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1、否命題與命題的否定否命題與命題的否定關(guān)于反證法關(guān)于反證法紐紳中學(xué)紐紳中學(xué)l否命題否命題是用是用否定條件也否定結(jié)論否定條件也否定結(jié)論的方式構(gòu)成新命題。的方式構(gòu)成新命題。l命題的否定命題的否定是邏輯聯(lián)結(jié)詞是邏輯聯(lián)結(jié)詞“非非”作用于判斷作用于判斷, ,只否定結(jié)只否定結(jié)論不否定條件。論不否定條件。l對(duì)于原命題對(duì)于原命題: : 若若 p , p , 則則 q q 有有 否命題否命題: : 若若p , p , 則則q q 。 命題的否定命題的否定: : 若若 p p ,則則q q 。例例.命題:命題:ABC中,若中,若C90,則,則A、B都是銳角都是銳角.命題的否命題是(命題的否命題是( ),命題的否定是
2、(),命題的否定是( )(A)ABC中,若中,若C90,則,則A、B都不是銳角都不是銳角(B)ABC中,若中,若C90,則,則A、B不都是銳角不都是銳角(C)ABC中,若中,若C90,則,則A、B都不一定是銳角都不一定是銳角(D) ABC中,若中,若C90,則,則A、B不都是銳角不都是銳角否命題與命題的否定否命題與命題的否定原詞語(yǔ)原詞語(yǔ) 否定詞否定詞 原詞語(yǔ)原詞語(yǔ) 否定詞否定詞 等于等于任意的任意的是是 至少有一個(gè)至少有一個(gè) 都是都是 至多有一個(gè)至多有一個(gè) 大于大于 至少有至少有n n個(gè)個(gè) 小于小于 至多有至多有n n個(gè)個(gè) 對(duì)所有對(duì)所有x,x,成立成立對(duì)任何對(duì)任何x x,不成立不成立所有的所有
3、的不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一個(gè)也沒(méi)有一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)至少有兩個(gè)至多有(至多有(n-1)個(gè)個(gè)至少有(至少有(n+1)個(gè)個(gè)存在某存在某x,不成立不成立存在某存在某x, 成立成立不等于不等于某個(gè)某個(gè)某些某些下面是一些常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定下面是一些常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定證明命題的方法證明命題的方法l方法一:方法一:直接法,直接法,從命題的條件從命題的條件p p出發(fā),經(jīng)出發(fā),經(jīng)推理直接得出結(jié)論推理直接得出結(jié)論p p,證明其為真命題;,證明其為真命題;l方法二:方法二:等價(jià)法,等價(jià)法,證明命題(若證明命題(若p p,則,則q q)的等價(jià)命題的等價(jià)命題逆否命題(若逆否命題(若q q,則,則
4、q q)為真,則原命題也為真;為真,則原命題也為真;l方法三:方法三:反證法,反證法,證明證明命題的否定(若命題的否定(若p p,則則q q)為假命題,從而間接地證明了命題為假命題,從而間接地證明了命題(若(若p p,則,則q q)為真命題。)為真命題。例例1 1: 證明:證明:若若p pq q2 2,則,則p p2 2q q2 22.2. 證明一:證明一:要證要證“若若p pq q2 2,則,則p p2 2q q2 22”2” 只需證它的只需證它的逆否命題逆否命題“若若p p2 2q q2 22 2,則,則p pq2q2”成立。成立。 p p2 2q q2 2=2=2,則,則2=p2=p2
5、2q q2 22pq pq12pq pq1 (p+qp+q)2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2 逆否命題為真命題,逆否命題為真命題, 故原命題也為真命題故原命題也為真命題。 證明二:證明二:假設(shè)假設(shè)p p2 2q q2 2=2=2,則則2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 (p+qp+q)2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2,這與命題的條件,這與命題的條件p pq q2 2相矛盾相矛盾, 假設(shè)不成立假設(shè)不成立,即,即p p2 2q q2
6、 22 2, 故原命題為真命題。故原命題為真命題。(同題多解,學(xué)會(huì)等價(jià)法與反證法地靈活應(yīng)用)(同題多解,學(xué)會(huì)等價(jià)法與反證法地靈活應(yīng)用)等價(jià)等價(jià)法法反證反證法法關(guān)于反證法關(guān)于反證法證明二(反證法):證明二(反證法):假設(shè)假設(shè)p p2 2q q2 2=2=2, 則則2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 (p+qp+q)2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2, 這與命題的條件這與命題的條件p pq q2 2相矛盾相矛盾, 假設(shè)不成立假設(shè)不成立,即,即p p2 2q q2 22 2, 故原命題為真命題。故原命題為真
7、命題。例例1 1: 證明:證明:若若p pq q2 2,則,則p p2 2q q2 22.2.假設(shè)原命題結(jié)假設(shè)原命題結(jié)論的反面成立論的反面成立看能否推出原命題看能否推出原命題條件的反面成立條件的反面成立嘗試成功嘗試成功得證得證反證法的一般步驟:反證法的一般步驟:(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假即假 設(shè)結(jié)論的反面成立;設(shè)結(jié)論的反面成立; (2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過(guò)推理從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過(guò)推理論證,得出矛盾;論證,得出矛盾; (3) 由矛盾判定假設(shè)不正確,由矛盾判定假設(shè)不正確, 從而肯定命題的結(jié)論正確。從而肯定命題的結(jié)論正確。 反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論推理過(guò)程中一定要用到才行顯
8、而易見(jiàn)的矛盾(如和已知條件矛盾).1、反證法證題時(shí)關(guān)鍵在第二步,如何導(dǎo)出矛盾。、反證法證題時(shí)關(guān)鍵在第二步,如何導(dǎo)出矛盾。2、導(dǎo)出矛盾有四種可能:、導(dǎo)出矛盾有四種可能:(1)與原命題的條件()與原命題的條件(題設(shè))題設(shè))矛盾;矛盾;(2)與定義、公理、定理等矛盾;)與定義、公理、定理等矛盾;(3)與結(jié)論的反面()與結(jié)論的反面(反設(shè))反設(shè))成立矛盾。成立矛盾。(1 1)難于直接使用已知條件導(dǎo)出結(jié)論的命題;)難于直接使用已知條件導(dǎo)出結(jié)論的命題;(2 2)唯一性命題;)唯一性命題;(3 3)“至多至多”或或“至少至少”性命題;性命題;(4 4)否定性或肯定性命題。)否定性或肯定性命題。3 3、反證法的
9、使用范圍:、反證法的使用范圍:使用反證法幾使用反證法幾點(diǎn)注意:點(diǎn)注意:(4)在證明過(guò)程中,推出自相矛盾的結(jié)論。)在證明過(guò)程中,推出自相矛盾的結(jié)論。反饋練習(xí)反饋練習(xí)x=a x=bx=a (x-a)(x-b)=0 x=b(x-a)(x-b)=0 x a且且x b用反證法證明用反證法證明,若若(x-a)(x-b)0,則則x a且且x b.證明證明 : 假設(shè)假設(shè)_ _, 由于由于_時(shí)時(shí),_, 與與 (x-a)(x-b)0矛盾矛盾, 又又_時(shí)時(shí),_, 與與(x-a)(x-b)0矛盾矛盾, 所以假設(shè)不成立所以假設(shè)不成立, 從而從而_.或或., 0:baba 那那么么如如果果用用反反證證法法證證明明例例 2
10、 2bababa 或者或者則或者則或者不大于不大于假設(shè)假設(shè),00,ababaab aabb bababab因因?yàn)闉樗砸耘c與或或baba 所以所以矛盾矛盾這些都同已知條件這些都同已知條件,0證明證明:例例3:求證:圓的兩條不是直徑的相交弦不能平分。求證:圓的兩條不是直徑的相交弦不能平分。n已知:如圖,在已知:如圖,在O O中,弦中,弦ABAB、CDCD交于交于P P,且,且ABAB、CDCD不不是直徑是直徑. .n求證:弦求證:弦ABAB、CDCD不被不被P P平分平分. .n證明:證明:假設(shè)假設(shè)ABAB、CDCD被被P P平分平分, 則則OPOP是等腰是等腰AOB, AOB, CODCOD的底邊上的中線,的底邊上的中線, 所以,所以,OPOPAB, OPAB, OPCDCD 但但ABAB和和CDCD都經(jīng)過(guò)點(diǎn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,P,且與且與OPOP 垂直,這是不可能的,垂直,這是不可能的, 所以假設(shè)不成立,所以假設(shè)不成立, 故弦故弦ABAB、CDCD不被不被P P平分,平分, 命題得證。命題得證。連結(jié)連結(jié)OA,OB,OC,ODOA,OB,OC,OD及及OP,OP,1.否命題與命題的否定:否命題與命題的否定:(1)否命題:條件和結(jié)論都得否定;)否命題:條件和結(jié)論都得否定;(2)命題的否定:條件不否定,只否定結(jié)論;)命題的
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