高中數(shù)學(xué)有關(guān)分式型最值問題的探討人教版

1、2關(guān)于求y - bX c型最值問題的方法初討dx2 ex f株洲市第四中學(xué)歐曉東對(duì)于y - bX c型的最值類問題一直是學(xué)生的難點(diǎn)，主要的原 dx2 ex f因是學(xué)生對(duì)這類問題缺乏歸納總結(jié)。筆者通過不斷觀察、分析，特對(duì)這類問題的方法探討總結(jié)得出其大致可分為三類指分子分母的最高次數(shù)：分子的次數(shù)比分母的次數(shù)高；分子的次數(shù)比分母的次數(shù)低；分子的次數(shù)等于分母的次數(shù)；具體解決方法如下：1、 分子的次數(shù)比分母的次數(shù)高對(duì)于這類問題?？赊D(zhuǎn)化成利用均值不等式的形式，具體方案是造分母。例1、當(dāng)x 1時(shí)，求函數(shù)y (x 5)(x 2)的最小值。 x 1_22解: . y (x 5)(x 2)=x 7x 10 (x

2、1)5(x 1) 4x 1x 1x 14(x 1) ； 5 x 1,，,、4，: x>-1x+1>0(x 1) >4x 1y >9當(dāng)且僅當(dāng)x+1='即x=1時(shí)取等號(hào)x 12、 分子的次數(shù)比分母的次數(shù)低我們?cè)诮夥匠虝r(shí)往往是化多元為二元、化二元為一元，采取的是劃歸的思想。鑒于此，這類問題?？苫瘹w成第一類問題來(lái)解決。例2、求y 2 920x-(x 0)的最大值。x 3x 16002方案一：: xW01 -3x 1600 這樣一來(lái)問題就劃歸成y 920x920-1600 x3x了分子的次數(shù)比分母的次數(shù)高類的問題了具體過程略方案二：: XW0920xy -x 3x 160

3、0所以問題"$化成求y x - 3的最值問題了。x觀察發(fā)現(xiàn)此類問題都是轉(zhuǎn)化分子分母的關(guān)系從而化歸。于是此類題也可提煉出自己的規(guī)律，方法類似。具體方案是造分子。例3、求y5詈需(50 x 80)的最大值專業(yè).分析： xw50 .v 105(x 50)105(x 50)(x 40)2 (x 50)2 20(x 50) 100105100(x 50)20三、x 50分子的次數(shù)等于分母的次數(shù)如果分子的次數(shù)等于分母的次數(shù)，這類問題較為復(fù)雜：分如下幾種情況：1、自變量的范圍是全體實(shí)數(shù)，常采用判別式法;2自變量的范圍不是全體實(shí)數(shù)，那么常結(jié)合根的分布來(lái)討論 或分離常數(shù)變量。2例4、假設(shè)對(duì)x R恒有

4、IT n(n N)，試求n的值方案一判別式法：: x2 x 1 0(3 n)x2(2 n)x 2 n 0對(duì)x R恒成立3 n 02(2 n)2 4(3 n)(2 n) 0n N.二 n=1c 2方案二分離常數(shù)：: n 3x2 2x 2 32x 1x x 1 x x 1.令y 2x 1那么只要求y的最大值即可，轉(zhuǎn)化成分x x 1子的次數(shù)比分母的次數(shù)低另外，讀者可以觀察到上幾題都有具體的范圍，當(dāng)然，假設(shè)改變條件那么此類題相應(yīng)可化歸結(jié) y x -(x 0)這類問題的解答x如例1改為：當(dāng)x 1時(shí)，求函數(shù)y (x 5)(x 2)的最值 x 1解:， 一、， 一、 2_ 一(x 5)(x 2) _x 7x 10x 1x 12(x 1)5(x 1) 4x 14(x 1)5x 1t 0時(shí)，求令t=x+1t 0，那么y t 4 5.問題轉(zhuǎn)化為當(dāng) t4 一一一y t 4 5的最值。t由圖知當(dāng)t=2即x=1時(shí)，有最小值9當(dāng)t=-2即x=-3時(shí)，有最大值1知識(shí)間是相互聯(lián)系的，不存在相互獨(dú)立的、孤立的知識(shí)點(diǎn)。 只要我們發(fā)現(xiàn)、挖掘它們間的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)