第二次世界大戰(zhàn)之后純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展

1、第二次世界大戰(zhàn)之后純粹數(shù)學(xué)的開展第二次世界大戰(zhàn)之后 ,純粹數(shù)學(xué)取得了令人矚目的進(jìn)展 ,它主要表現(xiàn)在以流形的整體性質(zhì)為中心的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)及微分拓?fù)鋵W(xué)、大范圍微分幾何學(xué)、大范圍分析的研究在這些研究的根底上 ,對(duì)經(jīng)典的代數(shù)幾何學(xué)、復(fù)變函數(shù)論逐步由低維擴(kuò)張到高維乃至一般維在代數(shù)幾何學(xué)的成果根底上 ,數(shù)論的核心丟番圖分析取得重大進(jìn)展與線性問題迥然不同的非線性問題也有所突破一、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)及微分拓?fù)鋵W(xué)1939年底波蘭數(shù)學(xué)家愛倫堡(SEilenberg ,1913)到達(dá)美國(guó) ,開始了他同麥克萊因(SMaclane ,1909)及斯廷洛德(NSteenrod ,19101971)的合作 ,為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)奠定了根底特

2、別是他1944年定義了奇異(上)同調(diào)群并和斯廷洛德在1945年把同調(diào)論公理化 ,結(jié)束了戰(zhàn)前那種多種同調(diào)論并存的局面1939年英國(guó)數(shù)學(xué)家懷特海(JHCWhitehead ,19041960)引進(jìn)了CW復(fù)形并對(duì)同倫等價(jià)條件進(jìn)行代數(shù)刻劃 ,使代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)有了相當(dāng)合理的對(duì)象1947年斯廷洛德開展了障礙理論 ,定義了第一個(gè)同調(diào)運(yùn)算Sq ,成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的重要工具但是戰(zhàn)后代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的大開展得力于法國(guó)學(xué)派的興起特別是1948年H嘉當(dāng)(HCartan ,1904)討論班 ,對(duì)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)產(chǎn)生重大突破早在三十年代末 ,產(chǎn)生纖維叢的概念 ,這時(shí)擴(kuò)展成纖維空間的概念 ,成為拓?fù)洳蛔兞康挠辛ぞ?951年塞爾(JPSer

3、re ,1926)引入1945年勒瑞創(chuàng)造的譜序列方法首先對(duì)球面同倫群的計(jì)算得出一系列成果1952年道姆(RThom ,1923)得出道姆根本定理 ,直接導(dǎo)向配邊理論的開展1956年美國(guó)數(shù)學(xué)家鮑特(RBott ,1923)對(duì)于李群的穩(wěn)定同倫群得出周期性定理 ,這一結(jié)果是K理論的重要組成局部1970年外斯特(JWest)及錢普曼(TChapman ,1940)證明任何CW復(fù)形的同胚都是單同倫等價(jià)由于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)工具的開展 ,促進(jìn)了微分拓?fù)鋵W(xué)的大躍進(jìn)微分拓?fù)鋵W(xué)主要研究流形的拓?fù)鋵W(xué) ,隨著流形上拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、分段線性(組合)結(jié)構(gòu)及微分結(jié)構(gòu)的不同 ,流形分成三大范疇TOP ,PL ,DIFF早在30年代 ,美

4、國(guó)數(shù)學(xué)家凱恩斯(SCairns ,19041982)等就證明 ,但凡微分流形都可以加以剖分產(chǎn)生與其微分結(jié)構(gòu)相協(xié)調(diào)的組合結(jié)構(gòu)但是組合流形反過來并不一定有相應(yīng)的微分結(jié)構(gòu) ,這首先由瑞士數(shù)學(xué)家克外爾(MKervaire ,1927)在1959年舉出反例更令人震驚的是美國(guó)數(shù)學(xué)家米爾諾(J.Milnor ,1931)在1956年證明七維球面上有多種不同的微分結(jié)構(gòu)其后他們還定出球面上到底有多少種不同的微分結(jié)構(gòu)1960年美國(guó)數(shù)學(xué)家斯梅爾(SSmale ,1930)證明了廣義龐加萊猜測(cè) ,即五維及五維以上的同倫球面(具有與球面相同的同倫群)都與球面同胚對(duì)于拓?fù)淞餍魏螘r(shí)存在PL結(jié)構(gòu) ,以及其PL結(jié)構(gòu)是否唯一的問

5、題(去猜測(cè)) ,為美國(guó)數(shù)學(xué)家克拜(RKirby ,1938)及基奔曼(LSiebenmann ,1939)在1969年完全解決 ,他們得出了不存在的“障礙他們的方法用到無限維的分類空間七十年代最困難的三維拓?fù)鋵W(xué)開始取得突破 ,雖然原來的龐加菜猜測(cè)還沒有得到證明 ,但美國(guó)數(shù)學(xué)家色斯頓(WThurs-ton ,1946)證明 ,除了三維球面情形之外 ,其他三維流形可以得到完全的分類更令人驚異的是 ,最為困難的是四維流形情形 ,1981年美國(guó)數(shù)學(xué)家弗里德曼(MHFreedman ,1951)證明拓?fù)涞凝嫾尤R猜測(cè) ,而且利用英國(guó)數(shù)學(xué)家唐納森(SDonaldson ,1957)的結(jié)果 ,可以證明 ,四維

6、球面上有無窮多種微分結(jié)構(gòu)低維流形最有興趣的扭結(jié)問題長(zhǎng)期以來沒有取得新突破：1984年瓊斯(VJones ,1953)得到新的多項(xiàng)式 ,1988年高爾登(CMGordon)等證明了蒂茨猜測(cè)(1908)二、微分流形的幾何學(xué)微分流形的微分結(jié)構(gòu)可以通過切叢給予一定的刻劃一般叢的理論在40年代初由施蒂費(fèi)爾(EStiefel ,1909)惠特尼定義了施蒂費(fèi)爾惠特尼示性類 ,吳文俊(1919)1949年證明其拓?fù)洳蛔冃园钐乩飦喗鹨M(jìn)邦特里亞金示性類1957年托姆證明有理系數(shù)的邦特里亞金示性類是組合不變量1965年諾維科夫證明其拓?fù)洳蛔冃躁P(guān)于微分流形的粗分類 ,托姆在1952年提出“配邊理論 ,配邊理論是微分

7、流形理論的重大成就 ,藉助它德國(guó)數(shù)學(xué)家赫采布魯赫(FHirzebruch ,1927)證明高維代數(shù)簇的黎曼洛赫定理 ,米爾諾證明七維球面上存在不同的微分結(jié)構(gòu)這個(gè)理論為米爾諾等人推廣到一般配邊理論 ,如復(fù)配邊理論 ,它同K理論一樣是一種廣義同調(diào)理論 ,即滿足同調(diào)論七條公理中的前六個(gè) ,因此給拓?fù)鋵W(xué)引進(jìn)了新的工具K理論的產(chǎn)生使一些經(jīng)典問題得到解決 ,特別是球面上獨(dú)立向量場(chǎng)的數(shù)目微分流形上的向量場(chǎng)在微分流形M上 ,使r階可微(Cr ,(r1)類向量場(chǎng)x為零的臨界點(diǎn)在研究向量場(chǎng)的積分曲線中起著重要的作用 ,這些臨界點(diǎn)就是向量場(chǎng)的奇點(diǎn)龐加萊第一個(gè)發(fā)現(xiàn)曲面上向量場(chǎng)的臨界點(diǎn)與曲面的拓?fù)洳蛔兞恐g的關(guān)系 ,而

8、這個(gè)關(guān)系的一般形式是由浩普夫給出的假設(shè)M是緊的 ,且x的臨界點(diǎn)只有有限多個(gè) ,那么對(duì)于每個(gè)臨界點(diǎn)可以內(nèi)在地對(duì)應(yīng)一個(gè)整數(shù) ,稱為該點(diǎn)的指數(shù) ,那么所有指數(shù)之和(稱為x的指數(shù))等于M的歐拉龐加萊示性數(shù)如果x1 ,xk是M上k個(gè)向量場(chǎng) ,這個(gè)向量場(chǎng)組的奇點(diǎn)就是這樣的點(diǎn)xM ,在其上向量x1(x) ,xk(x)是線性相關(guān)的；指數(shù)的概念也能推廣到這樣的向量場(chǎng)組上 ,當(dāng)k2時(shí) ,也有它與M的同調(diào)之間關(guān)系的結(jié)果一個(gè)曾進(jìn)行許多研究的問題是：決定最大的整數(shù)k ,使存在k個(gè)向量場(chǎng)x1 , ,xk不具有奇點(diǎn)如kn=dim(M) ,流形M就稱為可平行的對(duì)于球面Sn的情形 ,這問題由亞當(dāng)斯(JFAdams ,19301

9、988)在0的整數(shù) ,且c3；那么藉助于基于K理論的廣義上同調(diào)可以證明 ,k等于2c8d-1特別可平行的球面只有S1 ,S3 ,S7嘉當(dāng)?shù)囊欢温?lián)絡(luò)理論被法國(guó)數(shù)學(xué)家埃雷斯曼(CEhres-mann ,19051979)等人開展成為一般的纖維叢觀念纖維叢是一種以空間為基 ,基上每點(diǎn)又長(zhǎng)出另一空間為其纖維 ,所有這些纖維合在一起成為纖維叢利用纖維叢的觀念可以自然地定義外微分形式及外微分嘉當(dāng)?shù)穆?lián)絡(luò)概念使得我們能夠比擬在兩個(gè)無窮近點(diǎn)的兩個(gè)切空間的向量 ,同時(shí)可以定義一個(gè)向量場(chǎng)關(guān)于另一向量場(chǎng)的導(dǎo)數(shù) ,這正好是協(xié)變導(dǎo)數(shù)的推廣嘉當(dāng)這一套概念和方法不僅對(duì)于微分幾何產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響 ,而且對(duì)微分拓?fù)淠酥廖锢韺W(xué)中的標(biāo)

10、準(zhǔn)場(chǎng)理論都提供了重要工具而陳省身(1911)那么是現(xiàn)代微分幾何學(xué)奠基人三、大范圍分析“大范圍(Global)也可以譯為整體、全局 ,它的原意是全球它的對(duì)立面是局部流形的局部是歐幾里得空間 ,在它上面有著豐富的結(jié)構(gòu) ,更有著各種坐標(biāo)系 ,使我們很容易在上面開展數(shù)學(xué)分析 ,因此 ,長(zhǎng)期以來 ,數(shù)學(xué)分析根本上是局局部析局部n維歐幾里得空間 ,經(jīng)過拼接之后 ,可以成為各種各樣的n維流形 ,所以 ,大范圍分析也可以說是流形上的數(shù)學(xué)分析它包括流形上的微積分 ,流形上的微分方程 ,流形上的變分法 ,流形上的函數(shù)論及泛函分析等等雖然大范圍分析這個(gè)名詞在1965年才開始出現(xiàn) ,可是它的內(nèi)容至少已有一百多年的歷史

11、了在微分流形上考慮微分算子的思想至少可追溯到黎曼與貝爾特拉米到19世紀(jì)八十年代 ,大數(shù)學(xué)家龐加萊 ,已經(jīng)在常微分方程論中引進(jìn)幾何方法 ,開創(chuàng)了微分方程定性理論的新方向他一反過去具體局部求解的方法 ,而著重研究大范圍內(nèi)解曲線的分布狀況他發(fā)現(xiàn) ,微分方程的奇點(diǎn)起著關(guān)鍵的作用 ,通過奇點(diǎn)的分類 ,對(duì)于解的性態(tài)有深入的了解 ,特別是提出了穩(wěn)定性問題后來的開展圍繞著穩(wěn)定性 ,周期解及極限環(huán)等問題展開 ,而且很快在電路問題中找到應(yīng)用龐加萊去世之前 ,對(duì)狹義三體問題(即其中一體的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)比其他二體為小)證明定理：(1)運(yùn)動(dòng)方程的解除了的雅可比積分之外 ,不存在其他的解 ,并提出(2)存在無窮多周期解他沒能證

12、明這點(diǎn) ,只是把它歸結(jié)成一個(gè)拓?fù)涠ɡ?,這就是所謂“龐加萊最后問題沒有料到 ,他去世不到半年 ,這問題就被美國(guó)數(shù)學(xué)家柏克霍夫解決他還用拓?fù)浞椒ㄑ芯炕貧w問題(如一個(gè)星體經(jīng)過一段時(shí)期后是否還回到原來位置附近) ,并用極小極大方法來推動(dòng)動(dòng)力系統(tǒng)的研究 ,這可以說是大范圍分析的第一個(gè)分支大約同時(shí) ,有人對(duì)環(huán)面上的微分方程進(jìn)行充分的研究二十年代中期 ,柏克霍夫的學(xué)生莫爾斯(HMMorse ,18921977)開創(chuàng)大范圍變分法 ,也即莫爾斯理論莫爾斯理論把流形上的函數(shù)的臨界點(diǎn)與流形的拓?fù)湫再|(zhì)連系在一起莫爾斯理論促進(jìn)了微分拓?fù)鋵W(xué)的大開展 ,特別是證明了廣義龐加萊猜測(cè)二十年代中期 ,美國(guó)數(shù)學(xué)家惠特尼開創(chuàng)了大范

13、圍分析的第三個(gè)分支微分映射奇點(diǎn)理論 ,到五十年代中期取得突破性進(jìn)展 ,其后成為托姆的突變理論的根底大約同時(shí) ,英國(guó)數(shù)學(xué)家浩治(WHodge ,19031975)應(yīng)用流形上的微分算子來研究微分流形的拓?fù)湫再|(zhì) ,即所謂調(diào)和積分理論或浩治理論數(shù) ,所謂f的臨界點(diǎn)就是使微分df在該點(diǎn)等于零的那些點(diǎn)xV ,這實(shí)際上是函數(shù)取極大值或極小值的點(diǎn)的推廣f的臨界點(diǎn)集可以是V中任意閉集 ,因此 ,企圖根據(jù)其臨界點(diǎn)的性質(zhì)來對(duì)C函數(shù)進(jìn)行分類似乎是不現(xiàn)實(shí)的臨界點(diǎn)稱為非退化的 ,如果f在這點(diǎn)的某一鄰域中的泰勒展開的二次項(xiàng)所構(gòu)成的多項(xiàng)式是一個(gè)非退化二次型；根據(jù)定義這個(gè)二次型的指數(shù)就是臨界點(diǎn)的指數(shù)只有非退化臨界點(diǎn)并且在這些點(diǎn)

14、(它們必定是關(guān)奇點(diǎn)理論的主要問題是通過某種等價(jià)關(guān)系來分類無窮可微映射f：MN ,f與f看成等價(jià) ,如果f=hfg ,其中g(shù)和h分別是M和N的微分同胚 ,或者g和h分別是M和N的同胚1955年 ,惠特尼和托姆開創(chuàng)了研究奇點(diǎn)理論的大規(guī)模綱領(lǐng)他們的新思想主要是集中注意于一般的映射這個(gè)綱領(lǐng)主要由麥澤爾(JMather ,1942)在60年代初的工作而大大推進(jìn)了他證明 ,拓?fù)浞€(wěn)定的映射總構(gòu)成(M ,N)中的稠密開子集 ,但是對(duì)于微分穩(wěn)定的映射 ,同樣的論斷只對(duì)某些明顯走出的維數(shù)對(duì)(m ,n)(“好維數(shù))才成立一般的映射總是拓?fù)浞€(wěn)定的 ,而在好維數(shù)下 ,一般的映射恒同于微分穩(wěn)定映射這里證明的技術(shù)在于把微分

15、穩(wěn)定性的問題歸結(jié)為所考慮映射的導(dǎo)網(wǎng)的相應(yīng)問題 ,然后 ,由于一個(gè)關(guān)鍵的結(jié)果 ,即拉格朗日把魏爾斯特拉斯的“預(yù)備定理推廣到C函數(shù) ,從而可以運(yùn)用交換局部環(huán)理論這個(gè)工具四、多復(fù)變函數(shù)論多復(fù)變解析函數(shù)論是單復(fù)變解析函數(shù)論的自然推廣早在19世紀(jì)末 ,就已經(jīng)把單復(fù)變最簡(jiǎn)單的結(jié)果平行地推廣到多復(fù)變 ,而且嘗試把一些一般定理 ,如魏爾斯特拉斯定理(整函數(shù)的表示問題)及米塔格列夫勒定理(亞純函數(shù)的有理分式表示)推廣到多復(fù)變情形1895年 ,法國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)煨?PCousin ,18671933)提出庫(kù)辛第一問題和第二問題 ,即給定零點(diǎn)、極點(diǎn)作出相應(yīng)亞純函數(shù)問題庫(kù)辛對(duì)函數(shù)定義域G是整個(gè)n元復(fù)空間C的情形(以及一些特

16、殊情形)肯定地解決第一、第二問題 ,但一般情形一直到1935年才由日本數(shù)學(xué)家岡潔(19011978)解決他證明當(dāng)G是全純域時(shí) ,庫(kù)辛第一問題永遠(yuǎn)可解而第二問題即使對(duì)全純域也還需要滿足一定條件這顯示出全純域的重要但是多復(fù)變解析函數(shù)的定義域遠(yuǎn)比單復(fù)變復(fù)雜 ,而且多復(fù)變解析函數(shù)還具有不同于單復(fù)變函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì) ,這就是1906年由德國(guó)數(shù)學(xué)家哈托格斯(FHartogs ,18741933)發(fā)現(xiàn)的向內(nèi)可解析開拓性：設(shè)Cn中的域G內(nèi)有一個(gè)緊集K ,只要GK是連通的 ,任何在GK上全純函數(shù)都可開拓到整個(gè)G上這個(gè)性質(zhì)對(duì)n1是決不成立的 ,由此多復(fù)變函數(shù)走上自己獨(dú)立的開展道路對(duì)向外開拓 ,多復(fù)變情形也不同于單復(fù)

17、變情形 ,即總有開拓不出去的全純函數(shù) ,一般來講 ,所有全純函數(shù)都可以開拓到更大的域中去而不具有這種性質(zhì)的域那么稱為全純域20世紀(jì)前半葉 ,多復(fù)變函數(shù)論的主要問題是研究全純域的刻劃問題為此哈托格斯及意大利數(shù)學(xué)家列維(EELevi ,18831917)引進(jìn)偽凸性(也譯擬凸性)的概念 ,1910年列維提出列維問題：偽凸域是否全純域？在這方面第一個(gè)重要結(jié)果是H嘉當(dāng)及德國(guó)數(shù)學(xué)家圖侖(PThullen ,1907)在1932年給出的：他們證明可以用全純凸性來刻劃全純域但由全純凸性過渡到偽凸性又經(jīng)歷了二十年岡潔在1942年證明n=2的情形 ,到1953年才證明一般情形 ,1954年諾蓋(FNorguet

18、,1932)及布列莫曼(HJBremermann ,1926)也獨(dú)立證明同樣結(jié)果 ,至此列維問題完全解決另外有一些沿著不同道路關(guān)于多復(fù)變解析函數(shù)的研究：德國(guó)數(shù)學(xué)家萊因哈特(KReinhardt)于1921年開創(chuàng)的解析自同構(gòu)的研究 ,博赫納及伯格曼(SBergman ,18951977)從1922年開始的核函數(shù)的研究對(duì)單復(fù)變整函數(shù)及亞純函數(shù)論的推廣也并非易事 ,法圖等還引出皮卡定理的反例：解析映射f：C2C2的函數(shù)行列式處處不為零 ,但f的象f(C2)在C2中的余集卻具有非空開集1930年 ,H嘉當(dāng)證明解析映射的唯一性定理 ,但1926年 ,儒利雅把正規(guī)族理論推廣到多復(fù)變?cè)趲缀魏瘮?shù)論方面 ,龐加

19、萊早就知道C2中圓盤與雙圓柱不雙全純等價(jià)關(guān)于自守函數(shù)的推廣有兩個(gè)方向：一個(gè)方向是由希爾伯特及他的學(xué)生布魯門塔爾(LBlumenthal ,18761944)在20世紀(jì)初的工作開拓的 ,另一個(gè)方向是西格爾從1935年到1950年的工作開拓的 ,這些工作與代數(shù)數(shù)論、李群的無窮維表示與代數(shù)幾何學(xué)聯(lián)系在一起 ,形成當(dāng)前十分活潑的領(lǐng)域最早的多復(fù)變函數(shù)論的綜述是奧斯古德1914年的書及1924年?函數(shù)論?第二卷第一版 ,但較全面的總結(jié)那么是1929年?函數(shù)論?第二卷第二版其后的成就見于貝恩克(HBehnke ,18981979)及圖侖的erlichen)1934年版及1948年出版的博赫納及馬丁(WTMa

20、rtin ,1911)?多復(fù)變?(SeveralComplexVariables)兩書中對(duì)于1950年以前的多復(fù)變 ,外爾在“半世紀(jì)的數(shù)學(xué)一文中說“多復(fù)變解析函數(shù)論 ,雖有一些深刻的結(jié)果 ,仍然還處于它的草創(chuàng)階段實(shí)際上 ,從1951年起 ,在拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何學(xué)、抽象代數(shù)學(xué)、李群理論以及分析學(xué)的開展的共同作用下多復(fù)變函數(shù)論迎來一個(gè)嶄新的時(shí)期首先 ,研究對(duì)象已由多元復(fù)數(shù)空間Cn中的域推廣到復(fù)解析流形及解析空間1951年德國(guó)數(shù)學(xué)家施泰因(KStein ,1913)把全純域的性質(zhì)抽象出來 ,定義了后來以他命名的施泰因流形它具有許多好的性質(zhì) ,特別是在1951年H嘉當(dāng)及塞爾在其上引進(jìn)層系數(shù)上同調(diào)及凝聚層

21、的概念 ,用層上同調(diào)來表述分析成果 ,特別是庫(kù)辛第一、第二問題這樣一舉解決定理A、B ,反過來 ,用層上同調(diào)刻劃施泰因流形德國(guó)數(shù)學(xué)家格勞爾特(HGrau-ert ,1930)在1958年證明：復(fù)解析流形的相對(duì)緊域 ,如是強(qiáng)偽凸 ,那么是施泰因流形1953年塞爾猜測(cè)：底及纖維均為施泰因空間 ,叢空間是否也是施泰因空間？這個(gè)問題刺激了多復(fù)變特別是施泰因空間理論的開展到1977年斯科達(dá)(HSkoda)舉出一個(gè)反例復(fù)解析流形雖然是單復(fù)變解析函數(shù)的定義域黎曼面(一維復(fù)流形)的自然推廣 ,但是許多自然定義的集合 ,最簡(jiǎn)單的像解析函數(shù)的零點(diǎn)集 ,一般并不是一個(gè)復(fù)解析流形因?yàn)椴皇敲恳稽c(diǎn)都有一個(gè)鄰域與Cn雙全純

22、等價(jià)顯然這是因?yàn)橛衅纥c(diǎn)的緣故為此 ,必需把研究對(duì)象由復(fù)流形大大推廣 ,這就是復(fù)空間或解析空間的概念它們首先是由貝恩克和施泰因在1951年引進(jìn)的50年代中期起 ,運(yùn)用層上同調(diào)理論 ,格勞爾特、雷姆爾特(RRemmert ,1930)及施泰因等人得出一系列根本結(jié)果解析空間之間的映射中 ,重要的一類是正常映射(緊集的原象是緊的)關(guān)于正常映射的根本結(jié)果是1960年格勞爾特征明的直接象定理：f：XY是正常映射 ,那么X上的凝聚層的各次直接象都是Y的凝聚層特別地f(X)是Y的解析子空間另外 ,廣中平祐還把奇點(diǎn)解消定理推廣到解析空間與單復(fù)變的情形不同 ,兩個(gè)單連通的域不一定雙全純等價(jià)(存在一對(duì)一的保角或共形

23、映射)龐加萊早就指出二維復(fù)數(shù)空間C2中球體丨Z1丨2丨Z2丨21與雙柱丨Z1丨1 ,丨Z2丨1之間不存在雙全純映射 ,這由它們的解析自同構(gòu)群不同即可看出也知道Cn中存在單連通的全純域 ,它沒有非平凡的自同構(gòu)一般的解析空間的自同構(gòu)群 ,只有個(gè)別特殊結(jié)果 ,而它們之間映射的普遍定理 ,只有費(fèi)弗曼在1974年證明的擴(kuò)張定理：如果Cn中兩個(gè)嚴(yán)格偽凸域D1 ,D2之間存在映上同構(gòu) ,那么該同構(gòu)可擴(kuò)張或包含邊界的微分同胚1980年以后 ,有人給出簡(jiǎn)短的證明與施泰因流形對(duì)立的另一極端是緊復(fù)流形 ,其概念可追溯到1913年于緊黎曼面與光滑代數(shù)曲線是同一事情的不同說法 ,緊復(fù)流形理論也可看成是代數(shù)幾何學(xué)的推廣

24、,但在方法上卻有微分幾何學(xué)及分析上的好處非異射影代數(shù)流形都是凱勒流形 ,反過來不成立 ,1954年小平邦彥證明只有約束型凱勒度量的復(fù)流形(浩治流形)才是代數(shù)流形凱勒流形上重要的工具是調(diào)和積分論 ,這是由浩治在1941年開展起來的 ,它可看成黎曼面上調(diào)和函數(shù)論在復(fù)流形上的推廣調(diào)和積分理論把拓?fù)涞年P(guān)系通過具體的調(diào)和積分表示出來 ,由此可以得出一系列深刻的結(jié)果 ,例如1954年小平邦彥證明的致零定理 ,由此把曲率與拓?fù)湫再|(zhì)聯(lián)系起來1963年美國(guó)數(shù)學(xué)家柯恩(JJKohn ,1932)對(duì)重要的偽凸流形 ,方法不僅解決了許多函數(shù)論問題 ,而且把浩治小平邦彥關(guān)于緊復(fù)流形的結(jié)果推廣到非緊、帶邊緣復(fù)流形上五、抽

25、象代數(shù)幾何學(xué)和丟番圖方程古典代數(shù)幾何學(xué)主要研究三維復(fù)射影空間Pn(C)中的代數(shù)曲面和代數(shù)曲線 ,實(shí)際上與復(fù)分析不可分但是無論從理論上還是從應(yīng)用上講 ,都要求對(duì)代數(shù)幾何學(xué)作推廣例如把根本定理黎曼洛赫定理推廣到代數(shù)曲面及高維代數(shù)簇上 ,多個(gè)代數(shù)簇的交截問題 ,舒伯特(HSchubert ,18481911)的計(jì)數(shù)幾何的嚴(yán)密根底問題(這是希爾伯特第十五問題)等 ,尤其是許多數(shù)論問題更要求有限域的求解這些都促使代數(shù)幾何學(xué)的抽象化從30年代起 ,抽象代數(shù)學(xué)、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何學(xué)的開展為代數(shù)幾何學(xué)的抽象化提供了許多新工具 ,尤其是四十、五十年代層論中層的上同調(diào)及纖維叢的思想及同調(diào)代數(shù)方法更導(dǎo)致代數(shù)幾何學(xué)

26、根底的兩次革新 ,并在不定方程上取得兩次大突破 ,這是抽象代數(shù)幾何學(xué)的突出成就第一次革新是抽象代數(shù)幾何學(xué)的根底的建立 ,它反映在魏伊1946年出版的?代數(shù)幾何學(xué)根底?(FoundationsofAlgeb-raicGeometry ,1962年第二版)一書中雖然從30年代起 ,范德瓦爾登在十幾篇論文中已經(jīng)為代數(shù)幾何學(xué)一些概念(如“一般點(diǎn))給了嚴(yán)密的定義 ,但“交截重?cái)?shù)的概念仍然成問題魏伊解決了這個(gè)問題 ,他還把定義域由復(fù)數(shù)擴(kuò)充到一般的代數(shù)封閉域(特別是特征不等于0的域 ,從而為數(shù)論問題的解決打通道路)他還第一次把代數(shù)簇的概念由射影空間中解放出來 ,也就是給出一個(gè)“內(nèi)在的定義相應(yīng)地對(duì)于代數(shù)簇的其

27、他概念也作了推廣1949年魏伊又把纖維空間概念引進(jìn)理論當(dāng)中運(yùn)用新的代數(shù)幾何學(xué)工具 ,他于1948年成功地證明有限域上曲線的黎曼猜測(cè) ,1949年提出更一般代數(shù)簇上的黎曼猜測(cè) ,并證明一些特殊情形這個(gè)所謂“魏伊猜測(cè)推動(dòng)了其后二、三十年的代數(shù)幾何學(xué)再一次更新第二次革新主要是格羅登迪克所建立的“概型的龐大理論概型理論把所有交換代數(shù)學(xué)都包括進(jìn)去它來源于1955年塞爾的工作塞爾把多復(fù)變函數(shù)論中層的語言引到抽象代數(shù)簇上 ,把抽象代數(shù)簇定義為環(huán)式空間 ,這樣代數(shù)簇成為具有查瑞斯基拓?fù)涞耐負(fù)淇臻g ,從而可以建立上同調(diào)理論 ,這樣可以給出算術(shù)虧格等古典不變量一個(gè)上同調(diào)解釋1958年 ,格羅登迪克定義了比代數(shù)簇遠(yuǎn)

28、為一般的概型概念 ,在其后十多年里 ,運(yùn)用上同調(diào)理論 ,不僅推廣了一系列古典定理 ,如查瑞斯基的主要定理 ,而且得出了一系列輝煌的新成就1黎曼洛赫定理的推廣1951年小平邦彥把代數(shù)曲線的黎曼洛赫定理推廣到代數(shù)曲面情形 ,把原來意大利數(shù)學(xué)家的不等式變成等式照這樣推廣下去到高維存在許多困難 ,德國(guó)數(shù)學(xué)家希策布魯赫當(dāng)時(shí)在普林斯頓高等研究院同小平邦彥的討論得知塞爾了解如何把黎曼洛赫定理中的不變量用上同調(diào)來表示 ,從而得出一般代數(shù)簇的黎曼洛赫定理的表達(dá)式 ,1953年底又知道托姆的配邊理論 ,于是在1954年一舉證明一般情形的黎曼洛赫定理1958年格羅登迪克又推廣到更一般情形 ,最后納入阿拉雅(MAti

29、yah ,1929)辛格(ISinger ,1924)指標(biāo)定理2奇點(diǎn)解消奇點(diǎn)解消是通過坐標(biāo)變換把奇點(diǎn)消去或化簡(jiǎn)19世紀(jì)代數(shù)曲線的奇點(diǎn)可以通過雙有理變換消去 ,而代數(shù)曲面那么一直到1935年才由沃克(RWalker ,1909)及查瑞斯基用不同方法給出證明三維代數(shù)簇一直到1944年時(shí)查瑞斯基給出證明高維代數(shù)簇的奇點(diǎn)解消越來越復(fù)雜 ,正由于一般理論的建立 ,1964年日本數(shù)學(xué)家廣平中祐(1931)一舉證明特征為0的情形 ,但特征為P的情形還未解決3代數(shù)曲線的參?？臻g結(jié)構(gòu)1965年 ,美國(guó)數(shù)學(xué)家曼福德(Mumford ,1937)證明 ,任意代數(shù)閉域虧格為g的代數(shù)曲線的參模空間Mg具有抽象代數(shù)簇(概

30、型)結(jié)構(gòu)1969年德林(Deligne ,1944)及曼福德證明Mg是不可約擬射影代數(shù)簇塞梵利曾猜測(cè)它們是有理的 ,并證明g0時(shí)是有理簇的象 ,但曼福德等人證明g23非但不成立 ,而且還是一般型的與參?？臻g結(jié)構(gòu)有關(guān)的變形理論于1955年由小平邦彥及斯賓塞(DSpencer ,1912)系統(tǒng)給出4高維代數(shù)簇的系統(tǒng)分類高維代數(shù)簇要比代數(shù)曲線和曲面復(fù)雜得多單有理代數(shù)曲線是有理的 ,也即同射影曲線雙有理等價(jià)但是對(duì)于三維及三維以上代數(shù)簇 ,長(zhǎng)期以來并不知道 ,1970年左右 ,三組數(shù)學(xué)家用不同方法舉出反例 ,由此可以看出高維問題極為困難但1972年左右 ,日本年輕一代數(shù)學(xué)家飯高茂(1940)仿照代數(shù)曲面

31、的分類 ,引進(jìn)小平維數(shù)對(duì)n維代數(shù)簇分成四類其后其他日本數(shù)學(xué)家也對(duì)高維代數(shù)簇進(jìn)行更細(xì)微的探討 ,其中突出的結(jié)果有1978年森重文(1951)對(duì)光滑完全不可約n維代數(shù)簇是有理簇給出充分必要條件 ,即具有豐富的切叢 ,而且對(duì)特征大于0的代數(shù)閉域也成立1987年森重文等完成三維代數(shù)簇的分類工作家庭是幼兒語言活動(dòng)的重要環(huán)境 ,為了與家長(zhǎng)配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作 ,孩子一入園就召開家長(zhǎng)會(huì) ,給家長(zhǎng)提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動(dòng)及閱讀情況及時(shí)傳遞給家長(zhǎng) ,要求孩子回家向家長(zhǎng)朗誦兒歌 ,表演故事。我和家長(zhǎng)共同配合 ,一道訓(xùn)練 ,幼兒的閱讀能力提高很快。代數(shù)幾何學(xué)在數(shù)論上取得兩項(xiàng)突破：其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正提高學(xué)生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。第一個(gè)突破是德林在1973年證明的魏伊猜測(cè)魏伊猜測(cè)是關(guān)于有限域上代數(shù)簇的同余函數(shù)的黎曼猜測(cè) ,對(duì)于代數(shù)曲線惰形 ,阿廷在1924年仿照黎曼函數(shù)對(duì)于特殊情形定義了同余函數(shù)1931年施