高中數(shù)學(xué)集合、邏輯、函數(shù)、向量、數(shù)列、不等式、立體幾何綜合測(cè)

1、第 1 頁 共 10 頁高中數(shù)學(xué)集合、邏輯、函數(shù)、向量、數(shù)列、不等式、立體幾何綜合測(cè)試題一、選擇題:本大題共 12小題,每小題 5分,共 60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的.每小題選出答案后,請(qǐng)?zhí)钔吭诖痤}卡上.1. 若非空集合 5, 4, 3, 2, 1S , 且若 S a , 則必有 S a -6, 則所有滿足上述條件的 集合 S 共有A . 6個(gè) B. 7個(gè) C. 8個(gè) D. 9個(gè) 2. 命題 P :若函數(shù) (f x 有反函數(shù),則 (f x 為單調(diào)函數(shù);命題 Q :111222a b c a b c =是不等式 21110a x b x c +與 22220a x

2、 b x c +(121212a a b b c c , , , , , 均不為零 同解的充要條件,則以下是真命題的為A . P 且 Q B. P 且 Q C. P 或 Q D. P 或 Q 3. 若函數(shù) 10(log(成立的 x 的取值范圍為 A . 15(, 4-+ B . 150,4C . 15(, 0 4-D . 15(, 4-第 3 頁 共 10 頁12. 已 知 函 數(shù) 32( 31f x x x =-+, 21, 0( 468, 0x x g x xx x x +=-, 關(guān) 于 方 程 (0g f x a -=(a 為正實(shí)數(shù)的根的敘述有下列四個(gè)命題存在實(shí)數(shù) a ,使得方程恰有 3

3、個(gè)不同的實(shí)根; 存在實(shí)數(shù) a ,使得方程恰有 4個(gè)不同的實(shí)根; 存在實(shí)數(shù) a ,使得方程恰有 5個(gè)不同的實(shí)根; 存在實(shí)數(shù) a ,使得方程恰有 6個(gè)不同的實(shí)根;其中真命題的個(gè)數(shù)是A . 3 B. 2 C. 1 D . 0二、填空題:本大題共 4小題,每小題 5分,共 20分.答案填在答題紙相應(yīng)的空內(nèi). 13. 定義在 R 上的函數(shù) ( y f x =是減函數(shù), 且函數(shù) (1 y f x =-的圖象關(guān)于 0, 1(成中心對(duì)稱,若 , s t 滿足不等式 22(2 (2 f s s f t t -,則當(dāng) 14s 時(shí), t s的取值范圍 .14. 已 知 等 差 數(shù) 列 n a 的 首 項(xiàng) 1a 及

4、公 差 d 都 是 整 數(shù) , 前 n 項(xiàng) 和 為 n S , 若9, 3, 1341S a a ,設(shè) 122, nn n n b a b b b =+ 則 的結(jié)果為 .15. 已 知 正 項(xiàng) 數(shù) 列 n a 0*,(n a N n 的 前 n 項(xiàng) 和 n S 滿 足 :12+=n n a S ; 設(shè)392+-=n n a b ,則數(shù)列 n b 的前 n 項(xiàng)和的最大值為 _.16. 如圖, 直線 l 平 面 ,垂足為 O ,已知長(zhǎng) 方體1111ABC D A B C D -中, 15, 6, 8A A A B A D =該長(zhǎng)方體做符合以下條件的自由運(yùn)動(dòng):(1 A l ; (2C , 則 1,

5、C O 兩點(diǎn)間的最大距離為 .三、解答題:本大題共 6小題,共 70分.請(qǐng)將解答過程書寫在答題紙上,并寫出文字說 明、證明過程或演算步驟.17. (本題滿分 10分 已知集合 2150A x x px -+=,250B x x x q -+=, 2, 3, 5A B = , 3A B = ,求集合 A 和 B .第 4 頁 共 10 頁P(yáng)BC C第 20題圖 18. (本題滿分 12分 設(shè)數(shù)列 n a 的前 n 項(xiàng)和為 n S , 21=a , 點(diǎn) (1+n S , n S 在直線n n y n nx +=+-2 1(*N n 上 .a1=2(求數(shù)列 n a 的通項(xiàng)公式; (設(shè) , 211-+

6、=+nn n n n S S S S T 證明:. 334321+n T T T T19. (本題滿分 12分閱讀下面材料:根據(jù)兩角和與差的正弦公式,有sin( sin cos cos sin +=+-sin( sin cos cos sin -=-由+ 得 (sin sin 2sin cos +-=- 令 , A B +=-= 有 , 22A B A B +-=代入得 sin sin 2sincos22A BA BA B +-+=.( 類比上述推理方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明 :cos cos 2sinsin22A B A B A B +-=-;( 若 A B C 的 三 個(gè) 內(nèi) 角

7、 , , A B C 滿 足 c o s 2c o s 21c o s 2A B C -=-, 試 判 斷A B C 的形狀 .(提示 :如果需要,也可以直接利用閱讀材料及(中的結(jié)論 20. (本題滿分 12分 如圖,在三棱錐 ABC P -中,22, 4=BC AB AC PC PB PA .(1求證:平面 ABC 平面 APC ;(2求直線 PA 與平面 PBC 所成角的正弦值; (3 若 動(dòng) 點(diǎn) M 在 底 面 三 角 形 ABC 上 , 二 面 角C PA M -的余弦值為322,求 BM 的最小值 .21. (本題滿分 12分 已知正數(shù)數(shù)列 n a 和 n b 滿足:對(duì)任第 5 頁

8、共 10 頁意 n , 1, , n n n a b a + 成等差數(shù)列,且總有 1n a +=(1 判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列;(2若 1121, 2, 3, a b a =求數(shù)列 n a 和 n b 的通項(xiàng)公式.22. (本題滿分 12分 已知函數(shù) x x x f 2 (2-=, (x g 是 R 上的奇函數(shù),且當(dāng)0, (-x 時(shí), 2( (x x f x g =+.(求函數(shù) (x g 在 R 上的解析式;( 若函數(shù) +-= ( ( (x f x g x x h 23在 , 0(+上是增函數(shù),且 0, 求 的 取值范圍.試題答案1-5BCBCD 6-10DABDD 11-12DA 13. 1,

9、12-14. 12n n + 15. 190 16. 255+17. 由 3A , 2150A x x px -+=,得 8; p = .3分由 3B , 250B x x x q -+=,得 6. q = .6分2, 2, 2, 2, 3A B A B B = .8分 3, 3, 3, 5, 3A B B A A = .10分18. 解:(I n n y n nx S S n n +=+-+21 1( , (在直線 上, 111=-+nS n S n n 1分nS n 構(gòu)成以 S 1=a 1=2為首項(xiàng),公差為 1的等差數(shù)列,分而 時(shí) 當(dāng) 分6*.(2, 2, 2 1( 1(, 24. , 1

10、 1(212212N n n a a n n n n n S S a n n n S n n nS n n n n n n =-+=-=+=+=-+=-證明:(II n n S n +=2.322123211( 4121( 311(210. 1(34,02(4, *8, 22222122122221121+=+-=-+-=-+=n n n n T T T n T T T T n n T N n n nnn nn n n T n n n n 又 分 時(shí)取等號(hào) 時(shí) 分原不等式成立.12分19. 解法一:(證明 :因?yàn)?cos( cos cos sin sin +=-, -cos( cos cos

11、sin sin -=+, -1分 - 得 cos( cos( 2sin sin +-=-.-2分 令 , A B +=-=有 , 22A B A B +-=,代入得 cos cos 2sinsin22A B A BA B +-=-. 5分(由二倍角公式 , cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化為22212sin 12sin 112sin A B C -+=-+, 7分所以 222sin sin sin A C B +=. 10分 設(shè) A B C 的三個(gè)內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊分別為 , , a b c ,由正弦定理可得 222a c b +=. 11分根據(jù)勾股定理的逆定理知 A B C 為直角三角形.12分 解法二:(同解法一 .(利用(中的結(jié)論和二倍角公式 , cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化為 (22sin sin 112sin A B A B C -+-=-+, 7分因?yàn)?A,B,C 為 A B C 的內(nèi)角,所以