;(3) 寫(xiě)出分子按速度的分布；(4) 寫(xiě)出分子按速率的分布。解: (1) 單粒子的配分函數(shù)乙勺 =亠 “対弘入 ) dxdydp xdp y =$ (2 兀 mkT )h、h/ 、s&dxdydp xdPy N 鳥(niǎo) dxdydp x dP y( 2) dN- 2 = - 2 LhZ1h(3) 將(1) 代入( 2),并對(duì) dxdy 積分，得分子按速度的分布為m 事 2 2dN v = N( - )e(vx - V y )dvx dV y(4) 有 ( 3) 可得分子按速率的分布為 : (1) 溫度為 T 時(shí)處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)之比，并說(shuō)明在2irkT2mv/ m

7、、 "2kT .()e vdv kT3 ?定域系含有N 個(gè)近獨(dú)立粒子，每個(gè)粒子有兩個(gè)非簡(jiǎn)并能級(jí) 1 = 一 0 ,e 2= 0 ，其中 e 0 大于零且為外參量y 的函數(shù)。求 :極端高溫和極端低溫時(shí)粒子數(shù)比的特點(diǎn);(2 ) 系統(tǒng)的內(nèi)能和熱容量;(3) 極端高溫和極端低溫時(shí)系統(tǒng)的熵。解： ( 1) 單粒子的配分函數(shù)為 :八 e" 乂 -"e"二 e " e"lN - 1 e -0e處于基態(tài)的粒子數(shù)為 :N eN1N打-'-0;Ze e2m vm 詬2 二 N ( - ) e vdv2irkT處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為:N2 = N -

8、Z!e溫度為 T 時(shí)處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)之為N2 e'0 e_kT:e極端高溫時(shí) :_ N 20 kT, _,.1, 即處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)基本相同;N 1極端低溫時(shí) :0kT ,上癢 0 ,即粒子幾乎全部處于基態(tài)。N 1(2) 系統(tǒng)的內(nèi)能 :： InZ-N ln(e cPcPdU )VN ；熱容量： CV。 2 3kT 2(3) 極端高溫時(shí)系統(tǒng)的熵 :極端低溫時(shí)系統(tǒng)的熵:S=04 ?對(duì)弱簡(jiǎn)并的非相對(duì)論費(fèi)米氣體，求 :(1 ) 粒子數(shù)分布的零級(jí)近似fo 與一級(jí)修正項(xiàng) f i；(2) 證明：與零級(jí)近似相比, 粒子數(shù)的相對(duì)修正量和內(nèi)能的相對(duì)修正量均正比于 e

9、 一。解：費(fèi)米氣體分布函數(shù)為:：(1) f =e-l 一1 +e12 .( 2) D ( ；)d ; = CV ；2d ;e 2 C V ;2d ;coc1f0D( ； ) d ；e = CV h ；U 耳； D( ； )doc ef0 ； D ( ;)d :5 ?金屬中的電子可以視為自由電子氣體，電子數(shù)密度n,(1) 簡(jiǎn)述： T = 0K 時(shí)電子氣體分布的特點(diǎn)，并說(shuō)明此時(shí)化學(xué)勢(shì)p 0 的意義 ;-3；00(2) 證明： T = 0K 時(shí)電子的平均能量5 ，簡(jiǎn)并壓強(qiáng)Po(3) 近似計(jì)算：在室溫下某金屬中自由電子的熱容與晶格熱容之比。T=0K( 1) p 表示 T = 0K 時(shí)電子的最能量。電子

10、從=0 的能級(jí)開(kāi)始，先占據(jù)低能級(jí)，然后占據(jù)高能級(jí)，遵從泡利不相容原1理。f = 1 ( < po) ； f = 0( >4Id ；041) ； fD ( ；)0；CV；=0d ；2d4；1=? 010f s2 d z5fD0CV ；( ；)d ；2d ；P。1050 T>OK 時(shí)：f( 呂 ; f =L ( 戸?。?f <1(2 2 2kTT>0K 時(shí)，只有在卩附近 kT 量級(jí)范圍內(nèi)的電子可躍遷到高能級(jí)，對(duì)CV 有貢獻(xiàn)，設(shè)這部分電子的數(shù)目為N eff , 則 Neff = N 。每一電子對(duì)“" 人 =亠亠亠,“ e 33kkT3Nk kT3Nk kT3N

11、k TCV 的貢獻(xiàn)為 3kT/2, 則金屬中自由電子對(duì)Cv 的貢獻(xiàn)為 CVe kxN N-()()()22#2#2kTf2TfC e1 T晶格的熱容量為Cv = 3Nk ,_ _ $ 0(T f :10 _10 )CV2Tfhr iU =Uo+ 一處十6. 固體的熱運(yùn)動(dòng)可以視為3N 個(gè)獨(dú)立簡(jiǎn)正振動(dòng)，每個(gè)振動(dòng)具有各自的簡(jiǎn)正頻率3i，內(nèi)能的表達(dá)式為：i e1 ，式中的求和遍及所有的振動(dòng)模式，實(shí)際計(jì)算時(shí)需要知道固體振動(dòng)的頻譜。( 1 ) 寫(xiě)出愛(ài)因斯坦模型中采用的頻譜和德拜模型中采用的頻譜，并加以簡(jiǎn)單說(shuō)明；( 2) 用愛(ài)因斯坦模型求高溫下固體的熱容量；( 3 ) 用德拜模型證明低溫下固體的熱容量正比于T3。N 個(gè)分子的振動(dòng)簡(jiǎn)化為 3N 同頻率 ( 3 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，每個(gè)振子的能級(jí)為1解： ( 1) 愛(ài)因斯坦模型：前=5 十丄辰；22德拜模型： N 個(gè)分子的振動(dòng)簡(jiǎn)化為 3N 個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)，每個(gè)振子的頻率不同，且有上限COD , D(C0)d =Ba.Dng)e 2(2) 愛(ài)因斯坦模型 ：Z1=無(wú) 00(=e2 - - 爭(zhēng)畐 ;ln1 e社3 N 衣灼 3 N /j?U=dNl nZ =+ 胃郁 12e 阿 7(U加 2e kT5 =( )V =3Nk( )-tf-TT rcTkT(e創(chuàng)-1)高溫時(shí)：e*"kT一1止耘i / kT ,e 勵(lì)kTt 1, C V t3N k/c、