初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)31：勾股定理

1、初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)(31勾股定理一、內(nèi)容提要勾股定理及逆定理:ABC 中C =Rt a 2+b 2=c 2勾股定理及逆定理的應(yīng)用作已知線段a 的2,3,5倍計算圖形的長度,面積,并用計算方法解幾何題證明線段的平方關(guān)系等。勾股數(shù)的定義:如果三個正整數(shù)a,b,c 滿足等式a 2+b 2=c 2,那么這三個正整數(shù)a,b,c 叫做一組勾股數(shù).勾股數(shù)的推算公式羅士琳法則(羅士琳是我國清代的數(shù)學(xué)家17891853任取兩個正整數(shù)m 和n(m>n,那么m 2-n 2,2mn,m 2+n 2是一組勾股數(shù)。如果k 是大于1的奇數(shù),那么k,212-k ,212+k 是一組勾股數(shù)。如果k 是大于2的

2、偶數(shù),那么k,12- K ,12+K 是一組勾股數(shù)。如果a,b,c 是勾股數(shù),那么na,nb,nc (n 是正整數(shù)也是勾股數(shù)。5.熟悉勾股數(shù)可提高計算速度,順利地判定直角三角形。簡單的勾股數(shù)有:3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41。二、例題例1.已知線段a a2a 3a5a 求作線段5a分析一:5a=25a =224aa +2a5a 是以2a 和a 為兩條直角邊的直角三角形的斜邊。分析二:5a =2492a a -5a 是以3a 為斜邊,以2a 為直角邊的直角三角形的另一條直角邊。作圖(略例2.四邊形ABCD 中DAB =60,B =D =Rt ,BC =

3、1,CD =2求對角線AC 的長解:延長BC 和AD 相交于E ,則E =30CE =2CD =4,在Rt ABE 中設(shè)AB 為x,則AE =2x 根據(jù)勾股定理x 2+52=(2x2,x 2=325在Rt ABC 中,AC =221+x =1325+=2132例3.已知ABC 中,AB =AC ,B =2A求證:AB 2-BC 2=AB ×BC 證明:作B 的平分線交AC 于D ,則A =ABD ,BDC =2A =CAD =BD =BC作BM AC 于M ,則CM =DM AB 2-BC 2=(BM 2+AM 2-(BM 2+CM 2=AM 2-CM 2=(AM +CM (AM -

4、CM =AC ×AD =AB ×BC例4.如圖已知ABC 中,AD BC ,AB +CD =AC +BD 求證:AB =AC證明:設(shè)AB ,AC ,BD ,CD 分別為b,c,m,n則c+n=b+m,c-b=m-nAD BC ,根據(jù)勾股定理,得AD 2=c 2-m 2=b 2-n 2c 2-b 2=m 2-n 2,(c+b(c-b=(m+n(m-n (c+b(c-b=(m+n(c-b(c+b(c-b-(m+n(c-b=0(c-b(c+b-(m+n=0c+b>m+n,c-b=0即c=b AB =AC例5.已知梯形ABCD 中,AB CD ,AD >BC求證:AC

5、>BD證明:作DE AC ,DF BC ,交BA 或延長線于點E 、F ACDE 和BCDF 都是平行四邊形DE =AC ,DF =BC ,AE =CD =BF 作DH AB 于H ,根據(jù)勾股定理AH =22-DH AD ,FH =22-DH DF AD >BC ,AD >DFAH >FH ,EH >BH DE =22EH DH +,BD =2BHDH +DE >BD 即AC >BD例6.已知:正方形ABCD 的邊長為1,正方形EFGH 內(nèi)接于ABCD ,AE =a ,AF =b,且S EFGH =32求:a b -的值 解:根據(jù)勾股定理a 2+b 2

6、=EF 2=S EFGH =2;4S AEF =S ABCD -S EFGH2ab=311-得(a-b 2=31a b -=33三、練習(xí)311.以下列數(shù)字為一邊,寫出一組勾股數(shù):17,_,_8,_,_9,_,_10,_,_11,_,_12,_,_2.根據(jù)勾股數(shù)的規(guī)律直接寫出下列各式的值:1252-242=_,52+122=_,22158+=_,2215-25=_3.ABC 中,AB =25,BC =20,CA =15,CM 和CH 分別是中線和高。那么S ABC =_,CH =_,MH =_4.梯形兩底長分別是3和7,兩對角線長分別是6和8,則S 梯形=_5.已知:ABC 中,AD 是高,BE

7、 AB ,BE =CD ,CF AC ,CF =BD求證:AE =AF6.已知:M 是ABC 內(nèi)的一點,MD BC ,ME AC ,MF AB ,且BD =BF ,CD =CE 求證:AE =AF 7.在ABC 中,C 是鈍角,a 2-b 2=bc 求證A =2B8.求證每一組勾股數(shù)中至少有一個數(shù)是偶數(shù)。(用反證法9.已知直角三角形三邊長均為整數(shù),且周長和面積的數(shù)值相等,求各邊長10等腰直角三角形ABC 斜邊上一點P ,求證:AP 2+BP 2=2CP 211.已知ABC 中,A =Rt ,M 是BC 的中點,E ,F 分別在AB ,ACME MF求證:EF 2=BE 2+CF 2GD12.R

8、t ABC 中,ABC =90 ,C =600,BC =2,D 是AC 的中點,從D 作DE AC 與CB 的延長線交于點E ,以AB 、BE 為鄰邊作矩形ABEF ,連結(jié)DF ,則DF 的長是_。 13.ABC 中,AB =AC =2,BC 邊上有100個不同的點p 1,p 2,p 3,p 100,記m i =AP i 2+BP i ×P i C (I=1,2,100,則m 1+m 2+m 100=_練習(xí)31參考答案:3.150,12,354.24(作CE BD 交AB 延長線E 5.利用勾股定理證明AE ,AF 6.利用勾股定理:AE 2=,AF 27.作CD AB 于D ,bc=a 2-b 2=BD 2-AD 2=(BD+AD(BD-ADb=BD-AD 8.(用反證法設(shè)a,b,c 都是奇數(shù),那么a 2,b 2,c 2也都是奇數(shù),a 2+b 2是偶數(shù),而c 2是奇數(shù),這與a 2+b 2=c 2相矛盾,故這種假設(shè)不能成立,a,b,c 中至少有一個數(shù)是偶數(shù)9.=+=+22221c b a ab c b a 正整數(shù)解有=13,10,10