高等數(shù)學(xué)課教案

1、高等數(shù)學(xué)精品課教案課 題：1.1函數(shù)及其性質(zhì)教學(xué)目的：1.理解函數(shù)、分段函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性及反函數(shù)的定義教學(xué)重點：初等函數(shù)的概念、圖形及性質(zhì)教學(xué)難點：分段函數(shù)的概念課 型： 講授課課 時：2課時教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課 在自然界中，某一現(xiàn)象中的各種變量之間，通常并不都是獨立變化的，它們之間存在著依賴關(guān)系，我們觀察下面幾個例子： 例如：某種商品的銷售單價為元，則其銷售額與銷售量之間存在這樣的依賴關(guān)系：=又例如：圓的面積和半徑之間存在這樣的依賴關(guān)系：不考慮上面兩個例子中量的實際意義，它們都給出了兩個變量之間的相互依賴關(guān)系，這種關(guān)系是

2、一種對應(yīng)法則，根據(jù)這一法則，當(dāng)其中一個變量在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，另一個變量就有確定的值與之對應(yīng)。兩個變量間的這種對應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)概念的實質(zhì)。二、講授新課（一）函數(shù)的定義定義 設(shè)有兩個變量x，y。對任意的xD，存在一定規(guī)律f，使得y有唯一確定的值與之對應(yīng)，則y叫x的函數(shù)。記作y=f(x)，xD。其中x叫自變量，y叫因變量。定義10 （集合的觀點）A，B為兩個數(shù)集，對任意的xD，存在f，在B中有唯一確定的值與之對應(yīng)。記作：f：AB函數(shù)兩要素：對應(yīng)法則、定義域（有的可直接看出，有的需計算），而函數(shù)的值域一般稱為派生要素。例1 f(x)=2x2+3x-1就是一個特定的函數(shù)，確定的對應(yīng)法則為

3、：f( )=2( )2+3( )-1例10：設(shè)f(x+1)=2x2+3x-1，求f(x).解：設(shè)x+1=t得x=t-1，則f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t2-t-2f(x)=2x2 x 2其對應(yīng)法則：f( )=2( )2 - ( ) -2定義域：使函數(shù)有意義的自變量的集合。因此，求函數(shù)定義域需注意以下幾點：分母不等于0 偶次根式被開方數(shù)大于或等于0 對數(shù)的真數(shù)大于0 y=x0 (x0 ) y=tanx(x)等.例2 求函數(shù)y=+arcsin的定義域. 解：要使函數(shù)有定義，即有： 于是，所求函數(shù)的定義域是：-3，-23，4.小結(jié)：函數(shù)有兩要素：定義域和對應(yīng)法則，即只要這兩樣定了，

4、函數(shù)就定了，所以我們判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)就有依據(jù)了。例3 判斷以下函數(shù)是否是同一函數(shù)，為什么？（1）y=lnx2與y=2lnx (2)=與y= 解 （1）中兩函數(shù)的 定義域不同，因此不是相同的函數(shù).（2）中兩函數(shù)的 對應(yīng)法則和定義域均相同，因此是同一函數(shù).函數(shù)的表示法：（1）解析法（或分析法、公式法）。如：、，這樣的表達式亦為函數(shù)的解析式，這種表示法的主要優(yōu)點是嚴密；（2）圖示法：如用直角坐標（或極坐標等）平面的一條曲線表示，這種表示法的主要優(yōu)點是直觀；（3）表格法：如三角函數(shù)表、對數(shù)表、正態(tài)分布表等，這種表示法的主要優(yōu)點是能進行函數(shù)值的查詢。分段函數(shù) 若函數(shù)在定義域不同的區(qū)間上用不同解

5、析式來表示，則稱函數(shù)為分段函數(shù).如 （二）函數(shù)的幾種特性要研究函數(shù)，首先函數(shù)必須要有意義，假設(shè)f(x)在區(qū)間上有定義。1、 有界性 若存在兩個數(shù)A和B，對一切，則稱為有界函數(shù)例如：，在全數(shù)軸上均有界，而在（0，1）內(nèi)無界. 思考：在定義域內(nèi)，下列函數(shù)中哪些有界？y=sinx y=cosx y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx2、單調(diào)性對 ，若對任意兩點 時有 ，則稱函數(shù) 在上單調(diào)增加，區(qū)間稱為單調(diào)增區(qū)間；反之，函數(shù) 在上單減少，區(qū)間稱為單調(diào)減區(qū)間單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間例如在其定義域區(qū)間內(nèi)均為單調(diào)函數(shù)。3、奇偶性對 ，若則稱為奇函數(shù)；若成立

6、，則稱為偶函數(shù)。奇函數(shù)的幾何圖形關(guān)于原點對稱，而偶函數(shù)的幾何圖形關(guān)于軸對稱例如：函數(shù)是偶函數(shù)。例如：函數(shù)是奇函數(shù)。例如：函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。4、周期性對 ，若存在常數(shù) ，對任何x，滿足則稱 為周期函數(shù)， 的一個周期 例如，函數(shù)，的周期均為，的周期為。而（是一個常數(shù)）是以任何正數(shù)為周期的周期函數(shù)，但它不存在基本周期，所以說，并不是所的周期函數(shù)都存在基本周期（最小周期）。（三）反函數(shù)定義 函數(shù)y=f(x)，若把y當(dāng)作自變量，x當(dāng)作函數(shù)，則由關(guān)系式y(tǒng)=f(x)所確定的函數(shù)x =(y)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù),記作y=f -1(x).注：求函數(shù)的反函數(shù)的一般方法是將關(guān)系式經(jīng)過一系列的變換

7、，變成的形式，最后再表示成的形式。三、課堂練習(xí) 思考題 1、3四、小結(jié)理解函數(shù)、分段函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值；了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性及反函數(shù)的定義；掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì).五、布置作業(yè) 習(xí)題一 1、2、4、5、7、8. 選做：3、6 課 題：1.2函數(shù)及其性質(zhì)教學(xué)目的：1.掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì)2.理解復(fù)合函數(shù)的概念3.掌握復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成過程教學(xué)重點：復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成教學(xué)難點：復(fù)合函數(shù)的分解及反三角函數(shù)的圖象課 型： 講授課課 時：2課時教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課前面一節(jié)課講了函數(shù)的定義，函數(shù)的性質(zhì)、兩要素和反函數(shù)，說到反函數(shù)有必要再講講反函數(shù)的圖象，

8、特別是反三角函數(shù)的圖象。1、什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)，為什么？ 答：一一對應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)，因為從函數(shù)的定義知，函數(shù)y=f(x),對任意的x有唯一的y與之對應(yīng)。反函數(shù)是自變量和因變量互換，所以對任意的y也應(yīng)有唯一確定的x與之對應(yīng)，函數(shù)x= (y)才有意義。所以只有一一對應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)。2、問題出現(xiàn)：對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，不是一一對應(yīng)的函數(shù)，為什么會有反函數(shù)？ 答：取一個周期，取 ， ，原函數(shù)y=sinx ，x ，y1，1反函數(shù)y=arcsinx，x1，1，y ，二、講授新課（一）基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)：y=c(c為常數(shù))冪函數(shù)： y=（為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)：y=(a0，a1，a為常數(shù))對數(shù)函數(shù)：

9、y=(a0，a1，a為常數(shù))三角函數(shù)：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx反三角函數(shù)：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx（二）復(fù)合函數(shù) 定義 設(shè)其中，且的值全部或部分落在的定義域內(nèi)，則稱為的復(fù)合函數(shù)，而稱為中間變量.簡單說：幾個基本初等函數(shù)的組合例1：若y=，u = sinx，則其復(fù)合而成的函數(shù)為y=，要求u必須0，sinx0，x2k，+2k例2：分析下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)（1）y= （2）y=解：（1）y=，u=cosv，v=（2）y=，u=sinv，v=，t=x+1例3：設(shè)f(x)= g(x)= 求fg(

10、x) gf(x)解：fg(x)=f()=()=4 gf(x)=g()=2 注：此題用“整體代換”的思想.（三）初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合步驟構(gòu)成，且可用一個解析式表示的函數(shù)，叫做初等函數(shù)，否則就是非初等函數(shù)。例：雙曲正弦函數(shù) shx = 雙曲余弦函數(shù) chx = 雙曲正切函數(shù) thx = 注：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)三、課堂練習(xí) 習(xí)作題 1、2 9、10、11、17、25、26四、小結(jié)掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì)，理解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成過程.五、布置作業(yè) 習(xí)題一 12、13、14、15、18、19、 選做：24、29課 題：2.1極限的概念教學(xué)目的：1

11、.理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。2.熟練掌握和時f(x)的極限存在的充要條件3.理解無窮大、無窮小的概念， 4.掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質(zhì)，會用無窮小量的性質(zhì)求極限教學(xué)重點：函數(shù)極限與數(shù)列極限的概念；無窮大量與無窮小量的概念及性質(zhì).教學(xué)難點：1.函數(shù)極限的定義及、的含義2.分段函數(shù)在時的極限的討論方法3.無窮大量與無窮小量的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用課 型： 講授課課 時：2課時教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課1.寫出下列函數(shù)的復(fù)合過程（1） （2） 思考：若，當(dāng)無限的靠近1時，值怎樣變化？二、講授新課（一）函數(shù)的極限（1）定義 函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自

12、變量x無限接近于某個目標時（一個數(shù)x，或+或），因變量y無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)以A為極限。規(guī)定： x從x的左右兩側(cè)無限接近于x,記x x x從x的左兩側(cè)無限接近于x,記x x x從x的右兩側(cè)無限接近于x,記x x x無限增大時，用記號x + x無限減小時，用記號x 無限增大時，用記號x （2）點x的鄰域N(x，)=(x，x+)，其中很小的正數(shù)，X的去心鄰域N(，)=.1、 x x時函數(shù)的極限舉例說明：x 1時，函數(shù)無限接近于多少？觀察：當(dāng)：x 1時，f(x)=x+1，無限接近2當(dāng)：x 1時，g(x)=，無限接近2f(x)在x=1有定義，g(x)在x=1處無定義定義1 如果

13、當(dāng)x x時,函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù), 則稱為函數(shù)當(dāng) x x時的極限,記作f(x)=A或 (當(dāng) x x時).此時也稱存在。如果當(dāng)x x時, 函數(shù)不趨近于任何一個確定的常數(shù),則稱不存在。如 ： ，又如= 2注意 ： f(x)=在 處無定義, 但當(dāng) 時,函數(shù)f(x)=無限趨近于一個確定的常數(shù)2,所以=2。 結(jié)論：函數(shù)當(dāng) x x時的極限是否存在，與在點處是否有定義無關(guān). 如上舉例f(x)=在 處無定義, 但 = 2.定義2 右極限 當(dāng)x x，有定義3 左極限 當(dāng)x x，有函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)極限。定理1 極限存在的充分必要條件 函數(shù) 當(dāng)時的極限存在的充分必要條件是，當(dāng)時的左右極限

14、都存在并且相等.即 注：求分段函數(shù)的極限的方法就是計算它在指定點的左極限和右極限是否存在并且是否相等。例如：判斷下列函數(shù)在指定點的是否存在極限 （當(dāng)時） （當(dāng)時）解： ， 函數(shù)在指定點的極限不存在。 ， 函數(shù)在指定點的極限=0定理2 f(x)=Af(x)=f(x)=A（二）數(shù)列的極限定義4 對于數(shù)列，如果當(dāng)n無限增大時，通項無限接近于某個確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記為=A或A（n）定理3 單調(diào)數(shù)列極限存在定理單調(diào)增加(上升)數(shù)列：單調(diào)減少(下降)數(shù)列：單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。單調(diào)有界原理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。（三）極限的性質(zhì)1、唯一性 若，則 2、

15、有界性 若，則存在的某一去心鄰域 N(，)，在N(，)內(nèi)函數(shù)有界. 3、保號性 若且，則存在某個去心鄰域 N(，)，在N(，)內(nèi) 4、夾逼準則 這個定理稱為夾逼定理，它同樣適用于的情況在這個公式里x趨近于哪個數(shù)是非常重要的，x趨近于不同的數(shù),極限是不同的。（四）關(guān)于極限的幾點說明1 一個變量前加上記號“l(fā)im”后，是個確定值。例：正n邊形面積，= 圓面積2 關(guān)于“x”的理解：只要求在的充分小鄰域有定義。與在點和遠離點有無意義無關(guān)。例：在求分段函數(shù)的極限時尤為重要。3 常數(shù)函數(shù)的極限等于其本身。即：C=C（五）無窮小量與無窮大量1、無窮小量概念定義5 極限為0的量稱為無窮小量，簡稱無窮??；注：1

16、、無窮小量不是很小的數(shù),它也是極限的概念。2、數(shù)零是唯一可作為無窮小的常數(shù)。3、無窮小指量的變化狀態(tài)，而不是量的大小。2、 一個量無論多么小，都不能是無窮小，零唯一例外。當(dāng)xa（或）時，如果函數(shù)f(x)的極限為0，則稱當(dāng)xa（或）時，f(x)是無窮小量。若數(shù)列的極限為0，則是無窮小量。例如：，所以，當(dāng)x0時，sin x 是無窮小量。同樣，當(dāng)x0時 (0)，1-cosx，arcsinx 等都是無窮小量。當(dāng)x+時， ，所以是無窮小量.定理4 極限與無窮小之間的關(guān)系：無窮小量的性質(zhì)定理5 有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量。例如，當(dāng)x0時，x+sinx也是無窮小量定理6 無窮小量與有界量之積是無窮小量

17、。例如，當(dāng)x0時，xsinx也是無窮小量。推論1：任一常數(shù)與無窮小量之積是無窮小量。例如，當(dāng)x0時，3sinx也是無窮小量。推論2：有限個無窮小量之積是無窮小量。（注：兩個無窮小之商未必是無窮?。?、無窮大量當(dāng)x（或）時，如果函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，則稱當(dāng)x（或）時，f(x)是無窮大量。記作 f(x)=,或f(x)。定義6 若（或）,則稱為當(dāng)（或 ）時的無窮大量,簡稱無窮大。如=，表示當(dāng) 時, 為無窮大. 關(guān)于無窮大量幾點說明: 1.無窮大量不是一個很大的數(shù),它是極限的概念; 2.無窮大量的實質(zhì)是極限不存在,為了表示記作 或 . 3.若數(shù)列當(dāng)n+時，它項的絕對值無限增大，則是無窮大量。4

18、.如果當(dāng)x（或）時，函數(shù)f(x)是無窮大量，那么就是當(dāng)x（或）時的無窮小量，反過來，如果當(dāng)x（或）時，函數(shù)f(x)是非零無窮小量，那么就是當(dāng)x（或）時的無窮大量。 即無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。無窮小量(非零)的倒數(shù)是無窮大量。(3)無窮大必?zé)o界，但反之不真。 因此，證明一個變量是無窮小量的方法就是證明它的極限為0， 證明一個變量是無窮大量的方法就是證明它倒數(shù)是無窮小量。三、課堂練習(xí) 習(xí)作題 1、2 習(xí)題二 1、3四、小結(jié)理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；熟練掌握和時f(x)的極限存在的充要條件，理解無窮大、無窮小的概念，掌握無窮大的判定方法和無窮小的

19、概念及性質(zhì)，會用無窮小量的性質(zhì)求極限.五、布置作業(yè) 習(xí)題二 2、4、課 題：2.2極限的運算（一）教學(xué)目的：掌握函數(shù)極限的運算法則及其推論，能運用運算法則求極限教學(xué)重點：函數(shù)極限的運算法則及其推論教學(xué)難點：函數(shù)極限的運算法則的靈活運用課 型： 講授課課 時：2課時教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課 1、函數(shù)極限是怎樣定義的？函數(shù)極限存在的充要條件是什么？ 2、無窮小的性質(zhì)有哪些？二、講授新課（一）極限的運算法則設(shè)在同一變化過程中（此處省略了自變量的變化趨勢，下同）及都存在，則有下列運算法則：法則1、f(x)g(x)= f(x) g(x)法則2、f(x) g(x)= f(x) g(x)法則3、=（g(x)0）

20、提示：法則的證明不作要求.(1)直接代入求值例1 求(3x-4x+1)解：(3x-4x+1)=32-42+1=5例2 求解：= -例3 求解：=小結(jié)：時，可直接代入（若代入后令分母為零。可先約分后再代入）舉例：1、6x 2、（6x+5） 3、 4、5、 6、（2）型例4 求解：=小結(jié)：時，型的極限，可用分子分母中x的最高次冪除之課堂練習(xí)1、計算（3）-型，型，例5 求下列函數(shù)極限 1、（-） 2、 3、解：1、（-）=12、=3、=0小結(jié)：1題可看成直接代值的特殊情況2題是“型”經(jīng)?？赏ㄟ^分母、分子有理化解決3題是無窮小與有界量的積為無窮小三、課堂練習(xí) P26 習(xí)作題1、（1）（3）， 補充：

21、求下列極限 1、 2、 3、四、小結(jié)掌握函數(shù)極限的運算法則及其推論，能運用運算法則求極限。特別情形：時，型的極限，可用分子分母中x的最高次冪除之；型經(jīng)常可通過分母、分子有理化解決；無窮小與有界量的積為無窮小.五、布置作業(yè) 習(xí)題二 5、6、選做： 思考題 1課 題：2.2極限的運算（二）教學(xué)目的：1.掌握兩個重要極限，會運用兩個重要極限求極限2.理解高階、低階、同階及等價無窮小量的定義3.掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量4.會運用等價無窮小量求函數(shù)的極限教學(xué)重點：1.兩個重要極限及其應(yīng)用2.高階、低階、同階和等價無窮小的定義與判定及其應(yīng)用教學(xué)難點：1.兩個重要極限的應(yīng)用2.等價無

22、窮小量的判定及其在極限運算中的應(yīng)用課 型： 講授課課 時：2課時教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課 考察極限觀察：當(dāng)x0時函數(shù)的變化趨勢x(弧度)0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.當(dāng)x取正值趨近于0時，1，即=1； 當(dāng)x取負值趨近于0時，-x0, -x0, sin(-x)0于是 二、講授新課（二）兩個重要極限1 =1 特點：它是“”型 （三角形代表同一變量） 思考：嗎？例1 求解： =2注：1=0例2 求解： =1例3 求解： =（復(fù)習(xí)二倍角）=2=1-2= =例4 求解：原式=注：1、乘積的極限寫成極限的乘積時，必須

23、每個乘積的極限存在。2、非弦函數(shù)化有弦函數(shù)課堂練習(xí)（一）求下列極限1、 2、 3、 4、 5、 6、 考察極限（1+）觀察：當(dāng)x+時函數(shù)的變化趨勢x1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.當(dāng)x取正值并無限增大時，是逐漸增大的，但是不論x如何大，的值總不會超過3實際上如果繼續(xù)增大x即當(dāng)x+時，可以驗證是趨近于一個確定的無理數(shù)e2.718281828. 當(dāng)x-時，函數(shù)有類似的變化趨勢，只是它是逐漸減小而趨向于e2 （1+） = e 特點：（） (1+無窮小) ，即1型；（）“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數(shù)， 推

24、廣： 例5 （1+）解：原式=例6 （1+） 解：原式=（1+）（1+）=（1+）（1+）=例7 （1+） 解：原式=（1+）=例8 （1）解：原式=1+（）= 1+=例9 （）解：原式=（）=(1)=(1+) =(1+)(1+)= e 課堂練習(xí)（二） 習(xí)作題1（4）（8）（三）無窮小的比較例：當(dāng)x0時，=3x，=x， =但=0 = =為了比較無窮小趨于零的快慢，引入無窮小階定義：設(shè)某一極限過程中，與都是無窮小，且 = C（1）若C=0，則稱是比高階的無窮小，記成=0（） 也稱是比低階的無窮小。（2）若C0，則稱與是同階無窮小。特別：若C=1，則稱與是等價無窮小，記為等價無窮小在求兩個無窮小之

25、比的極限時有重要作用。常用的幾個等價無窮小代換：當(dāng)時，有 x tanxx arcsinxx arctanxx cosx ln(1+x) x x 例10 求解：=例11 求解：=例12 求解：=例13 解：=注：1用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或?qū)Ψ肿?、分母的因式進行替換）2分子或分母中若有“+”“-”號連接的各部分不能分別作替換。三、小結(jié)掌握兩個重要極限，會運用兩個重要極限求極限，理解高階、低階、同階及等價無窮小量的定義，掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量，會運用等價無窮小量求函數(shù)的極限。特別地，用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或?qū)Ψ肿印⒎帜傅囊蚴竭M行替換）

26、，分子或分母中若有“+”“-”號連接的各部分不能分別作替換。四、布置作業(yè) 習(xí)作題2、 習(xí)題二 7 選做： 習(xí)題二 9課 題：2.3函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的：1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。2.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，3.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。 教學(xué)重點：1.函數(shù)連續(xù)性的有關(guān)概念及其應(yīng)用2.間斷點及其分類教學(xué)難點：1點連續(xù)性及復(fù)合函數(shù)連續(xù)性的概念及其應(yīng)用2函數(shù)的連續(xù)性的判定課 型： 講授課課 時：2課時教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課微積分學(xué)中研究種種不同性質(zhì)的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)，就是連續(xù)

27、函數(shù)。連續(xù)函數(shù)反映了自然界中普遍存在的連續(xù)變化現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動等等。二、講授新課（一）函數(shù)連續(xù)性的定義 1、點連續(xù) 定義1 設(shè)y=f(x)在點的某鄰域上有定義，如果自變量的增量趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即則稱f(x)在點是連續(xù)的。易知：0 即，于是有定義2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)f(x)在點處連續(xù)，f(x)在點連續(xù)，必須滿足三個條件：（1） f(x)在點的一個鄰域內(nèi)有定義（2） 存在（3） 上述極限值等于函數(shù)值只有一個條件不滿足，則點就是函數(shù)f(x)的間斷點。2、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或說

28、函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。若連續(xù)區(qū)間包括端點，那么函數(shù)在右端點連續(xù)是左連續(xù)，在左端點連續(xù)是右連續(xù)。定義3（間斷點的分類）：設(shè)是的一個間斷點，如果：（1）的左右極限都存在，稱為第一類間斷點，當(dāng)，則稱為的跳躍間斷點（2）的左右極限都存在，稱為第一類間斷點，當(dāng)存在，但不等于，則稱為的可去間斷點（3）除（1）（2）以外的，稱為的第二類間斷點，當(dāng)=，稱為的無窮間斷點。例1 設(shè)，討論f(x)在x=1處的連續(xù)性解：f(1)=1 f(x)= =1 f(x)= (x+1)=2即f(x)不存在x=1是第一類間斷點，且為跳躍間斷點。例2 設(shè)，討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。解：f(0)=1 x

29、=0是第一類間斷點，且為可去間斷點。例3 在x=1是什么間斷點。解：函數(shù)在x=1處沒有定義，且= 則x=1為f(x)的無窮間斷點。注：連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線。（二）初等函數(shù)的連續(xù)性1、初等函數(shù)的連續(xù)性1）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，一切初等函數(shù)在定義域區(qū)間上是連續(xù)的。2）分段函數(shù)，討論分段點2、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限若f(x)在點連續(xù)，則即求連續(xù)函數(shù)的極限，可歸結(jié)為計算函數(shù)值.例4 求極限解：在處連續(xù) =ln(sin)=ln1=0注：基本初等函數(shù)均連續(xù)3、復(fù)合函數(shù)求極限的方法定理1 設(shè)有復(fù)合函數(shù)，若=a，而函數(shù)f(u)在u=點連續(xù)，則=例5 求極限解：=，復(fù)合函數(shù)是由lnu和

30、u=組成，又=e，在u=e點lnu連續(xù)。=-2 ， x=1為可去間斷點。=（不存在） x=2為無窮間斷點。（2），x=0不存在，為第二類間斷點（3），x=1=2 為第一類間斷點，為跳躍間斷點。2、復(fù)合函數(shù)求極限（利用函數(shù)的連續(xù)性求極限）1） 2） 3）3、根存在1）證明方程至少有一個根介于1和2之間。設(shè)f(x)= ，在（）連續(xù)又f(1)=1-3-1=-30時y=lnf(x),當(dāng)f(x)0時,y=ln(-f(x),例9 求的導(dǎo)數(shù). 解:課堂練習(xí)（一） 求的導(dǎo)數(shù)2、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例由前面學(xué)習(xí)，同學(xué)們知道導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率。請大家來看一看下面的例子：例10 設(shè)氣體以100/s的常速注入球狀的氣球，假定氣體

31、的壓力不變，那么當(dāng)半徑為10cm時，氣球半徑增加的速率是多少？ 分析：因為球的體積V是半徑R的函數(shù)，半徑R是時間T的函數(shù)； 所以V是t的復(fù)合函數(shù)； 積V對時間t的變化率就是體積V對時間t的導(dǎo)數(shù)，即由題意知： 半徑r對時間t的變化率就是半徑r對時間t的導(dǎo)數(shù)，即，就是本題所求解：球的體積 又在r=100cm時，氣球半徑以的速率增加。 例11 若以的速度灌入高為10m，底面半徑為5m的國錐型水槽中，問當(dāng)水深為6m時，水位上升的速度為多少？ 分析：錐體體積v=半徑x，其中半徑 ，高兩個都是自變量，想法轉(zhuǎn)化為一個自變量，即轉(zhuǎn)化為體積是高的函數(shù)。高又是時間的函數(shù)，所以錐體體積v是時間的復(fù)合函數(shù)。體積對時間

32、的變化率就是體積v對時間t的導(dǎo)數(shù)，即某時刻，水位的上升速度就是高y對時間t的導(dǎo)數(shù)，即解：設(shè)在時間t時，水槽中水的體積為v，水半徑為x，水槽中小的深度為y。 由題意有，且有即 即 當(dāng)水深6m時，水位上升速度為0.71m/min3、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理 如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)x=在點y 處可導(dǎo)，而且，那么它的反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)的點x處可導(dǎo)，且有 應(yīng)用此定理，下面來導(dǎo)出幾個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：例12 求 導(dǎo)數(shù)解： 的反函數(shù)為 又 單調(diào)可導(dǎo)，故特別：例13 設(shè) （u為實數(shù)），求.解： 可看作 與 復(fù)合而成例14 求y=arcsinx的導(dǎo)數(shù)解：的反函數(shù) x=siny又x=siny在上單調(diào)可導(dǎo)= 類似地，有例

33、15 求y=arcsinx導(dǎo)數(shù)解：y=arctanx 的反函數(shù)為x=tany，且x=tany在 內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)類似地，有：例16 設(shè)，求解：例17 設(shè)求解：三、課堂練習(xí) 習(xí)作題 1、2四、小結(jié) 熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與反函數(shù)求導(dǎo)法則。初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的相關(guān)公式和運算法則已介紹完，請同學(xué)們課后認真復(fù)習(xí).五、布置作業(yè) 習(xí)題三 15、16 選做： 習(xí)作題 3課 題：3.2求導(dǎo)法則（三）教學(xué)目的：1.熟練掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式2.掌握隱函數(shù)、對數(shù)求導(dǎo)法教學(xué)重點：初等函數(shù)的求導(dǎo)公式教學(xué)難點：對數(shù)求導(dǎo)法課 型： 講授課課 時：2課時教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課1.函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則是什么？2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的

34、關(guān)鍵是什么？二、講授新課（四）初等函數(shù)的求導(dǎo)公式通過前面的學(xué)習(xí)和討論,已求出所有基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),推出了函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則,反函數(shù)求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.這樣我們就解決了初等函數(shù)的求導(dǎo)問題.為便于查閱,我們將已學(xué)過的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則歸納如下:10基本導(dǎo)數(shù)公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）；（17）； （18）；（19）20函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)均可導(dǎo),則（1）；（2）（為常數(shù)）；（3）30復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè),均可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 或 .40

35、反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)且存在反函數(shù),則 .（五）、三個求導(dǎo)方法：1、隱函數(shù)求導(dǎo)法：（1） 顯函數(shù)y=f(x)這種由x代數(shù)式表求y的函數(shù)；（2） 隱函數(shù)：變量x,y之間的函數(shù)關(guān)系由某一方程F（x,y）=0的確定的函數(shù)叫隱函數(shù)；由方程F（x,y）=0所確定的隱函數(shù)y=f(x)。由方程F（x,y）=0直接求它的確定的隱函數(shù)之導(dǎo)數(shù)的方法叫隱函數(shù)求導(dǎo)法。由隱含數(shù)的概念易知F（x,y）=F(x,f(x)=0，y是復(fù)合函數(shù)的中間變量，因此要按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo).例如：,則例18 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析： 由是y 的函數(shù)，y又是x的函數(shù)，因此是x的復(fù)合函數(shù)；解：方程兩端對求導(dǎo)：有 即注意：表達式允許有含

36、y的式子；例19 求曲線在點（2，2）處的切線方程；分析：（1）關(guān)鍵求斜率k;(2 )由導(dǎo)數(shù)幾何意義知：可用隱函數(shù)求導(dǎo)法來解決；解：方程兩邊對x求導(dǎo)： 所求切線方程：2、 對數(shù)求導(dǎo)法步驟：（1）兩邊取對數(shù)；（2）兩邊對x求導(dǎo)；它適合于含乘、除、乘方、開方的因子所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)。例20 設(shè)y=求：解：兩邊先取絕對值，再取對數(shù)，得兩端對x求導(dǎo)：例21 求y=的導(dǎo)數(shù)解：兩邊取對數(shù)， lny=sinxlnx等式兩端對求導(dǎo) lnx三、課堂練習(xí) 習(xí)作題 5 、6 四、小結(jié) 熟練掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，掌握隱函數(shù)、對數(shù)求導(dǎo)法，關(guān)鍵弄清其求導(dǎo)步驟.五、布置作業(yè) 習(xí)題三 24、 25課 題：3.2求導(dǎo)法則（四）教學(xué)目的：1.了解由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的求法，高階導(dǎo)數(shù)的概念2.熟練掌握初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)重點：初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)難點：參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的求法課 型： 講授課課 時：2課時教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課1.隱含數(shù)的求導(dǎo)法則是什么？2.對數(shù)求導(dǎo)法適用于哪些情況？二、講授新課1、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法 若參數(shù)方程 確定y與間