五年級數(shù)學思維拓展班

1、第1講 平均數(shù)(一)一、知識要點把幾個不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補少，使它們完全相等，求得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。如何靈活運用平均數(shù)的數(shù)量關系解答一些稍復雜的問題呢？下面的數(shù)量關系必須牢記：平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù) 總份數(shù)=總數(shù)量×平均數(shù)二、精講精練【例題1】 有4箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱42個，梨、橘子、桃平均每箱36個，蘋果和桃平均每箱37個。一箱蘋果多少個？【思路導航】（1）1箱蘋果1箱梨1箱橘子=42×3=136（個）；（2）1箱桃1箱梨1箱橘子=36×3=108（個）（3）1箱蘋果1箱桃=3

2、7×2=72（個）由（1）（2）兩個等式可知：1箱蘋果比1箱桃多126108=18（個），再根據(jù)等式（3）就可以算出：1箱桃有（7418）÷2=28（個），1箱蘋果有2818=46（個）。1箱蘋果和1箱桃共有多少個：37×2=74（個）1箱蘋果比1箱桃多多少個：42×336=18（個）1箱蘋果有多少個：2818=46（個）練習1：1. 一次考試，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。問：甲、丁各得多少分？2. 甲、乙、丙、丁四人稱體重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均體

3、重是40千克。求四人的平均體重是多少千克？【例題2】 一次數(shù)學測驗，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求這個班男生有多少人？【思路導航】女生每人比全班平均分高9291.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.290.5=0.7（分）。全體女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），應補給每個男生0.7分，16.8里包含有24個0.7，即全班有24個男生。練習2：1.兩組學生進行跳繩比賽，平均每人跳152下。甲組有6人，平均每人跳140下，乙組平均每人跳160下。乙組有多少人？2.有兩塊棉田，平均每畝產量是92.5千克，已知一

4、塊地是5畝，平均每畝產量是101.5千克；另一塊田平均每畝產量是85千克。這塊田是多少畝？【例題3】 某3個數(shù)的平均數(shù)是2.如果把其中一個數(shù)改為4，平均數(shù)就變成了3。被改的數(shù)原來是多少？【思路導航】原來三個數(shù)的和是2×3=6，后來三個數(shù)的和是3×3=9，9比6多出了3.是因為把那個數(shù)改成了4。因此，原來的數(shù)應該是43=1。練習3：1. 已知九個數(shù)的平均數(shù)是72.去掉一個數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是78。去掉的數(shù)是多少？2.有五個數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中的一個數(shù)改為1.那么這五個數(shù)的平均數(shù)為8。這個改動的數(shù)原來是多少？【例題4】 五一班同學數(shù)學考試平均成績91.5分，事后復查

5、發(fā)現(xiàn)計算成績時將一位同學的98分誤作89分計算了。經重新計算，全班的平均成績是91.7分，五一班有多少名同學？【思路導航】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績上升91.791.5=0.2（分）。9里面包含有幾個0.2.五一班就有幾名同學。練習4：1. 五（1）班有40人，期中數(shù)學考試，有2名同學去參加體育比賽而缺考，全班平均分為92分。缺考的兩位同學補考均為100分，這次五（1）班同學期中考試的平均分是多少分？【例題5】 把五個數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是38。前三個數(shù)的平均數(shù)是27，后三個數(shù)的平均數(shù)是48。中間一個數(shù)是多少？【思路導航】先求出五個數(shù)的和：38×5=1

6、90，再求出前三個數(shù)的和：27×3=81.后三個數(shù)的和：48×3=144。用前三個數(shù)的和加上后三個數(shù)的和，這樣，中間的那個數(shù)就算了兩次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中間的一個數(shù)。練習5：1.甲、乙、丙三人的平均年齡為22歲，如果甲、乙的平均年齡是18歲，乙、丙的平均年齡是25歲，那么乙的年齡是多少歲？第2講 平均數(shù)二、精講精練【例題1】 小明前幾次數(shù)學測驗的平均成績是84分，這次要考100分，才能把平均成績提高到86分。問這是他第幾次測驗？【思路導航】100分比86分多14分，這14分必須填補到前幾次的平均分84分中去，使其平均分成為86分。每次填補8684=2（

7、分），14里面有7個2.所以，前面已經測驗了7次，這是第8次測驗。練習1：1.老師帶著幾個同學在做花，老師做了21朵，同學平均每人做了5朵。如果師生合起來算，正好平均每人做了7朵。求有多少個同學在做花？【例題2】 小亮在期末考試中，政治、語文、數(shù)學、英語、自然五科的平均成績是89分，政治、數(shù)學兩科平均91.5分，政治、英語兩科平均86分，英語比語文多10分。小亮的各科成績是多少分？【思路導航】因為語文、英語兩科平均分84分，即語文英語=168分，而英語比語文多10分，即英語語文=10分，所以，語文是（16810）÷2=79分，英語是7910=89分。又因為政治、英語兩科平均86分，所

8、以政治是86×289=83分；而政治、數(shù)學兩科平均分91.5分，數(shù)學是91.5×283=100分；最后根據(jù)五科的平均成績是89分可知，自然分是89×5（798983100）=94分。練習2：1.甲、乙、丙三個數(shù)的平均數(shù)是82.甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是86，乙、丙兩數(shù)的平均數(shù)是77。乙數(shù)是多少？甲、丙兩個數(shù)的平均數(shù)是多少？【例題3】 兩地相距360千米，一艘汽艇順水行全程需要10小時，已知這條河的水流速度為每小時6千米。往返兩地的平均速度是每小時多少千米？【思路導航】用往返的路程除以往返所用的時間就等于往返兩地的平均速度。顯然，要求往返的平均速度必須先求出逆水行全程時所

9、用的時間。因為360÷10=36（千米）是順水速度，它是汽艇的靜水速度與水流速度的和，所以，此汽艇的靜水速度是366=30（千米）。而逆水速度=靜水速度水流速度，所以汽艇的逆水速度是306=24（千米）。逆水行全程時所用時間是360÷24=15（小時），往返的平均速度是360×2÷（1015）=28.8（千米）。練習3：1.甲、乙兩個碼頭相距144千米，汽船從乙碼頭逆水行駛8小時到達甲碼頭，已知汽船在靜水中每小時行駛21千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時到達乙碼頭？2.一艘客輪從甲港駛向乙港，全程要行165千米。已知客輪的靜水速度是每小時30千米，水速每

10、小時3千米?，F(xiàn)在正好是順流而行，行全程需要幾小時？【例題4】 幼兒園小班的20個小朋友和大班的30個小朋友一起分餅干，小班的小朋友每人分10塊，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2塊。求一共分掉多少塊餅干？【思路導航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均數(shù)，再乘（3020）人就能求出餅干的總塊數(shù)。因為大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2塊，30個小朋友一共多2×30=60（塊），這60塊平均分給20個小班的小朋友，每人可得60÷20=3（塊）。因此，大、小班小朋友分得平均塊數(shù)是103=13（塊）。一共分掉13×（3020）=650（塊）。練習4：1.

11、數(shù)學興趣小組里有4名女生和3名男生，在一次數(shù)學競賽中，女生的平均分是90分，男生的平均分比全組的平均分高2分，全組的平均分是多少分？【例題5】 王強從A地到B地，先騎自行車行完全程的一半，每小時行12千米。剩下的步行，每小時走4千米。王強行完全程的平均速度是每小時多少千米？【思路導航】求行完全程的平均速度，應該用全程除以行全程所用的時間。由于題中沒有告訴我們A地到B地間的路程，我們可以設全程為24千米（也可以設其他數(shù)），這樣，就可以算出行全程所用的時間是12÷1212÷4=4（小時），再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小時6千米。練習5：1. 小明去爬山，上

12、山時每小時行3千米，原路返回時每小時行5千米。求小明往返的平均速度。2. 運動員進行長跑訓練，他在前一半路程中每分鐘跑150米，后一半路程中每分鐘跑100米。求他在整個長跑中的平均速度。3.把一份書稿平均分給甲、乙二人去打，甲每分鐘打30個字，乙每分鐘打20個字。打這份書稿平均每分鐘打多少個字？第3講 長方形、正方形的周長一、知識要點同學們都知道，長方形的周長=（長寬）×2.正方形的周長=邊長×4。長方形、正方形的周長公式只能用來計算標準的長方形和正方形的周長。如何應用所學知識巧求表面上看起來不是長方形或正方形的圖形的周長，還需同學們靈活應用已學知識，掌握轉化的思考方法，把

13、復雜的問題轉化為標準的圖形，以便計算它們的周長。二、精講精練【例題1】 有5張同樣大小的紙如下圖（a）重疊著，每張紙都是邊長6厘米的正方形，重疊的部分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長?！舅悸穼Ш健?根據(jù)題意，我們可以把每個正方形的邊長的一半同時向左、右、上、下平移（如圖b），轉化成一個大正方形，這個大正方形的周長和原來5個小正方形重疊后的圖形的周長相等。因此，所求周長是18×4=72厘米。練習1:1. 下圖由8個邊長都是2厘米的正方形組成，求這個圖形的周長。2. 下圖由1個正方形和2個長方形組成，求這個圖形的周長。3.有6塊邊長是1厘米的正方形，如例題中所說的這樣重疊著，求重疊后圖形

14、的周長?！纠}2】 一塊長方形木板，沿著它的長度不同的兩條邊各截去4厘米，截掉的面積為192平方厘米。現(xiàn)在這塊木板的周長是多少厘米？【思路導航】 把截掉的192平方厘米分成A、B、C三塊（如圖），其中AB的面積是1924×4=176（平方厘米）。把A和B移到一起拼成一個寬4厘米的長方形，而此長方形的長就是這塊木板剩下部分的周長的一半。176÷4=44（厘米），現(xiàn)在這塊木板的周長是44×2=88（厘米）。練習2：1.有一個長方形，如果長減少4米，寬減少2米，面積就比原來減少44平方米，且剩下部分正好是一個正方形。求這個正方形的周長?！纠}3】 已知下圖中，甲是正方形

15、，乙是長方形，整個圖形的周長是多少？【思路導航】 從圖中可以看出，整個圖形的周長由六條線段圍成，其中三條橫著，三條豎著。三條橫著的線段和是（ab）×2.三條豎著的線段和是b×2。所以，整個圖形的周長是（ab）×2b×2.即2a4b。練習3：1.有一張長40厘米，寬30厘米的硬紙板，在四個角上各剪去一個同樣大小的正方形后準備做一個長方體紙盒，求被剪后硬紙板的周長?！纠}4】 下圖是邊長為4厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長。【思路導航】 我們把陰影部分周長中左邊的5條線段全部平移到左邊，其和正好是4厘米。再把下面的線段全部平移到下面，其和也正好是4厘米

16、。因此，陰影部分的周長與邊長是4厘米的正方形的周長是相等的。練習4：1.求下面圖形的周長（單位：厘米）。2.在（ ）里填上“”、“”或“=”。甲的周長（ ）乙的周長3.下圖中的每一小段的長度都相等，求圖形的周長。【例題5】 如下圖，陰影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的長方形的周長?！舅悸穼Ш健扛鶕?jù)題意可知，最大長方形的寬就是正方形的邊長。因為BC=EF，CF=DE，所以，ABBCCF=ABFEED=96=15（厘米），這正好是最大長方形周長的一半。因此，最大長方形的周長是（96）×2=30（厘米）。練習5：1.下面三個正方形的面積相等，剪去陰影部分的面積也相等，求原

17、來正方形的周長發(fā)生了什么變化？（單位：厘米）2. 下面是一個零件的平面圖，圖中每條短線段都是5厘米，零件長35厘米，高30厘米。這個零件的周長是多少厘米？3.有兩個相同的長方形，長7厘米，寬3厘米，如下圖重疊著，求重疊圖形的周長。第4講 長方形、正方形的面積一、知識要點長方形的面積=長×寬，正方形的面積=邊長×邊長。掌握并能運用這兩個面積公式，就能計算它們的面積。但是，在平時的學習過程中，我們常常會遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比較復雜、不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實掌握有關概念，利用“割補”、“平移”、“旋轉”等方法，使復雜的問題轉化為普通的求長方形

18、、正方形面積的問題，從而正確解答。 二、精講精練【例題1】 已知大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形比小正方形的面積大40平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？【思路導航】從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40平方厘米減去陰影部分的面積，再除以2就能得到長方形A和B的面積，再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊長。求到了小正方形的邊長，計算大、小正方形的面積就非常簡單了。練習1：1.有一塊長方形草地，長20米，寬15米。在它的四周向外筑一條寬2米的小路，求小路的面積?！纠}2】 一個大長方形被兩條平行于

19、它的兩條邊的線段分成四個較小的長方形，其中三個長方形的面積如下圖所求，求第四個長方形的面積。【思路導航】因為AE×CE=6，DE×EB=35，把兩個式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。練習2：1. 下圖一個長方形被分成四個小長方形，其中三個長方形的面積分別是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求陰影部分的面積。2. 下面一個長方形被分成六個小長方形，其中四個長方形的面積如圖所示（單位：平方厘米），求A和B的面積。3.下圖中陰影

20、部分是邊長5厘米的正方形，四塊完全一樣的長方形的寬是8厘米，求整個圖形的面積?！纠}3】 把20分米長的線段分成兩段，并且在每一段上作一正方形，已知兩個正方形的面積相差40平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？【思路導航】我們可以把小正方形移至大正方形里面進行分析。兩個正方形的面積差40平方分米就是圖中的A和B兩部分，如圖。如果把B移到原來小正方形的上面，不難看出，A和B正好組成一個長方形，此長方形的面積是40平方分米，長20分米，寬是40÷20=2（分米），即大、小兩個正方形的邊長相差2分米。因此，大正方形的邊長就是（20+2）÷2=11（分米），面積是11×

21、11=121（平方分米）。練習3：1.一塊正方形，一邊劃出1.5米，另一邊劃出10米搞綠化，剩下的面積比原來減少了1350平方米。這塊地原來的面積是多少平方米？【例題4】 有一個正方形ABCD如下圖，請把這個正方形的面積擴大1倍，并畫出來。【思路導航】由于不知道正方形的邊長和面積，所以，也沒有辦法計算出所畫正方形的邊長或面積。我們可以利用兩個正方形之間的關系進行分析。以正方形的四條邊為準，分別作出4個等腰直角三角形，如圖中虛線部分，顯然，虛線表示的正方形的面積就是原正方形面積的2倍。練習4：1.四個完全一樣的長方形和一個小正方形組成了一個大正方形，如果大、小正方形的面積分別是49平方米和4平方

22、米，求其中一個長方形的寬。【例題5】 有一個周長是72厘米的長方形，它是由三個大小相等的正方形拼成的。一個正方形的面積是多少平方厘米？【思路導航】三個同樣大小的正方形拼成的長方形，它的周長是原正方形邊長的8倍，正方形的邊長為72÷8=9（厘米），一個正方形的面積就是9×9=81（平方厘米）。練習5：1.五個同樣大小的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是36厘米，求每個正方形的面積是多少平方厘米？2.有一張長方形紙，長12厘米，寬10厘米。從這張紙上剪下一個最大的正方形后，剩下部分的周長是多少厘米？第5講 分類數(shù)圖形一、知識要點我們在數(shù)數(shù)的時候，遵循不重復、不遺漏的原則，

23、不能使數(shù)出的結果準確。但是在數(shù)圖形的個數(shù)的時候，往往就不容易了。分類數(shù)圖形的方法能夠幫助我們找到圖形的規(guī)律，從而有秩序、有條理并且正確地數(shù)出圖形的個數(shù)。二、精講精練【例題1】 下面圖形中有多少個正方形？【思路導航】圖中的正方形的個數(shù)可以分類數(shù)，如由一個小正方形組成的有6×3=18個，2×2的正方形有5×2=10個，3×3的正方形有4×1=4個。因此圖中共有18104=32個正方形。練習1：1.下圖中共有多少個正方形？2.下圖中共有多少個正方形？【例題2】 下圖中共有多少個三角形？【思路導航】為了保證不漏數(shù)又不重復，我們可以分類來數(shù)三角形，然后再

24、把數(shù)出的各類三角形的個數(shù)相加。（1）圖中共有6個小三角形；（2）由兩個小三角形組合的三角形有3個；（3）由三個小三角形組合的三角形有4個；（4）由六個小三角形組合的三角形有1個。所以共有6341=14個三角形。練習2：1.下面圖中共有多少個三角形？2.數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形。3.數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形？【例題3】 數(shù)出下圖中所有三角形的個數(shù)?！舅悸穼Ш健亢腿切蜛FG一樣形狀的三角形有5個；和三角形ABF一樣形狀的三角形有10個；和三角形ABG一樣形狀的三角形有5個；和三角形ABE一樣形的三角形有5個；和三角形AMD一樣形狀的三角形有5個，共35個三角形。練習3：數(shù)出下面圖形中分別

25、有多少個三角形?！纠}4】 如下圖，平面上有12個點，可任意取其中四個點圍成一個正方形，這樣的正方形有多少個？【思路導航】把相鄰的兩點連接起來可以得到下面圖形，從圖中可以看出：（1）最小的正方形有6個；（2）由4個小正方形組合而成的正方形有2個；（3）中間還可圍成2個正方形。所以共有622=10個。練習4：1.下圖中共有8個點，連接任意四點圍成一個長方形，一共能圍成多少個長方形？2.下圖中共有6個點，連接其中的三點圍成一個三角形，一共能圍成多少個三角形？3.下圖中共有9個點，連接其中的四個點圍成一個梯形，一共能圍成多少個梯形？【例題5】 數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個三角形？【思路導航】我們可以分類

26、來數(shù)：1.單一的小三角形有16個；2.兩個小三角形組合的有10個；3.四個小三角形組合的有8個；4.八個小三角形組合的有2個。所以，圖中一共有161082=36個三角形。第6講 尾數(shù)和余數(shù)一、知識要點自然數(shù)末位的數(shù)字稱為自然數(shù)的尾數(shù)；除法中，被除數(shù)減去商與除數(shù)積的差叫做余數(shù)。尾數(shù)和余數(shù)在運算時是有規(guī)律可尋的，利用這種規(guī)律能解決一些看起來無從下手的問題。二、精講精練【例題1】 寫出除213后余3的全部兩位數(shù)。【思路導航】因為213=2103.把210分解質因數(shù)：210=2×3×5×7，所以，符號題目要求的兩位數(shù)有2×5=10，2×7=14，3&#

27、215;5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7個兩位數(shù)。練習1：1. 寫出除109后余4的全部兩位數(shù)。2.178除以一個兩位數(shù)后余數(shù)是3.適合條件的兩位數(shù)有哪些？【例題2】 （1）125×125×125××125100個25積的尾數(shù)是幾？（2）（21×26）×（21×26）××（21×26）100個（21×26）積的尾數(shù)是幾？【思路導航】（1）因為個位5乘5，積的個位仍然是5，所以不

28、管多少個125相乘，個位還是5；（2）每個括號里21乘26積的個位是6，我們只要分析100個6相乘，積的尾數(shù)是幾就行了。因為個位6乘6，積的個位仍然是6，所以不管多少個（21×26）連乘，積的個位還是6。練習2：1.21×21×21××2150個21積的尾數(shù)是幾？【例題3】 （1）4×4×4××450個4積的個位數(shù)是幾？（2）9×9×9××951個9積的個位數(shù)是幾？【思路導航】（1）我們先列舉前幾個4的積，看看個位數(shù)在怎樣變化，1個4個位就是4；4×4的個

29、位是6；4×4×4的個位是4；4×4×4×4的個位是6由此可見，積的尾數(shù)以“4，6”兩個數(shù)字在不斷重復出現(xiàn)。50÷2=25沒有余數(shù)，說明50個4相乘，積的個位是6。（2）用上面的方法可以發(fā)現(xiàn)，51個9相乘時，積的個位是以“9，1”兩個數(shù)字不斷重復，51÷2=251.余數(shù)是1.說明51個9本乘積的個位是9。練習3：1.24×24×24××242001個24，積的尾數(shù)是多少？【例題4】 把1/7化成小數(shù)，那么小數(shù)點后面第100位上的數(shù)字是多少？【思路導航】因為1/70.1428571428

30、57，化成的小數(shù)是一個無限循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)“142857”共有6個數(shù)字。由于100÷6=164，所以，小數(shù)點后面的第100位是第17個循環(huán)節(jié)的第4個數(shù)字，是8。練習4：1.把1/11化成小數(shù)，求小數(shù)點后面第2001位上的數(shù)字?！纠}5】 555552001個5÷13.當商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？【思路導航】如果用除法硬除顯然太麻煩，我們可以先用豎式來除一除，看一看余數(shù)在按怎樣的規(guī)律變化。從豎式中可以看出，余數(shù)是按3、9、4、6、0、5這六個數(shù)字不斷重復出現(xiàn)。2001÷6=3333.所以，當商是整數(shù)時，余數(shù)是4。練習5：1.4444÷6100個4，當商是整數(shù)時

31、，余數(shù)是幾？2.當商是整數(shù)時，余數(shù)各是幾？（1）6666÷4100個6（2）4444÷74200個4第7講 一般應用題（一）一、知識要點一般復合應用題往往是有兩組或兩組以上的數(shù)量關系交織在一起，有的已知條件是間接的，數(shù)量關系比較復雜，敘述的方式和順序也比較多樣。因此，一般應用題沒有明顯的結構特征和解題規(guī)律可循。解答一般應用題時，可以借助線段圖、示意圖、直觀演示手段幫助分析。在分析應用題的數(shù)量關系時，我們可以從條件出發(fā)，逐步推出所求問題（綜合法）；也可以從問題出發(fā)，找出必須的兩個條件（分析法）。在實際解時，可以根據(jù)題中的已知條件，靈活運用這兩種方法。二、精講精練【例題1】 五

32、年級有六個班，每班人數(shù)相等。從每班選16人參加少先隊活動，剩下的同學相當于原來4個班的人數(shù)。原來每班多少人？【思路導航】從每班選16人參加少先隊活動，6個班共選16×6=96（人）。剩下的同學相當于原來4個班的人數(shù)，那么，96人就相當于原來（64）個班人人數(shù)，所以，原來每班96÷2=48（人）。練習1：1.五個同學有同樣多的存款，若每人拿出16元捐給“希望工程”后，五位同學剩下的錢正好等于原來3人的存款數(shù)。原來每人存款多少？【例題2】 某車間按計劃每天應加工50個零件，實際每天加工56個零件。這樣，不僅提前3天完成原計劃加工零件的任務，而且還多加工了120個零件。這個車間實

33、際加工了多少個零件？【思路導航】如果按原計劃的天數(shù)加工，加工的零件就會比原計劃多56×3120=288（個）。為什么會多加工288個呢？是因為每天多加工了5650=6（個）。因此，原計劃加工的天數(shù)是288÷6=48（天），實際加工了50×48120=1520（個）零件。練習2：1.汽車從甲地開往乙地，原計劃每小時行40千米，實際每小時多行了10千米，這樣比原計劃提前2小時到達了乙地。甲、乙兩地相距多少千米？【例題3】 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6個零件，乙中途停了15天沒有加工。40天后，乙所加工的零件個數(shù)正好是甲的一半。這時兩人各加工了多少個零件？【思

34、路導航】甲工作了40天，而乙停止了15天沒有加工，乙只加工了25天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙25天加工的零件同樣多。由于甲每天比乙多加工6個，20天一共多加工6×20=120（個）。這120個零件相當于乙25-20=5（天）加工的個數(shù)，乙每天加工120÷（25-20）=24（個）。乙一共加工了24×25=600（個），甲一共加工了600×2=1200（個）練習3：1.甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10個。途中乙因事休息了5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，這時兩人各加工帽子多少個？2. 甲、乙兩車

35、同時從A、B兩地相對開出，甲車每小時比乙車多行20千米。途中乙因修車用了2小時，6小時后甲車到達兩地中點，而乙車才行了甲車所行路程的一半。A、B兩地相距多少千米？【例題4】 服裝廠要加工一批上衣，原計劃20天完成任務。實際每天比計劃多加工60件，照這樣做了15天，就超過原計劃件數(shù)350件。原計劃加工上衣多少件？【思路導航】由于每天比計劃多加工60件，15天就比原計劃的15天多加工60×15=900（件），這時已超過計劃件數(shù)350件，900件中去掉這350件，剩下的件數(shù)就是原計劃（2015）天中的工作量。所以，原計劃每天加工上衣（900350）÷（2015）=110（件），原

36、計劃加工110×20=2200（件）。練習4：1. 用汽車運一堆煤，原計劃8小時運完。實際每小時比原計劃多運1.5噸，這樣運了6小時就比原計劃多運了3噸。原計劃8小時運多少噸煤？2.汽車從甲地開往乙地，原計劃10小時到達。實際每小時比原計劃多行15千米，行了8小時后，發(fā)現(xiàn)已超過乙20千米。甲、乙兩地相距多少千米？第8講 一般應用題（二）一、知識要點較復雜的一般應用題，往往具有兩組或兩組以上的數(shù)量關系交織在一起，但是，再復雜的應用題都可以通過“轉化”向基本的問題靠攏。因此，我們在解答一般應用題時要善于分析，把復雜的問題簡單化，從而正確解答。二、精講精練【例題1】 工程隊要鋪設一段地下排

37、水管道，用長管子鋪需要25根，用短管子鋪需要35根。已知這兩種管子的長相差2米，這段排水管道長多少米？【思路導航】因為每根長管子比每根短管子長2米，25根長管子就比25根短管子長50米。而這50米就相當于（3525）根短管子的長度。因此，每根短管子的長度就是50÷（3525）=5（米），這段排水管道的長度應是5×35=175（米）。練習1：1. 生產一批零件，甲單獨生產要用6小時，乙單獨生產要用8小時。如果甲每小時比乙多生產10個零件，這批零件一共有多少個？2. 一班的小朋友在操場上做游戲，每組6人。玩了一會兒，他們覺得每組人數(shù)太少便重新分組，正好每組9人，這樣比原來減少了

38、2組。參加游戲的小朋友一共有多少人？【例題2】 甲、乙、丙三人拿出同樣多的錢買一批蘋果，分配時甲、乙都比丙多拿24千克。結帳時，甲和乙都要付給丙24元，每千克蘋果多少元？【思路導航】三人拿同樣多的錢買蘋果應該分得同樣多的蘋果。24×2÷3=16（千克），也就是丙少拿16千克蘋果，所以得到24×2=48元。每千克蘋果是48÷16=3（元）。練習2：1.甲和乙拿出同樣多的錢買相同的鉛筆若干支，分鉛筆時，甲拿了13支，乙拿了7支，因此，甲又給了乙6角錢。每支鉛筆多少錢？【例題3】 甲城有177噸貨物要跑一趟運到乙城。大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，

39、大、小卡車跑一趟的耗油量分別是10升和5升。用多少輛大卡車和小卡車來運輸時耗油最少？【思路導航】大汽車一次運5噸，耗油10升，平均運1噸貨耗油10÷5=2（升）；小汽車一次運2噸，耗油5升，平均運1噸貨耗油5÷2=2.5（升）。顯然，為耗油量最少應該盡可能用大卡車。177÷5=35（輛）2噸，余下的2噸正好用小卡車運。因此，用35輛大汽車和1輛小汽車運耗油量最少。練習3：1.五名選手在一次數(shù)學競賽中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整數(shù)。如果最高分是90分，那么得分最少的選手至少得多少分？【例題4】 有一棟居民樓，每家都訂2份不同的報紙，該居民樓共訂了三種報

40、紙，其中北京日報34份，江海晚報30份，電視報22份。那么訂江海晚報和電視報的共有多少家？【思路導航】這棟樓共訂報紙34+30+22=86（份），因為每家都訂2份不同的報紙，所以一共有86÷2=43家。在這43家居民中，有34家訂了北京日報，剩下的9家居民一定是訂了江海晚報和電視報。練習4：1.五（1）班全體同學每人帶2個不同的水果去慰問解放軍叔叔，全班共帶了三種水果，其中蘋果40個，梨32個，桔子26個。那么，帶梨和桔子的有多少個同學？2.在一次慶?！傲弧眱和?jié)活動中，一個方隊的同學每人手里都拿兩種顏色的氣球，共有紅、黃、綠三種顏色。其中紅色有56只，黃色的有60只，綠色的有46

41、只。那么，手拿紅、綠兩種氣球的有多少個同學？【例題5】 一艘輪船發(fā)生漏水事故，立即安裝兩臺抽水機向外抽水，此時已進水800桶。一臺抽水機每分鐘抽水18桶，另一臺每分鐘抽水14桶，50分鐘把水抽完。每分鐘進水多少桶？【思路導航】50分鐘內，兩臺抽水機一共能抽水（1814）×50=1600（桶）。1600桶水中，有800桶是開始抽之前就漏進的，另800桶是50分鐘又漏進的，因此，每分鐘漏進水800÷50=16（桶）。練習5：1.一個水池能裝8噸水，水池里裝有一個進水管和一個出水管。兩管齊開，20分鐘能把一池水放完。已知進水管每分鐘往池里進水0.8噸，求出水管每分鐘放水多少噸？第

42、9講 一般應用題（三）一、知識要點解答一般應用題時，可以按下面的步驟進行：1.弄清題意，找出已知條件和所求問題；2.分析已知條件和所求問題之間的關系，找出解題的途徑；3.擬定解答計劃，列出算式，算出得數(shù)；4，檢驗解答方法是否合理，結果是否正確，最后寫出答案。二、精講精練【例題1】 甲、乙兩工人生產同樣的零件，原計劃每天共生產700個。由于改進技術，甲每天多生產100個，乙的日產量提高了1倍，這樣二人一天共生產1020個。甲、乙原計劃每天各生產多少個零件？【思路導航】二人實際每天比原計劃多生產1020700=320（個）。這320個零件中，有100個是甲多生產的，那么320100=220（個）就

43、是乙日產量的1倍，即乙原來的日產量，甲原來每天生產700220=480（個）。練習1：1.工廠里有2個鍋爐，原來每月燒煤5.6噸。進行技術改造后，1號鍋爐每月節(jié)約1噸煤，2號鍋爐每月燒煤量減少了一半，現(xiàn)在每月共燒煤3.5噸。原來兩個鍋爐每月各燒煤多少噸？【例題2】 把一根竹竿插入水底，竹竿濕了40厘米，然后將竹竿倒轉過來插入水底，這時，竹竿濕的部分比它的一半長13厘米。求竹竿的長?！舅悸穼Ш健恳驗橹窀拖炔辶艘淮?，濕了40厘米，倒轉過來再插一次又濕了40厘米，所以濕了的部分是40×2=80（厘米）。這時，濕的部分比它的一半長13厘米，說明竹竿的長度是（8013）×2=134（

44、厘米）。練習2：1.有一根鐵絲，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一個長8厘米，寬6厘米的長方形框架。這根鐵絲原來長多少厘米？【例題3】 將一根電線截成15段。一部分每段長8米，另一部分每段長5米。長8米的總長度比長5米的總長度多3米。這根鐵絲全長多少米？【思路導航】設這15段中有X段是8米長的，則有（15X）段是5米長的。然后根據(jù)“8米的總長度比5米的總長度多3米”列出方程，并進行解答。練習3：1.某人過一個小山坡共用了20分鐘，他上坡每分鐘走80米，下坡每分鐘走102米。上坡路比下坡路少220米。這段小坡路全長多少米？【例題4】 甲、乙兩名工人加工一批零件，甲先花去2.5小時改裝機器，因

45、此前4小時甲比乙少做400個零件。又同時加工4小時后，甲總共加工的零件反而比乙多4200個。甲、乙每小時各加工零件多少個？【思路導航】（1）在后4小時內，甲一共比乙多加工了4200+400=4600（個）零件，甲每小時比乙多加工4600÷4=1150個零件。（2）在前4小時內，甲實際只加工了42.5=1.5小時，甲1.5小時比乙1.5小時應多做1150×1.5=1725個零件，因此，1725400=2125個零件就是乙2.5小時的工作量，即乙每小時加工2125÷2.5=850個，甲每小時加工8501150=2000個。練習4：1. 甲、乙二人同時從A地去B地，前3

46、小時，甲因修車1小時，因此乙鄰先于甲4千米。又經過3小時，甲反而領先了乙17千米。求二人的速度。2.師徒二人生產同一種零件，徒弟比師傅早2小時開工，當師傅生產了2小時后，發(fā)現(xiàn)自己比徒弟少做20個零件。二人又生產了2小時，師傅反而比徒弟多生產了10個。師傅每小時生產多少個零件？【例題5】 加工一批零件，單給甲加工需10小時，單給乙加工需8小時。已知甲每小時比乙少做3個零件，這批零件一共有多少個？【思路導航】因為甲每小時比乙少做3個零件，8小時就比乙少做3×8=24（個）零件，所以，24個零件就是甲（108）小時的工作量。甲每小時加工24÷（108）=12（個），這批零件一共有

47、12×10=120（個）。練習5：1.快、慢兩車同時從甲地開往乙地，行完全程快車只用了4小時，而慢車用了6.5小時。已知快車每小時比慢車多行25千米。甲、乙兩地相距多少千米？第10講 數(shù)    陣一、知識要點填“幻方”是同學們比較熟悉的一種數(shù)學游戲，由幻方演變出來的數(shù)陣問題，也是一類比較常見的填數(shù)問題。這里，和同學們討論一些數(shù)陣的填法。解答數(shù)陣問題通常用兩種方法：一是待定數(shù)法，二是試驗法。待定數(shù)法就是先用字母（或符號）表示滿足條件的數(shù)，通過分析、計算來確定這些字母（或符號）應具備的條件，為解答數(shù)陣問題提供方向。試驗法就是根據(jù)題中所給條件選準突破口，確定填

48、數(shù)的可能范圍。把分析推理和試驗法結合起來，再由填數(shù)的可能情況，確定應填的數(shù)。二、精講精練【例題1】 把5、6、7、8、9五個數(shù)分別填入下圖的五個方格里，如圖a使橫行三個數(shù)的和與豎行三個數(shù)的和都是21?！舅悸穼Ш健肯劝盐甯穹礁裰械臄?shù)用字母A、B、C、D、E來表示，根據(jù)題意可知：ABCDE=35，AEBCED=21×2=42。把兩式相比較可知，E=4235=7，即中間填7。然后再根據(jù)59=68便可把五個數(shù)填進方格，如圖b。練習1：1. 把110各數(shù)填入“六一”的10個空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是12。2. 把19各數(shù)填入“七一”的9個空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是13。3.

49、將17七個自然數(shù)分別填入圖中的圓圈里，使每條線上三個數(shù)的和相等?！纠}2】 將110這十個數(shù)填入下圖小圓中，使每個大圓上六個數(shù)的和是30。【思路導航】設中間兩個圓中的數(shù)為a、b，則兩個大圓的總和是12310ab=30×2.即55ab=60，ab=5。在110這十個數(shù)中14=5，23=5。當a和b是1和4時，每個大圓上另外四個數(shù)分別是（2.6，8，9）和（3.5，7，10）；當a和b是2和3時，每個大圓上另外四個數(shù)分別為（1.5，9，10）和（4，6，7，8）。練習2：1.把18八個數(shù)分別填入下圖的內，使每個大圓上五個內數(shù)的和相等。2.把110這十個數(shù)分別填入下圖的內，使每個四邊形頂點

50、的內四個數(shù)的和都相等，且和最大。3.將18八個數(shù)填入下圖方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中間四格以及對角線四格內四個數(shù)的和都是18?！纠}3】 將16這六個數(shù)分別填入下圖的圓中，使每條直線上三個圓內數(shù)的和相等、且最大?！舅悸穼Ш健吭O中間三個圓內的數(shù)是a、b、c。因為計算三條線上的和時，a、b、c都被計算了兩次，根據(jù)題意可知：123456（abc）除以3沒有余數(shù)。123456=21.21÷3=7沒有余數(shù)，那么abc的和除以3也應該沒有余數(shù)。在16六個數(shù)中，只有456的和最大，且除以3沒有余數(shù)，因此a、b、c分別為4、5、6。（123456456）÷3=12.所以

51、有下面的填法：練習3：1.將16六個數(shù)分別填入下圖的內，使每邊上的三個內數(shù)的和相等。2.將19九個數(shù)分別填入下圖內，使每邊上四個內數(shù)的和都是17。3.將18八個數(shù)分別填入下圖的內，使每條安上三個數(shù)的和相等?！纠}4】 將17分別填入下圖的7個內，使每條線段上三個內數(shù)的和相等。  【思路導航】首先要確定中心圓內的數(shù)，設中心內的數(shù)是a，那么，三條線段上的總和是12345672a=282a，由于三條線段上的和相等，所以（282a）除以3應該沒有余數(shù)。由于28÷3=91.那么2a除以3應該余2.因此，a可以為1、4或7。當a=1時，（282×1）÷31

52、=9，即每條線段上其他兩數(shù)的和是9，因此，有這樣的填法。練習4：1.將19填入下圖的中，使橫、豎行五個數(shù)相加的和都等于25。2.將111這十一個數(shù)分別填進下圖的里，使每條線上3個內的數(shù)的和相等。3.將18這八個數(shù)分別填入下圖內，使外圓四個數(shù)的和，內圓四個數(shù)的和以及橫行、豎行上四個數(shù)的和都等于18?！纠}5】 如下圖(a)四個小三角形的頂點處有六個圓圈。如果在這些圓圈中分別填上六個質數(shù)，它們的和是20，而且每個小三角形三個頂點上的數(shù)的和相等。問這六個質數(shù)的積是多少？【思路導航】設每個小三角形三個頂點處內數(shù)的和為X。因為中間的小三角形頂點處的數(shù)在求和時都用了三次，所以，四個小三角形頂點處數(shù)的總和是

53、4X=202X，解方程得X=10。由此可知，每個小三角形頂點處的三個質數(shù)的和是10，這三個質數(shù)只能是2、3、5。因此這6個質數(shù)的積是2×2×3×3×5×5=900。如圖（b）。第11講 周期問題一、知識要點周期問題是指事物在運動變化的發(fā)展過程中，某些特征循環(huán)往復出現(xiàn)，其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經過的時間叫做周期。在數(shù)學上，不僅有專門研究周期現(xiàn)象的分支，而且平時解題時也常常碰到與周期現(xiàn)象有關的問題。這些數(shù)學問題只要我們發(fā)展某種周期現(xiàn)象，并充分加以利用，把要求的問題和某一周期的等式相對應，就能找到解題關鍵。二、精講精練【例題1】 流水線上生產小木球涂色的次序

54、是：先5個紅，再4個黃，再3個綠，再2個黑，再1個白，然后又依次5紅、4黃、3綠、2黑、1白如此涂下去，到2001個小球該涂什么顏色？【思路導航】根據(jù)題意可知，小木球涂色的次序是5紅、4黃、3綠、2黑、1白，即54321=15個球為一個周期，不斷循環(huán)。因為2001÷15=1336，也就是經過133個周期還余6個，每個周期中第6個是黃的，所以第2001個球涂黃色。練習1：1. 跑道上的彩旗按“三面紅、兩面綠、一面黃”的規(guī)律插下去，第50面該插什么顏色？2. 有一串珠子，按4個紅的，3個白的，2個黑的順序重復排列，第160個是什么顏色？【例題2】 有47盞燈，按二盞紅燈、四盞藍燈、三盞黃

55、燈的順序排列著。最后一盞燈是什么顏色的？三種顏色的燈各占總數(shù)的幾分之幾？【思路導航】（1）我們把二盞紅燈、四盞藍燈、三盞黃燈這9盞燈看作一組，47÷9=5（組）2（盞），余下的兩盞是第6組的前兩盞燈，是紅燈，所以最后一盞燈是紅燈；（2）由于47÷9=5（組）2（盞），所以紅燈共有2×52=12（盞），占總數(shù)的12/47；藍燈共有4×5=20（盞），占總數(shù)的20/47；黃燈共有3×5=15（盞），占總數(shù)的15/47。練習2：1.有68面彩旗，按二面紅的、一面綠的、三面黃的排列著，這些彩旗中，紅旗占黃旗的幾分之幾？【例題3】 2001年10月1日是

56、星期一，那么，2002年1月1日是星期幾？【思路導航】一個星期是7天，因此7天為一個周期。10月1日是星期一，是第一個周期的第一天，再過7天即10月8日也是星期一。計算天數(shù)時為了方便，我們采用“算尾不算頭”的方法，例如10月8日就用（81）÷7=1.沒有余數(shù)說明8號仍是星期一。題中說從2001年10月1日到2002年1月1日，要經過92天，92÷7=131.余1天就是從星期一往后數(shù)一天，即星期二。練習3：1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期幾？2.如果今天是星期五，再過80天是星期幾？A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21

57、 2331 29 27 25 【例題4】 將奇數(shù)如下圖排列，各列分別用A、B、C、D、E為代表，問：2001所在的列以哪個字母為代表？【思路導航】這列數(shù)按每8個數(shù)一組有規(guī)律排列著。2001是這一列數(shù)中的第1001個數(shù)，1001÷8=1251.即2001是這列數(shù)中第126組的第一個數(shù)，所以它所在的那一列是以字母B為代表的。練習4：1.將偶數(shù)2、4、6、8、按下圖依次排列，2014出現(xiàn)在哪一列？2.把自然數(shù)按下列規(guī)律排列，865排在哪一列？A B C D E8 6 4 210 12 14 1624 22 20 1826 28 30 32 A B C D1 2 36 5 47 8 912 11 10 3. 上表中，將每列上下兩個字組成一組，如第一組為（小熱），第二組為（學愛）。求第460組是什么？【例題5】 8888100個8÷7，當商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？【思路導航】從豎式中可以看出，被除數(shù)除以7，每次除得的余數(shù)以1、4、6、5、2、0不斷重復出現(xiàn)。我們可以用100除以6，觀察余數(shù)就知道所求問題了。100÷6