高等數(shù)學(xué)應(yīng)用題

1、第一章 函數(shù) 極限 連續(xù)BAOxyPM問題1. 上岸點(diǎn)的問題有一個(gè)士兵P，在一個(gè)半徑為R的圓形游泳池（圖11）內(nèi)游泳，當(dāng)他位于點(diǎn)（）時(shí)，聽到緊急集合號(hào)，于是得馬上趕回位于A=（2R，0）處的營房去，設(shè)該士兵水中游泳的速度為，陸地上跑步的速度為，求趕回營房所需的時(shí)間t與上岸點(diǎn)M位置的函數(shù)關(guān)系。圖1-1解：這里需要求的是時(shí)間t與上岸點(diǎn)M位置的函數(shù)關(guān)系，所以一定要先把上岸點(diǎn)M的位置數(shù)字化，根據(jù)本題特點(diǎn)可設(shè)其中為M的周向坐標(biāo)（即極坐標(biāo)系中的極角），于是本題就成為了求函數(shù)關(guān)系的問題。由對(duì)稱性，我們可只討論在上半圓周上岸的情況，即先確定函數(shù)的定義域?yàn)椤?該士兵在水中游泳所花的時(shí)間為而在陸地上跑步所需的時(shí)間

2、，則要視上岸點(diǎn)位置的兩種不同的情況要分別進(jìn)行討論： 當(dāng)時(shí)，有； 當(dāng)時(shí)，要先跑一段圓弧，再跑一段且線段，所以。綜上所述，可得問題2 外幣兌換中的損失某人從美國到加拿大去度假，他把美元兌換成加拿大元時(shí)，幣面數(shù)值增加12%，回國后他發(fā)現(xiàn)把加拿大元兌換成美元時(shí)，幣面數(shù)值減少12%。把這兩個(gè)函數(shù)表示出來，并證明這兩個(gè)函數(shù)不互為反函數(shù)，即經(jīng)過這么一來一回的兌換后，他虧損了一些錢。解：設(shè)為將x美元兌換成的加拿大元數(shù)，為將x加拿大元兌換成的美元數(shù)，則而故，不互為反函數(shù)。思考題：設(shè)一美國人準(zhǔn)備到加拿大去度假，他把1000美元兌換成加拿大元，但因未能去成，于是又將加拿大元兌換成了美元，問題虧損了多少錢？（14.4

3、美元）問題3 黃山旅游問題一個(gè)旅游者，某日早上7點(diǎn)鐘離開安徽黃山腳下的旅館，沿著一條上山的路，在當(dāng)天下午7點(diǎn)鐘走到黃山頂上的旅館。第二天早上7點(diǎn)鐘，他從山頂沿原路下山，在當(dāng)天下午7點(diǎn)鐘回到黃山腳下的旅館。試證明在這條路上存在這樣一個(gè)點(diǎn)，旅游者在兩天的同一時(shí)刻都經(jīng)過此點(diǎn)。證明：設(shè)兩個(gè)旅館之間的路程為L，以表示在時(shí)刻該旅游者離開山腳下的旅館的路程，則可知是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且有，。以表示該旅游者在第二天下山時(shí)在與前一天相同時(shí)刻尚未走完的路程，則可知是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且有，。于是原問題可轉(zhuǎn)化為：證明存在，使。作輔助函數(shù)，則在區(qū)間上連續(xù)，且有，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零值定理可知，一定存在，使。就得到

4、了所需要證明的結(jié)論。問題4 利潤與銷量之間的函數(shù)關(guān)系收音機(jī)每臺(tái)售價(jià)90元，成本為60元。廠家為鼓勵(lì)銷售商大量采購，軍隊(duì)凡是訂購量超過100臺(tái)以上的，每多訂購一臺(tái)，售價(jià)就降低1分（例如，某商行訂購了300臺(tái)，訂購量比100臺(tái)多200臺(tái)，于是每臺(tái)就降價(jià)0.01200=2（元），商行可以按88元/臺(tái)的價(jià)格購進(jìn)300臺(tái)），但最低價(jià)為75元/臺(tái)。1） 把每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購量x的函數(shù)；2） 把利潤P表示成訂購量x的函數(shù)；3） 當(dāng)一商行訂購了1000臺(tái)時(shí)，廠家可獲利多少？解：1）當(dāng)時(shí)售價(jià)為90元/臺(tái)。現(xiàn)在計(jì)算訂購量x是多少臺(tái)時(shí)售價(jià)降為75元/臺(tái)，90-75 =15，150.01=1500所以，當(dāng)訂購

5、量超過1500+100臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為75元。當(dāng)訂購量在1001600時(shí)，售價(jià)為90-（x-100）*0.01，因而實(shí)際售價(jià)p與訂購量之間的函數(shù)關(guān)系為2）每臺(tái)利潤是實(shí)際售價(jià)p與成本之差P=（p-60）x 3）由1）先計(jì)算出p=90-（1000-100）*0.01=81。再有2）可知P=（81-60）*1000=21000（元）問題5 Fibonacci數(shù)列與黃金分割問題“有小兔一對(duì)，若第二個(gè)月它們成年，第三個(gè)月生下小兔一對(duì)，以后每月生產(chǎn)一對(duì)小兔，以后亦每月生產(chǎn)小兔一對(duì)。假定每產(chǎn)一對(duì)小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年后共有小兔幾對(duì)?”解：這是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci，L）在1

6、202年所著“算法之書”（又譯算盤書（Liberabaci）中的一個(gè)題目。他是這樣解答的：若用“”、“”分別表示一對(duì)未成年和成年的兔子（簡稱仔兔和成兔），則根據(jù)題設(shè)有：從上圖可知，六月份共有兔子13對(duì)；還可看出，從三月份開始，每月的兔子總數(shù)恰好等于它前面兩個(gè)月的兔子總數(shù)之和。按這規(guī)律可寫出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233可見一年后共有兔子233對(duì)。這是一個(gè)有限項(xiàng)數(shù)列，按上述規(guī)律寫出的無限項(xiàng)數(shù)列就叫做Fibonacci數(shù)列，其中的每一項(xiàng)稱為Fibonacci數(shù)。若設(shè)F0=1，F(xiàn)1=1，F(xiàn)2=2，F(xiàn)3=3，F(xiàn)4=5，F(xiàn)5=8，F(xiàn)6=13，則此數(shù)列應(yīng)有下面的

7、遞推關(guān)系：Fn+2 = Fn+1 + Fn（n = 0，1，2，）這個(gè)關(guān)系可用數(shù)學(xué)歸納法來證明，其中的通項(xiàng)是由法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）求出的。與Fibonacci數(shù)列緊密相關(guān)的一個(gè)重要極限是 （1）或者 （2）下面我們先來說明（2）式的含義并證明之（至于（1）式的含義見后面的說明）。記，則（-1）×100%就是第（n+1）月相對(duì)于第n月的兔子對(duì)數(shù)增長率（n = 0，1，2，），例如：若存在，則（-1）表示許多年后兔子對(duì)數(shù)的月增長率（同時(shí)也是成兔對(duì)數(shù)及仔兔對(duì)數(shù)在許多年后的月增長率因?yàn)槌赏脤?duì)數(shù)、仔兔對(duì)數(shù)各自從今年1月、2月開始算起，也是Fibonacci數(shù)列）。存在的證明及求法如下：

8、證：用數(shù)學(xué)歸納法容易證明：數(shù)列是單調(diào)增加的；數(shù)列是單調(diào)減少的。又，對(duì)一切成立。即數(shù)列、是有界的。根據(jù)“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的準(zhǔn)則，知數(shù)列、的極限存在，分別記為與b*，即 ，分別對(duì)及的兩邊取極限，得 與 兩式相減，得 由此得 ，即。若不然，則有 而由 ，得 這是不可能的（因?yàn)椋┮虼舜嬖冢涀鱞，即 對(duì)的兩邊取極限，得解此方程，得，因?yàn)?，故?從而 可見許多年以后兔子總對(duì)數(shù)，成兔對(duì)數(shù)及仔兔對(duì)數(shù)均以每月61.8%的速率增長。問題6 巧分蛋糕妹妹小英過生日，媽媽給做了一塊邊界形狀任意的蛋糕（如圖所示）。哥哥小明見了也想吃，小英指著蛋糕上一點(diǎn)對(duì)哥哥說，你能過這點(diǎn)切一刀，使切下的兩塊蛋糕面積相等，便把其

9、中的一塊送給你。小明苦想了半天，終于用剛剛學(xué)過的高等數(shù)學(xué)知識(shí)初步解決了這個(gè)問題。你知道他用的是什么辦法嗎？圖1-2（1）能切成相等的兩塊嗎？圖1-2（2）時(shí)S1 和S2PxlS2S1分析：問題歸結(jié)為如下一道幾何證明題。已知平面上一條沒有交叉點(diǎn)的封閉曲線（無論什么形狀），P是曲線所圍圖形上任一點(diǎn)。求證：一定存在一條過P的直線。將這圖形的面積二等分。xl圖1-2（4）時(shí)S1 和S2S1（）S2（）xlS2（）S1（）圖1-2（3）旋轉(zhuǎn)成角P證明：1. 過P點(diǎn)認(rèn)作一直線l，將曲線所圍圖形分為兩部分，其面積分別為S1 和S2。若S1 =S2（此情況很難辦到），則l即為所求；若S1S2，則不妨設(shè)S1&g

10、t;S2 (此時(shí)l與x軸的正向的夾角記為，見圖1-2（2），下面對(duì)此情況證明之。2. 以P點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將l按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，面積S1 和S2就連續(xù)地依賴角變化，記為、，并設(shè)。如圖1-2（3）所示。3. 函數(shù)在上連續(xù)，且在端點(diǎn)異號(hào)：（旋轉(zhuǎn)1800后的情況如1-2（4）根據(jù)零點(diǎn)定理，必存在一點(diǎn)，使，即使。過P作直線，使之與x軸正向的夾角為，該直線即為所求。注：實(shí)際上小明只證明了這樣的直線一定存在，究竟如何找到角還有待研究，留給大家思考！問題7第二章 導(dǎo)數(shù)與微分問題1 人在月球上能跳多高某人身高2米，在地面上可跳過與其身高相同的高度。假設(shè)他以同樣的初速度在月球上跳，請(qǐng)問能跳多高？又，為了能在月球上

11、跳過2米，他需要多大的初速度？xo解：在地面上跳高，就是克服地球引力把身體“拋”到高處。這里跳過了2米，是指把人體的重心提高到了2米。粗略地講，人體的重心約在身高的一半偏上一點(diǎn)處，故，若把人體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來看，則可視跳高為以初速把位于（身高）處的一質(zhì)點(diǎn)鉛直上拋。為了求出所跳高度與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系。由及 得 （1）由及 得 （2）在月球上跳高的情況與此類似，不同的只是這里的g由月面上的重力加速度gm所代替，若記月球上的速度與位置函數(shù)分別為vm、xm（因題設(shè)初速相同，故仍記月球上的初速為v0），則有 （3） （4）由（4）式知，為求此人在月球上能跳多高，需分別求出初速及跳到最高處

12、所需時(shí)間。現(xiàn)初速與地球上的相同，故可由（1）、（2）式求之：因跳到最高處時(shí)，故，于是。又，此人在地球上跳了2米高，故有 由此得 （5）（于是此人在地面上跳到2米高所用時(shí)間為）再求在月面上以初速跳到最高處所用的時(shí)間tm：由（3）式及，得，即，由此可得將（5）、（6）兩式代入（4）式，便有即，在月球上能跳過的高度約為7.3078米。用與上面完全類似的推導(dǎo)可以得出，在月球上跳2米高所需初速為（見（5）式），所用時(shí)間為。比較t =0.45s與t =1.13s不難看出，同樣是跳2米高，在月球上所需時(shí)間比在地面上要慢一個(gè)因子0.4（），這個(gè)結(jié)論具有普遍性，可用下面的地月定理來證明。地月定理：設(shè)是“地面上的

13、運(yùn)動(dòng)”，則 （7）是在“月面上的運(yùn)動(dòng)”，這里證：對(duì)（7）式兩端求導(dǎo)，則有再對(duì)t求導(dǎo)，且利用得因此，滿足月面運(yùn)動(dòng)方程。 證畢。公式（7）揭示了地、月兩種運(yùn)動(dòng)之間的內(nèi)在聯(lián)系：地面運(yùn)動(dòng)改變到月面運(yùn)動(dòng)時(shí)，時(shí)間變慢了一個(gè)因子0.4.據(jù)此原理，如果我們想看看模擬的月面運(yùn)動(dòng)，只需用正常速度的0.4倍放映地面運(yùn)動(dòng)的電影即可。注：地面運(yùn)動(dòng)系指一質(zhì)點(diǎn)在接近地面處，在重力影響下，且僅有重力作用的垂直運(yùn)動(dòng)。月面運(yùn)動(dòng)的概念與此類似，不再重述。問題2 油層在海面上的擴(kuò)散問題從一艘破裂的油輪中滲漏出去的油，在海面上逐漸形成油層。設(shè)在擴(kuò)散的過程中，其形狀一直是一個(gè)厚度均勻的圓柱體，其體積也始終保持不變。已知其厚度h的減少率與

14、h3成正比，試證明其半徑r的增加率與r3成反比。證明：在等式兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)，由于和V都是常數(shù)，所以有將題意條件代入上式子，可得再將代入上式，又可得這就是得到了所需要證明的結(jié)論。問題3 人影移動(dòng)的速率某人高1.8米，在水平路面上以每秒1.6米的速率走向一街燈，若此街燈在路面上方5米，當(dāng)此人與燈的水平距離為4米時(shí)，人影端點(diǎn)移動(dòng)的速率為多少？解：這是一個(gè)相關(guān)變化率的問題，一般地，設(shè)x = x ( t )及y = y ( t )都是可導(dǎo)函數(shù)，而變量x與y間存在某種關(guān)系，從而變化率與間也存在一定關(guān)系，這兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率。ECBAD如果我們有幾何學(xué)或物理學(xué)等方面的知識(shí)，得到x與y間的一

15、個(gè)函數(shù)關(guān)系y= f ( t )，且f ( t )可導(dǎo)，那么由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有這說明變化率可以通過變化率得到。對(duì)于所給問題，如圖所示，以DE和BC分別表示人高和燈高，以DB = x和AB = y分別表示人和人影端點(diǎn)到燈的水平距離。因?yàn)锳DEABC，所以從而 ，即 于是 又依題 ，故 即人影端點(diǎn)移動(dòng)的速率為2.5m/s。思考題：有一圓錐形容器，高度為10m，底半徑4m，今以每分鐘5m3的速度把水注入該容器，求當(dāng)水深5m時(shí)，水面上升的速度。其中，（1）圓錐的頂點(diǎn)朝上；（2）圓錐的頂點(diǎn)朝下。（答案：均為）問題4 拉船靠岸問題在離水面高度為h（米）的岸上，有人用繩子拉船靠岸（如圖所示）。假定繩長為

16、l（米），船位于離岸壁s（米）處，試問：當(dāng)收繩速度為v0（m/s）時(shí)，船的速度、加速度各是多少？解：l、h、s三者構(gòu)成了執(zhí)教三角形，由勾股定理得hlsxOv0兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 （1）由此得 （2）l為繩長，按速度定義，即為收繩速度v0，船只能沿s線在水面上行駛逐漸靠近岸壁，因而應(yīng)為船速v，將它們代人（2）式得船速 （3）利用（1）式消去l，得 （4）（4）中h、v0均為常數(shù)，只有s是變量。按加速度定義將（4）式代人上式，得 （5）（這里的負(fù)號(hào)表明加速度的方向與x軸正向相反。事實(shí)上，船速v、收繩速度v0的方向也與x軸的正向相反。）由（4）與（5）式可知，船速與船的加速度均與船的位置有關(guān)，它們是

17、變化的，當(dāng)船靠近岸時(shí)，船速與加速度都不斷增大。思考：當(dāng)您在公園劃船需要交船了，服務(wù)員用鉤子把船勾住往岸邊拉時(shí)，您是否注意到了這一現(xiàn)象呢（服務(wù)員用的“勁”即收繩速度一樣，您卻感到船速越來越快）？問題5 為什么不宜制造太大得核彈頭核彈在與它得爆炸量（系指核裂變或聚變時(shí)釋放出得能量，通常用相當(dāng)于多少千噸炸藥得爆炸威力來度量）的立方根成正比得距離內(nèi)會(huì)產(chǎn)生每平方厘米0.3516千克的超壓，這種距離算作有效距離。若記有效距離為D，爆炸量為x，則二者的函數(shù)關(guān)系為其中C時(shí)比例系數(shù)。又知當(dāng)x是100千噸（當(dāng)量）時(shí)，有效距離D為3.2186千米。于是 即 所以 這樣，當(dāng)爆炸量增至10倍（變成1000千倍百萬噸）時(shí)

18、，有效距離增至差不多僅為100千噸時(shí)的2倍，說明其作用范圍（）并沒因爆炸量的大幅度增加而顯著增加。下面再來研究爆炸量與相對(duì)效率的關(guān)系（這里相對(duì)效率的含義時(shí)，核彈的爆炸量每增加1千噸當(dāng)量時(shí)有效距離的增量）。由 知 若x100，則這就是說，對(duì)100千噸（10萬噸級(jí)）爆炸量的核彈來說，爆炸量每增加1千噸，有效距離差不多增加10.7米；若x1000，則即對(duì)百萬噸級(jí)的核彈來說，每增加1千噸的爆炸量，有效距離差不多僅增加2.3米，相對(duì)效率是下降的。可見，除了制造、運(yùn)載、投放等技術(shù)因素外，無論從作用范圍還是從相對(duì)效率來說，都不宜制造當(dāng)量級(jí)太大的核彈頭。事實(shí)上，1945年二戰(zhàn)中美國投放在日本廣島、長崎的原子彈

19、，其爆炸量為20千噸，有效距離為1.87千米。問題6 鐘表每天快多少某家有一機(jī)械掛鐘，鐘擺的周期為1秒。在冬季，擺長縮短了0.01厘米，這只鐘每天大約快多少？解：由（單擺的周期公式，其中l(wèi)是擺長（單位：cm），g是重力加速度（980cm/s2）可得當(dāng)時(shí)， （1）據(jù)題設(shè)，擺的周期是1秒，即，由此可知擺的原長是?，F(xiàn)擺長的改變量厘米，于是由（1）式得擺的周期的相應(yīng)改變量是這就是說，由于擺長縮短了0.01厘米，鐘擺的周期便相應(yīng)縮短了約0.0002秒，即每秒約快0.0002秒，從而每天約快0.0002×26×60×60=17.28（s）。問題7第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)

20、用問題1 兩輛汽車的加速度問題 A，B兩輛賽車同時(shí)出發(fā)，不久A車領(lǐng)先于B車，后來B車趕上并反超A車，最后兩車同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。試證明至少存在某個(gè)時(shí)刻，兩車的加速度相等。 證明：設(shè)兩車在啟動(dòng)時(shí)間t內(nèi)走過的路程分別為f（t）和g（t），并假定兩車在比賽過程中加速度是連續(xù)變化的，即函數(shù)f（t）和g（t）有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。對(duì)題意進(jìn)行如下“條件分析”，即歸納出已知的條件其中T是兩賽車所花的時(shí)間，L是所走過的總里程，是B車趕上A車的時(shí)刻。 然后再作“目標(biāo)分析”，即表達(dá)出所求證的結(jié)論 在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們就找到了解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)：作適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)。 令，則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且有根據(jù)羅爾定理可知，在區(qū)間上

21、對(duì)函數(shù)再次使用羅爾定理，便有這就證明了 注 要在實(shí)際問題中建立出數(shù)學(xué)模型，必須完全弄清題意；歸納提煉出已知的條件，這就是所謂的“條件分析”；總結(jié)表達(dá)出所需證明的結(jié)論，這就是所謂的“目標(biāo)分析”；有時(shí)我們還要做出一些“合理假定”，例如本題中輔助函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性。當(dāng)然還有“刪繁就簡”、“去偽存真”、“取主舍次”等重要方法，因?yàn)楸绢}中沒有涉及到，所以也就不多講了。問題2 汽車加速度問題汽車從啟動(dòng)行駛到剎車停下，在T h時(shí)間內(nèi)共走了L km的路程，試證明必存在某一時(shí)刻，此時(shí)汽車加速度的絕對(duì)值不小于km/h2.證明 設(shè)汽車在啟動(dòng)后t h內(nèi)走過的路程為f (t) km，并假定汽車在行駛過程中加速度是連續(xù)

22、變化的，即函數(shù)f (t)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。對(duì)題意進(jìn)行如下“條件分析”，即歸納出已知的條件然后再作“目標(biāo)分析”，即表達(dá)出所求證的結(jié)論利用函數(shù)f (t)的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階泰勒公式，有以上兩式相減消去得所以和中至少有一個(gè)不小于km/h2.問題3 兩輛汽車之間的最近距離問題某處立交橋上、下是兩條互相垂直的公里，一條是東西走向，一條是南北走向?，F(xiàn)在有一輛汽車在橋下南方100m處，以20 m/s的速度向北行駛；而另一輛汽車在橋上西方150m處，以20 m/s的同樣速度向東行駛，已知橋高10m，問經(jīng)過多少時(shí)間兩輛汽車之間距離為最?。坎⑶笏鼈冎g的最小距離。解 容易求得，在時(shí)刻t秒兩輛汽車之間的距離為這就是

23、目標(biāo)函數(shù)，其定義域?yàn)椤Ｇ髮?dǎo)得令，可得到唯一駐點(diǎn)t = 6.25，由于（1）時(shí)，（2）時(shí)，所以經(jīng)過6.25s，兩輛汽車之間有最小距離注 為了運(yùn)算的方便，我們還可以以為目標(biāo)函數(shù)。這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，s和s2同時(shí)有最大值或最小值。而這里新的目標(biāo)函數(shù)y是一個(gè)二次函數(shù)，從而也可用初等數(shù)學(xué)的方法求出其最小值。問題4 怎樣使野生動(dòng)物樂園的面積最大現(xiàn)在有全長為12000m的鐵絲網(wǎng)，想利用這些鐵絲網(wǎng)和借用一段直線河岸作為自然邊界，圍成兩個(gè)長方形野生動(dòng)物樂園。（1）假定要圈的野生動(dòng)物樂園是兩個(gè)相鄰的長方形，它們都可用利用一段直線河岸為自然邊界（圖3-1（a）.試確定該野生動(dòng)物樂園長寬尺寸，以使其總面積為最大；（2）由于

24、有一些動(dòng)物會(huì)泅水逃跑，所以兩個(gè)相鄰的長方形野生動(dòng)物樂園中必須有一個(gè)不能以河岸為自然邊界（圖3-1（b），這時(shí)又應(yīng)該如何確定該野生動(dòng)物樂園長寬尺寸，以使其總面積為最大？12000x12000x （a） （b）圖3-1解 （1）設(shè)寬為x m，則長（即借用河岸為自然邊界之長）為（12000-3 x）m，可得該野生動(dòng)物樂園的總面積為 這就是目標(biāo)函數(shù)，其定義域?yàn)?，求?dǎo)得可見目標(biāo)函數(shù)的唯一駐點(diǎn)x=2000就是所求的最大值點(diǎn)，即當(dāng)長為6000m，寬為2000m時(shí)，此時(shí)該野生動(dòng)物樂園有最大總面積（2）設(shè)寬為xm，則長為于是可得該野生動(dòng)物樂園的總面積（即目標(biāo)函數(shù)）為 可見此目標(biāo)函數(shù)的最大值點(diǎn)就是x=3000，此

25、時(shí)該野生動(dòng)物樂園有最大總面積注 這里總面積與隔欄的位置顯然無關(guān)。這是只有一個(gè)隔欄的問題，但它具有一定的典型意義。對(duì)于沒有隔欄或有更多個(gè)隔欄的問題，完全可用類似的方法來解決。當(dāng)野生動(dòng)物樂園形狀并不要求是長方形，而可以是多邊形的情況，我們將在多元微分學(xué)中再來考慮。問題5 槍榴彈打到了日本鬼子的頭上我軍早年武器專家吳運(yùn)鐸在把一切獻(xiàn)給黨一書中講述了一個(gè)抗日戰(zhàn)爭期間有趣的故事。他制造了一種叫“槍榴彈”的新式武器，在一次實(shí)戰(zhàn)使用中，結(jié)果沒打著沖鋒在前面的偽軍，而打到了躲在小山后休息的日本鬼子的頭上。xyo設(shè)我們制造的這種武器在射擊時(shí)，槍榴彈以初速度為140m/s離開槍口，又假設(shè)小鬼子躲在距離我軍1750m

26、遠(yuǎn)處山后，而小山位于我軍與鬼子軍的正中間，其高度為700m，試求恰能打中鬼子兵的彈道曲線方程。解 本問題與上一問題有所不同，這里不是求最大距離，而是在距離確定的條件下，先求投射角，再驗(yàn)證拋物線頂點(diǎn)的高度大于山的高度。設(shè)投射角為，由于槍榴彈之初速度為140m/s，所以在如圖所示的坐標(biāo)系中，彈道曲線方程為消去t，可得將代入，得，解得，在時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為在時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為顯然只有后者才能使拋物線的頂點(diǎn)高度更大，也就是說只有小山的高度不超過742m，我們的槍榴彈就一定能夠打到躲在山后離我軍1750m遠(yuǎn)處的鬼子兵。由此可知恰能打中鬼子兵的彈道曲線是問題6 鋼珠測內(nèi)徑問題有一種測量中空工件

27、內(nèi)徑的方法，就是用半徑為R的鋼珠放在圓柱形內(nèi)孔上，只要測得了鋼珠頂點(diǎn)與工件端面之間的距離為x，就可以求出工件內(nèi)孔之半徑y(tǒng)。試求出利用x的函數(shù)來表示y的解析表達(dá)式，并證明y是關(guān)于x的單調(diào)減少函數(shù)，這里工件端面是垂直于內(nèi)孔圓柱面中心軸的平面。DxOACB圖 1-2解：在圖1-2中，可以看出OC=DC-DO=x-R，根據(jù)勾股定理有 。這里函數(shù)的自然定義域是，但是與實(shí)際意義不完全相符，所以應(yīng)該按照實(shí)際意義重新確定其實(shí)際定義域?yàn)?。y顯然是關(guān)于x的可導(dǎo)函數(shù)，且有所以，y是關(guān)于x的單調(diào)減少函數(shù)。問題7 國會(huì)議席的估計(jì)在一次美國總統(tǒng)選舉后，把當(dāng)選總統(tǒng)所得公眾選舉票數(shù)的百分比記作p，記 這個(gè)函數(shù)有著有趣的性質(zhì)（

28、稱為立方律）。的值可用來逼近當(dāng)選總統(tǒng)所在黨獲得眾議院議席的百分比，因此，稱為“議會(huì)函數(shù)”。例如，在1939年，民主黨候選人弗蘭克林·羅斯福（F.D.Rosevelt）贏得了公眾61的選票，從而當(dāng)選總統(tǒng)。在那次選舉中，議會(huì)函數(shù)，即估計(jì)民主黨將占眾議院議席的79。在實(shí)際選舉中，民主黨贏得333個(gè)議席，共和黨贏得89個(gè)席位，即民主黨占78.9，求的一階、二階導(dǎo)數(shù)，分析凹凸性。解：，則從而當(dāng)時(shí)，即H為增函數(shù)。即在總統(tǒng)選舉中得票越多，在眾議院獲得席位越多，實(shí)際也是如此。當(dāng)時(shí)，即在（0，）上是上凹的。而當(dāng)時(shí)，即在（，1）上是下凹的。問題8 怎樣設(shè)計(jì)海報(bào)的版面既美觀又經(jīng)濟(jì)現(xiàn)在要求設(shè)計(jì)一張單欄的豎向

29、張貼的海報(bào)，它的印刷面積128平方分米，上下空白各2分米，兩邊空白各1分米，如何確定海報(bào)尺寸可使四周空白面積為最小？解：這個(gè)問題可用求一元函數(shù)最小值的一般方法解決。設(shè)印刷面積由從上到下長x分米和從左到右寬y分米構(gòu)成，則x y128，從而。于是，四周空白面積為兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得令得唯一駐點(diǎn)x16，此時(shí)y8，又因?yàn)樗?，?dāng)海報(bào)印刷部分為從上到下長16分米，從左到右寬8分米時(shí)，可使四周空白面積為最小。思考題：若海報(bào)印刷改為左右兩欄，印刷面積增加到180平方分米，要求四周留下空白寬2分米，還要流1分米寬得豎直中縫，如何設(shè)計(jì)它的尺寸可使總空白面積最?。磕芊裼闷渌椒ㄇ蠼猓浚ù鸢福河∷⒉糠謴淖蟮接?&#

30、215;7.5分米，從上到下12分米。還可用求多元函數(shù)條件極值的拉格朗日乘數(shù)法求解）。問題9 大衣柜能搬進(jìn)新居嗎問題：老張臨搬家前，張?jiān)谧约捍笠鹿衽园l(fā)愁。擔(dān)心這大衣柜搬不進(jìn)新居，站在一旁的小李馬上拿了一把尺子出去了。不一會(huì)兒，小李對(duì)老張說：“從量得電梯前樓道和單元前樓道寬度，絕對(duì)沒問題”。請(qǐng)問小李得根據(jù)是什么？baCOL1L2D解：設(shè)電梯前樓道寬a m，單元前樓道寬b m，二條樓道成直角相交，大衣柜長為L，搬運(yùn)拐彎時(shí)與某一樓道交角為。設(shè)：CDLCOL1，ODL2LCOODL1L2LL1L2，即L是的函數(shù)。求L的一階導(dǎo)數(shù)求駐點(diǎn) 得 代入中求得，它一定是L得最大值。今大衣柜的長度不大于，所以小李告

31、訴老張絕對(duì)沒問題。從這數(shù)學(xué)式子中，a與b得關(guān)系是對(duì)稱的，a大于b或a小于b是無關(guān)緊要的。問題10 耕牛飲水路線問題耕牛在地點(diǎn)A工作完畢后要回到棚舍B，途中必須到河流PQ邊M處飲水，根據(jù)如圖所示的數(shù)據(jù)，求出飲水點(diǎn)M的最佳位置，使這頭牛陬過路程的總和最短。6.352PQMABx解：設(shè),則總路程為AM+MB，即目標(biāo)函數(shù)為其定義域?yàn)?這里目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間0,6.3上連續(xù)且可奧，其導(dǎo)數(shù)為令，可得目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間0,6.3上唯一的駐點(diǎn)x = 4.5。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)在0,6.3上可導(dǎo)，駐點(diǎn)唯一，從實(shí)際意義上看目標(biāo)函數(shù)的最小值確實(shí)在區(qū)間0,6.3上，所以唯一的駐點(diǎn)x = 4.5就是目標(biāo)函數(shù)的最小值點(diǎn)。從而可得結(jié)論：

32、耕牛飲水點(diǎn)M的位置應(yīng)取在上使處。注：這也是一個(gè)非常典型的模型，本問題除了被稱為耕牛飲水問題外，也被稱為斯諾克問題。注意到這里有MABB*， ，將具體結(jié)論x = 4.5代人，有。它完全符合光學(xué)上入射角等于反射角的反射原理，也可以利用初等數(shù)學(xué)的平面幾何知識(shí)（如上圖所示）得到證明。第四章 不定積分問題1 石油的消耗量近年來，世界范圍內(nèi)每年的石油消耗率呈指數(shù)增長，增長指數(shù)大約為0.07.1970初，消耗率大約為每年161桶。設(shè)R（t）表示從1970年起第t年的石油消化率，則（億桶）。試用此式估算從1970年到1990年間石油消耗的總量。解：設(shè)T（t）表示從1970年起（t=0）直到第t年的石油消耗總量

33、。我們要求從1970年到1990年間石油消耗的總量，即求T（20）。由于T（t）是石油消耗的總量，所以就是石油消耗率R（t），即。那么T（t）就是R（t）的一個(gè)原函數(shù)。因?yàn)門（0）=0，所以C= -2300。所以從1970年到1990年間石油的消耗總量為：（億桶）問題2問題3問題4第五章 定積分問題1 這場雪是從何時(shí)開始下的某小鎮(zhèn)凌晨5：00發(fā)現(xiàn)正在下大雪，于是出動(dòng)鏟雪機(jī)鏟雪，一個(gè)小時(shí)后（到6：00）鏟清了1000m長的路面，又經(jīng)過一小時(shí)（到7：00）又鏟清了500m長的路面，從而鏟清了到達(dá)高速公路入口處的全部路面。設(shè)雪是一直不停地均勻地下著的，鏟過雪的地方撒上了鹽，不會(huì)再有積雪，試問這場雪是

34、從幾點(diǎn)開始下的？分析：本問題中積雪的厚度是個(gè)變量，所以鏟雪車不可能是勻速前進(jìn)的（當(dāng)然假定路面的寬度是一樣的）。注意到積雪厚度跟下雪時(shí)間成正比，就可解決本問題。解：以開始下雪時(shí)刻為時(shí)間坐標(biāo)的原點(diǎn)，由于下雪速度是均勻的，所以在時(shí)刻t h積雪厚度為h=k t m。又設(shè)路面寬度為b m，鏟雪車工作效率為。設(shè)在時(shí)間段t，t+dt所鏟除雪的體積為dV，則其推進(jìn)的距離為則可得到如下兩個(gè)關(guān)系式由此可知 即 解得可知這場雪大約是從4點(diǎn)22分55秒開始下的。問題2 天然氣產(chǎn)量的預(yù)測工程師們已經(jīng)開始從墨西哥灣的一個(gè)新井開采天然氣。根據(jù)初步的試驗(yàn)和以往的經(jīng)驗(yàn)，他們預(yù)計(jì)天然氣開采后的第t個(gè)月的月產(chǎn)量由下面的函數(shù)給出：（

35、百萬立方米）試估計(jì)前24個(gè)月的總產(chǎn)量。解：前24個(gè)月的總產(chǎn)量為直接計(jì)算這個(gè)和式較難，應(yīng)用定積分來估計(jì)它。令 則 從而f（t）為遞增函數(shù)。由定積分的性質(zhì)有：而 類似地，可得從而有 問題3 估計(jì)某醫(yī)院在某時(shí)間內(nèi)的就醫(yī)人數(shù)一家新的鄉(xiāng)村精神病診所剛開張。對(duì)同類門診部的統(tǒng)計(jì)表明，總有一部分病人第一次來過之后還要來此治療。如果現(xiàn)在有A個(gè)病人第一次來這就診，則t個(gè)月后，這些病人還有A*f（t）個(gè)病人還在此治療，這里?，F(xiàn)設(shè)這個(gè)診所最開始時(shí)接受了300人的治療，并且計(jì)劃從現(xiàn)在開始每月接受10名新病人。試估計(jì)從現(xiàn)在開始15個(gè)月后，在此診所接受治療的病人有多少？解：既然f（15）是15個(gè)月后還要來此就診的病人人數(shù)的

36、比例系數(shù)，那么在開張時(shí)接受的300人中有300 f（15）個(gè)人從現(xiàn)在開始的15個(gè)月后還將要在此就診。為了計(jì)算從現(xiàn)在開始的15個(gè)月內(nèi)新接受的病人在15個(gè)月后還在此就診的人數(shù)，將15個(gè)月的區(qū)間0，15，分為n個(gè)等距為t的小區(qū)間，令表示第j個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)（）。既然每月要接受10名新病人，于是在第j個(gè)小區(qū)間內(nèi)接收的新病人人數(shù)為10t，于是10t f（15-）個(gè)病人將從開始，15-個(gè)月后還要來此就診。所以從現(xiàn)在開始15個(gè)月后新接收的病人還要再次治療的人數(shù)總和為：所以，令P為開張15個(gè)月后在此就診病人總數(shù)，則P由上述兩部分組成，即當(dāng)可得因?yàn)?，所以所以?5個(gè)月后，這個(gè)診所將要接待247名左右病人。問題4

37、 高速公路出口處車輛平均行駛速度某公里管理處在城市高速公路出口處，記錄了幾個(gè)星期內(nèi)平均車輛行駛速度。數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，一個(gè)普通工作日中的下午1：00至6：00之間，此口在t時(shí)刻的平均車輛行駛速度為左右，試估計(jì)下午1：00至6：00內(nèi)的平均車輛行駛速度？解：一般地，連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間a , b上的平均值，等于函數(shù)f（x）在區(qū)間a , b上的定積分除以區(qū)間a , b的長度b - a 。此題目的是求函數(shù)s（x）在區(qū)間1 , 6上的平均值。平均行駛速度=問題5 可否判定汽車起動(dòng)和剎車時(shí)的加速度和減速度一部汽車從靜止開始，沿一條直路在1分鐘內(nèi)駛過1196米就停下來。若該車的調(diào)速器可以防止速度達(dá)到每秒20

38、米，求證在形式的某個(gè)時(shí)刻，該車的加速度或減速度至少有100m/s2。證：用反證法，假設(shè)在行駛的任一時(shí)刻該車的加速度或減速度都不足100m/s2，即對(duì)于所有t0,60，有 （1）且 （2）又由已知有： 于是對(duì)于所有t0,60，由（1）式可得： （3）由（2）式可得： （4）又由已知可得，對(duì)于所有t0,60，速度v ( t ) 滿足： （5）而由于v ( t ) 滿足不等式（3）、（4）、（5），所以對(duì)于所有t0,60，有對(duì)于上式兩邊同時(shí)求積分，得 （6）而右邊積分式子可算得又由已知可知，以速度v ( t ) 在1分鐘走過1196米，即這是與（6）式矛盾，所以原命題成立。問題6 第六章 定積分的應(yīng)

39、用問題1 潛艇的觀察窗問題在探測海底的潛艇上裝有若干個(gè)觀察窗。為使窗戶的設(shè)計(jì)更科學(xué)、更合理，必須先計(jì)算加在觀察窗上的壓力。如果我們假定窗戶是垂直的，其形狀如圖所示是對(duì)稱的，試求出壓力與窗戶面積、窗戶形心間的關(guān)系。解：從物理學(xué)知道，在水深z處的壓強(qiáng)為 Oz0z1zdz這里是海水的比重。建立如圖所示的坐標(biāo)系，對(duì)應(yīng)于z，z+dz的窄條上各點(diǎn)處的壓強(qiáng)近似等于，這窄條的面積近似為，故這窄條上所受的海水壓力的近似值，即壓力微元 因此，加在整個(gè)窗面上的壓力為因?yàn)?形心 因此 但正好是深度為處的水壓強(qiáng)，所以加在窗戶上的全部壓力等于窗戶露出的全部面積乘上它形心處的壓強(qiáng)。作為一個(gè)具體的實(shí)例，設(shè)窗戶是圓的（這是最可

40、能的形狀），其半徑為0.9144米，取，則問題2 鐵路、公路與盤山小路長度之比較xyO在某山區(qū)平面圖（如圖示）上，自點(diǎn)（0，0）到點(diǎn)（，0）之間，有鐵路、公路和盤山小路三種路線，它們的方程分別為：試證明這三種路線長度都一樣。證明：這里我們證明一個(gè)更普遍的結(jié)論，對(duì)任意正整數(shù)n來說，曲線在區(qū)間0, 上的長度總與n值之大小無關(guān)，這是因?yàn)閱栴}3 飛出火星去火星的直徑是6860千米，其表面的重力加速度是3.92米/秒2，若在火星上發(fā)射一枚火箭，試問要用怎樣的初速度才能擺脫火星的引力？解：設(shè)火星的半徑為R，質(zhì)量為M，火箭的質(zhì)量為m。根據(jù)萬有引力定律，當(dāng)火箭離開火星表面距離為x時(shí)，它所受火星的引力為 當(dāng)x

41、= 0時(shí)，f = mg，因而 所以 當(dāng)它再上升距離dx時(shí)，它的位能便增加 這就是功“元素”。所以火箭自火星表面x = 0達(dá)到高度h時(shí)，所獲得的位能（即要做的功）總共為 當(dāng)時(shí)，。所以初速必須使動(dòng)能?；鸺拍苊撾x火星引力。由此得，而g=392cm /s2，R=3430×105cm ，故 注：眾所周知，脫離地球引力所需的速度為11.2千米/秒，由此看來，如果人類有一天能在火星上居住，那么從火星上乘宇宙飛船去太空遨游應(yīng)當(dāng)要比從地球上飛去容易得多。問題4 地球環(huán)帶的面積地球上平行于赤道的線稱為緯線，兩條緯線之間的區(qū)域叫環(huán)帶。假定地球是球形的，試證任何一個(gè)環(huán)帶的面積都是，這里h是構(gòu)成環(huán)帶的兩條緯

42、線間的距離，d是地球直徑（約13000公里）。證：首先要弄清，兩條緯線間的距離是指它們所在的兩平行平面間的距離，而不是兩緯線所夾經(jīng)線的長度。建立如圖所示的坐標(biāo)系，則環(huán)帶可看作由曲線段xyxOxc+hxcxhx繞y軸旋轉(zhuǎn)而成。由旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式可得環(huán)帶面積為 注：由此可見，環(huán)帶面積與環(huán)帶在地球上的位置無關(guān)。也就是說，只要構(gòu)成環(huán)帶的兩條緯線間的距離h相同，那么，靠近赤道的環(huán)帶與位于北極的環(huán)帶的面積都是一樣的（盡管緯線長度、夾在兩緯線間的經(jīng)線長度都不一樣）（如圖示）。問題5 底部有洞的容器還能盛多少水有一個(gè)底半徑為R、高為H的無蓋圓柱形容器?，F(xiàn)在發(fā)現(xiàn)底部有一個(gè)小洞，這時(shí)只能將此容器傾斜支放，才能盛

43、放液體。就小洞在底面圓的邊緣上的情況（如圖示），求傾斜支放后容器的容積。解：取底面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過小洞和支撐點(diǎn)的直線為x軸，在配置相應(yīng)的y軸建立坐標(biāo)系如圖示。此時(shí)y軸必與水面平行。小洞在底面圓的邊緣時(shí)，若液面與底面夾角為，則在-R，R上任取一點(diǎn)x，此點(diǎn)作垂直于x軸的平面，得到與液體的截面是一個(gè)長方形，其底長和高分別是其面積為 .所以注：這個(gè)結(jié)論，很容易從直觀上進(jìn)行解釋，因?yàn)榇藭r(shí)液面正好將原圓柱形容器的容積分成相等的兩部分。思考：當(dāng)?shù)撞康亩床辉谶吘壍那闆r下，對(duì)兩種不同情況：（1）小洞在底面中心；（2）小洞在底面上離中心處。求傾斜支放后容器的容積。（答案：）問題6 子彈彈道的最大長度有一顆子彈，以初速度斜向上方射出槍口，發(fā)射角為。試證明：若要使子彈下落到槍口水平面