2012年重點中學高考數(shù)學復習 第9課時 平面向量的數(shù)量積及運算律（1）學案 湘教版

1、課 題：平面向量的數(shù)量積及運算律（1）教學目的：1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質及運算律；3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；4掌握向量垂直的條件教學重點：平面向量的數(shù)量積定義教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應用授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀內容分析：   本節(jié)學習的關鍵是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數(shù)量積的認識主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5

2、個重要性質；平面向量數(shù)量積的運算律教學過程：一、復習引入： 1 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=2平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+23平面向量的坐標表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標，記作4平面向量的坐標運算若，則，若，則5 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=06線段的定比分點及 P1, P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1, P2的任一點，存在實數(shù)，使

3、=，叫做點P分所成的比，有三種情況：>0(內分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)7定比分點坐標公式：若點P(x1,y1) ，(x2,y2)，為實數(shù)，且，則點P的坐標為（），我們稱為點P分所成的比8點P的位置與的范圍的關系：當時，與同向共線，這時稱點P為的內分點當()時，與反向共線，這時稱點P為的外分點9線段定比分點坐標公式的向量形式：在平面內任取一點O，設，可得=10力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角二、講解新課：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角說明：（1）當時，與同向

4、；（2）當時，與反向；（3）當時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的范圍0°q180°C2平面向量數(shù)量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0×探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內積，寫成a×b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數(shù)量

5、的積，書寫時要嚴格區(qū)分符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在實數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0因為其中cosq有可能為0（4）已知實數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a &

6、#185; c (5)在實數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個數(shù)量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 |b|；當q = 180°時投影為 -|b|4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積5兩個向量的數(shù)量

7、積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量1°e×a = a×e =|a|cosq2°ab Û a×b = 03°當a與b同向時，a×b = |a|b|；當a與b反向時，a×b = -|a|b| 特別的a×a = |a|2或4°cosq =5°|a×b| |a|b|三、講解范例：例1 判斷正誤，并簡要說明理由·00；0·；0；·；若0，則對任一非零有·；·，則與中至少有一個為0；對任意向量，都有（

8、83;）（·）；與是兩個單位向量，則解：上述8個命題中只有正確；對于：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應有0·；對于：應有·0；對于：由數(shù)量積定義有···cos，這里是與的夾角，只有或時，才有··；對于：若非零向量、垂直，有·；對于：由·可知可以都非零；對于：若與共線，記則·（）·（·）（·），（·）·（·）（·）（·）若與不共線，則(·)（·）評述：這一類型題，要求學生確實把握好數(shù)量積的定

9、義、性質、運算律例2 已知，當，與的夾角是60°時，分別求·解：當時，若與同向，則它們的夾角°，··cos0°3×6×118；若與反向，則它們的夾角180°，·cos180°3×6×（-1）18；當時，它們的夾角90°，·；當與的夾角是60°時，有·cos60°3×6×9評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關，其范圍是0°，180°，因此，當時，有0°或180

10、6;兩種可能四、課堂練習：五、小結 通過本節(jié)學習，要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質、運算律，并能運用它們解決相關的問題六、課后作業(yè)：七、板書設計（略）八、課后記及備用資料：1概念辨析：正確理解向量夾角定義對于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點出發(fā)的兩個向量所構成的較小的非負角，因對向量夾角定義理解不清而造成解題錯誤是一些易見的錯誤，如：1已知ABC中，°，求·對此題，有同學求解如下：解：如圖，°，··cos5×8cos60°20分析：上述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中與兩向量的起點并不同，因此，并不是它們的夾角，而正確的夾角應當是C的補角120°2向量的數(shù)量積不滿足結合律分析：若有（·）·（·），設、夾角為，、夾角為，則(·)·cos·，·(·)·cos若，則，進而有：（·）·(&