六年級(jí)奧林匹克數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程 19 近似值與估算

1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 近似值與估算在計(jì)數(shù)、度量和計(jì)算過(guò)程中，得到和實(shí)際情況絲毫不差的數(shù)值叫做準(zhǔn)確數(shù)。但在大多數(shù)情況下，得到的是與實(shí)際情況相近的、有一定誤差的數(shù)，這類(lèi)近似地表示一個(gè)量的準(zhǔn)確值的數(shù)叫做這個(gè)量的近似數(shù)或近似值。例如，測(cè)量身高或體重，得到的就是近似數(shù)。又如，統(tǒng)計(jì)全國(guó)的人口數(shù)，由于地域廣人口多，統(tǒng)計(jì)的時(shí)間長(zhǎng)及統(tǒng)計(jì)期間人口的出生與死亡，得到的也是近似數(shù)。用位數(shù)較少的近似值代替位數(shù)較多的數(shù)時(shí)，要有一定的取舍法則。要保留的數(shù)位右邊的所有數(shù)叫做尾數(shù)，取舍尾數(shù)的主要方法有：（1）四舍五入法。，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.40。（2）去尾法。，截取到千分位的近似值是7

2、.396，截取到百分位的近似值是7.39。（3）收尾法（進(jìn)一法）。，截取到千分位的近似值是7.397，截取到百分位的近似值是7.40。表示近似值近似的程度，叫做近似數(shù)的精確度。在上面的三種方法中，最常用的是四舍五入法。一般地，用四舍五入法截得的近似數(shù)，截到哪一位，就說(shuō)精確到哪一位。例1有13個(gè)自然數(shù)，它們的平均值精確到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)是26.9。那么，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)是多少？分析與解：平均值26.95，所以13個(gè)數(shù)之和必然不小于26.85的13倍，而小于26.95的13倍。×13349.05，×13350.35。因?yàn)樵?49.05與350.35之間只有一個(gè)整數(shù)350，所以

3、13個(gè)數(shù)之和是350。350÷當(dāng)精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)時(shí)，是26.92。例1中所用的方法可稱(chēng)為“放縮法”。對(duì)于一個(gè)數(shù)，如例1中13個(gè)數(shù)的平均數(shù)，如果不知道它的確切數(shù)值，那么可以根據(jù)題設(shè)條件，適當(dāng)?shù)貙⑺糯蠡蚩s小，再進(jìn)一步確定它的具體數(shù)值。當(dāng)然，這里的“放大”與“縮小”都要適當(dāng)，如果放得過(guò)大或縮得過(guò)小，則可能無(wú)法確定正確值，這時(shí)“放縮”就失敗了。分析與解：真正計(jì)算出這個(gè)算式，再取近似值，幾乎是不可能的。因?yàn)轭}目要求精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)，所以只要能大概知道小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)的情況就可以了。若分子縮小、分母擴(kuò)大，則分?jǐn)?shù)變??；若分子擴(kuò)大、分母縮小，則分?jǐn)?shù)變大。利用這一點(diǎn)，使用放縮法就能估計(jì)算式的值

4、的范圍。分子、分母各取兩位小數(shù)，有，無(wú)法確定原式小數(shù)點(diǎn)后三位的近似值?？s放的范圍太大，應(yīng)使范圍縮小些。分子、分母各取三位小數(shù)，有仍然無(wú)法確定，還應(yīng)使范圍縮小。分子、分母各取四位小數(shù)，有知，原式小數(shù)點(diǎn)后三位肯定是“239”，第四位在5和8之間。按四舍五入法則，精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)的近似值是0.240。由例2進(jìn)一步看出“放縮”適度的重要性。取的位數(shù)少了，范圍太大，無(wú)法確定；取的位數(shù)多了，例如取十位小數(shù)，計(jì)算量太大，繁瑣且沒(méi)有必要。例3 求下式的整數(shù)部分：分析與解：對(duì)分母使用放縮法，有所以199.1原式200，原式整數(shù)部分是199。例4 求下式的整數(shù)部分：×××8.01

5、。分析與解：×××8.01中，各式的兩個(gè)因數(shù)之和都相等。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和一定時(shí)，這兩個(gè)數(shù)越接近，這兩個(gè)數(shù)的乘積越大，于是得到×××8.01。××8，所以×8×3=29.28；××8，所以×8×3=30。由29.28原式30知，原式的整數(shù)部分是29。前面講過(guò)，四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在實(shí)際問(wèn)題中，一定要注意靈活運(yùn)用，特別要注意有些問(wèn)題不宜使用四舍五入的原則。例5某人執(zhí)行爆破任務(wù)時(shí)，點(diǎn)燃導(dǎo)火線后往70米開(kāi)外的安全地帶奔跑，其奔跑的速度為7米/秒。已

6、知導(dǎo)火線燃燒的速度是0.112米/秒。問(wèn)：導(dǎo)火線的長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)才能確保安全？（精確到0.1米）解：×（70÷5）×101.2（米）答：導(dǎo)火線至少長(zhǎng)1.2米。此題采用收尾法。如果你的答案是1.1米，執(zhí)行任務(wù)的人還沒(méi)跑到安全地帶，炸藥就被引爆，那可就太危險(xiǎn)了。例6某飛機(jī)所載油料最多只能在空中連續(xù)飛行4時(shí)，飛去時(shí)速度為900千米/時(shí)，飛回時(shí)速度為850千米/時(shí)。問(wèn)：該飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出多少千米就應(yīng)返回？（精確到1千米）解：設(shè)該飛機(jī)最遠(yuǎn)能飛出x千米，依題意有答：飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1748千米就應(yīng)返回。此題采用去尾法。如果按照四舍五入的原則，那么得到x1749，當(dāng)飛機(jī)真的飛出1749千

7、米再返回時(shí)，恐怕在快著陸的瞬間就要機(jī)毀人亡了。練習(xí)191.有17個(gè)自然數(shù)，它們的平均值精確到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)是21.3，那么精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)是多少？2.老師在黑板上寫(xiě)了14個(gè)自然數(shù)，讓小明計(jì)算平均數(shù)（保留三位小數(shù)），小明計(jì)算出的答案是16.387。老師說(shuō)小數(shù)點(diǎn)后第二位錯(cuò)了，其它的數(shù)字都對(duì)。正確答案應(yīng)該是多少？3.計(jì)算下式的精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)的近似值：1357902468÷8642097531。4.求下式的整數(shù)部分：11×2212×3313×4417×88。5.求下式的整數(shù)部分：2. 45×××4.032. 48

8、××4.01。6.為了修水電站，需要在極短的時(shí)間內(nèi)向河道中投入300米33，那么為保障一次截流成功，至少需多少臺(tái)運(yùn)輸車(chē)？7.一條單線鐵路全長(zhǎng)240千米，每隔20千米有一個(gè)會(huì)車(chē)站（當(dāng)兩車(chē)相遇時(shí)，一車(chē)停在會(huì)車(chē)站內(nèi)，另一車(chē)可通過(guò)）。甲、乙兩列火車(chē)同時(shí)從兩端出發(fā)，甲車(chē)每小時(shí)行75千米，乙車(chē)每小時(shí)行45千米。為保證快車(chē)正點(diǎn)運(yùn)行，慢車(chē)應(yīng)給快車(chē)讓路。為使等候時(shí)間盡量短，乙車(chē)應(yīng)在出發(fā)后的第幾個(gè)會(huì)車(chē)站等候甲車(chē)通過(guò)？ 答案與提示練習(xí)191.21.294。××17個(gè)數(shù)之和362.95得到，17個(gè)數(shù)之和是362。2.16.357。××14個(gè)數(shù)之和229.6得到，14個(gè)數(shù)之和是229。3.0.157。4.1。提示：設(shè)原分式的分母為A。A11×（11×2+12×3+13×4+17×8）。因?yàn)锳11×11×（2+3+4+8）=11×11×35，所以 因?yàn)锳11×17×（2+3+4+8）=11